专题44 以三角形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

三角形旋转问题解题法和理由如下：
解题方法：
1.明确题目要求：首先需要明确题目要求，确定需要旋转的角度
和旋转中心，以及旋转后需要得到的图形或关系。

2.画出原始图形：根据题目描述，画出原始三角形，并标记好相
关的点和线段。

3.确定旋转中心和角度：根据题目要求，确定旋转的中心点和旋
转角度。

4.执行旋转操作：使用旋转工具或手动操作，将三角形绕旋转中
心按指定的角度旋转。

5.验证结果：旋转后，检查是否得到了题目要求的结果，并注意
验证角度、长度等是否符合题目要求。

理由：
1.旋转是几何变换中的基本变换，它可以通过改变图形的位置来
得到新的图形关系或结构。

2.通过旋转操作，可以揭示条件与结论之间的内在联系，找出证
题途径。

3.在三角形旋转问题中，通过旋转可以得到新的角度、长度等关
系，从而为解题提供新的思路和方法。

旋转一．半角模型“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及．二．等腰三角形旋转模型等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“SAS”．1．一般等腰三角形的旋转2．等边三角形的旋转3．等腰直角三角形的旋转三．对角互补模型四边形对角互补模型多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体．四．旋转相似模型共顶点相似的一般三角形模型：如图，图中ABD ACE∆∆∽，得到AB AD BDAC AE CE==，ABD ACE∠=∠，ADB AEC∠=∠，BAD CAE∠=∠，则有ABC ADE∆∆∽．一．考点：1．旋转全等模型；2．旋转相似模型；3．旋转中的轨迹与最值问题；二．重难点：1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明．2．观察图形发现旋转得到的相似；3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形．三．易错点：1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题；2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件．3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系．题模一：旋转与全等例1.1.1已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】图2成立，证明见解析，图3不成立，图3中AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF【解析】∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=12BE，CF=12BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=12BE+12BF=BE=EF；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．例1.1.2（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）证明见解析（2）成立（3）EF=BE﹣FD 【解析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．例 1.1.3如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）△ACN仍为等腰直角三角形【解析】（1）证明：如图1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB交NE于点F，∵AD∥NE，M为中点，∴易得△ADM≌△NEM，∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．∵AD∥NE，∴AF⊥NE，在四边形BCEF中，∵∠BCE=∠BFE=90°∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°∵∠FBC+∠ABC=180°∴∠ABC=∠FEC在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．例1.1.4如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．（3）若EG=4，GF=6，2，求AG、MN的长．【答案】（1）见解析（2）MN2=ND2+DH2；理由见解析（3）AG=12；2【解析】（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，∵△AFD由△AFG翻折而成，∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∵AB=AD ，∴四边形ABCD 是正方形；（2）MN 2=ND 2+DH 2，理由：连接NH ，∵△ADH 由△ABM 旋转而成，∴△ABM ≌△ADH ，∴AM=AH ，BM=DH ，∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD ，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，∴△AMN ≌△AHN ，∴MN=NH ，∴MN 2=ND 2+DH 2；（3）设AG=BC=x ，则EC=x ﹣4，CF=x ﹣6，在Rt △ECF 中，∵CE 2+CF 2=EF 2，即（x ﹣4）2+（x ﹣6）2=100，x 1=12，x 2=﹣2（舍去）∴AG=12，∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，∴22AB AD +221212+2，∵2，∴MD=BD ﹣2﹣22，设NH=y，在Rt△NHD中，∵NH2=ND2+DH2，即y2=（2y）2+（22，解得2，即2．题模二：旋转与相似例1.2.1如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N．（1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是___________．（2）猜想论证如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF 的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则PMPN=__________．（3）拓展探究如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究PMPN的值，并说明理由．【答案】（1）①13a②()221an+（2）ab（3）见解析【解析】（1）①如图2，∵PM⊥BC，AB⊥BC ∴△PMC∽△ABC又∵AP=2PC∴PMAB=13，即PMa=13∴PM=13a，即正方形PMCN的边长是13a②当AP=nPC时（n是正实数），PMAB=11n+∴PM=11n+a∴四边形PMCN的面积=（11n+a）2=()221an+（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN由PG∥AB，PH∥AD可得，PG CP PH AB CA AD==∵AB=a，BC=b∴PG PHa b=，即PGPH=ab（3）如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG=∠DAB ∵∠EPF=∠BAD∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM∴∠HPN=∠GPM∵∠B+∠D=180°∴∠PGC+∠PHC=180°又∵∠PHN+∠PHC=180°∴∠PGC=∠PHN∴△PGM∽△PHN由PG∥AB，PH∥AD可得，PG CP PH AB CA AD==即PG AB PH AD=②∴由①②可得，PMPN=ABAD例1.2.2数学活动课上，小颖同学用两块完全一样的透明等腰直角三角板ABC、DEF进行探究活动．操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点C（如图1），然后将其绕点D顺时针旋转，直至点E落在AC的延长线上时结束操作，在此过程中，线段DE与AC或其延长线交于点K，线段BC与DF相交于点G（如图2，3）．探究1：在图2中，求证：△ADK∽△BGD．探究2：在图2中，求证：KD平分∠AKG．探究3：①在图3中，KD仍平分∠AKG吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由．②在以上操作过程中，若设AC=BC=8，KG=x，△DKG的面积为y，请求出y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．【答案】探究1：见解析；探究2：见解析；探究3：①KD仍平分∠AKG②y=2x，其中≤≤4838x【解析】探究1，∵∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，∴∠KDA+∠BDG=135°．∵∠BDG+∠BGD=135°，∴∠KDA=∠BGD，∴△ADK∽△BGD；探究2，∵△ADK∽△BGD，∵点D是线段AB的中点，∴BD=AD，∵∠KAD=∠KDG=45°，∴△ADK∽△DCK，∴∠AKD=∠DKC，∴KD平分∠AKG．探究3，①KD仍平分∠AKG．理由如下：∵同探究1可得△ADK∽△BGD，同探究2可得，△ADK∽△DGK，∴∠AKD=∠DKG，∴KD仍平分∠AKG；②如图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥KG于点N，由①知线段KD平分∠AKG，∴DM=DN．∵AC=BC=8，点D是线段AB的中点，∠KAD=45°，∴DM=DN=4．∵KG=x，∴S△DKG=y=12×4x=2x，对于图3的情况同理可得y=2x，综上所示，y=2x，其中38．题模三：旋转中的轨迹与最值问题例1.3.1如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为．【答案】18﹣2【解析】如图，作AP1⊥BD垂足为P1，∵∠DBA=45°，AB=10，∴∠P1AB=∠DBA=45°，AP1=P12，∵AM=MD=12AD=4，当AP1旋转到与射线AD的重合时（点P1与点E重合），ME就是MQ最小值24，当点P2与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P2与点F重合），此时MF就是MQ最大值=AM+AF=14，∴MQ的最大值与最小值的差=14﹣（2﹣4）=18﹣2故答案为18﹣2例 1.3.2如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为______；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______．（结果都保留π）【答案】3231+nπ【解析】∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，∴△ABD是等边三角形，BO=DO=1，223AD DO-第一次旋转的弧长6033ππ⨯=∵第一、二次旋转的弧长和60360323ππ⨯⨯=，第三次旋转的弧长为：601 1803ππ⨯=∵3n÷3=n，故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n 23π+3π）231+nπ．例1.3.3如图1，点O为正方形ABCD的中心．（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90︒，点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，90EGF∠=︒，22AB=2GE=，△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．【答案】（1）见解析（2）AE⊥BF（3）25+【解析】（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分∵O 为正方形ABCD 的中心，∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分在△EOA 和△FOB 中，∴BF AE =.……5分∴∠OFB +∠FHG =90∴AE ⊥BF ……6分（3）BH 的最大值为25+……8分随练1.1 在ABC ∆中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，BD 为斜边AC 上的中线，将ABD ∆绕点D 顺时针旋转α(0180α︒<<︒)得到EFD ∆，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________;（2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =__________;（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系：____________________________.【答案】 （1）BE FC =；（2）22FC ；（3）222BF CE AC +=. 【解析】 （1）BE FC =；（2）证明：如图，∵AB BC =，90ABC ∠=︒，BD 为斜边中线，∴12BD AD CD AC ===，BD AC ⊥ ∵EFD ∆是由ABD ∆旋转得到的，∴DE DF DB DC ===，90EDF ADB BDC ∠=∠=∠=︒∴EDF BDF BDC BDF ∠+∠=∠+∠，即BDE FDC ∠=∠，∴BDE FDC ∆∆≌，∴BE FC =且12∠=∠又∵34∠=∠，∴90FHE FDE ∠=∠=︒ ,即BE CF ⊥连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG .∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点又∵EB FC =，BE FC ⊥∴MG NG =，90MGN ∠=︒，∴MGN ∆为等腰直角三角形，∴2MN =. （3）222BF CE AC +=.随练1.2 在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，4AB =，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A 重合，两边分别落在AB 、AC 上．将三角板绕点A 按逆时针旋转，设旋转角为α．（1）如图①，当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F ，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段(菱形的边和对角线除外)．（2）如图②，当60120α︒<<︒时，三角板的两边分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，你在(1)中得到的结论还成立吗?若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由．（3）当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F ，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．【答案】 见解析【解析】 （1）BE CF =，AE AF =，CE DF =．写出两组即可．（2）（1）中的结论仍然成立．如图，BE CF =的结论仍然成立．证明如下：∵在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，又由题意可知，60EAF ∠=︒，∴BAE CAF ∠=∠．在△BAE 和△CAF 中，∴△BAE ≌△CAF ．∴BE CF =．（3）当060α︒<<︒时，三角板与这个菱形重合部分的面积就是四边形AECF 的面积．由题意可证△BAE ≌△CAF ．∴四边形AECF 的面积就是△ABC 的面积．∵4AB =，∴所求图形的面积为43随练1.3如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．【答案】（1）DM=FM，DM⊥FM（2）DM⊥FM，DM=FM【解析】（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM，证明：连接DF，NF，∵四边形ABCD和CGEF是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM=∠NEM，∵M是AE的中点，∴AM=EM，在△MAD与△MEN中，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，在△DCF与△NEF中，∴△DCF≌△NEF，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠EFN+∠NFC=90°，∴∠DFC+∠CFN=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM，证明如下：如图3，连接DF，NF，连接DF，NF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵点E、B、C在同一条直线上，∴AD∥CN，∴∠ADN=∠MNE，在△MAD与△MEN中，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，∴∠DCF=∠NEF，在△DCF与△NEF中，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠CFD+∠EFD=90°，∴∠NFE+∠EFD=90°，∴∠DFN=90°，∴DM ⊥FM ，DM=FM ．随练 1.4 已知：在ABC △中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 在AB 上，连结DF 并延长到点E ,使BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，且ABE DBM ∠=∠．（1）如图，当45ABC ∠=°时， 求证：2AE MD =；（2）如图，当60ABC ∠=°时，则线段AE MD 、之间的数量关系为____________；（3）在（2）的条件下，延长BM 到P ，使MP BM =，连接CP ，若727AB AE ==，，求tan EAB ∠的值．【答案】 （1）见解析（2）2AE MD =（33 【解析】 该题考查的是四边形综合．（1）如图，连结AD又∵45ABC ∠=°∴cos BD AB ABC =∠即2AB BD =∴△ABE ∽△DBM（2）与（1）类似可知△DBM ∽△ABE ，又60ABC ∠=︒，（3）如图2连结AD 、EP ，∵△ABE ∽△DBM又∵BM MP =∴△BEP 等边三角形∴EM BP ⊥即90BMD ∠=︒在Rt △AEB 中，27AE =7AB =， tan EAB ∠的值为3随练 1.5 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别在直线AB AC ，上移动时，BM NC MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时Q L=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________（用x L ，表示）【答案】 见解析【解析】 (Ⅰ)BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM NC MN +=．此时23Q L =． (Ⅱ)猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE BM =，连结DE ．∵BD CD =，且120BDC ∠=︒．又△ABC 是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=︒．在△MBD 与△ECD 中，BM CE MBD ECD BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MBD ≌△ECD (SAS)．∴DM DE =，BDM CDE ∠=∠．在△MDN 与△EDN 中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△EDN (SAS)．△AMN 的周长Q AM AN MN =++而等边△ABC 的周长3L AB =(Ⅲ)如图③，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN x =，则223Q x L=+（用x、L表示）．