正比例函数复习课教案

正比例函数----定义（第5课时）教学目标：理解正比例函数的解析式，熟练地求正比例函数的解析式。

重难点 1、正确理解正比例函数的概念。

2、根据已知条件写出正比例函数解析式。

学习过程一、复习：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，有个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有的值和它对应，我们就把x称为，y是x的。

如果当x=a时y=b, 那么b 叫做当自变量的值为a时的。

二、探究新知阅读课本P86---P87内容回答下列问题：1、问题：问题1、2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均速度为300km/h.（1）列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需小时，（结果保留一位小数）（2）列车的行程y（单位：km）是与运行时间t（单位：h）的函数吗?它们之间的数量关系是：。

（注意：实际问题要给出自变量的范围）（3）由（2）中的关系式求出当t=2.5时，y= ;当y=1200时，t= .（4）列车从北京南站出发2.5h 后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站?问题2、下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是，写出函数解析式：（1）圆的周长L 随半径r 的变化而变化。

（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位：g)随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化。

（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化。

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃,物体的温度T （ 单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化而变化。

2、以上问题中的函数都是常数与自变量的 的形式。

定义 ：形如 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做 ，k 必须满足的条件是 ，变量x 的指数是 。

三、课堂巩固：1、若2532-+=-m x y m 是正比例函数，求m 的值 2、已知y 与x 成正比例，当x=2时y ＝-4，求y 与x 之间的函数关系式。

§14．2．1 正比例函数教学目标（一）知识技能1、初步理解正比例函数的概念及其图象的特征。

2 、能够画出正比例函数的图象。

3 、能够判断两个变量是否构成正比例函数关系。

（二）数学思考１、经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观２、体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题。

３、体会解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新意识。

（三）解决问题1、能按要求运用“列表法”和“两点法”作正比例函数的图象。

2、会利用正比例函数解决简单的数学问题。

（四）情感态度1、结合描点做图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯。

2、通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们需要而产生的，与现实世界密切相关，同时渗透热爱自然和生活的教育。

教学重点１、理解正比例函数意义及解析式特点。

２、掌握正比例函数图象的性质特点。

教学难点正比例函数图象的特征。

教具准备多媒体演示。

教学过程Ⅰ．复习导入由两个量成正比例关系导入新课。

II．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环。

大约128后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它。

１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x （0≤x ≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x 的值．即 y=200×45=9000（km ）以上我们用y=200x 对燕鸥在128天的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x 这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习。

正比例函数教学目标：知识与技能：初步理解正比例了函数的概念。

能根据所给条件写出简单的正比例函数表达式，并且能够判断两个变量是否构成正比例函数关系。

过程与方法：通过对实际问题的研究，体会建立函数模型的思想，以及体验从特殊到一般的辩证关系。

情感态度价值观：通过分析变量间的关系，发展学生的数学思维；通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是来源于生活并用于生活，同时渗透热爱自然和生活的教育。

教学重点：正比例函数的概念及关系；会根据已知信息写出正比例函数的表达式。

教学难点：会根据已知信息写出正比例函数的表达式。

教具：ppt课件教学方法：尝试教学法教学过程：一、复习旧知1、教师让学生回忆前面学过的函数的定义，并指名学生答复。

2、学生回忆小学学过的正比例关系。

我们在元生活中，会去买东西，如果某人去买苹果，苹果4元钱一斤，下面我们看到这些数量与价格之间的关系。

教师引导学生得出价格与数量成正比例关系。

二、小组合作〔观察与思考〕小刚骑自行车去上学，行驶时间和路程之间的关系如下表：〔1〕小刚行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？〔2〕如果用t(min)表示时间，s(km)表示路程，那么s与t之间的函数关系式具有什么特征？学生以小组为单位合作交流完成上题，并主动答复。

三、尝试练习〔开动脑筋)〔1〕小亮每小时读20页书，假设读书时间用字母t(h)表示，读过的页数用字母m(页)表示，则用t表示m的函数表达式为_________ 。

(2)小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元，假设购买铅笔的数量用n(支)表示，花钱总数用w(元)表示，则用n表示w的函数表达式为___________。

