天一大联考2018-2019学年高一年级阶段性测试(三)数学试题

..(1,1)，b=(2,m)，若a r∥a r+2b r，则实数m的值为（()绝密★启用前20182019学年第二学期天一大联考期末测试高一数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上的指定位置，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（）A.41B.42C.43D.442.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x+y=（）A.6B.5C.4D.3r r3.设向量a=）A.1B.2C.3D.44.下列函数中是偶函数且最小正周期为π4的是（）A.5C.77.已知cosθ=4，且θ∈ -⎝2,0⎪，则tan⎝4+θ⎪=（7 D.1s＝s＋1 bA.y=cos24x-sin24xB.y=sin4xC.y=sin2x+cos2xD.y=cos2x5.从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（）A.至少有1个白球；都是红球B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；恰好有2个白球D.至少有1个白球；都是白球6.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s2为（）2 B.32 D.4⎛π⎫⎛π⎫⎭⎭）A.-7B.7C.-17r r u uur r r u uur r r u uur r r8.已知a，是不共线的非零向量，AB=a+2b，BC=3a-b，CD=2a-3b，则四边形ABCD是（A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形9.执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）开始k＝1，s＝0k(k＋1)k＝k＋1k≥4?否是输出s结束）4 B.45 C.56 D.63π B.2A.28 D.111.已知tanα=2，则=（）2 C.14 D.1A. B.1C.函数f(x)在区间⎢2424⎥⎦ D.函数f(x)的图象关于点⎡7π13π⎤⎛7π⎫,0⎪对称y$$A.3710.如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（）9 C.π2sin22α-2cos22αsin(π-4α)321212.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)（ω>0，ϕ<π2），其图象相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且有一条对称轴为直线x=π24，则下列判断正确的是（）A.函数f(x)的最小正周期为4π B.函数f(x)的图象关于直线x=-7π24对称,上单调递增⎣⎝24⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知变量x，y线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y关于x的线性回归方程为$=1.9x+a，则a=______.xy15.429.6410.6514.4是 16.函数 y = 3 sin x cos x + cos 2 x 在区间 0, ⎪ 上的值域为______.cos + α ⎪ sin (-π - α ) ⎝ 2 ⎭⎛ 11π ⎫ ⎛ 9π cos - α ⎪ sin + α ⎪ [ [ [ [ [ [ r r r r14.已知向量 a = (cos5︒,sin5 ︒)， b = (cos65 ︒,sin 65︒)，则 2a + b = ______.15.执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是______.开始S ＝4Ⅰ＝Ⅰ＜ 2021?否S ＝2 2－S输出 S结束Ⅰ＝Ⅰ⎛ π ⎫⎝ 2 ⎭三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知扇形的面积为π π，弧长为 ，设其圆心角为α6 6（Ⅰ）求 α 的弧度；⎛ π ⎫（Ⅱ）求 的值.⎫ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭r r r r18.（12分）已知 a ， b ， c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1,2 ).r r r r（Ⅰ）若 c = (2, λ )，且 c ∥ a ，求 c ；r r r r r（Ⅱ）若 b = (1,1) ，且 ma - b 与 2a - b 垂直，求实数m 的值19.（12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位： kW ⋅ h ），并将样本数据分组为[160,180) ，180,200 )，200,220 )，220,240 )，240,260 )，260,280 )，280,300]，其频率分布直方图如图所示.2 cos 2 x - ⎪ + 1 sin + x ⎪附：线性回归方程： y = bx + a频率 组距0.0125 0.0110 0.0095x0.00500.0025 0.0020160 180 200 220 240 260 280 300 月平均用电量/kW •h（Ⅰ）若样本中月平均用电量在[240,260 )的居民有30户，求样本容量；（Ⅱ）求月平均用电量的中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220,240 )，[240,260 )，[260,280 )，[280,300]的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在[260,280 )的居民中应抽取多少户？20.（12 分）已知函数 f (x ) =⎛ π ⎫ ⎝ 4 ⎭ ⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭（Ⅰ）求 f (x )的定义域；（Ⅱ）设 α 是第三象限角，且 tan α = 1，求 f (α )的值.221.（12 分）某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5 个季度的销售额数据统计如下表（其中 2018Q1 表示 2018 年第一季度，以此类推）：季度季度编号 x销售额 y （百万元）2018Q1146 2018Q2256 2018Q3367 2018Q4486 2019Q1596（Ⅰ）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019Q3的销售额.$ $ $其中b=∑(x-x)(y-y)∑x y-nx⋅y∑(x-x)∑x2-nx2，a=y-bx参考数据：∑x y=1183为始边，以射线O P为终边的角为θ，以射线OQ为终边的角为ϕ，满足ϕ-θ=π$n ni i i ii=1=i=1n n2i ii=1i=1$$5I II=122.（12分）如图所示，在直角坐标系xOy中，点A(2,0)，B(-2,0)，点P，Q在单位圆上，以x轴正半轴2.（1）若θ=π2uuur uuur，求OA⋅Q Auuur uuur（2）当点P在单位圆上运动时，求函数f(θ)=AP⋅BQ的解析式，并求f(θ)的最大值.yPQB O A x天一大联考20182019学年（下）高一年级期末测试数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.【答案】A【命题意图】本题考查系统抽样的概念.【解析】由题知分组间隔为以60=6，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为6⨯6+5=41. 102.【答案】D【命题意图】本题考查茎叶图及众数和中位数的概念.【解析】 a + 2b = (5,2 m + 1)，因为 a ∥ a + 2b ，所以1⨯ (2m + 1)- 5 = 0 ⇒ m = 2 .()= ；C 中，函数 y = sin 2 x + cos 2 x = 2 sin 2 x + ⎪ ，是非奇非偶函数，周期 T = π ； . “ 7 ⨯ 4 + (5 - 5)2= 5 ， s 2 =.【解析】由甲组数据的众数为11，得 x = 1 ，乙组数据中间两个数分别为6 和 10 + y ，所以中位数是6 + 10 + y2= 9 ，得到 y = 2 ，因此 x + y = 3 .3.【答案】B【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算以及共线的性质.r r r r r4.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期.【解析】A 中，函数 y = cos 24 x - sin 24 x = cos8 x ，是偶函数，周期为T = 2π π= ；B 中，函数是奇函8 4数，周期 T =2π π ⎛ π ⎫4 2 ⎝ 4 ⎭D 中，函数是偶函数，周期T = 2π 2= π .5.【答案】A【命题意图】本题考查事件的概念与关系判断.【解析】从装有 4 个红球和 3 个白球的袋内任取 2 个球，在 A 中，“至少有 1 个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件在 B 中， 至少有 1 个白球”与“至少有1 个红球”可以同时 发生，不是互斥事件.在 C 中，“恰好有 1 个白球”与“恰好有 2 个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在 D 中，“至少有 1 个白球”与“都是白球”不是互斥事件.6.【答案】C【命题意图】本题考查平均数与方差的计算公式.