随练1.6（1）正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图1，请直接猜想并写出AO与CD 之间的数量关系：；（2）如图2，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，连接AO1，DC1，请猜想线段AO1与DC1的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，则AEDF=______．【答案】（1）AO=2CD．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，∴AO=CO=2 CD，故答案为AO=2 CD；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO1C1，∴∠O1BC1=∠OBC=45°，OB=O1B，BC1=BC，∴BC121，∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，∴∠1=∠2，∴△BDC1∽△BAO1，（3）在R t△EBF中，cos∠EBF=EB FB在R t△ABD中，cos∠ABD=AD BD，∵∠EBF=∠ABD=30°，∵∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，即∠EBA=∠FBD，∴△AEB∽△FBD，故答案为3【解析】（1）根据正方形的性质得AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，由勾股定理得到AO与CD之间的数量关系；（2）如图2根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，得到△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，求出AC=2AB BC=2BO，得到BD=2AB，因为△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO1C1，所以∠O1BC1=∠OBC=45°，OB=O1B，BC1=BC，BC1=2BO1，由∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，得到∠1=∠2，于是得到△BDC1∽△BAO1，求出结论；（3）如图3在R t△ABD中，cos∠ABD=ABBD，在Rt△EBF中，cos∠EBF=EBFB因为∠EBF=∠ABD=30°得到BE ADBF BD=3，再由∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，得到∠EBA=∠FBD，△AEB∽△FBD，由相似的性质得到解．解：（1）AO=2CD．理由如下：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，∴AO=CO=2 CD，故答案为AO=2 CD；（2）如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO1C1，∴∠O1BC1=∠OBC=45°，OB=O1B，BC1=BC，∴BC121，∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，∴∠1=∠2，∴△BDC1∽△BAO1，（3）如图3 在R t△EBF中，cos∠EBF=EB FB在R t△ABD中，cos∠ABD=AD BD，∵∠EBF=∠ABD=30°，∵∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，即∠EBA=∠FBD，∴△AEB∽△FBD，故答案为3．随练1.7如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF 相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是______．【答案】2【解析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧EF，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．∵四边形AOCB是正方形，∴∠AOC=90°，∴∠AFP=12∠AOC=45°，∵EF是⊙O直径，∴∠EAF=90°，∴∠APF=∠AFP=45°，∴∠H=∠APF=45°，∴∠EGF=2∠H=90°，∵EF=4，GE=GF，∴2，∴EF的长9022π•2．随练1.8已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案】（1）见解析；（2）①∠CMD=135°②2π【解析】（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB与CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠CDF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M 在以AC 为直径的⊙O 上，运动路径是弧CD ，∵OA=OC ，CD=DA ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC=90°，∴CD ∧的长=901180π=2π． ∴当α从90°变化到180°时，点M 运动的路径长为2π． 随练1.9 如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD ，OE=2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）求证：DE ⊥AG ；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE ′F ′G ′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF ′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】 （1）如图1，延长ED 交AG 于点H ，∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，∴OA=OD ，OA ⊥OD ，∵OG=OE ，在△AOG 和△DOE 中，∴△AOG ≌△DOE ，∴∠AGO=∠DEO ，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE ⊥AG ；（2）①α=30°；②α=315°．【解析】 （1）如图1，延长ED 交AG 于点H ，∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，∴OA=OD ，OA ⊥OD ，∵OG=OE ，在△AOG 和△DOE 中，∴△AOG ≌△DOE ，∴∠AGO=∠DEO ，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE ⊥AG ；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，∵OA=OD=12OG=12OG′， ∴在Rt △OAG′中，sin ∠AG′O='OA OG =12， ∴∠AG′O=30°，∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG′，∴OD ∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴2，∵OG=2OD，∴2∴OF′=2，∴2+2，∵∠COE′=45°，∴此时α=315°．作业1如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD=DN．（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）AD=DN；（3）AD=DN，AD⊥DN【解析】（1）证明：解法一：如图1中，延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，∴△ADB≌△KDM，∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMC=∠BAC=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°，∵MN⊥BC，∴∠MNC=90°，∠NMC=45°=∠KMC=∠C，∴MN=NC，在△ANC和△KNM中，∴△ANC≌△KNM，∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，∴∠KNA=∠MNC=90°∵AD=DK，∴DN=AD=DK，即AD=DN．解法二：根据直角三角形斜边中线性质，可知AD=12BM，DN=12BM，由此即可证明．（2）如图2中，结论：AD=DN．理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，∴△ADB≌△KDM，∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMN=∠B=45°，∵∠NMC=∠NCM=∠ACB=45°∴MN=NC，∠KMN=∠ACN=90°在△ANC和△KNM中，∴△ANC≌△KNM，∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，∴∠KNA=∠MNC=90°∵AD=DK，∴DN=AD=DK，即AD=DN．（3）如图3中，结论：AD=DN，AD⊥DN．理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM，延长KN交AC于G．在△ADB和△KDM中，∴△ADB≌△KDM，∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KGC=∠BAC=90°，∴∠ACN+∠NMG=180°，∵∠KMN+∠NMG=180°，∴∠ACN=∠NMK，在△ANC和△KNM中，∴△ANC≌△KNM，∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，∴∠KNA=∠MNC=90°∵AD=DK，∴DN=AD=DK，DN⊥AK，即AD=DN．AD⊥DN．作业2已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【答案】（1）见解析（2）成立（3）见解析【解析】本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12 FD，同理，在Rt△DEF中，EG=12 FD，∴CG=EG．（1）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG=NG；∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=12 MC，∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG．作业3在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答：____（填“成立”或“不成立”）【答案】（1）见解析；（2）不成立；（3）成立【解析】（1）证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∵O为AB中点，∴OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（2）还成立，理由是：如图2，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（3）成立．作业4在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．请直接写出AC1与BD1的数量关系和位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC1与BD1的数量关系和位置关系，并给出证明；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD1，设AC1=kBD1，请直接写出k 的值和AC12+（kDD1）2的值．【答案】（1）AC1⊥BD1（2）AC1=34BD1，AC1⊥BD1，理由见解析（3）AC12+（kDD1）2=36【解析】（1）AC1=BD1，AC1⊥BD1；理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，在△AOC 1和△BOD 1中1111AO OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△AOC 1≌△BOD 1（SAS ）；∴AC 1=BD 1，∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD 1=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC 1=90°，∴∠APB=90°，则AC 1⊥BD 1；故AC 1 与BD 1的数量关系是：AC 1=BD 1；AC 1 与BD 1的位置关系是：AC 1⊥BD 1；（2）AC 1=34BD 1，AC 1⊥BD 1． 理由：∵四边形ABCD 是菱形，∴OC=OA=12AC ，OD=OB=12BD ，AC ⊥BD ． ∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到，∴O C 1=OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1．∴O C 1=OA ，O D 1=OB ，∠AO C 1=∠BO D 1，∴△AO C 1∽△BOD 1．∴∠O AC 1=∠OB D 1．又∵∠AOB=90°，∴∠O AB+∠ABP+∠OB D 1=90°．∴∠O AB+∠ABP+∠O AC 1=90°．∴∠APB=90°．∴AC 1⊥BD 1．∵△AO C 1∽△BOD 1，即AC 1=34BD 1，AC 1⊥BD 1．（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，∴k=12；∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OD1=OD，而OD=OB，∴OD1=OB=OD，∴△BDD1为直角三角形，在Rt△BDD1中，BD12+DD12=BD2=144，∴（2AC1）2+DD12=144，∴AC12+（kDD1）2=36．作业5在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一）尝试探究如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD 上，∠EAF=30°，连接EF．（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF=________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________．（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．（二）拓展延伸如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF=30°，BE=1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．【答案】解：（一）（1）：30 ，BE+DF=EF（2）BE﹣DF=EF（二）3【解析】解：（一）（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，则∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，∴∠1+∠3=30°，∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°∴∠EAF=∠FAE′，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，∴EF=DF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF，故答案为：30，BE+DF=EF；（2）如图3，在BE上截取BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，∵∠DAF+∠DAE=30°，∴∠BAG+∠DAE=30°，∵∠BAD=60°，∴∠GAE=60°﹣30°=30°，∴∠GAE=∠FAE，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE=FE，又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，∴BE﹣DF=EF，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF=EF；（二）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′，则AE=AE ′，∠EAE ′=60°，∴△AEE ′是等边三角形，又∵∠EAF=30°，∴AN 平分∠EAF ，∴AN ⊥EE ′，∴直角三角形ANE 中，AN 3AE = ∵在等边△ABC 中，AM ⊥BC ，∴∠BAM=30°， ∴AM 3AB =，且∠BAE+∠EAM=30°， 又∵∠MAN+∠EAM=30°，∴∠BAE=∠MAN ，∴△BAE ∽△MAN ， ∴MN AM =BE AB ，即MN 31= ∴3． 作业6 探索绕公用顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边ABC ∆和ADE ∆，根据__________（指出三角形的全等或相似），可得到CE 与BD 的大小关系为：__________．（2）如图2，正方形ABCD 和正方形AEFG ，求：FCEB 的值；（3）如图3，矩形ABCD 和矩形AEFG ，AB kBC =，AE kEF =，求：FCEB 的值．【答案】 （1）全等，相等；（223）21k +．【解析】 解：（1）如图1，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，在AEC ∆和ADB ∆中，AE ADCAE BADAC AB =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩，AEC ADB ∴∆≅∆，CE BD ∴=；（2）如图2，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，（3）连接FA 、CA ，如图3，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，AB kBC =，AE kEF =，作业7 如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是（ ）A ． 6B ． 3C ． 2D ． 1.5【答案】D【解析】 取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．∵△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，∴CD=CG=12AB=3，∠ACD=60°， ∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG ．在△FCD 和△ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCD ≌△ECG （SAS ），∴DF=GE ．当EG ∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时EG=DF=12CD=32． 作业8 已知等边△ABC 边长为2，放置在如图的水平桌面上，将△ABC 水平向右作无滑动翻滚，使△ABC 首次落回开始的位置，则等边△ABC 的中心O 经过的路径长为_________．【答案】433π．【解析】如图，过点C作CD⊥AB于D，则CD一定经过点O，∵CD=32BC=3，∴OC=23CD=233，根据等边三角形的性质，∠BCD=12∠ACB=12×60°=30°，∴每一次翻滚中心O旋转的角度为：180°﹣2×30°=120°，等边三角形翻滚3次翻滚一周，∴点O旋转的角度为：120°×3=360°，∴中心O经过的路径长是：2π•OC=2π×233=433π，故答案为：433π．作业9已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．【答案】（1）①90°；②OA2+OB2=OC2；证明见解析（2）①α=β=120°，OA+OB+OC有最小值；图形见解析【解析】（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，。