〔3〕拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05mL。

设t(min)后，水龙头滴水VmL，则用t表示V的表达式_______。

〔4〕冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃〕随冷冻时间t〔单位：分〕变化的表达式为__________。

19.2.1正比例函数的图像和性质一、教学目标1．知识与技能：（1）能画正比例函数的图像，并能结合公理和正比例函数图象特点快速作图；（2）能够在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。

2．过程与方法：（1）初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；（2）逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想；（3）能够尝试演绎推理发现规律，体验合作学习的过程。

3．情感态度与价值观：（1）通过小组合做讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望；（2）通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。

二、学情分析在这节课之前，该班学生已经较好的拥有了解决平面坐标系的一些基本问题，理解了变量以及常量和代数式的内容的起点能力，因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，也形成了较理想的先决条件。

学生运用数学知识解决实际问题以及推理总结的能力有待进一步加强。

三、教学重难点教学重点：画正比例函数的图像，并在画图过程中观察并发现函数的性质。

教学难点：在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。

四、教学手段及运用分析每位同学准备几张方格纸，或已画好直角坐标系的纸张，以节少画图所需时间；教师自制的多媒体课件；上课环境为多媒体大屏幕环境。

五、教学过程（一）复习引入、温顾知新1、正比例函数的定义一般地，形如 y=kx（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。

这个过程，由老师提问学生作答，在学生回答不够完善的地方，请其他学生补充，老师紧后给予完善。

3．引入课题：前面我们学习了函数的这些基本内容，今天我们要来体会初中数学中最重的一种数学方法，数形结合，正所谓：数无形时少直观，我们一起来画出正比例函数的图象吧。

这样的设计，适合学生的学习习惯，能让学生在温习旧知识的过程中体验会旧知与新知之间的联系，积极探索新知识（二）数形结合、动手画图例：画正比例函数 y =2x 的图象解：1. 列表 2. 描点 3. 连线学生对平面坐标系有所了解，但对数形结合的方法还不是很熟练，有必要给学生以示范。

《正比例和反比例复习》说课稿一、说教材内容正比例和反比例是六年级第二学期第六单元的内容，是在认识了比和比例式以后更深入的学习，本部分内容不但在生活中具有广泛的应用，而且是今后学习正、反比例函数有关知识的重要基础。

由于这是一个重要知识点，所以教科书单独列出对其进行整理和复习。

二、说目标及重难点教学目标：1．让学生结合实际问题更深入理解正、反比例关系。

2．通过运用正反比例知识解决生活中的实际问题，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

3．让学生认识到知识间的纵向、横向联系，以及与生活的紧密联系，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点：对正、反比例知识有系统的认识，使学生将其纳入到自身已有的认知结构中。

教学难点：正确区分正比例和反比例关系。

教具准备：小黑板、课件三、说教法学法：１、为了实现教学目标，突出重点，解决难点，利用学生已有知识的基础上，提出问题，为学生创设有效的数学活动，探究解决有关判断正、反比例关系的方法，并利用这样的关系解决简单的实际问题。

２、采取自主探索、合作交流的学习方式，让学生通过看、想、交流等数学活动，自觉参与到知识形成的过程中，获得基本的数学知识和技能，激发学生的学习兴趣，增加学生学好数学的信心。

四、说教学程序1．引导学生自主整理。

学生是课程的主体，教师只是组织者、引导者，所以我努力贯彻“把课堂还给学生”这一新课程理念，尽量少讲，多问，多启发，引导学生积极动脑去想出来，引导学生积极动手去做出来。

2．采用闯关比赛的形式渐进式展开。

如果一下子就提到正反比例这个知识点解决实际问题会使一部分学生不知所措，从而在无意中就丧失了自信心。

所以我从判断两个量是否成正反比例开始的。

先给学生充满自信，然后通过闯关引入竞争和游戏的元素调动他们的积极性。

3．对系统整理后的知识进行内化。

由于书本上的很多例子并不切合学生的实际，不能让学生很好的认识到所学知识的作用，所以我决定让学生自己动脑，分组交流，列举身边的例子来对所学知识进行运用，使学生更容易看到所学知识的作用，更容易将所学知识转换为自身的能力，也更能激发他们学习数学的兴趣。