【解析】因为 7 个数据的平均数为 5，方差为 4，现又加入一个新数据 5，此时这 8 个数的平均数为 x ，方7 ⨯ 5 + 57差为 s 2，由平均数和方差的计算公式可得 x = = . 8827.【答案】D【命题意图】本题考查同角三角函数的关系以及和角的正切公式tan θ + tan π4 = 1.Q θ ∈- ,0 ⎪ ，cos θ = ，∴ sin θ = - ， tan θ = - ，∴ tan θ + ⎪ = 4 ⎭ 1 - tan θ tan π 7【解析】Q AD = AB + BC + CD = a + 2b + 3a - b + 2a - 3b = 2 3a - b = 2BC ，所以 AD ∥ BC 且()()() ()【解析】运行程序框图，s = 14 3 35 5 4 2 S 9 =- - 2 sin 2 2α - 2cos 2 2α sin 2 2α - 2cos 2 2α tan 2 2α - 2 19 2 ⨯ - ⎪⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 【解析】 ⎝ 2 ⎭ ⎝48.【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的线性运算以及共线的判断.uuur uuur uuur uuurr r r r r r r r uuuruuur uuurAD ≠ BC ，∴四边形 ABCD 是梯形.9.【答案】A【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.11 12 2 1 3= ， k = 2 ； s = + = ， k = 3 ； s = + = ， k = 4 ，此时满1⨯ 2 2 2 6 3 3 12 4足条件，跳出循环，输出的 s = 3 4.10.【答案】B【命题意图】本题考查几何概型的概率计算.【解析】设大圆半径为3r ，小圆半径为 2r ，则整个图形的面积为S = 9π r 2 ，白色部分的面积为1 S 2S = ⨯ 4π r 2 = 2π r 2 ，所以所求概率 P = 白 = . 白11.【答案】D【命题意图】本题考查三角恒等变换的应用.【解析】Q tan α = 2 ，∴ tan 2α =2 tan α 4 ， 1 - tan 2α 3∴原式 =16= = = = . sin 4α 2sin 2α cos 2α 2 tan 2α ⎛ 4 ⎫ 12 ⎝ 3 ⎭12.【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的图象和性质.3，所以f (x) = sin 4 x+3 ⎭⎪.故最小正周期 T = 2 ， ⎡ k π 5π k π π ⎤ 得单调递增区间为 ⎢⎣ 2 24 2 24 ⎥⎦k ∈ Z ，得对称中心的坐标为 - ,0 ⎪ ， k ∈ Z ，D 选项错误【解析】由表格得到 x = 1 (1 + 2 + 4 + 5) = 3 ， y = (5.4 + 9.6 + 10.6 + 14.4 ) = 10 ，将样本中心 (3,10)代 入线性回归方程得 a = 10 - 1.9 ⨯ 3 = 4.3 .【解析】由题意得 a = cos r r r 2 r r r r( )1 1 【解析】第 1 次循环： S = -1 ，i =2 ；第 2 次循环： S =2【解析】图象相邻的两个对称中心之间的距离为 π4 π π 2π π，即函数的周期为 ⨯ 2 = ，由 T = = 得 ω = 4 .4 2 ω 2所以 f (x ) = sin (4x + ϕ ).又 x =π24是一条对称轴，所以π6 + ϕ = k π + π 2 ，k ∈ Z ，得 ϕ = k π + π3 ，k ∈ Z .又 ϕ <π2，得 ϕ=π ⎛⎝π ⎫π 2 ，A 项错误；令 4 x + π3 = k π + πk ∈ Z ，得对称轴方程为 x = k π π π π π+ ， k ∈ Z ，B 选项错误；由 2k π - ≤ 4 x + ≤ 2k π + ， k ∈ Z ，4 24 2 3 2- , + π ， k ∈ Z ，C 项中的区间对应 k = 1 ，故正确；由 4 x + = k π ， 3⎛ k π π ⎫ ⎝ 412⎭二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.【答案】4.3【命题意图】本题考查线性回归方程的性质.1 4 4$14.【答案】 7【命题意图】本题考查平面向量数量积的应用.r 2r r2 5︒ + sin 2 5︒ = 1 ， a = 1 . b 2 = cos 2 65︒ + sin 2 65︒ = 1， b = 1.r r∴ a ⋅ b = cos5 ︒ cos65 ︒ + sin 5︒ s in 65︒ = cos60 ︒ = ，∴ 2a + b = 4a + 4a ⋅ b + b 2 = 4 + 4 ⨯ + 1 = 7 ，2 2r r∴ 2a + b = 7 .15.【答案】4【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.3 ，i = 3 ；第 3 次循环： S =，i = 4 ；第 4 次32循环： S = 4 ， i = 5 ；…；S 关于 i 以 4 为周期，最后跳出循环时 i = 2021 = 1 + 4 ⨯ 505 ，此时 S = 4 .16.【答案】 0,⎥.sin2x+=sin2x+cos2x+=sin 2x+⎪+ Q x∈ 0,⎪，∈,sin 2x+⎪⎪∈ -,1⎥，∴sin 2x+⎪+∈ 0,⎥..6，所以r=由S=11解得α=πcos +α⎪sin(-π-α)cos -α⎪sin +α⎪22πtanπ4=3-1=2-3.=tan -⎪=.⎛3⎤⎝2⎦【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性和最值【解析】y=3sin x cos x+cos2x=⎛π⎫⎝2⎭31+cos2x311⎛π⎫1 22222⎝6⎭2∴2x+π⎛π7π6⎝66⎫⎛，则⎭⎝π⎫⎛1⎤6⎭⎝2⎦⎛π⎫1⎛3⎤⎝6⎭2⎝2⎦三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查扇形的面积公式以及诱导公式的应用【解析】（Ⅰ）设扇形的半径为r，则ar=ππππrl可得⨯⨯=，226α6612.π6α.（Ⅱ）⎛π⎫⎝2⎭-sinα⋅s inα==tanα.⎛11π⎫⎛9π⎫-sinα⋅cosα⎝⎭⎝⎭tan-tanπ⎛ππ⎫312⎝34⎭1+tanπtanπ1+33418.【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算及平行与垂直的性质r r ⋅ r r . .r r【解析】（Ⅰ）Q c ∥ a ，∴ 2 ⨯ 2 -1⨯ λ = 0 ，∴ λ = 4 ，r∴c = (2,4 ).r∴ c = 22 + 42 = 2 5 .r r（Ⅱ）Q a = (1,2 )， b = (1,1) ，r r r r∴ m a ⋅ b = (m -1,2 m -1)， 2a - b = (1,3).r r r r Q ma - b 与 2a - b 垂直，∴ (ma - b ) (2a - b )= 0 ，∴(m -1)⨯1 + (2m -1)⨯ 3 = 0 .∴ m = 4 7.19.【命题意图】本题考查频率分布直方图、中位数的求法、系统抽样等【解析】（Ⅰ）由 (0.0020 + 0.0095 + 0.0110 + 0.0125 + x + 0.0050 + 0.0025)⨯ 20 = 1 ，得 x = 0.0075 .所以月平均用电量在[ 240,260 ) 的频率为 0.0075⨯ 20 = 0.15.设样本容量为 N ，则 0.15N = 30 ，得 N = 200 .（Ⅱ）因为 (0.0020 + 0.0095 + 0.0110)⨯ 20 = 0.45 < 0.5 ，所以月平均用电量的中位数在[220,240 )内.设中位数为 a ，则 0.45 + 0.0125⨯ (a - 220) = 0.5 ，解得 a = 224 ，即中位数为 224.（Ⅲ）月平均用电量为 [220,240 )， [240,260 )， [260,280 )， [280,300]的四组频率分别为 0.25，0.15，0.1，0.05，所以从月平均用电量在[260,280 )的用户中应抽取 22 ⨯ 0.1= 4 （户）.0.25 + 0.15 + 0.1 + 0.0520.【命题意图】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用【解析】（Ⅰ）由 sin + x ⎪ ≠ 0 得 + x ≠ k π ， k ∈ Z ， 2 ， k ∈ Z ， f (x )的定义域为 ⎨ x x ≠ k π - , k ∈ Z ⎬ 2 , k ∈ Z ⎬ ”也正确） 2 ⎧ 所以由 ⎨ sin α 1 可解得 sin α = - ， cos α = - . = 5 5 ⎩ c os α2 2 cos 2α - ⎪ + 1 2 cos 2α + sin 2α ⎪ + 1 2 2 . ⎛ π⎫ π ⎝ 2 ⎭ 2所以 x ≠ k π -π故 ⎧ ⎩ π ⎫ ⎭（答案写成“ ⎨ x x ≠ k π + ⎩π ⎫ ⎭（Ⅱ）因为 tan α = 1 2，且 α 是第三象限角，⎧sin 2 α + cos 2 α = 1 ⎪ 5 2 5 ⎪故 f (α ) == ⎛ 2 2 ⎫ ⎝ ⎭ cos α= cos 2α + 2sin 2α + 1 cos α= 2cos 2α + 2sin α cos α cos α= 2 (cos α + sin α ) = - 6 5 5.21.【命题意图】本题考查古典概型的概率计算以及线性回归分析的应用【解析】（Ⅰ）从 5 个季度的数据中任选 2 个季度，这 2 个季度的销售额有 10 种情况：(46,56) ，(46,67 )，(46,86) ，(46,96) ，(56,67 ) ，(56,86)，(56,96)，(67,86) ，(67,96 ) ，(86,96).