G F E D C BA全等三角形——旋转问题一、知识梳理：把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中，以便于诸条件的综合与推演．二、典型例题：例1、如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．及时练习：如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的， 其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。

A ．顺时针旋转60°得到B ．顺时针旋转120°得到C ．逆时针旋转60°得到D ．逆时针旋转120°得到例2、如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有___________。

A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对KGFEDC BA及时练习：如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBAP DC B A 例3、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA及时练习：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA例4、如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA及时练习：如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．例5、如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值． OB ECF A及时练习：如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DK G CFA例6、E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H为垂足，求证：AH AB =．CHF E D B A及时练习：如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA例7、请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE及时练习：(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD;FED CBA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A三、课堂练习：1. 如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点MPM BC DEA PD CB A 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是_____________。

全等三角形作为初中数学中的一个重要知识点，转变换是其中的一个重要应用。

旋转变换是指将一个图形围绕一个固定点进行旋转后得到另一个图形的变换。

在三角形的旋转变换中，我们常用的是以三角形某一个顶点为旋转中心，将整个三角形围绕该点旋转一定角度，再得到一个全等三角形。

本文将教大家如何应用全等三角形的旋转变换。

一、基本概念在进行旋转变换时，我们首先需要了解几个基本概念，这些概念将帮助我们更好地理解旋转变换。

1.旋转中心：旋转中心是指在旋转变换中被旋转的图形围绕的点。

在三角形旋转变换中，我们通常将三角形的某个顶点作为旋转中心。

2.旋转角度：旋转角度指的是图形围绕旋转中心顺时针或逆时针旋转的角度。

在三角形旋转变换中，我们通常使用角度制来表示旋转角度。

3.旋转方向：旋转方向分为顺时针和逆时针两种，根据具体问题来决定采用哪种旋转方向。

二、旋转变换的规律在进行旋转变换时，我们需要掌握一定的规律，这样才能更加准确地进行计算、解题。

1.旋转后对应的点与原点的距离相等在三角形的旋转变换中，旋转后的三角形中点的位置与原三角形中对应点的位置相同，且距离相等。

因此，我们可以通过计算原三角形中对应点与旋转三角形中对应点之间的距离来确定旋转角度。

2.旋转角度相等在三角形的旋转变换中，旋转角度相等，也就是说，如果我们将一个三角形绕不同的顶点旋转，保持其它条件不变，那么我们得到的三角形是全等的。

这个规律对于解决一些旋转变换问题非常有用。

三、应用全等三角形的旋转变换下面我们将通过一些例题来说明如何应用全等三角形的旋转变换。

例题1已知 AB=AC，P为三角形ABC内部一点，且∠CBP = 30°，∠BCP = 75°。

求∠APB 和∠APC 的度数值。

解析：我们可以通过旋转变换来求解该问题。

具体步骤如下：1.以点B为旋转中心，将△BCP绕B点逆时针旋转105°，得到△B'DP。

2.连接AD，可知△B'DA ≌△BCA 。

三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。

在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。

以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。

同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。

2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。

可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。

3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。

4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。

这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。

三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。

通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。

篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。

在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。

下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。

2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。

3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。

熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。

4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。

旋转变换通常结合全等三角形探索角的数量关系，线段与线段之间的位置关系与数量关系，经常作为作为中等偏难一点的题型出现．★★★○○○○旋转的性质有：①旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角；②旋转前后的图形全等；③对应点到旋转中心的距离相等．如图，△ABC绕点O逆时针方向旋转∠AOA′到△A′B′C′的位置，则①旋转角是∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′；②△ABC≌△A′B′C′；③OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′．1.注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角；2.抓住旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后的图形全等；3.能够用旋转解题的图形的基本特征是有公共端点且相等的两条线段，这个公共端点往往会是旋转中心．例1.如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )A. 55°B. 70°C. 125°D. 155°【答案】C例2.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM＋ON 的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B学科@网【精细解读】因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以存在着隐性的有公共端点的相等线段的特征，故可考虑过点P作∠AOB的两边的垂线，再结合旋转的性质求解．如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．例3.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点.（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长．（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接P A、PB、PC，当AC＝3，AB＝6时，根据此图求P A＋PB＋PC的最小值．【答案】（1）33（2）37∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，22--；CE=CD DE=369=27=33（2）证明：如图所示，1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是 ( )A. 6B. 6C. 3D. 3＋3【答案】A【解析】试题解析：连接BC′，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′＝AB′＝3，在Rt△AB′C′中，AC′＝，∴BC′＝3－3，在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3－3，在直角三角形OBC′中，OC′＝（3－3）＝6－3，∴OD′＝3－OC′＝3－3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′＋OB＋OD′＝6＋3－3＋3－3＝6．故选A．2.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF ＝_________cm．【答案】233.如图，菱形ABCD中，边长为2，∠B＝60°，将△ACD绕点C旋转，当AC（即A′C）与AB交于一点E，CD（即CD′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.【答案】2＋3（每道试题10分，总计100分）1.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（）A. 130°B. 150°C. 160°D. 170°【答案】C【解析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE＝30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝160°．故选C．学科@网2.如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下面结论：①为等腰三角形；②；③；④中，正确的是（）A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】B3.三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）A. 32πB.433πC. 2πD. 3π【答案】C4.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，且BC＝2，那么CC′的长是___________.【答案】2；【解析】试题解析：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，∴BC＝BC′＝2，∠CBC′＝60°，∴△BCC′为等边三角形，∴CC′＝BC＝BC′＝2.学科@网5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．【答案】36π6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA＋OB＋OC＝__________．【答案】7【解析】试题解析：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∴A′B⊥CB，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC＝A′C＝．7.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为____．【答案】9π8.如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF＝4，AB＝7.（1）旋转中心为______；旋转角度为______；（2）DE的长度为______；（3）指出BE与DF的位置关系如何？并说明理由.【答案】（1）A，90°；（2）3；（3）BE⊥DF，理由见解析.9.如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD＝DE＋CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）DE＝BD＋CE．10.（1）探究：如图，四边形ABCD 中，已知AB AD =， 90BAD ∠=︒，点E F 、分别在边BC CD 、上， 45EAF ∠=︒；①如图1，若B ADC ∠∠、都是直角，把ABE 绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图2，若B D ∠∠、不是直角，则当B D ∠∠、满足数量关系 时，仍有EF BE DF =+；（2）拓展：如图3，在ABC 中， 90BAC ∠=︒， 22AB AC ==，点D E 、均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若1BD =，求DE 的长．【答案】（1）①证明见解析； ②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；(2) DE ＝53. 【解析】试题分析: （1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠F AD ＝∠DAE ＝45°，证△F AD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3−x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；把△ACE 旋转到ABF 的位置，连接DF ，则∠F AB ＝∠CAE .∵∠BAC ＝90°，∠DAE ＝45°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝45°，又∵∠F AB ＝∠CAE ，∴∠F AD ＝∠DAE ＝45°，则在△ADF 和△ADE 中， AD AD FAD DAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ADE ，∴DF ＝DE ，∠C ＝∠ABF ＝45°，∴∠BDF ＝90°，∴△BDF 是直角三角形，∴222BD BF DF +=，∴222BD CE DE +=． ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝4，∵BD ＝1，∴DC ＝3，EC ＝3－DE ，∴()2213DE DE +-=，解得DE ＝53．学科@网____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。

九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习 -九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习图形的旋转这一章节是初中几何内容中非常重要的一个章节，对于图形的运动的形式和规律以及旋转的性质都是我们在对几何的初步认识当中的一个过程，掌握其重要的性质之后，对于几何综合题型当中辅助线的运用起到了非常重要的作用。

并且图形的旋转加上已经学习过的平移和轴对称。

对几何图形的变化有充分地了解，建立几何空间思维的正确认识,对于几何空间能力的提升起到了非常重要的促进作用。

首先，在学习图形的旋转这一章节我们主要围绕以下两个重要的内容来展开:第一，掌握图形的旋转和中心对称的概念；第二，掌握旋转的本质。

这也是我们学习过程中的重点和难点内容。

因为在旋转前后的两个图形中，对应点与旋转中心之间的距离总是相同的，所以对应点必然分别在以旋转中心为圆心，以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，对应点与旋转中心连线所成的角等于且等于旋转角。

唐老师提醒大家，旋转过程中保持静止的点就是旋转的中心，不变的量就是对应的元素。

其次，旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.第三，旋转的性质：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度；—整体角度（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段相等，对应角相等；——局部角度（4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转不改变图形的形状和大小.—变换结果.第四，简单图形的旋转作图：（1）确定旋转中心；（2）确定图形中的关键点；（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；(4)连接这些点，得到原始图形的旋转图形。