《正比例的意义》教案教学目的教材通过实例说明两种相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化。

一种量扩大，另一种量随着扩大；一种量缩小，另一种量也随着缩小。

并且从具体的数据中看出：这两种相关联的量扩大、缩小的变化规律是它们相对应的两个数的比值（商）总是一定的，写成关系式就是：y/x＝k（一定），•从而给出正比例的意义。

通过正比例意义的教学，向学生渗透初步的函数思想。

教学过程一、创设情境，建立表象师：今天我们继续研究数量之间的关系。

一、复习铺垫1．说出下列每组数量之间的关系。

(1)速度时间路程(2)单价数量总价(3)工作效率工作时间工作总量2．学习例１。

（小黑板出示）等底、等高的水杯中的水【体积和高度的变化有什么规律？】要求学生在表格中的括号里填写适当的数据。

[通过填写有关数据，让学生初步了解两种相关联量间的对应关系。

]师：表中有哪两种量？（生：高度和体积这两种量。

）师：高度这种量由2厘米变成4厘米、6厘米……（看小黑板），体积这种量是怎样发生变化的？生：体积随着高度的变化，由50立方厘米，变成100立方厘米、150立方厘米……（学生回答后，教师用蓝色粉笔标出）师：像这样，一种量变化，另一种量也随着变化（边口述边抽动箭头同向演示），这两种量叫做“两种相关联的量”（板书）。