设“这 2 个季度的销售额都超过 6 千万元”为事件 A ，事件 A 包含 (67,86) ， (67,96 ) ， (86,96)，3 种情（Ⅱ） x = 1(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3 ， y = (46 + 56 + 86 + 96 ) = 70.2 . = 130 = 13 ， $ ∴ a $ = y - bx = 31.2 . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y = 13x + 31.2 . 令 x = 7 ，得 y = 13⨯ 7 + 31.2 = 122.2 （百万元）. . 3 ， ∠QOA = ( )5π OA ⋅ Q A = OA ⋅ OA - OQ = OA - OA ⋅ O Q = 22 - 2 ⨯1⨯ cos = 4 + 3 . 2 ⎭ = - sin θ ， sin ϕ = sin θ + ⎪ = cos θ ， ⎛ 况.所以 P (A ) = 310 .1 55b = 1⨯ 46 + 2 ⨯ 56 + 3 ⨯ 67 + 4 ⨯ 86 + 5 ⨯ 96 - 5 ⨯ 3 ⨯ 70.2 12 + 22 + 32 + 42 + 52 - 5 ⨯ 32 10$$$所以预测该公司 2019Q3 的销售额为 122.2 百万元.22.【命题意图】本题考查任意角的定义、平面向量的几何运算、三角恒等变换及三角函数的性质【解析】（Ⅰ）由图可知， ∠POA = θ = π π 3 + π 2 = 5π 6. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 6（Ⅱ）由题意可知 (cos θ ,sin θ ) ， Q (cos ϕ,sin ϕ ).因为 cos ϕ = cos θ + ⎝ π ⎫ ⎪ ⎛ ⎝ π ⎫ 2 ⎭所以 Q (- s in θ ,cos θ ).uuur uuur所以 AP = (cos θ - 2,sin θ )， BQ = (- s in θ + 2,cos θ ) .uuur uuur所以 f (θ ) = AP ⋅ BQ= (cos θ - 2)(2 - sin θ )+ sin θ cos θ= 2cos θ - sin θ cos θ + 2sin θ - 4 + sin θ cos θ=22sin θ+⎪-4.4（k∈Z）时，f(θ)取得最大值22-4.⎛π⎫⎝4⎭当θ=2kπ+π。

绝密★启用前2018-2019学年第二学期天一大联考期末测试高一数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上的指定位置，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A.41B.42C.43D.442.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A.6B.5C.4D.33.设向量()1,1a =，()2,b m =，若()2a a b +∥，则实数m 的值为（ ） A.1B.2C.3D.44.下列函数中是偶函数且最小正周期为4π的是（ ）A.22cos 4sin 4y x x =-B.sin 4y x =C.sin 2cos 2y x x =+D.cos 2y x =5.从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ） A.至少有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球 C.恰好有1个白球；恰好有2个白球D.至少有1个白球；都是白球6.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ）A.52B.3C.72D.47.已知cos 4θ=，且,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.7-B.7C.17-D.178.已知a ，b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是（ ）A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形9.执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）开始 k ＝1，s ＝0 s ＝s ＋1k (k ＋1)k ＝k ＋1 是 否结束输出s k ≥4?A.34B.45C.56D.6710.如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（ ）A.23πB.29C.8π D.1211.已知tan 2α=，则()22sin 22cos 2sin 4ααπα-=-（ ）B.12C.14D.11212.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<），其图象相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且有一条对称轴为直线24x π=，则下列判断正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期为4πB.函数()f x 的图象关于直线724x π=-对称 C.函数()f x 在区间713,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.函数()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知变量x ，y 线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y 关于x 的线性回归方程为1.9y x a =+，则a =______.14.已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 15.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是______.16.函数23sin cos cos y x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知扇形的面积为6π，弧长为6π，设其圆心角为α （Ⅰ）求α的弧度；（Ⅱ）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 18.（12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （Ⅰ）若()2,c λ=，且c a ∥，求c ；（Ⅱ）若()1,1b =，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值19.（12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位：kW h ⋅），并将样本数据分组为[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300，其频率分布直方图如图所示.开始 S ＝22－S是 否结束输出S Ⅰ＜2021? S ＝4Ⅰ＝Ⅰ＝Ⅰ（Ⅰ）若样本中月平均用电量在[)240,260的居民有30户，求样本容量； （Ⅱ）求月平均用电量的中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在[)260,280的居民中应抽取多少户？20.（12分）已知函数()214sin 2x f x x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第三象限角，且1tan 2α=，求()f α的值. 21.（12分）某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中2018Q1表示2018年第一季度，以此类推）：（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019Q3的销售额. 附：线性回归方程：y bx a =+/kW •h其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-参考数据：511183I II x y==∑22.（12分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，()2,0B -，点P ，Q 在单位圆上，以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，以射线OQ 为终边的角为ϕ，满足2πϕθ-=.（1）若2πθ=，求OA QA ⋅（2）当点P 在单位圆上运动时，求函数()fAP BQ θ=⋅的解析式，并求()f θ的最大值.天一大联考2018-2019学年（下）高一年级期末测试数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1.【答案】A【命题意图】本题考查系统抽样的概念.【解析】由题知分组间隔为以60610=，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为66541⨯+=. 2.【答案】D【命题意图】本题考查茎叶图及众数和中位数的概念.【解析】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=. 3.【答案】B【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算以及共线的性质.【解析】()25,21a b m +=+，因为()2a a b +∥，所以()121502m m ⨯+-=⇒=. 4.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期.【解析】A 中，函数22cos 4sin 4cos8y x x x =-=，是偶函数，周期为284T ππ==；B 中，函数是奇函数，周期242T ππ==；C 中，函数sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，是非奇非偶函数，周期T π=；D 中，函数是偶函数，周期22T ππ==. 