(以上四个步骤是我们在制作简单旋转图的过程中应该遵循的步骤。

按照以上步骤画图，可以提高大家的学习效率，保证其在画图过程中的正确率。

)第五，旋转对称图形：平面图形绕某点旋转一定角度(小于圆角)后，可以与自身重叠。

旋转变换与解题、几何证题
旋转变换与解题和几何证明之间有一定的联系，其中的几何证明的基础就是旋转变换的相关概念。

旋转变换是一种广泛使用的结构运算，可以将三角形或四边形的形状及特征量旋转到一定的角度，达到一定的特殊效果，是几何学的一个重要概念。

解题也可以用旋转变换来解决，尤其是一些平面几何的问题。

比如，如果想要求3个点确定一个三角形，可以先用旋转变换把三角形旋转到一个标准角度，这样就可以容易地计算出三角形的面积，角度，等特征量。

此外，旋转变换也是几何证明的基础，特别是一些复杂的几何问题。

旋转变换可以把形状复杂的问题旋转到简单的、容易计算的角度上，进而通过一定的几何推导和数学演算，得到正确的证明结果。

总之，旋转变换与解题和几何证明有着千丝万缕的联系，它不仅是几何学的重要概念，更是解决一些复杂的几何问题的重要方法。

三角形角度旋转问题数学七年级下册三角形是几何学中的基本形状之一，它具有许多有趣的性质和定理。

在数学七年级下册的学习中，我们将接触到三角形的角度旋转问题，这是一个非常重要的内容，也是我们对三角形理解的深入之处。

让我们来了解一些基本概念。

三角形是由三条边和三个角组成的图形。

其中，三角形的内角和总是等于180度，这是一个非常重要的性质。

而在角度旋转问题中，我们主要涉及到三角形围绕某一点进行旋转的情况。

这种旋转会改变三角形的位置和朝向，但并不会改变三角形的大小和形状。

接下来，我们可以从简单的情况开始，逐步深入理解角度旋转问题。

让我们考虑围绕顶点旋转的情况。

假设我们有一个三角形ABC，我们围绕顶点A进行逆时针旋转一个角度α，那么三角形的顺序就变成了ABC'。

在这种情况下，我们可以利用三角形的性质和角度的加法性质来解决问题。

如果我们知道了三角形ABC的三个角的大小，我们就可以通过加上或减去α来得到三角形ABC'的三个角的大小。

这是一个相对简单的角度旋转问题，但它为我们理解更复杂的情况打下了基础。

让我们考虑围绕一个点旋转的情况。

假设我们有一个三角形ABC，我们围绕点O进行逆时针旋转一个角度α，那么三角形的位置和朝向就会发生改变。

在这种情况下，我们需要考虑三角形的每个顶点的坐标变化。

通过坐标变化的计算，我们可以得到旋转后三角形的新坐标，从而确定旋转后的位置和朝向。

这是一个相对复杂的角度旋转问题，但它是我们理解角度旋转问题的重要步骤。

在理解了以上两种情况后，我们可以进一步考虑更复杂的情况，例如围绕一条直线旋转或者围绕一个中心进行旋转。

通过逐步深入的学习和实践，我们可以逐渐掌握三角形的角度旋转问题，并将其运用到更广泛的数学和实际问题中。

总结回顾一下，通过本文的学习，我们对三角形角度旋转问题有了更全面、深刻和灵活的理解。

我们从简到繁地探讨了围绕顶点和围绕点旋转的情况，并逐步引入了更复杂的情况。

在学习的过程中，我们不仅掌握了解决问题的方法，也提高了数学建模和问题解决的能力。

旋转变换通常结合全等三角形探索角的数量关系，线段与线段之间的位置关系与数量关系，经常作为作为中等偏难一点的题型出现．旋转的性质有：①旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角；②旋转前后的图形全等；③对应点到旋转中心的距离相等．如图，△ABC绕点O逆时针方向旋转∠AOA′到△A′B′C′的位置，则①旋转角是∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′；②△ABC≌△A′B′C′；③OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′．1.注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角；2.抓住旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后的图形全等；3.能够用旋转解题的图形的基本特征是有公共端点且相等的两条线段，这个公共端点往往会是旋转中心．例1.如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )A. 55°B. 70°C. 125°D. 155°【答案】C例2.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM＋ON 的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B学科@网【精细解读】因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以存在着隐性的有公共端点的相等线段的特征，故可考虑过点P作∠AOB的两边的垂线，再结合旋转的性质求解．如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．例3.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点.（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长．（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接P A、PB、PC，当AC＝3，AB＝6时，根据此图求P A＋PB＋PC的最小值．【答案】（1）33（2）37∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，22CE=CD DE=369=27=33--；（2）证明：如图所示，1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是 ( )A. 6B. 6C. 3D. 3＋3【答案】A【解析】试题解析：连接BC′，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′＝AB′＝3，在Rt△AB′C′中，AC′＝，∴BC′＝3－3，在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3－3，在直角三角形OBC′中，OC′＝（3－3）＝6－3，∴OD′＝3－OC′＝3－3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′＋OB＋OD′＝6＋3－3＋3－3＝6．故选A．2.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF ＝_________cm．【答案】33.如图，菱形ABCD中，边长为2，∠B＝60°，将△ACD绕点C旋转，当AC（即A′C）与AB交于一点E，CD（即CD′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.【答案】2＋3（每道试题10分，总计100分）1.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（）A. 130°B. 150°C. 160°D. 170°【答案】C【解析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE＝30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝160°．故选C．2.如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下面结论：①为等腰三角形；②；③；④中，正确的是（）A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】B3.三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）A. 32πB.433πC. 2πD. 3π【答案】C4.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，且BC＝2，那么CC′的长是___________.【答案】2；【解析】试题解析：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，∴BC＝BC′＝2，∠CBC′＝60°，∴△BCC′为等边三角形，∴CC′＝BC＝BC′＝2.学科@网5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．【答案】36π6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA＋OB＋OC＝__________．【答案】7【解析】试题解析：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∴A′B⊥CB，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC＝A′C＝．7.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为____．【答案】9π8.如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF＝4，AB＝7.（1）旋转中心为______；旋转角度为______；（2）DE的长度为______；（3）指出BE与DF的位置关系如何？并说明理由.【答案】（1）A，90°；（2）3；（3）BE⊥DF，理由见解析.9.如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD＝DE＋CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）DE ＝BD ＋CE ．10.（1）探究：如图，四边形ABCD 中，已知AB AD =， 90BAD ∠=︒，点E F 、分别在边BC CD 、上， 45EAF ∠=︒；①如图1，若B ADC ∠∠、都是直角，把ABE V 绕点A 逆时针旋转90︒至ADG V ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图2，若B D ∠∠、不是直角，则当B D ∠∠、满足数量关系 时，仍有EF BE DF =+；（2）拓展：如图3，在ABC V 中， 90BAC ∠=︒， 22AB AC ==，点D E 、均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若1BD =，求DE 的长．【答案】（1）①证明见解析； ②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；(2) DE ＝53. 【解析】试题分析: （1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠F AD ＝∠DAE ＝45°，证△F AD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3−x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；把△ACE 旋转到ABF 的位置，连接DF ，则∠F AB ＝∠CAE .∵∠BAC ＝90°，∠DAE ＝45°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝45°，又∵∠F AB ＝∠CAE ，∴∠F AD ＝∠DAE ＝45°，则在△ADF 和△ADE 中， AD AD FAD DAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ADE ，∴DF ＝DE ，∠C ＝∠ABF ＝45°，∴∠BDF ＝90°，∴△BDF 是直角三角形，∴222BD BF DF +=，∴222BD CE DE +=．∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝4，∵BD ＝1，∴DC ＝3，EC ＝3－DE ，∴()2213DE DE +-=，解得DE ＝53．学科@网。

图形的旋转（6种题型）【知识梳理】一．生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．二．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．三．旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．四．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．五．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．六．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．七．利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通【考点剖析】一．生活中的旋转现象（共1小题）1．（2022秋•义乌市期中）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）．旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm．当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为cm．【分析】作BG⊥OA于G，设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，在Rt△OBG中利用勾股定理求出x，利用OD﹣ON 得到DN，连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，求出BD，OM，QM和OQ，证明△OPC∽△OQM，可得OP，可得PN，即可得到C到EF的距离．【解答】解：如图，作BG⊥OA于G，设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，则AG＝0.5cm，BG＝ON＝3.5cm，∴OG＝OA﹣AG＝x﹣0.5cm，∵在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2，∴x2＝（x﹣0.5）2+3.52，解得：x＝12.5，∴OA＝OB＝OC＝OD＝12.5cm，∴DN＝OD﹣ON＝12.5﹣3.5＝9cm．连接OB，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，∵BN＝OG＝12.5﹣0.5＝12cm，DN＝9cm，∴DB＝DN2+BN2＝15cm，又∵∠BOC＝∠BOD，OD＝OB，∴OC⊥BD，DM＝BM＝DB＝7.5cm，∴OM＝＝＝10cm，∵△DNB中，QM∥NB，且M是DB中点，∴QM＝BN＝6cm，∴Rt△OQM中，OQ＝＝＝8cm，又∵CP∥MQ，∴△OPC∽△OQM，∴OC/OM＝OP/OQ，∴＝，∴OP＝10cm，∴PN＝OP﹣ON＝10﹣3.5＝6.5cm，∵CP⊥OD，EF⊥OD，∴C到EF的距离长等于PN 6.5cm．故答案为：9；6.5．【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是读懂题意，结合实际理解旋转门锁的运行原理．二．旋转的性质（共9小题）2．（2022秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（）A．O B．P C．Q D．M【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，故旋转中心是P点．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．3．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC 的延长线上，则∠B的大小是（）A．45°B．55°C．60°D．100°【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝70°，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝70°，∴∠B＝∠ADB＝＝55°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．4．（2023•温州三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．【解答】解：由旋转的性质可知，∠CAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC，在△ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，∴50°+2∠ACE＝180°，解得：∠ACE＝65°，故选：C．【点评】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．5．（2022秋•杭州期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．6．（2023•天台县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，∠CBD＝18°，将矩形ABCD绕对角线中点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形A′B′C′D′，当C′，D的距离等于1时，α的值为（）A．36°B．54°C．68°D．72°【分析】根据矩形的性质以及圆周角定理可得出∠COD＝∠DOC′＝∠C′OB′＝2∠CBD＝36°，进而得出∠COC′＝72°即可．【解答】解：如图，矩形ABCD的外接圆为⊙O，矩形A′B′C′D′的四个顶点也在⊙O上，∵AB＝CD＝B′C′＝DC′＝2，∴∠COD＝∠DOC′＝∠C′OB′＝2∠CBD＝36°，∴∠COC′＝72°，故选：D．【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，掌握矩形的性质以及旋转的性质是正确解答的前提．7．（2023•长兴县一模）如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点C，过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．若AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积的是（）A．3B．4C．5D．【分析】由旋转的性质可得BG＝BA＝3，由勾股定理可求CG，可求△BGC的面积，由平行四边形的性质可求解．【解答】解：∵矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，∴BG＝BA＝3，∴CG＝＝＝4，∴S△BGC＝×BG•GC＝6，∵MN∥AD，CD∥AB，∴四边形AMND是平行四边形，MN∥BC，∴四边形BCNM是平行四边形，∴S平行四边形BCNM＝2S△BGC＝12，∴阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S平行四边形BCNM＝15﹣12＝3，故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．8．（2023•仙居县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，点D是边AC的中点．点P 为边BC上的一个动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，则AP′的取值范围为．【分析】由“SAS”可证△ADP'，可得AP'＝PH，即可求解．【解答】解：如图，以AD为直角边，作等腰直角三角形ADH，连接PH，∴AD＝DH，∠ADH＝90°，∵将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P′，∴DP＝DP'，∠PDP'＝90°＝∠ADH，∴∠ADP'＝∠PDH，∴△ADP'≌△HDP（SAS），∴AP'＝PH，∵AC＝10，点D是边AC的中点，∴CD＝AD＝DH＝5，∵点P为边BC上的一个动点，∴当PH⊥BC时，PH有最小值为5，当点P与点C重合时，PH有最大值为5，∴5≤HP≤5，∴，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．（2023•萧山区二模）如图，在正方形ABCD中，，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值为（）A．8B．C．D．【分析】连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM ＝OE＝2，由勾股定理可得，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，在△EDO与△FDM中，，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，，O是BC边上的中点，∴，∴，∴，∵OF+MF≥OM，∴OF≥10﹣2＝8，∴线段OF的最小值为8，故选：A．【点评】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．10．（2022秋•浦江县月考）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PA P′＝60°，∴△AP P′为等边三角形，P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．三．旋转对称图形（共3小题）11．（2022秋•平阳县校级月考）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（）A．30°B．45°C．60°D．72°【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D．故选：D．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．12．（2022秋•张湾区期中）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．13．（2023•婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是；A．矩形B．正五边形C．菱形D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有个；A．0B．1C．2D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．【分析】（1）根据旋转图形，中心对称图形的定义判断即可．（2）旋转对称图形，且有一个旋转角是60度判断即可．（3）根据旋转图形的定义判断即可．（4）根据要求画出图形即可．【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B．（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．故答案为（1）（3）（5）．（3）命题中①③正确，故选C．（4）图形如图所示：【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．四．坐标与图形变化-旋转（共8小题）14．（2022秋•莲都区期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，2）【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴点P′的坐标为（3，﹣2）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．（2022秋•吴兴区期中）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点在方格线的格点上，将AB绕点P 顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P的坐标为．【分析】依据旋转的性质可得，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P到对应点的距离相等，因此作出两对对应点连线的垂直平分线，其交点即为所求．【解答】解：如图所示，作线段AA'和BB'的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心，由图可得，点P的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题主要考查了坐标与图形变换，解决问题的关键是掌握旋转的性质．一般情况，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．16．（2022秋•苍南县期中）如图，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），B的坐标为（1，4），将△ABC沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对应点为B′，点C的对应点为C′，则点C′的坐标为（）A．（4，1）B．（1，4）C．（3，1）D．（1，3）【分析】首先根据点A的平移规律得到C的平移后坐标，再根据旋转规律得到C′的坐标．【解答】解：∵点A平移至坐标原点O，点A的坐标为（0，3），∴向下平移三个单位长度，∴C平移后的坐标为（1，﹣3），∵平移后再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，∴点C′的坐标为（3，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化中的旋转与平移，正确使用坐标与图形变化的规律是解题的关键．17．（2022秋•衢江区校级期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣1，4）的对应点A′的坐标是（）A．（1，4）B．（4，1）C．（1，﹣4）D．（4，﹣1）【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出∠AOA′＝90°，AO＝A′O，作AC ⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC＝A′C′，CO＝C′O，由A的坐标就可以求出结论．【解答】解：∵线段AB绕点O90°得到线段A′B′，∴∠AOA′＝90°，AO＝A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC＝A′C′，CO＝C′O．∵A（﹣1，4），∴AC＝1，CO＝4，∴A′C′＝1，OC′＝4，∴A′（4，1）．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得△ACO≌△A′C′O是解决问题的关键．18．（2022秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为．【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P（1，﹣2），∴PQ＝1，OQ＝2，∵点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝1，OQ′＝OQ＝2，∴点P′的坐标为：（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．19．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标．【分析】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．20．（2022秋•柯桥区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点B（0，4），点A在x轴负半轴上，且∠BAO＝30°，将△AOB O顺时针旋转，得△COD，点A、B旋转后的对应点分别为C，D，记旋转角为α．（1）如图1，CD恰好经过点B时，①求此时旋转角α的度数；②求出此时点C的坐标；（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AC和直线DB交于点P，猜测AC与DB的位置关系，并说明理由．【分析】（1）①根据旋转的性质得到OB＝OD，求得∠ABO＝60°＝∠D，得到△BOD是等边三角形根据等边三角形的性质得到∠BOD＝60°，于是得到结论；②过点C作CE⊥x轴于E，根据等腰三角形的性质得到CO＝AO＝4，求得∠AOC＝60°，求得OE＝2，CE＝6，于是得到C（﹣2，6）；（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBD＝90°﹣，求得∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°﹣）＝30°+，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）①由旋转可知，OB＝OD，∵∠BAO＝30°，∴∠ABO＝60°＝∠D，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴旋转角α的度数为60°；②过点C作CE⊥x轴于E，∵∠AOB＝90°，B（0，4），∴CO＝AO＝4，∵α＝60°，∴∠AOC＝60°，∴OE＝2，CE＝6，∴C（﹣2，6）；（2）AC⊥BD，理由：∵∠AOC＝α，OB＝OD，∴∠OBD＝90°﹣，∴∠ABP＝180°﹣60°﹣（90°﹣）＝30°+，∴∠PBA+∠PAB＝60°﹣30°+＝90°，∴∠APB＝90°，∴AC⊥BD．【点评】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2022次得到正方形OA2022B2022C2022，则点B2022的坐标是．【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，∴B（1，1），连接OB，如图：由勾股定理得：OB＝＝，由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），B6（1，﹣1），…，发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，∴点B2022的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．五．作图-旋转变换（共5小题）22．（2023•龙游县一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．（2）若△ABC中的一点P（a，b），在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点，请直接写出点P′的坐标（用含a、b的代数式表示）【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C1，并写出C1的坐标即可；（2）根据（1）中C点坐标找出规律即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，C1的坐标（1，4）．（2）∵C（4，﹣1），C1（1，4），∴P’（﹣b，a）．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．23．（2023•温州一模）如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可；（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图，四边形即为所求作：；（2）如图，四边形即为所求作：．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（2023•乐清市模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出以AB为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个周长为整数的四边形ACBD；（2）在图2中画一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．【分析】（1）利用勾股定理作出，据此即可画出一个周长为整数的四边形ACBD；（2）根据三角形的面积公式以及平行四边形的性质即可画出一个面积为8的四边形AEBF，且使其是中心对称图形但不是轴对称图形．【解答】解：（1）如图，四边形ACBD即为所求作．（2）如图，四边形AEBF即为所求作．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．25．（2022•平阳县一模）如图，在10×8的方格纸巾，请按要求画图．（1）在图1中画一个格点C，使△ABC为等腰三角形．（2）在图2中两个格点F，G，使四边形DEFG为中心对称图形，且对角线互相垂直．【分析】（1）根据等腰三角形的概念作图即可（答案不唯一）；（2）根据中心对称图形的概念及菱形、正方形的性质作图即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图所示，四边形DEFG即为所求（答案不唯一）．【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质、等腰三角形的定义、菱形与正方形的性质．26．（2023•温州二模）如图在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，请按要求画出相应格点图形．（1）画出△ABC关于点C成中心对称的格点三角形△A1B1C（点A，B的对应点分别为A1，B1）．（2）画出△ABD，使得S△ABD＝3S△ABC．【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）由图可得S△ABD＝3S△ABC＝6，结合三角形的面积找出点D的位置即可．【解答】解：（1）如图，三角形△A1B1C即为所求.（2）由图可得，S△ABC＝＝2，∴S△ABD＝3S△ABC＝6．如图，△ABD1，△ABD2，△ABD3均满足要求．【点评】本题考查中心对称、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质、三角形的面积是解答本题的关键．六．利用旋转设计图案（共3小题）27．（2022秋•宁波期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q【分析】画出中心对称图形即可判断【解答】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．故选：C．【点评】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．28．（2022秋•定海区校级月考）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴旋转角是60°的整数倍，∴这个角的度数可以是60°．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．29．（2022秋•慈溪市期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（）。