这个表中哪两种量是相关联的量？（学生回答后，教师板书：路程、时间）[先让学生理解“相关联的量”的含义，就为学习正比例的意义做好准备。

]师：表中，哪一种量随着另一种量的变化而变化？是怎么变化的？生：体积随着高度的变化而变化。

高度扩大，体积随着扩大，高度缩小，体积随着缩小。

师：它们扩大或缩小有什么规律呢？（学生讨论后回答）生：高度扩大体积也扩大，高度缩小体积也缩小。

师：还有什么规律呢？生：体积和高度的比的比值是不变的，都是25。

[让学生发现规律，体现以学生为主体的精神。

]师：谁能举例说明这位同学发现的规律？生：……。

教师板书：＝25 ＝25 ＝25 ……师：比值是不变的，也可以说是“一定的”。

9. 正比例函数和反比例函数（单元复习课）上课班级 八（2）班一、复习目标1.通过本课复习使学生正确区分正比例函数和反比例函数的概念、图像和性质，熟练掌握用待定系数法求它们的解析式.2.理解并会求函数的定义域，明确在实际问题中遇到函数问题应考虑实际问题的自变量的取值范围.3.在利用正、反比例函数的图像分析和解决实际问题的活动中，提高从函数图像中获取信息的能力，体验数形结合的数学思想方法.二、复习重点、难点和关键1.复习重点：正确区分正比例函数和反比例函数的概念、图像和性质，会用待定系数法求它们的解析式.2.复习难点：用函数知识分析和解决有关实际问题.3.复习关键：从函数图像中正确读取信息.三、复习思路四、复习进程 （一）题组引入1.（1） 如果2(2)4=++-y n x n 是正比例函数，那么n =____. （2）如果210(3)-=+m y m x 是反比例函数，那么m =____.（3）如果 (3)(2)=-++y a x b 是正比例函数，那么a ,b . （4）下列函数中是反比例函数的是（ ）.（A ）1=+y x ； （B ） 18-=y x ； （C ）2=-y x ； （D ） 22=y x .2. （1）如果正比例函数(1)=-y k x 的图像经过第二、四象限，那么k 的取值范围是 .（2）反比例函数21kyx+=的图像在第象限，在每个象限内，y随x的增大而 .（3）已知反比例函数=kyx 的图像与正比例函数2=y x的图像无交点，那么k的取值范围是 .小结：正比例函数与反比例函数的定义、图像和性质：正、反比例函数定义、图像和性质：3.（1）已知y与x成反比例，并且当x=2时, y=-1,那么函数解析式 .（2）正比例函数3kxy =的图像过点（6，2），那么函数解析式是 .（3）如图所示，反比例函数的解析式为 ____________ ，a 的值 为 .小结：求正比例函数与反比例函数的解析的方法：求函数的解析式主要方法是待定系数法，先设所求函数的解析式，其中系数k 待定，再代入一组对应的变量值，求出k的值.4.求下列函数的定义域 （1） 21y x =-（2） 12y x =- (3) y = (4) 3y x =-小结：常见函数的定义域：（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数.（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数.（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数.（4）实际问题中的函数的定义域，除了使函数解析式有意义外，还必须使实际问题有意义.（二）例题导航例1 如果三角形的三条边长分别为6厘米、9厘米、x 厘米,那么三角形的周长y (厘米)是x （厘米）的函数.写出函数解析式，并指出它的定义域.解 函数解析式是 15y x =+ . 定义域是 315x <<.例 2 已知正比例函数(0)y kx k =>与双曲线 4y x=相交于点(4,)p m -及点Q . 求正比例函数解析式和点Q 的坐标. 解4-4)44,,41.-4-1(4,1)4,11.41.4p m y xx y m m m p p y kx x y x p =∴=-==-=-∴--=∴=-=-∴∴Q Q Q 点（，在的图像上,把代入得解得点坐标为（，）.又也在的图像上,把代入得-1=-4k,解得k=正比例函数解析式为y=点和点Q 关于原点中心对称,Q 点坐标为（4,1）.（三）提升演练（1）已知长方形的面积为10平方厘米，长和宽分别是x 厘米，y 厘米. 写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域. 答： 10(0)y x x=>. （2）汽车油箱中有油40千克，行驶时每小时耗油4千克，耗油y （千克）与行驶时间t （小时）之间函数关系式为 ， 函数定义域为 . 答： 4(010)y t t =≤≤ . 思考题：如图,直线4=y x 与反比例函数=ky x（x ＞0)交于点A (,4)a ， 点B (4,)b 在反比例函数的图像上，AD ⊥x 轴，D 为垂足，BC ⊥x 轴， C 为垂足.求：(1) a的值；(2)反比例函数的解析式；(3)梯形ABCD的面积；(4)△AOB的面积.（四）课堂总结1.正、反比例函数定义、图像和性质：2.求正比例函数与反比例函数的解析式：求函数的解析式主要方法是待定系数法，先设所求函数的解析式，其中系数k待定，再代入一组对应的变量值，求出k的值.3.常见函数的定义域：（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数.（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数.（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数.（4）实际问题中的函数的定义域，除了使函数解析式有意义外，还必须使实际问题有意义.五、课外作业校本作业第十八章部分复习题七、教前设想函数是数学中重要的基本概念之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具；函数知识渗透在中学数学的许多内容之中，它又与物理、化学等学科的知识密切相关.同时，函数是一个重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解.本章是学习函数知识的开始，中心内容是正比例函数和反比例函数.八、教后反思通过本课的复习使学生正确区分正比例函数与反比例函数的定义、图像和性质.明确在实际问题中遇到函数问题应考虑自变量的取值范围.另外有关函数的问题一定与图形结合起来，通过本课复习渗透数形结合等重要的数学思想方法. 围绕着教学目标以及复习课的教学模式，我确定了三个教学环节.第一环节是题组引入，通过引入正比例和反比例函数的定义、图像和性质这些基本的知识点，并用表格进行罗列，从而进行两者之间的区别. 第二环节就是典型例题,例1是一个实际问题，强调实际问题中考虑自变量取值范围. 例2是有关求解析式和点的坐标的综合题, 要求学生写出完整的解题过程.第三环节为提升演练，既有练习题，又有思考题，立足于培养学生的能力.从环节的设置上，有基本知识点的复习与总结，也有正比例与反比例的综合题，由易到复杂逐步深入，符合学生的认知规律，同时渗透数学思想方法，本课的容量较大，以此来体现复习课的课型.本节课学生积极性很高，师生互动好，学生的思维也得到进一步的升华，这也是复习课所要达到的目的.【专家点评】一节复习课，开门见山，点明复习三个内容：（1）定义、图像和性质；（2）求解析式；（3）求定义域.随后先练后总结，一一道来.这种复习方法给人的感觉是脉络清楚，讲练结合，学生的思维活动不断强化.提升演练的问题的难易度符合本班学生的实际，会使学生的能力得以培养.执教老师具有坚实的专业知识，对教材非常熟悉，而且有较强的总结、概括能力.站在讲台前，语言表达干脆、爽快，做到言简意赅.本节课虽然容量很大，但却能顺畅推进，按时完成教学任务，从中显示出老师的教学经验很丰富.师生关系融洽，互动效果好.总体感觉，这样的课很实惠，相信学生完成课外作业一定很顺利，准确率极高.。