5.【答案】A【命题意图】本题考查事件的概念与关系判断.【解析】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A 中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B 中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C 中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D 中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件. 6.【答案】C【命题意图】本题考查平均数与方差的计算公式.【解析】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==. 7.【答案】D【命题意图】本题考查同角三角函数的关系以及和角的正切公式.【解析】,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，4cos 5θ=，3sin 5θ∴=-，3tan 4θ=-，tan tan14tan 471tan tan 4πθπθπθ+⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭-. 8.【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的线性运算以及共线的判断.【解析】()()()()2323232AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=++-+-=-=，所以AD BC ∥且AD BC ≠，∴四边形ABCD 是梯形.9.【答案】A【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.【解析】运行程序框图，11122s ==⨯，2k =；112263s =+=，3k =；2133124s =+=，4k =，此时满足条件，跳出循环，输出的34s =. 10.【答案】B【命题意图】本题考查几何概型的概率计算.【解析】设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，则整个图形的面积为29S r π=，白色部分的面积为221422S r r ππ=⨯=白，所以所求概率29S P S ==白.11.【答案】D【命题意图】本题考查三角恒等变换的应用.【解析】tan 2α=，22tan 4tan 21tan 3ααα∴==--，∴原式22222162sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22194sin 42sin 2cos 22tan 21223ααααααααα----=====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. 12.【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的图象和性质.【解析】图象相邻的两个对称中心之间的距离为4π，即函数的周期为242ππ⨯=，由22T ππω==得4ω=.所以()()sin 4f x x ϕ=+.又24x π=是一条对称轴，所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，得3k πϕπ=+，k ∈Z .又2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故最小正周期2T π=，A 项错误；令432x k πππ+=+，k ∈Z ，得对称轴方程为424k x ππ=+，k ∈Z ，B 选项错误；由242232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得单调递增区间为5,224224k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，C 项中的区间对应1k =，故正确；由43x k ππ+=，k ∈Z ，得对称中心的坐标为,0412k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z ，D 选项错误 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】4.3【命题意图】本题考查线性回归方程的性质.【解析】由表格得到()1124534x =+++=，()15.49.610.614.4104y =+++=，将样本中心()3,10代入线性回归方程得10 1.93 4.3a =-⨯=.14.【命题意图】本题考查平面向量数量积的应用.【解析】由题意得222cos 5sin 51a =︒+︒=，1a =.222cos 65sin 651b =︒+︒=，1b =.1cos5cos65sin 5sin 65cos602a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=，()22124444172a ba ab b ∴+=+⋅+=+⨯+=，27a b ∴+=.15.【答案】4【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.【解析】第1次循环：1S =-，2i =；第2次循环：23S =，3i =；第3次循环：32S =，4i =；第4次循环：4S =，5i =；…；S 关于i 以4为周期，最后跳出循环时202114505i ==+⨯，此时4S =.16.【答案】3 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性和最值.【解析】21cos2111 cos cos22cos2sin22222262xy x x x x x x xπ+⎛⎫=+=+=++=++⎪⎝⎭0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666xπππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1sin2,162xπ⎛⎫⎛⎤+∈-⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，13sin20,622xπ⎛⎫⎛⎤∴++∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查扇形的面积公式以及诱导公式的应用.【解析】（Ⅰ）设扇形的半径为r，则6arπ=，所以6rπα=.由12S rl=可得12666πππα⨯⨯=，解得12πα=.（Ⅱ）()cos sinsin sin2tan119sin coscos sin22παπααααππαααα⎛⎫+--⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.tan tan34tan tan212341tan tan34πππππππ-⎛⎫=-===⎪⎝⎭+.18.【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算及平行与垂直的性质.【解析】（Ⅰ）c a ∥，2210λ∴⨯-⨯=，4λ∴=，()2,4c ∴=.224c ∴=+=（Ⅱ）()1,2a =，()1,1b =，()1,21ma b m m ∴⋅=--，()21,3a b -=.ma b -与2a b -垂直，()()20ma b a b ∴-⋅-=， ()()112130m m ∴-⨯+-⨯=.47m ∴=. 19.【命题意图】本题考查频率分布直方图、中位数的求法、系统抽样等.【解析】（Ⅰ）由()0.00200.00950.01100.01250.00500.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =. 所以月平均用电量在[)240,260的频率为0.0075200.15⨯=.设样本容量为N ，则0.1530N =，得200N =.（Ⅱ）因为()0.00200.00950.0110200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内. 设中位数为a ，则()0.450.01252200.5a +⨯-=，解得224a =，即中位数为224.（Ⅲ）月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组频率分别为0.25，0.15，0.1，0.05，所以从月平均用电量在[)260,280的用户中应抽取0.12240.250.150.10.05⨯=+++（户）. 20.【命题意图】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用.【解析】（Ⅰ）由sin 02x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得2x k ππ+≠，k ∈Z ， 所以2x k ππ≠-，k ∈Z ，故()f x 的定义域为,2x x k k ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z （答案写成“,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ”也正确） （Ⅱ）因为1tan 2α=，且α是第三象限角， 所以由22sin cos 1sin 1cos 2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩可解得sin 5α=-，cos 5α=-. 故()214cos f πααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=221cos ααα⎫+⎪⎝⎭= cos 22sin 21cos ααα++= 22cos 2sin cos cos αααα+= ()2cos sin αα=+= 21.