几何结构之折叠、旋转（讲义）>知识点睛L 折叠（轴对称）的思考层次<1）全等变换：对应边相等、对应角相等.<2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直 平分线.（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点 到对应点的距离相等）（3）常见组合搭配①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；②两次折叠往往会出现特殊角：45。

, （4）应用，作图核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴， 然后再补全图形. 特征举例：① 折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；② 对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线. 2.旋转思考层次<1）全等变换：对应边相等、对应角相等.（2）对应点与旋转中心旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）；对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角：对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心；60。

，90。

（构旋转会产生圆（圆弧）•（3）常见组合搭配旋转会出现相似的等腰三角形：旋转60。

会出现等边三角形；旋转90。

会出现等腰直角三角形;相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型•（4）应用， 当题U （背景）中出现等线段共端点时,会考虑补全旋转构 造全等.（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素：旋转方向不确定需要分类讨论；常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作.（有时只需保留研究U 标即可）作图（构造）＞精讲精练1小明用不同的方式来折叠一个边长为8的正方形纸片ABCD. 折痕MN 分别与边AD. 交于点M, N,沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A, B 的对应点分别为点』，他得到了以 下结论：①如图1,当点落在DC 的中点处时，BN=5.②如图2,当点B 落在CD 上时，延长NB 咬.AD 的延长线于 点£,△NEM 为等腰三角形.③如图2,当点5蔣在QD 上 时，连接此时*夕二MN,阳丄MN.④如图3,先将正 方形沿MN 对折，使AB 与DC重合，再将AB 沿过点A 的直 线折叠，使点歹落在MN 上，则其中正确结论 的序号是 ___ .ZACB=90\ 点将^CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在 AB 边上的点F 处.若AC=8, AB=10,则CD 的长为 ___________ .图3 D, E 分别在AC, BC2 如图，在△ABC 中, 上，且ZCDE=ZB.如图1,在矩形纸片ABCD 中，AB=^yl3. AD=\Q.点E 是 CD 的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点 A 与点£重合，如图2,折痕为MN,连接ME, NE ；第二次 折叠纸片使点N 与点£重合，如图3,点B 落在夕处，折痕 为 HG,连接 HE,则 tanZEHG 二 .A 图1 图2如图，在矩形ABCD中，AB=6, BC=10,将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在/鬼，若EV 的延长线恰好过C,则 Sin Z ABE 的值为 • 如图，一点，点F 是CQ 边上一点，连接EF,把△DEF 沿EF 折叠，使点 D 落在直线上的点D 处,当点D 蔣在BC 边上时，人£的 长为 .如图，在 RtAABC 中，ZC=90^ ZA=60。

在解决三角形的旋转问题时，需要注意以下几点技巧：
寻找旋转的关键点，确定连接对应点的方法。

根据旋转的基本性质，如线段长度不变、角度不变等，进行解答。

掌握任意多边形可分割成几个三角形的原则，以及等边多边形分割后可还原的方法。

理解并运用旋转前后线段、角度等性质的变化规律。

运用旋转的性质解决实际问题，如设计图案、构建建筑结构等。

在具体解题时，需要结合题目要求和条件，选择合适的解题方法，灵活运用旋转的性质和口诀，以得出正确答案。

同时，需要注意细节和计算准确度，避免因粗心或计算错误导致不必要的失分。

三角形旋转解题技巧初中引言三角形是初中数学中重要的几何图形之一，而旋转是一种常见的几何变换。

本文将介绍如何运用旋转解决与三角形相关的问题。

我们将从基本概念开始，逐步深入探讨旋转解题技巧，并通过实例演示其应用。

1. 旋转的基本概念1.1 什么是旋转？旋转是指以某个固定点为中心，按照一定的角度和方向，将图形或物体绕着该点进行移动的操作。

在数学中，我们通常以坐标平面上的原点为中心进行旋转操作。

1.2 旋转角度在二维平面上，我们使用弧度或度数来表示旋转角度。

一个完整的圆周对应360°或2π弧度。

在初中数学中，我们通常使用度数来表示旋转角度。

1.3 顺时针和逆时针顺时针方向是指按照钟表走时方向进行旋转；逆时针方向则是相反方向。

在解题过程中，需要根据具体情况确定顺时针或逆时针方向。

2. 三角形的旋转性质2.1 三角形的旋转不改变其形状和大小在二维平面上，三角形绕着一个点进行旋转后，仍然是一个三角形，并且其形状和大小保持不变。

这一性质是我们运用旋转解决三角形问题的基础。

2.2 顶点旋转当我们将一个三角形绕着顶点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数不变。

这些性质对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数。

2.3 边中点旋转当我们将一个三角形绕着边的中点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数相等；•边中点连线在旋转前后保持不变。

这些性质同样对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数，并且可以构造出一些特殊图形来简化问题。