19.2 一次函数19.2.1 正比例函数——正比例函数的图象与性质【知识与技能】1.能够画出正比例函数的图象.2.能够根据正比例函数的图象归纳正比例函数图象的性质.3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.【过程与方法】1.通过实例，体会建立数学模型的思想.2.通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想.【情感态度】结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度.【教学重点】正比例函数的图象与性质.【教学难点】正比例函数的图象与性质一、复习回顾正比例函数的概念（练习回顾）已知y-3与x成正比例，当x=2时，y=7，求y与x之间的函数解析式. 解：设y-3=kx，∵当x=2时，y=7，代入得7-3=2k，∴k=2，即y-3=2x，则y=2x＋3二、思考探究，获取新知例1.画出下列正比例函数的图象（1）y=2x，y=1/3x；（2）y=-1.5x，y=-4引导学生用描点法将这四个正比例函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，鼓励学生探索图象特征，引导学生归纳的结果围绕以下几个方面：(1)图象都是经过原点的直线.(2)函数y=2x和y=1/3x的图象从左向右递增，经过一、三象限.(3)函数y=-1.5x和y=-4x的图象从左向右递减，经过二、四象限.教师总结正比例函数的图象与性质：一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，直线过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线过第二、四象限，y 随x的增大而减小.例1已知正比例函数的图象过点(2m，3m)，m≠0，求这个正比例函数的解析式.解：设正比例函数的解析式为：y=kx.把(2m，3m)代入得3m=k·2m，解得k=3 2 .∴解析式为y=32 x.【教学说明】正比例函数中只含有一个待定系数，只需知道一点坐标即可求得其解析式.例2 已知(x1,y1)、(x2，y2)是直线y=-2x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是( ).A.y1＜y2B. y1＞y2C. y1= y2D.不能比较【分析】因为y=-2x中-2＜0，即直线y=-2x的函数值是随x的增大而减小的，所以当x1＞x2时，y1＜y2，故选A.【教学说明】通常我们在x的某一范围内取x1＜x2，若点(x1，y1)，(x2，y2)为函数图象上的两点，当y1＜y2时，该函数在这个范围内y随x的增大而增大；当y1＞y2时，该函数在这个范围内y随x增大而减小.三、运用新知，深化理解1.已知正比例函数y=(k+3)x.(1)k为何值时，函数的图象经过一、三象限.(2)k为何值时，y随x的增大而减小.(3)k为何值时，函数图象经过点(1，1).2.已知（x1，y1）、（x2、y2）是直线y = x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是（）.A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.不能比较3.在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点横坐标为-2，求△POA的面积(O为坐标原点).【教学说明】以上各题由学生自主探究，有疑问的教师加以指导，最后评析.四、师生互动，课堂小结问题1.正比例函数的图象是什么？它有什么特征？2.如何简便地画出正比例函数的图象？3.本节课的学习经历了怎样的过程？你有何感悟？1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.因从本课时开始，学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征，结合学生已有的知识与经验和后面的学习内容与要求，本课时重在引领学生认识正比例函数的概念、图象的画法和应用性质的基本步骤，为后续学习指明方向和打下坚实的基础，利于研究更复杂的具体函数.教学中引导学生观“形”识“信息”，逐步形成读图能力，以及解题能力.。