【命题意图】本题考查古典概型的概率计算以及线性回归分析的应用.【解析】（Ⅰ）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：()46,56，()46,67，()46,86，()46,96，()56,67，()56,86，()56,96，()67,86，()67,96，()86,96. 设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A ，事件A 包含()67,86，()67,96，()86,96，3种情况.所以()310P A =. （Ⅱ）()11234535x =++++=，()14656869670.25y =+++=. 2222221462563674865965370.213013123455310b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯， 31.2a y bx ∴=-=.所以y 关于x 的线性回归方程为1331.2y x =+.令7x =，得13731.2122.2y =⨯+=（百万元）.所以预测该公司2019Q3的销售额为122.2百万元.22.【命题意图】本题考查任意角的定义、平面向量的几何运算、三角恒等变换及三角函数的性质.【解析】（Ⅰ）由图可知，3POA πθ∠==，5326QOA πππ∠=+=. ()225221cos46OA QA OA OA OQ OA OA OQ π⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=+ （Ⅱ）由题意可知()cos ,sin θθ，()cos ,sin Q ϕϕ. 因为cos cos sin 2πϕθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，sin sin cos 2πϕθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以()sin ,cos Q θθ-.所以()cos 2,sin AP θθ=-，()sin 2,cos BQ θθ=-+.所以()f AP BQ θ=⋅()()cos 22sin sin cos θθθθ=--+2cos sin cos 2sin 4sin cos θθθθθθ=-+-+44πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当24k πθπ=+（k ∈Z ）时，()f θ取得最大值4.。

天一大联考2019-2020学年高一阶段性测试（三)数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．sin315︒的值是（ ）A ．2-B ．12-C ．2D 2．AB BC AD +-=( ) A ．CDB ．CBC ．ADD ．DC3．已知扇形的圆心角为4π,面积为2π,则该扇形的弧长为（ ） A ．12πB ．6πC ．πD ．2π 4．已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知O 是ABC 所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且30OA BO OC -+=，那么（ ） A ．2=3CO OP B ．1=3CO OPC ．3=2CO OP D ．1=2CO OP 6．已知函数()f x 满足()()0f x f x π--=,且在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则()f x 的解析式可能是（ ） A ．()sin f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()cos f x x =D ．()cos2f x x =7．边长为6的等边ABC 中,D 是线段BC 上的点,4BD =,则·=AB AD （ ） A ．12B ．24C ．30D ．488．若函数()()22cos sin 22sin cos f x x x x x x R =⋅-∈,则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数 9．已知非零向量,a b ，满足2=a b ，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．34π D ．56π 10．如图为一直径为6m 的水轮,水轮圆心O 距水面2m ,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P 到水面的距离y （m ）与时间x （s ）满足关系sin()2,0,0,0y A x A y ωϕω=++>><是表示P 表示在水面下,则有（ ）A ．,315A πω== B ．2,315A πω== C ．,615A πω==D ．2,615A πω== 11．设函数()9sin 20,48f x x x π⎛π⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭,若函数()()y f x a a R =-∈恰有三个零点1x ,2x ,3x （123x x x <<）,则()1232x x x a ++⋅的取值范围是（ ）A ．3,42π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,42π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．30,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知ABC 内接于圆O ，且线段AB 的延长线与线段OC 的延长线相交.设OC OA OB λμ=+，则λμ+的取值范为是（ ）A ．()1,1-B ．1,0 C ．0,1D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 13．已知a m =，e 为单位向量，a 与e 的夹角为34π，且32a e ⋅=-则m =______. 14．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点1,0A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且5OC =，则OC 的坐标为______.16．已知函数()()3sin 4cos cos f x x x x =-在0x x =处取得最小值，则0sin 2x =______.17．已知向量()3,2a =-，()1,b m =，且b a -与()2,1c =共线.（1）求m 的值；（2）若a b λ-与2a b -垂直，求实数λ的值. 18．已知sin 3cos 3θθ+=，且()0,θπ∈. （1）求sin θ，cos θ的值； （2）求2011sin cos sin 362πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.19．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数()()sin 0,0,22g x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的图象.（1）求ω和ϕ的值；（2）求函数()g x 在区间[]0,π上的单调递减区间.20．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()2P ，且()0,2απ∈. （1）求sin 2α的值；（2）若3cos 5β=-，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较αβ+与2π的大小，并说明理由.21．如图所示，在ABC 中，点D 为AB 边的中点，点E 为BC 上靠近点B 的三等分点，线段AE 与CD 交于点P .（1）设+AP mAB nAC =，求m n -的值； （2）若3AB =，2AC =，2=3BAC π∠，求CP . 22．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且相邻的两个最（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，关于x 的不等式()22g x a a ≤-在[]0,3x ∈上有解，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可. 【详解】()()sin 315sin 36045sin 45sin 45︒=︒-︒=-︒=-︒=故选：A 【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用.属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可． 【详解】解：AB BC AD AC AD DC +-=-= 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的加减运算，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】设扇形的半径为R ,再根据扇形的面积公式以及弧长公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为R ,则21224S R ππ=⨯⨯=,所以4R =,所以弧长4=4l ππ=⨯. 故选：C 【点睛】本题考查任意角的弧度制以及扇形弧长和面积公式.属于基础题.4．C 【解析】 【分析】根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩再判断角β的象限即可.