3. 旋转解题技巧3.1 求未知边长当我们已知一个三角形的两条边和它们的夹角度数，需要求解第三条边长时，旋转可以帮助我们简化问题。

以顶点旋转为例，假设三角形ABC中，已知边AB和AC的长度分别为a和b，夹角BAC的度数为θ°。

我们需要求解BC的长度。

中考数学专题复习讲义《三角形旋转问题》1.如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，D 是AB 中点，等腰直角三角板DMN 的直角顶点落在点D 上，使三角板绕点D 旋转．（1）如图1，当三角板两边分别交边AC 、BC 于F 、E 时，线段EF 与AF 、BE 有怎样的关系（2）在（1）中，设AFx =，四边形CEDF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）在旋转过程中，当三角板一边DM 经过点C 时，另一边DN 交CB 延长线于点E ，连接AE 与CD 延长线交于点G （如图2），求DG 的长．解析：（1）222EF AF BE =+理由如下：延长ED 到G ，使DG DE =，连接AG 、FG （如图1-1）∵FD GN ⊥，∴EF FG =∵D 是AB 中点，∴AD BD =∵ADG BDE ∠=∠，∴ADG BDE V V ≌∴AG BE =，GAD B ∠=∠∴AG BC P ，∴90GAF C ∠=∠=︒∴在Rt AGF V 中，222FG AF AG =+∴222EF AF BE =+（2）作FG AB ⊥于G ，EH AB ⊥于H （如图1-2）在ABC V 中，90C∠=︒，30A ∠=︒，∴60B ∠=︒∴2EH BE = 在Rt CFE V 中，222EFCF CE =+ 由（1）知222EF AF BE =+，∴2222CF CE AF BE +=+∵30A ∠=︒，2BC=，∴4AB =，AC =2AD BD == ∴2CE BE =-∵AF x =，∴12FG x =，CF x =-∴2222)(2)x BE x BE -+-=+∴4BE =-，∴32EH x =-∴11113222)22222ABC ADF BDE y S S S x x =--=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-V V V即y x =当点E 与点C 重合时，2BE BC ==∴42-=，∴3x = 当点E 与点B 重合时，0BE =∴40-=，∴3x =∴x 的取值范围是 33x ≤≤ （3）过点A 作AH MG ⊥（如图2）∵30CAD ∠=︒，AD CD =，∴30ACD ∠=︒，60DCE∠=︒∴12AH AC ==，DE ==24CE CD == ∵ACEACG ECG S S S =+V V V ,∴·1114222CG CG ⋅=⋅+⋅⋅，∴83CG = , ∴82233DG CG CD =-=-=.3.如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，1cos 3BAC ∠= ，点O 在AB 上，且6CA CO ==．将ABC V 绕点A 顺时针旋转得到AB C ''V ，且 C '落在CO 的延长线上，连接 BB '交CO 的延长线于点D ，（1）求证：COA BOD V V ∽（2）求BD 的长．解析：（1）证明：∵BAC B AC ∠=∠''，∴CAC B AB ∠'=∠''∵AC AC ='，∴1(180CAC )2ACC AC C '∠'=∠'=︒-∠, ∵AB AB ='，∴1(180)2ABB AB B BAB '∠'=∠'=︒-∠, ∴ACC ABB ∠'=∠'又COA BOD ∠=∠，∴COA BOD V V ∽（2）解：∵CA CO =，COA BOD V V ∽，∴BD BO = ∵1cos 3BAC ∠= ，6CA CO ==，∴18BA =,过C 作CE AB ⊥于E ，则123EA CA ==，24OA EA ==, ∴18414BD BO BA OA ==-=-=.4.已知：在PAB V 的边PA 、PB 上分别取点C 、D ，连接CD 使CDAB P ．将PCD V 绕点P 按逆时针方向旋转得到PC D APC APB ''∠'∠V （＜），连接AC '、BD '． （1）如图1，若90APB ∠=︒，PA PB =，问：AC '与BD '都有哪些关系．（2）在图1中，连接AD '、BC '，分别取AB 、AD '、C D ''、 BC '的中点E 、F 、G 、H ，顺次连接E 、F 、G 、H 得到四边形EFGH ．请判断四边形EFGH 的形状．（3）①如图2，若改变（1）APB ∠中的大小，使090APB ︒∠︒＜＜，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断四边形EFGH 的形状．②如图3，若改变（1）中PA 、PB 的大小关系，使PA PB ＜，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断四边形EFGH 的形状．解析：（1）证明：延长 AC '交 BD '于点M ，交PB 于点N∵PA PB =，∴PAB PBA ∠=∠∵CD AB ∥，∴PCD PAB ∠=∠，PDCPBA ∠=∠ ∴PCD PDC ∠=∠，∴PCPD = 由旋转可知：PC PC '=，PD PD '=，C PD BPA ∠''=∠ ∴PC PD '='∵APC APB C PD ∠'=∠-∠'，BPD C PD C PD ∠'=∠''-∠'∴APC BPD ∠'=∠'，∴PAC PBD ''V ≌∴AC BD '='， PAC PBD ∠'=∠'即PANMBN ∠=∠ ∵在PAN V 中，180PANANP APN ∠+∠+∠=︒ 在BMN V 中，180MBNMNB BMN ∠+∠+∠=︒ 又ANP MNB ∠=∠∴90BMN APN ∠=∠=︒，∴AC BD '⊥'（2）正方形证明：由（1）可知：AC BD '='∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AD '、C D ''、 BC '的中点∴EF 、FG 、GH 、HE 分别是ABD 'V 、AC D ''V 、BC D ''V 、 ABC 'V 的中位线 ∴12EF BD '=，12FG AC '=，12GH BD '=，12HE AC '= ∴EFFG GH HE ===，∴四边形EFGH 是菱形 ∵EF BD 'P ，HE AC 'P ，AC BD '⊥'，∴EF HE ⊥∴四边形EFGH 是正方形（3）①四边形EFGH 是菱形．PA PB =Q ，PAB PBA ∴∠=∠ ．CD AB Q P ，PCD PAB PBA PDC ∴∠=∠∠=∠， ，PCD PDC ∴∠=∠ ，PC PD ∴= ．Q 将PCD V 绕点P 按逆时针方向旋转得到PC D ''V ，APB C PD PC PC PD PD ∴∠=∠'''='=，， ．APB C PB C PD C PB PC PD ∴∠∠'=∠''∠''='﹣﹣， ．APC BPD ∴∠'=∠' ．在AC P 'V 和BD P 'V 中，C BPD PA PB AP PC PD '=∠''==∠'⎧⎪⎨⎪⎩，AC P BD P SAS ∴''V V ≌（）， AC BD ∴'=' ．Q 点E F G H 、、、 分别是AB AD C D BC ''''、、、 的中点，12EF GH BD ∴==' ，12GF EH AC ==' ， AC BD '='Q ，EF FG GH HE ∴=== ，∴ 四边形EFGH 是菱形；②四边形EFGH 是矩形．如图3，延长AC ' 交BD ' 于点M ，Q 将PCD V 绕点P 按逆时针方向旋转得到PC D ''V ，APB C PD PC PC PD PD ∴∠=∠'''='=，， ．APB C PB C PD C PB ∴∠-∠'=∠''-∠' ，． APC BPD ∴∠'=∠' ．CD AB Q P ，PC PD PA PB∴= ， PC PD PA PB''∴= ． AC P BD P ∴''V V ∽ ，PAC PBD ∴∠'=∠' ．90APB ∠=︒Q ，90PAC BAC ABP ∴∠'+∠'+∠=︒ ，90BAC ABP PBD ∴∠'+∠+∠'=︒，90MAB ABM ∴∠+∠=︒ ．Q 点E F G H 、、、 分别是AB AD C D BC ''''、、、 的中点， 1122EF GH BD GF EH AC EF BD EH AM ∴=='==''，，，P P ，∴ 四边形EFGH 是平行四边形．AEF ABM BEH BAM ∠=∠∠=∠， ，90AEF BEH ∴∠+∠=︒ ，90FEH ∴∠=︒ ，∴ 平行四边形EFGH 是矩形．5.两个等腰直角三角形ABC 、ADE 如图①摆放（点E 在AB 上），连接BD ，取BD 的中点P ，连接PC 、PE ，则有PC PE =，PC PE ⊥．（1）将ADE V 绕点A 逆时针旋转，使E 点落在AC 上（如图②），上述结论是否仍成立？（2）如图③，当ADE V 绕点A 逆时针旋转30︒ 时，连接DC ，若DC AB P ,求 AC AE 的值．解析：（1）上述结论仍然成立证法一：连接AP ，延长PE 交AD 于点M∵ABC V 、ADE V 均为等腰直角三角形∴45BAC DAE ∠=∠=︒，∴90DAB ∠=︒∵P 为BD 中点，∴PA PB PD ==又∵AC BC =，PC PC =，∴APC BPC V V ≌ ∴1452ACP BCP ACB ∠=∠=∠=︒同理，APE DPE V V ≌∴APE DPE ∠=∠，PAE PDE ∠=∠∴APE PAE DPE PDE ∠+∠=∠+∠即1452AEM DE D M AE ∠∠===∠︒ ∴45CEP AEM ∠=∠=︒，∴90CPE ∠=︒∴CPE V 为等腰直角三角形，∴PCPE =，PC PE ⊥ 证法二：延长DE 交AB 于F ，易知E 为DF 中点∵P 是DB 的中点，∴EP FB P ，12EP FB = ∴45CEP CAB ∠=∠=︒分别延长AD 、BC 交于点G ，易知C 为BG 中点可证得PC DG P ，12PC DG = ，45PCE CAD ∠=∠=︒ ∴90CPE ∠=︒，即CP PE ⊥∵ADF V 、AGB V 均为等腰直角三角形∴FB DG =，∴PCPE =（2）过点D 作DH AC ⊥于H∵DCAB P ，45DCH CAB ∴∠=∠=︒，∴DH CH =在Rt ADH V 中，30DAH ∠=︒设DHk =，则2AD k =，AE =，AH =∴1)ACAH CH k k =+=+=+∴12k ACAE++==6.已知ABC V 中，90ACB ∠=︒，2AC=,1BC =，将ABC V 绕点C 旋转得到A B C ''V ．（1）如图1，当点B 落在线段 A B ''上时，求sin A CA ∠'的值； （2）如图2，当点A 落在直线 A B ''上时，求 AB '的长．解析：（1）∵90ACB ∠=︒，2AC=，1BC =，∴AB =作BD B C ⊥'于D ， CEBB ⊥'于E ,则CB E A B C '''V V ∽，得 5B E '=，CE = sin BD CB BC B =⋅∠' ∴111sin 222BB C S B C BD B C BC BCB BB CE '''''=⋅=⋅⋅∠=⋅V . ∴22455sin sin 15BB CE A CA BCB B C '⋅∠'=∠'===' （2）作 CFA B ⊥''于F ,1122A B CS A C B C A B CF '''='⋅'='⋅V5CF ∴=1tan 2B C CFA A C A F ''===∠''Q1252A F CF AA ∴'==='5AA ∴'=AB AA A B ''''=-Q 8535555AB '∴=-=7.如图1，ABC V 、ADE V 都是等腰直角三角形，点E 在线段AC 上，90ABCD ∠=∠=︒，连接BE ．（1）若52BEDE=，求 AD AB 的值； （2）将ADE V 绕点A 逆时针旋转，使AE EC =（如图2）． ①求：线段BD 与CD 的数量关系. ②求：2______ABCEDS BD =五边形．解析：（1）延长DE 交BC 于F 设AD DEa ==，AB BCb ==，则BF a =，EF b a =-在Rt BEF V V 中，()222a b a BE +-=∵52BEDE=，∴2225544BE DE a == ∴()22254ab a a +-=整理得：223840a ab b -+=即23()8()40a ab b-+=解得：2a b =（舍去）或23a b = ∴23AD AB = （2）①过E 作EF AE ⊥交AD 延长线于F 、BD 、CF 延长线交于G ，连接BE ,则AEF V 是等腰直角三角形AD DF = 显然45FACEAB EAC ∠=∠=︒+∠,又∵AF AEAC AB==，∴ACF ABE V V ∽ ∴ACF ABE ∠=∠,∵AB BC =，AEEC =，BE BE =,∴ABE CBE V V ≌，∴1452ABE CB C E AB ∠∠===∠︒,∴45ACF ∠=︒，∴90BCF ∠=︒∴ABCG P ，∴BAD GFD ∠=∠又∵ADB FDG ∠=∠，AD DF = ∴ADB FDG V V ≌，∴BD DG = 又90BCF∠=︒Q∴12CD BG BD == ②将ABD V 绕点B 顺时针旋转至CBF V ，延长DA 、FB 交于G ，连接DF 、EF 则DEAD CF ==，12∠=∠，34∠=∠∵3590ABC ∠+∠=∠=︒，∴4590DBF∠=∠+∠=︒∴190G ∠+∠=︒，∴290G ∠+∠=︒ ∴CF AD ⊥∵DEAD ⊥，∴DE CF P∴四边形CDEF 是平行四边形∴212ABD BCD DEC BCF BCD CDF BDF ABCED S S S S S S S S BD ==++=++=V V V V V V V 五边形8.如图，矩形ABCD 中，30ACB ∠=︒，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F ．（1）当PE AB ⊥，PF BC ⊥时，如图1，则PEPF的值为________；（2）现将三角板绕点P 逆时针旋转060αα︒︒（＜＜）角，如图2，求PEPF的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当6090α︒︒＜＜，且使 :1:2AP PC =时，如图3，PEPF的值是否变化？证明你的结论．解析：（1）PE FC =Q1tan30PE FC PF PF ∴===︒（2）过点P 作PH AB ⊥，PG BC ⊥，垂足分别为H ，G∵在矩形ABCD 中，则90ABC ∠=︒，∴PH BC P又∵30ACB ∠=︒，∴30APHPCG ∠=∠=︒∴·cos302PHAP AP =︒=，1·sin302PG PC PC =︒= 由题意可知，HPE GPF α∠=∠=∴Rt PHE Rt PGF V V ∽，∴212AP PE PH PF PG PC PC === 又∵点P 在矩形ABCD 对角线交点上∴AP PC =，∴PEPF=（3）变化 证明：过点P 作PH AB ⊥，PG BC ⊥，垂足分别为H ，G根据（2），同理可证PE PF PC=∵ :1:2AP PC=，∴2PE PF =9.