2021高考数学复习专题 随机抽样 (精讲)
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专题10.1 随机抽样
【考情分析】
1.理解随机抽样的必要性和重要性；
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；
3.了解分层抽样和系统抽样方法.
【重点知识梳理】
知识点一 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
知识点二 系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
①确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；
①在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
①按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
知识点三 分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
【知识必备】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍. 3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
【典型题分析】
高频考点一 简单随机抽样及其应用
【例1】（2020·河南省信阳市二中模拟）利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.14 B.13
C.514 D.1027【方法技巧】
1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
【变式探究】（2020·湖南岳阳模拟）下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
高频考点二 系统抽样及其应用
【例2】(2019·全国卷①)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )
A．8号学生 B．200号学生
C．616号学生 D．815号学生 【方法技巧】
1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝Nn，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是nN.
2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
【变式探究】（2020·广东肇庆模拟）利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一个产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )
A．73 B．78 C．77 D．76
高频考点三 分层抽样及其应用
【例3】（2020·新课标①）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix，2011200iiy，2021)80iixx（，2021)9000iiyy（，201))800iiixyxy（（.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=12211))))niiiiinniixyxxyyyx（（（（，2=1.414.
【变式探究】(2018·全国卷①)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
【方法技巧】
1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系
(1)样本容量n总体的个数N＝该层抽取的个体数该层的个体数；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【变式探究】(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
【举一反三】（2020·河北廊坊模拟）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于( )
A．9 B．10 C．12 D．13
专题10.1 随机抽样
【考情分析】
1.理解随机抽样的必要性和重要性；
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；
3.了解分层抽样和系统抽样方法.
【重点知识梳理】
知识点一 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
知识点二 系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
①确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；
①在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
①按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
知识点三 分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
【知识必备】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
【典型题分析】
高频考点一 简单随机抽样及其应用
【例1】（2020·河南省信阳市二中模拟）利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.14 B.13
C.514 D.1027 【答案】C
【解析】根据题意得，9n－1＝13，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为1028＝514.
【方法技巧】
1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
【变式探究】（2020·湖南岳阳模拟）下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【解析】因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．
高频考点二 系统抽样及其应用
【例2】(2019·全国卷①)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )
A．8号学生 B．200号学生
C．616号学生 D．815号学生
【答案】C
【解析】①从1 000名学生中抽取一个容量为100的样本，①系统抽样的分段间隔为1 000100＝10，①46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增