【详解】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C 【点睛】本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】所给等式可整理为3OA OB CO +=，再由P 为AB 的中点得2OA OB OP +=，推出32CO OP =，得解.【详解】因为30OA BO OC -+=，所以3OA OB CO +=， 因为P 为AB 的中点，所以2OA OB OP +=， 则32CO OP =⇒23CO OP =. 故选: A 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】 根据()()f x fx π=-可得直线2x π=是()f x 图象的对称轴,再根据()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减对各选项进行排除即可. 【详解】 由题意()()f x f x π=-,所以直线2x π=是()f x 图象的对称轴,可以排除选项B ,C.又因为()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,排除A . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的性质判定,属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】利用基底向量的方法,将AD 用,AB BC 表达,再根据数量积的运算公式求解即可. 【详解】因为6AB = ,4BD =,所以23BD BC =,所以23AD AB BC =+,所以222221666243332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查向量线性运算以及数量积.属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】利用正余弦函数的二倍角公式化简再判断即可. 【详解】 由题意得()()2212cos sin 22sin cos sin 22cos 1sin 2cos 2sin 42f x x x x x x x x x x =⋅-=-==,可得函数的最小正周期242T ππ==,且为奇函数. 故选：D . 【点睛】本题考查三角函数倍角公式以及三角函数最小正周期的求法.属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据向量垂直的公式与数量积公式求解即可. 【详解】设a 与b 的夹角为θ,因为()a b b -⊥,所以2()0a b b a b b -⋅=⇒⋅=,即2cos a b b θ⋅=.又2=a b ,2cos cos 2b b b θθ⋅=⇒=.故4πθ=.故选：B 【点睛】本题主要考查了垂直的数量积表示以及数量积的公式等.属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】根据题意可得出A 的值,以及该函数的最小正周期,利用周期公式可求得ω的值,进而得出结论. 【详解】由题意可知A 为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为()60302T s ==,所以215T ππω==. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数解析式中参数的计算,考查计算能力,属于基础题. 11．B【解析】 【分析】画出()9sin 20,48f x x x π⎛π⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像,再根据函数的对称轴可求得1223,x x x x ++的值,再根据函数()()y f x a a R =-∈恰有三个零点得出12a ≤<,进而求得()1232x x x a ++⋅的范围即可. 【详解】函数()9sin 20,48f x x x π⎛π⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭,其图象如下图所示,由此可知12284x x ππ=⨯+=,2355284x x ππ+=⨯=,12a ≤<. 所以()()1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=,所以()12332,42x x x a π⎡⎫++⋅∈⎪⎢⎪⎣⎭.故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,包括对称性的运用以及数形结合根据函数零点的个数求解参数范围的问题.属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】设线段AB 的延长线与线段OC 的延长线的交点为D ，因为A ，B ，D 共线，所以()1OD mOA m OB =+-，然后设()1OD nOC n =>，从而可得1m mOC OA OB n n-=+，然后得出()10,1nλμ+=∈即可. 【详解】设线段AB 的延长线与线段OC 的延长线的交点为D . 因为A ，B ，D 共线，所以()1OD mOA m OB =+-. 因为点D 在线段OC 的延长线上，所以()1OD nOC n =>.所以()1nOC mOA m OB =+-， 所以1m m OC OA OB n n-=+， 对比条件可得mn λ=，1m n μ-=，()10,1nλμ+=∈. 故选：C 【点睛】,,A B C 三点共线，若OC OA OB λμ=+，则1λμ+=.13．6 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义直接算出即可. 【详解】由题意得1e =，3cos4a e m π⋅===-6m =. 故答案为：6【点睛】本题考查平面向量的数量积，较简单. 14．12- 【解析】 【分析】tan tan 6124πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后算出即可. 【详解】tan tan 1124tan tan 612421tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-【点睛】本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.15．()1,2【解析】【分析】设(),C x y ，由5OC =得225x y +=，由点C 在AOB ∠的平分线上可得AOC BOC ∠=∠，然后可得OC OA OC OBOC OA OC OB ⋅⋅=⋅⋅，从而得到2y x =，然后解出即可. 【详解】设(),(0,0)C x y x y >>，由5OC =得225x y +=①因为点C 在AOB ∠的平分线上，所以AOC BOC ∠=∠ 所以OC OA OC OBOC OA OC OB ⋅⋅=⋅⋅，所以345x y x -+=，即2y x =② 联立方程①②可解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩（舍） 故OC 的坐标为()1,2故答案为：()1,2【点睛】本题考查的是平面向量数量积的应用，属于基础题.16．3-5【解析】【分析】首先分cos 0x ≥和cos 0x <两种情况讨论，得出当函数()f x 取得最小值时，022x k ϕπ+=，然后即可得出答案.【详解】当cos 0x ≥时，()()2353sin cos 4cos sin 22cos 22cos 2222f x x x x x x x ϕ=-=--=-+-， 其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=.所以()min 59222f x =--=-. 当cos 0x <时，()()2353sin cos 4cos sin 22cos 22cos 2222f x x x x x x x ϕ=-+=-++=++， 其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=.所以()min 5192222f x =-+=->-， 所以当函数()f x 取得最小值时，022x k ϕπ+=，k Z ∈，所以022,x k k Z πϕ=-∈，所以()03sin 2sin 2sin 5x k πϕϕ=-=-=-. 【点睛】 本题考查三角函数的性质以及倍角公式，解决本类问题时首先要将三角函数化成基本型. 17．（1）4m =，（2）3λ=-.【解析】【分析】（1）()4,2b a m -=-，然后利用b a -与c 共线求出答案即可（2）利用数量积的相关知识直接计算即可.【详解】（1）()4,2b a m -=-因为b a -与c 共线，所以()41220m ⨯--=，解得4m =.（2）由（1）知()1,4b =，所以13,17,31245a b a b ==⋅=-⨯+⨯=由a b λ-与2a b -垂直，得()()()2222120a b a b a a b b λλλ-⋅-=-+⋅+=， 所以()26512170λλ-++=，解得3λ=-.【点睛】 本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题.18．（1）3sin 5θ=，4cos 5θ=，（2）75-. 【解析】【分析】（1）联立方程sin 3cos 3θθ+=和22sin cos 1θθ+=求解即可.（2）首先利用三角函数的诱导公式化简，然后再利用其和差公式求解即可.【详解】（1）由条件可得sin 33cos θθ=-，又因为22sin cos 1θθ+=，联立得25cos 9cos 40θθ-+=. 解得4cos 5θ=或cos 1θ=， 又因为()0θπ∈，， 所以4cos 5θ=. 