如图1，BAD V 和BCE V 均为等腰直角三角形，90BAD BCE ∠=∠=︒，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时，求：AM 与MN 之间的数量关系；（2）将BCE V 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN V 为等腰直角三角形； （3）将BCE V 绕点B 旋转到图3的位置时，（2）中的结论是否仍然成立？解析：（1）∵ENAD P ，∴MAD MNE ∠=∠∵点M 为DE 的中点，∴DMEM =又∵AMD NME ∠=∠，∴ADM NEM V V ≌ ∴AM MN =（2）∵BAD V 和BCE V 均为等腰直角三角形 ∴AB AD =，BC EC =，45CBE CEB ∠=∠=︒∵AD NE P，∴180DAE NEA ∠+∠=︒ ∵90DAE ∠=︒，∴90NEA ∠=︒ ∴135NEC∠=︒∵A ，B ，E 三点在同一直线上 ∴180135ABC CBE ∠=︒-∠=︒ ∴ABCNEC ∠=∠∵ADM NEM V V ≌（已证），∴AD EN = ∵AD AB =，∴AB NE =∴ABC NEC V V ≌∴AC NC =，ACB NCE ∠=∠∴90ACNBCE ∠=∠=︒∴ACN V 为等腰直角三角形 （3）成立∵45ABD CBE ∠=∠=︒，∴270ABC DBE ∠=︒-∠∵AD EN P，∴MEN MDA ∠=∠ ∴45NECMEN DEB ∠=∠+∠+︒454545MDA DEB BDE DEB =∠+∠+︒=∠+︒+∠+︒ 90BDE DEB =∠+∠+︒18090270DBE DBE =︒-∠+︒=︒-∠∴ABC NEC ∠=∠又∵AB NE =（已证），BC EC = ∴ABC NEC V V ≌ ∴ACNC =，ACB NCE ∠=∠∴90ACNBCE ∠=∠=︒∴ACN V 为等腰直角三角形10.在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设锐角AOB α∠=，将DOC V 按逆时针方向旋转得到D OC ''V （0°＜旋转角＜90°）连接AC '、BD '，AC '与BD '相交于点M ． （1）当四边形ABCD 为矩形时，如图1．求证：AOC BOD ''V V ≌． （2）当四边形ABCD 为平行四边形时，设AC kBD =，如图2．①猜想此时AOC 'V 与BOD 'V 有何关系；②探究AC '与BD '的数量关系以及AMB ∠与α的大小关系．解析： （1）证明：在矩形ABCD 中，∵AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴OA OC OB OD ===，∵D OC ''V 由DOC V 旋转得到， ∴OD OD ='，OCOC ='，D OD C OC ∠'=∠'，∴OB OD OA OC ='=='，∴180180D OD C OC ︒-∠'=︒-∠'， 即BOD AOC ∠'=∠'， ∴BOD AOC ''V V ≌ （2）①猜想：BOD AOC ''V V ∽．证明：在平行四边形ABCD 中，OB OD =，OA OC =， ∵D OC ''V 由DOC V 旋转得到， ∴OD OD ='，OCOC ='，D OD C OC ∠'=∠'，∴::OB OA OD OC =''，180180D OD C OC ︒-∠'=︒-∠'，∴BOD AOC ∠'=∠' ∴BOD AOC ''V V ∽②结论：AC kBD '='，AMB α∠= 证明：∵BOD AOC ''V V ∽，∴AC OA AC k BD OB BD'==='，即AC kBD '=' 设BD '与AC 相交于点N ，∵BOD AOC ''V V ∽，∴OBD OAC ''∠=∠， 在ANM V 与BNO V 中，又∵ANM BNO ∠=∠，∴180180OAC ANM OBD BNO ︒-∠'-∠=︒-∠'-∠，即AMB AOB α∠=∠=11.如图所示，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，8AB =．M e 与射线BA 相切，切点为N ，且3AN=．将Rt ABC V 顺时针旋转120︒后得到Rt ADE V ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E ．（1）画出旋转后的Rt ADE V ； （2）求出Rt ADE V 的直角边DE 被M e截得的弦PQ 的长度；（3）判断Rt ADE V 的斜边AD 所在的直线与M e 的位置关系．解析： （1） 如图（2）连接MP 、MN ，过M 作MF DE ⊥于F在Rt ABC V 中，∵60BAC ∠=︒，8AB = ∴4AC =，∴4AC =∵3AN=，∴1NE AE AN =-=，∴1MF =在Rt MFP V中，PF ==故弦PQ的长度为（3）AD 与M e相切证明：过点M 作MHAD ⊥于H ，连接MA ，MN ，则MN AE ⊥且MN =在Rt AMN V 中，tan 3MN MAN AN ∠==，∴30MAN ∠=︒∵60DAE BAC ∠=∠=︒，∴30MAD ∠=︒∴MANMAD ∠=∠，∴MH MN =（由MHA MNA V V ≌或解Rt AMH V 求得MH =，从而得MH MN =亦可）∴AD 与M e 相切12.如图1，ABC V 和DEF V 是两张全等的三角形纸片，90A D ∠=∠=︒，30B E ∠=∠=︒，BC EF =，点F 与BC 边的中点O 重合，且点E 、B 、F 、C 在同一条直线上．如图2，将DEF V 绕点O 顺时针旋转，旋转过程中边DF 、EF 分别交边AB 于点G 、H ，设旋转角BOH α∠=．（1）当α=________︒时，AG BH =；（2）当线段AG 、GH 、BH 之间满足222AG GH BH+=关系时，求α的大小；（3）若4BCEF ==，BH x =，AG y =，求y 与x 的函数关系式．解析：（1）连接OAO Q 为BC 的中点，12OA BC BO ∴==30,30B BAO ∠=︒∴∠=︒Q在BHO V 和AGO V 中BH AG B BAO BO OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BHO AGO ∴V V ≌ GOA α∴∠=∠180120AOB B BAO ∠=︒-∠-∠=︒Q 且60EOD ∠=︒ 1206060GOA α∴∠+∠=︒-︒=︒ 260α∴∠=︒ 30α∠=︒（2）作点A 关于OD 的对称点K ，连接KG 、KH 、KO 、AO 则KO AO =，KG AG =，KOG AOG ∠=∠∵O 是Rt ABC V 斜边BC 的中点，∴BO AO KO ==∴30BAO B ∠=∠=︒，∴120AOB ∠=︒ ∵60EOD ∠=︒，∴60KOG KOH ∠=︒-∠120606()0AOG BOH BOH ∠=︒-∠+︒=︒-∠,∴KOHBOH ∠=∠,又KO BO =，OH OH =，∴KOH BOH V V ≌,∴KH BH =,∵222AGGH BH+=，∴222KGGH KH+=,∴90KGH ∠=︒，∴90AGK ∠=︒，∴45KGD AGD ∠=∠=︒,∴45BGO ∠=︒，∴105BOG ∠=︒, ∴45BOH ∠=︒，即45α=︒,（3）过O 作OM AB ⊥于M ，过H 作HN OD ⊥于N ，交OM 于P ,则OMAC P∵O 是BC 的中点，∴12AM BM AB ==，12OM AC =,在Rt ABC V 中，30B ∠=︒，4BC=，∴AB =，2AC =,∴BM =，1OM =,∵BHx =，∴HM x =-,∵60EOD ∠=︒，∴HN=,∵90HNG ONP ∠=∠=︒，90GHNPON HGN ∠=∠=︒-∠,∴HNG ONP V V ∽，∴HG HN OP ON==,∴3HG OP=，即(3)3x MG OP-+=，∴()333OP x MG=-+∵90HMP OMG∠=∠=︒，90MHP MOG HGN∠=∠=︒-∠∴HMP OMGV V∽，∴HM MPOM MG=即1x MPMG-=，∴)MP GM x-=∵MP OP OM+=，∴))13x MG x MG-+-+=∴43MGx=-∵12AM AG MG AB=+=，∴y+=∴y x=≤≤13.如图9，若ABCV和ADEV为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD BE=，AMNV是等边三角形．（1）当把ADEV绕A点旋转到图10的位置时，CD与BE的数量关系？（2）当ADEV绕A点旋转到图11的位置时，请证明AMNV是等边三角形？并求出当2AB AD=时，ADEV与ABCV及AMNV的面积之比.解析：（1）CD BE=．理由如下:∵ABCV和ADEV为等边三角形∴AB AC =，AE AD =，60BAC EAD ∠=∠=︒∵60BAE BAC EAC EAC ∠=-︒∠∠=-∠，60DAC DAE EAC EAC ∠=-︒∠∠=-∠，∴BAEDAC ∠=∠， ∴ ABE ACD V V ≌∴CD BE =（2）AMN V 是等边三角形．理由如下： ∵ ABE ACD V V ≌， ∴ABEACD ∠=∠．∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴1122BM BE CD CN === ∵AB AC =，ABE ACD ∠=∠， ∴ ABM ACN V V ≌．∴AMAN =，MAB NAC ∠=∠．∴60NAMNAC CAM MAB CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴AMN V 是等边三角形． 设AD a =，则2AB a =． ∵AD AE DE ==，AB AC =， ∴CE DE =．∵ADE V 为等边三角形， ∴120DEC ∠=︒，60ADE ∠=︒， ∴30EDC ECD ∠=∠=︒ ， ∴90ADC∠=︒．∴在Rt ADC V 中，AD a =，30ACD ∠=︒ ，∴ CD =．∵N 为DC 中点，∴，∴． ∵ADE V ，ABC V ，AMN V为等边三角形，且21==224S⋅⋅⋅等边边长边长边长 ∴ADEABC AMN S S S V V V ∶∶ 解法二：AMN V 是等边三角形．理由如下：2DNa=2AN a ===7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a∵ ABE ACD V V ≌，M 、N 分别是BE 、CN 的中点，∴AM AN =，NC MB =．∵AB AC =，∴ ABM ACN V V ≌，∴MAB NAC ∠=∠ ，∴60o NAMNAC CAM MAB CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∴AMN V 是等边三角形 设AD a =，则AD AE DE a ===，2AB BC AC a ===易证BE AC ⊥，∴BE =，∴ ∴ ∵ADE V ，ABC V ，AMN V 为等边三角形∴2227:(2):()1:4:4:16:724ADEABC AMNa a SS S a ===V V V ∶∶.14.如图1，Rt ABC Rt EDF V V ≌，90ACB F∠=∠=︒，30A E ∠=∠=︒．EDF V 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段AC 于点M ，K ．（1）观察：①如图2、图3，当0CDF ∠=︒或60︒时， AM CK +______MK （填“大于”，“小于”或“等于”）；②如图4，当30CDF ∠=︒ 时， AM CK +______MK （填“大于”，“小于”或“等于”）；（2）猜想：如图1，当060CDF ︒∠︒＜＜时， AM CK +_____MK ;（填“大于”，“小于”或“等于”）； （3）如果222MK CK AM +=，请直接写出CDF ∠的度数：____︒；MK AM的值_为______解析：a a a AE AB 3)2(2222=-=-2EMa =a a a AE EM AM 27)23(2222=+=+=（1）①在Rt ABC V 中，D 是AB 的中点，∴12AD BD CD AB ===，60B BDC ∠=∠=︒又∵30A ∠=︒，∴603030ACD ∠=︒-︒=︒， 又∵60CDE∠=︒，或60CDF ∠=︒时，∴90CKD ∠=︒，∴在CDA V 中，AM K CM K =（）（），即AM K KM C =（）（）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合）， ∵0CK =，或0AM =，∴AMCK MK +=；（2分） ②由①，得30ACD ∠=︒，60CDB ∠=︒，又∵30A ∠=︒，30CDF ∠=︒，60EDF ∠=︒，∴30ADM ∠=︒，∴AM MD =，CK KD =，∴AMCK MD KD +=+，∴在MKD V 中，MD DK MK +> AM CK MK ∴+＞（两边之和大于第三边）． （2）＞ 证明：作点C 关于FD 的对称点G ， 连接GK ，GM ，GD ， 则CD GD =，GKCK =，GDK CDK ∠=∠，∵D 是AB 的中点，∴AD CD =，∴GD AD =．30DAC DCA ∠=∠=︒，∴120CDA ∠=︒， ∵60EDF∠=︒，∴60GDM GDK ∠+∠=︒，60ADM CDK ∠+∠=︒．∴ADM GDM ∠=∠,∵DMDM =，∴AD DG ADM GDM DM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM GDM SAS V V ≌（） ∴GM AM =．∵GM GK MK +＞，∴AM CK MK +＞．（1分）（3）由（2），得GM AM =，GK CK =，∵222MK CK AM +=， ∴222MK GK GM +=，∴90GKM∠=︒，又∵点C 关于FD 的对称点G ，∴90CKG ∠=︒，1452FKCCKG ∠=∠=︒， 又由（1），得30A ACD ∠=∠=︒， ∴FKC CDF ACD ∠=∠+∠， ∴15CDFFKC ACD ∠=∠∠=︒﹣，在Rt GKM V 中，60MGK DGK MGD A ACD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴30GMK∠=︒，∴2MK GM =，∴2MK AM = 综上可得：CDF ∠的度数为15︒，MKAM的值为2．。