又因为sin 3cos 3θθ+=，所以3sin 5θ=. （2）由（1）知20112sin cos sin sin 6cos 2cos 36236πππππθθθπθπθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+=-+-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin cos cos 3636πππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---++-=-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭117sin sin cos sin cos 22225θθθθθθθ=--+--=--=-. 【点睛】本题考查的是同角三角函数的基本关系以及利用诱导公式和和差公式求值，属于基础题. 19．（1）2ω=，6πϕ=-（2）5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）先将()f x 化简转化为：()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据三角函数的图象的伸缩变换得到()=2sin 26g x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到ω，ϕ.（2）根据正弦函数的单调性，令()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，化简求解，然后与[]0,π取交集.【详解】（1）因为()12cos 2cos 22⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭f x x x x ，cos x x =-，2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 将函数()f x 得图象得横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象， 则()=2sin 26g x x π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以2ω=，6πϕ=-. （2）由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 得()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 又因为()[]55,0,,3636k k k Z πππππππ⎡⎤⎡⎤++∈⋂=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()g x 在区间[]0,π上的单调递减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数得图象与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（1） （2）2αβπ+>，理由见解析【解析】【分析】（1）根据角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()2P ，利用三角函数定义求得sin α，cos α，再利用二倍角的正弦公式求解.（2）根据33cos ,,52πββπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求得sin β，结合（1）中的sin α，cos α，再利用两角和的正弦公式求得()sin αβ+，确定αβ+的范围再作比较.【详解】（1）因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()2P ，由三角函数定义得：2sin3α==，cos α==.所以sin 22sin cos ααα==（2）因为33cos ,,52πββπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5β==-.由（1）可得，2sin 3α=，cos 3α=. 由题意可得,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以35,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 又因为()234sin sin cos cos sin 0355αβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以522παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以2αβπ+>.【点睛】本题主要考查三角函数定义、同角三角函数关系、倍角公式以及和角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．（1）15（2【解析】【分析】（1）过点D 作//DF BC ，交AE 于点F ，根据DF 是ABE △的中位线，得到1,2AF FE DF BE ==，再由2CE BE =，由比例性质得到14FP EP =，从而得到::5:1:4AF FP PF =，然后再利用平面向量的基本定理求解.（2）根据（1）得到14DP PC =，从而()4424==+=5555CP CD CA AD AB AC -，然后利用向量的数量积运算求解.【详解】（1）如图所示：过点D 作//DF BC ，交AE 于点F ，则DF 是ABE △的中位线，所以1,2AF FE DF BE ==. 又因为2CE BE =， 所以14DF CE =，所以14FP EP =， 所以::5:1:4AF FP PF =. 所以()3355AP AE AB BE ==+ ()31315555AB BC AB AC AB =+=+-2155AB AC =+ 所以21=55m n =，， 所以1=5m n -. （2）由（1）可知，14DP PC =， 所以()444224==++=555555CP CD CA AD CA AB AB AC =-. 所以22222441616==+55252525CP AB AC AB AB AC AC --⋅， 416116148=932+4=252522525⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭. 所以237=5CP 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．（1）()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）-11++22⎛⎡⎫∞-⋃∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭， 【解析】【分析】（1）易知：()f x 的最大值为1，最小值为-1.=求得T ，进而得到ω，然后由()f x 的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得ϕ，得到函数()f x 的解析式.（2）利用三角函数图象的平移变换得到()sin 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求得其值域，然后根据关于x 的不等式()22g x a a ≤-在[]0,3x ∈上有解，则由()2min 2a a g x -≥求解.【详解】（1）依题意得()f x 的最大值为1，最小值为-1.设()f x 的最小正周期为T = 解得6T =. 又2T πω=，所以3πω=.所以()sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为()f x 的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()10sin 2f ϕ==-， 又因为2πϕ<， 所以6πϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为将函数()f x 的图象向左平移1个单位后得到函数()g x 的图象， 所以()()sin 1sin 3636g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当[0,3]x ∈时，7,3666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,1362x ππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因为关于x 的不等式()22g x a a ≤-在[]0,3x ∈上有解， 所以2122a a -≥-，解得1a ≤1a ≥+综上可得a 的取值范围是-11++22⎛⎡⎫∞-⋃∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

5．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（）
A．至少有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是白球
【答案】A
【解析】根据对立事件的定义判断．
【详解】
从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.
【答案】(1)200 (2)224 (3)4户
【解析】(1)因为 ,所以月均用电量在 的频率为 ,即可求得答案;
(2)因为 ,设中位数为 , ,即可求得答案;
(3)月均用电量为 , , , 的频率分别为, 即可求得答案.
【详解】
(1) ,
得 .
月均用电量在 的频率为 .
设样本容量为N,则 ,
.
(2) ,
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正切二倍角公式求得 ，求值式由诱导公式和正弦的二倍角公式化角为 ，再弦化切后代入 可得结论．
【详解】
， ，
∴原式 .
故选：D.
【点睛】
本题考查正切的二倍角公式，正弦的二倍角公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系．三角函数化简求值时，遇到关于 的齐次式时可能用到弦化切后再求值．
月均用电量的中位数在 内.
设中位数为 ,
,
解得 ,即中位数为 .
(3)月均用电量为 , , , 的频率分别为

河南省天一大联考2018届高三阶段性测试（三）（全国卷）数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，若是复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.2. 已知集合，则的真子集个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 73. 已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：10.1 3.1则（）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.64. 下列说法中，错误的是（）A. 若平面平面，平面平面，平面平面，则B. 若平面平面，平面平面，则C. 若直线，平面平面，则D. 若直线平面，平面平面平面，则5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.6. 运行如图所示的程序框图，输出的（）A. 4B.C.D.7. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围（）A. B. C. D.8. 已知，则（）A. 0B.C.D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 27B. 36C. 48D. 5410. 现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了3场，各踢了4场，踢了2场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，则在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C.D. 212. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知向量满足，若，则__________．14. 已知实数满足，则的取值范围为__________．15. 如图所示，长方形中，分别是的中点，图中5个圆分别为以及四边形的内切圆，若往长方形中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为__________．16. 已知函数的部分图象如图所示，______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，角所对的边分别是，且．（1）求的大小；（2）若，求的面积．18. 已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．19. 已知多面体中，四边形为正方形，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求六面体的体积．20. 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为共享产品的态度与性别有关系？（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率．参考公式：．临界值表：0.102.70621. 已知椭圆，过点，且离心率为．过点的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．（其中，分别是直线的斜率）．22. 已知函数．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：.本题选择A选项.2. 【答案】B【解析】联立解得，则有两个元素，真子集个数为故选3. 【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得故选4. 【答案】C【解析】选项C中，若直线，平面平面，则有可能直线在平面存在问题，由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5.【答案】D【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线的方程为：.本题选择D选项.6. 【答案】C【解析】循环依次为;,结束循环,输出选C.7. 【答案】A【解析】代入，，则直线单调递减，又函数存在最小值则且，解得故选8. 【答案】C【解析】由题意可知：，则：，结合诱导公式有：，，据此可得：.本题选择C选项.9. 【答案】D【解析】该几何体为一个边长为3的正方体与两个边长为3的一半正方体的组合体,体积为,选D.10. 【答案】D【解析】依据题意：踢了场，队与队未踢过，则C队参加的比赛为：；D踢了场，队与队也未踢过，则D队参加的比赛为：；以上八场比赛中，包含了队参加的两场比赛，分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中，，各踢了2场，即余下的比赛为：，综上可得，第一周的比赛共11场：，，则队踢的比赛的场数是.本题选择D选项.11. 【答案】A【解析】由题意得选A.12. 【答案】C【解析】因为和都是偶函数,问题可以转化为当时，恒成立，在同一坐标系中画出及的图像如图所示，易知，当时，，，又，在上，恒成立，故恒成立，故，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.【答案】-2或3【解析】由向量平行的充要条件可得：，即：，求解关于的方程可得：或14.【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：目标函数表示点与可行域内的点连线的斜率，很明显，在坐标原点处，目标函数取得最小值：，联立方程：可得：在点处取得最大值：，综上可得：的取值范围为.15. 【答案】【解析】概率为几何概型，分母为矩形面积8.分子为4个小圆面积加一个大圆面积，所以落在阴影区域内的概率为16. 【答案】2【解析】依题意，因为函数的图像关于原点对称对称，故，因为，所以，故，结合图像可知的周期为2，所以，所以，故.故答案为：2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 解：（1）由，可得，∴，∴又∵，∴；（2）若，则，由题意，，由余弦定理得，∴，∴，∴．18. 解：（1）因为，故，得；设，所以，，，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故，故.（2）由（1）可知，故.19. （1）证明：取中点，链接，.根据题意可知，四边形是边长为的正方形，所以.易求得，所以，于是；而，所以平面.又因为，所以平面.（2）解：连接，则由（1）可知平面，平面.所以，，所以.20. 解：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：，共15种，其中满足条件的为共8种情况，故所求概率．21. 解：（1）依题意，解得，，故椭圆的标准方程为.（2）依题意，.易知当直线的斜率不存在时，不合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入中，得，设，，由,得，，，故综上所述，为定值.22. 解:（1）依题意，若，则函数在上单调递增，在若，则函数在上单调递减，在.（2）因为，故，①当时，显然①不成立；当时，①化为：；②当时，①化为：；③令，则，当时，时，，，故在是增函数，在是减函数，，因此②不成立，要③成立，只要，，所求的取值范围是。

天一大联考天一大联考2018-2019学年高一年级阶段性测试（三）学年高一年级阶段性测试（三）物 理一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，第1-6题只有一个选项符合题目要求，第7-10题有多个选项符合要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1、地球的质量是很大的，要想了直接称量地球的质量是不可能的。

第一个“称量出地球质量”的科学家是的科学家是A 、开普勒、开普勒B 、牛顿、牛顿C 、卡文迪许、卡文迪许D 、伽利略、伽利略2、关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是、关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是A 、线速度越大，向心加速度一定越大、线速度越大，向心加速度一定越大B 、角速度越大，向心加速度一定越大、角速度越大，向心加速度一定越大C 、线速度大小相同、方向不同的两个物体，角速度大的物体向心加速度较小、线速度大小相同、方向不同的两个物体，角速度大的物体向心加速度较小D 、角速度相同的两个物体，线速度大的物体向心加速度较大、角速度相同的两个物体，线速度大的物体向心加速度较大3、在光滑的水平面上建立平面直角坐标系xOy ，一质点静止在坐标原点O 处，先受到沿x 轴正方向的恒力F 1作用，经过一段时间后又受到一沿y 轴正方向的恒力F 2作用，再经过一段时间后撤掉恒力F 2，则关于该质点的运动轨迹，下列可能正确的是，则关于该质点的运动轨迹，下列可能正确的是4如图所示，一小船横渡一条两岸平行的河流，v s 表示水流速度，与河岸平行，v c 表示小船在静水中的速度，方向与上游成角θ，小船恰好能够沿直线到达正对岸的A 点。

若v s 变大，河中各处水流速度相等，要保证小船仍到达正对岸且时间不变，则下列方法可行的是时间不变，则下列方法可行的是A 、θ变小，v c 变小变小B 、θ变大，v c 变小变小C 、θ变大，v c 变大变大D 、θ变小，v c 变大变大5、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的圆周运动，研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。