旋转三角形的解题技巧旋转三角形是一种常见的几何题型，它需要我们通过旋转三角形来寻找解题的突破口。

下面将介绍一些旋转三角形的解题技巧。

1. 利用对称性对称性是旋转三角形解题中常用的技巧。

当我们旋转一个三角形时，可以发现它与原来的三角形具有某种对称性。

例如，当我们将一个等边三角形绕其中心点旋转120度时，可以发现它与原来的等边三角形完全相同。

因此，在解决一些关于等边、等腰、直角等特殊三角形问题时，可以尝试利用对称性进行推导。

2. 利用相似性相似性也是旋转三角形解题中常用的技巧。

当我们旋转一个三角形时，可以发现它与原来的三角形具有某种相似性。

例如，当我们将一个直角三角形绕斜边中点旋转180度时，可以发现它与原来的直角三角形完全相同。

因此，在解决一些关于勾股定理、正弦定理、余弦定理等问题时，可以尝试利用相似性进行推导。

3. 利用平移平移也是旋转三角形解题中常用的技巧。

当我们平移一个三角形时，可以发现它与原来的三角形具有某种平移关系。

例如，当我们将一个等腰三角形向下平移一段距离时，可以发现它与原来的等腰三角形具有相同的底边长度。

因此，在解决一些关于面积、周长、高度等问题时，可以尝试利用平移进行推导。

4. 利用旋转旋转是旋转三角形解题中最基本的技巧。

当我们旋转一个三角形时，可以通过计算旋转后的角度和边长来寻找解题突破口。

例如，当我们将一个任意三角形绕其中心点旋转180度时，可以发现它与原来的三角形完全相反。

因此，在解决一些关于对称性、相似性、平移等问题时，可以尝试利用旋转进行推导。

综上所述，旋转三角形是一种常见的几何题型，在解题过程中需要灵活运用对称性、相似性、平移和旋转等技巧。

只有不断地探索和实践，才能在旋转三角形解题中取得更好的成果。

初一三角形旋转题解题技巧
初一学习三角形旋转题时，需要掌握一些基本的技巧和方法，才能更好地解决问题。

以下是一些常用的技巧和方法：
1. 确定旋转中心和旋转角度：在解决三角形旋转问题时，首先需要确定旋转中心和旋转角度。

旋转中心通常是三角形的某个顶点或某个中心。

旋转角度通常是90度、180度或360度。

2. 利用对称性质：三角形的旋转可以形成简单的对称图形，因此可以利用三角形的对称性质来解决问题。

例如，如果三角形旋转180度后，能够重合或对称，则它们可能是等边三角形或等腰三角形。

3. 利用相似性质：三角形旋转后，仍然保持相似，因此可以利用相似性质来解决问题。

例如，如果一个三角形旋转180度后，与原来的三角形相似，则它们的角度相等，比例尺相等。

4. 利用角度计算：三角形旋转后，三角形的角度会发生变化，可以通过计算旋转后的角度来解决问题。

例如，如果一个三角形旋转180度后，原来的角度减去180度得到旋转后的角度。

5. 利用向量运算：向量是解决三角形旋转问题的有力工具。

可以通过向量运算来计算旋转后三角形的坐标和长度。

例如，如果一个三角
形绕原点逆时针旋转90度，可以通过向量运算得到旋转后的坐标。

初中三角形旋转经典例题示例文章篇一：哎呀呀，说起初中三角形旋转的经典例题，那可真是让我又爱又恨呢！记得有一次上数学课，老师在黑板上画了一个三角形，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们来研究一下这个三角形旋转的问题。

” 我当时心里就嘀咕：“这能有多难？”老师给出的例题是这样的：有一个等腰直角三角形ABC，直角顶点是C，把这个三角形绕着点C 顺时针旋转90 度，得到三角形A'B'C，让咱们求旋转后的三角形和原来三角形重合部分的面积。

我看着那个图，眼睛都快花了，心里直犯愁：“这可咋整啊？” 同桌小明倒是挺自信，他拿着笔在纸上比划着，嘴里还念念有词：“这还不简单，先找出旋转后的对应边和对应角呗。

” 我白了他一眼，说：“你倒是会说，那你快做出来给我看看呀！”这时，前桌的小红转过头来，说：“别着急，咱们一起想想。

” 我们三个人就凑在一起，开始研究起来。

我就想啊，这三角形旋转就好像是一个人在跳舞，转了一圈又一圈，但是它的形状和大小可没变。

这不就跟咱们玩的万花筒似的，看起来图案变来变去，其实那些碎片还是那些碎片嘛。

我们先把能找到的条件都标出来，发现重合部分也是个三角形。

小明突然一拍脑袋，说：“我知道啦，咱们可以通过三角形的相似来求面积。

” 我赶紧问：“咋相似啊？” 他说：“你看，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例，不就是相似嘛。

” 小红也点点头，说：“对呀对呀，那咱们就能算出边长的比例，进而求出面积啦。

”经过一番计算，我们终于算出了答案。

老师看到我们做出来了，笑着说：“不错不错，继续努力！” 那一刻，我心里别提多高兴了，就像吃了蜜一样甜。

你说，这三角形旋转的问题是不是很有趣？它就像是一个藏着宝藏的迷宫，只要我们认真思考，就能找到通往答案的路。

我觉得啊，数学虽然有时候让人头疼，但当我们解开难题的时候，那种成就感真是无与伦比！所以，可别害怕难题，只要咱们勇敢去探索，就一定能战胜它们！示例文章篇二：哎呀，一提到初中三角形旋转的经典例题，我这脑袋瓜就开始嗡嗡响啦！你们能想象得到吗？那一个个三角形就像调皮的小精灵，不停地转呀转。

三角形旋转问题引言三角形旋转问题是一种在平面几何中常见的问题，常用于数学教学和解决图形相关的难题。

在这个问题中，我们将讨论如何旋转一个三角形，并分析旋转对于三角形的性质和属性的影响。

旋转的定义旋转是一种通过将一个图形围绕一个中心点进行转动来改变其位置和方向的变换操作。

对于三角形而言，旋转是将三角形的每个顶点绕着一个中心点旋转一定的角度，使得原来的三角形变换为一个新的位置和方向的三角形。

旋转的过程旋转的过程可以通过以下步骤来实现：1.选择一个中心点。

这个中心点可以是任意点，但在进行旋转前需要明确选择一个点作为中心。

2.计算旋转角度。

旋转角度可以通过数学计算或直接给定。

通常使用度数来表示角度。

3.将三角形的每个顶点绕中心点逆时针旋转指定的角度。

4.连接三个新的顶点，得到旋转后的三角形。

旋转的性质和属性旋转对于三角形的性质和属性有以下影响：1.位置和方向：旋转会改变三角形的位置和方向。

原来的三角形可能需要平移以使得旋转后的三角形位于期望的位置。

2.边长和面积：旋转不改变三角形的边长和面积。

这是因为旋转只改变了三角形的位置和方向，而未改变其内部结构。

3.内角和外角：旋转不改变三角形的内角和外角的大小。

三角形旋转后，内角和外角的度数保持不变。

4.对称性：旋转可以保持三角形的对称性。

如果三角形具有某种对称性，旋转后的三角形也会保持同样的对称性。

5.相似性：旋转不改变三角形的相似性。

如果一个三角形与另一个三角形相似，那么它们的旋转结果仍然是相似的。

应用举例三角形旋转问题在实际应用中有许多相关的场景和用途。

下面是一些常见的应用举例：1.机械制图：在机械制图中，需要将一个图形进行旋转来得到其在不同位置和方向上的视图。

这可以帮助工程师更好地理解和设计机械零件。

2.三维建模：在三维建模软件中，可以通过旋转来改变模型的角度和方向，以便进行更好的可视化和编辑。

3.游戏开发：在游戏开发中，经常需要对游戏中的物体进行旋转，以模拟真实世界中的物体运动和交互。