2020年天津市高考数学试卷(附答案详解)

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2020年天津市高考数学试卷

1. (2020·天津市市辖区·月考试卷)设全集𝑈={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合𝐴={−1,0，1，2}，𝐵={−3,0，2，3}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=( )

A. {−3,3} B. {0,2}

C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1，3 }

2. (2020·安徽省蚌埠市·单元测试)设𝑎∈𝑅，则“𝑎>1”是“𝑎2>𝑎”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. (2020·全国·月考试卷)函数𝑦=4𝑥𝑥2+1的图象大致为( )

A. B.

C. D.

4. (2021·安徽省·单元测试)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：𝑚𝑚)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )

A. 10 B. 18 C. 20 D. 36

5. (2021·江苏省无锡市·单元测试)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) 第2页，共20页 A. 12𝜋 B. 24𝜋 C. 36𝜋 D. 144𝜋

6. (2021·河北省唐山市·模拟题)设𝑎=30.7，𝑏=(13)−0.8，𝑐=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )

A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑏<𝑐<𝑎 D. 𝑐<𝑎<𝑏

7. (2021·河北省唐山市·模拟题)设双曲线C的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，过抛物线𝑦2=4𝑥的焦点和点(0,𝑏)的直线为𝑙.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )

A. 𝑥24−𝑦24=1 B. 𝑥2−𝑦24=1 C. 𝑥24−𝑦2=1 D. 𝑥2−𝑦2=1

8. (2021·湖南省·单元测试)已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜋3).给出下列结论：

①𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋；

②𝑓(𝜋2)是𝑓(𝑥)的最大值；

③把函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象上的所有点向左平移𝜋3个单位长度，可得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象．

其中所有正确结论的序号是( )

A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③

9. (2021·安徽省·历年真题)已知函数𝑓(𝑥)={𝑥3,𝑥≥0,−𝑥,𝑥<0.若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−|𝑘𝑥2−2𝑥|(𝑘∈𝑅)恰有4个零点，则k的取值范围是( )

A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2)

C. (−∞,0)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)

10. (2021·山东省·其他类型)i是虚数单位，复数8−𝑖2+𝑖= ．

11. (2021·广东省广州市·期中考试)在(𝑥+2𝑥2)5的展开式中，𝑥2的系数是______．

12. (2021·云南省·其他类型)已知直线𝑥−√3𝑦+8=0和圆𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)相交于A，B两点．若|𝐴𝐵|=6，则r的值为______．

13. (2021·江苏省·单元测试)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．

14. (2021·浙江省金华市·同步练习)已知𝑎>0，𝑏>0，且𝑎𝑏=1，则12𝑎+12𝑏+8𝑎+𝑏的最小值为______． 第3页，共20页 15. (2021·天津市·期中考试)如图，在四边形ABCD中，∠𝐵=60°，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=6，且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数𝜆的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ．

16. (2021·安徽省·单元测试)在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，𝑐.已知𝑎=2√2，𝑏=5，𝑐=√13．

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)求sinA的值；

(Ⅲ)求sin(2𝐴+𝜋4)的值．

17. (2021·云南省·单元测试)如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面ABC，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=3，点D，E分别在棱𝐴𝐴1和棱𝐶𝐶1上，且𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=2，M为棱𝐴1𝐵1的中点．

(Ⅰ)求证：𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；

(Ⅱ)求二面角𝐵−𝐵1𝐸−𝐷的正弦值；

(Ⅲ)求直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值．

第4页，共20页 18. (2020·广东省东莞市·同步练习)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个顶点为𝐴(0,−3)，右焦点为F，且|𝑂𝐴|=|𝑂𝐹|，其中O为原点．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)已知点C满足3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B在椭圆上(𝐵异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．

19. (2021·江苏省·单元测试)已知{𝑎𝑛}为等差数列，{𝑏𝑛}为等比数列，𝑎1=𝑏1=1，𝑎5=5(𝑎4−𝑎3)，𝑏5=4(𝑏4−𝑏3).

(Ⅰ)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；

(Ⅱ)记{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，求证：𝑆𝑛𝑆𝑛+2<𝑆𝑛+12(𝑛∈𝑁∗)；

(Ⅲ)对任意的正整数n，设𝑐𝑛={(3𝑎𝑛−2)𝑏𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+2,𝑛为奇数,𝑎𝑛−1𝑏𝑛+1,𝑛为偶数．求数列{𝑐𝑛}的前2n项和．

20. (2020·天津市市辖区·月考试卷)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑘𝑙𝑛𝑥(𝑘∈𝑅)，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数．

(Ⅰ)当𝑘=6时，

(ⅰ)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；

(ⅰ)求函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)+9𝑥的单调区间和极值；

(Ⅱ)当𝑘≥−3时，求证：对任意的𝑥1，𝑥2∈[1,+∞)，且𝑥1>𝑥2，有𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)2>第5页，共20页 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2．

第6页，共20页 答案和解析

1.【答案】C

【知识点】补集及其运算、交集及其运算

【解析】

【分析】

本题主要考查列举法的定义，以及补集、交集的运算，属于基础题．

先求出集合B的补集、再与集合A求交集．

【解答】

解：全集𝑈={−3,−2,−1,0，1，2，3}，

集合𝐴={−1,0，1，2}，𝐵={−3,0，2，3}，

则∁𝑈𝐵={−2,−1,1}，

∴𝐴∩(∁𝑈𝐵)={−1,1}，

故选：C．

2.【答案】A

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

解得a的范围，即可判断出结论．

【解答】

解：由𝑎2>𝑎，解得𝑎<0或𝑎>1，

故𝑎>1”是“𝑎2>𝑎”的充分不必要条件，

故选：A．

3.【答案】A

【知识点】奇偶函数图象特征的应用、函数图象的识别

【解析】

【分析】 第7页，共20页 本题考查了函数图象的识别，以及函数的奇偶性，属于基础题．

根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．

【解答】

解：函数𝑦=𝑓(𝑥)=4𝑥𝑥2+1，定义域为R，

则𝑓(−𝑥)=−4𝑥𝑥2+1=−𝑓(𝑥)，

则函数𝑦=𝑓(𝑥)为奇函数，故排除C，D，

当𝑥>0时，𝑦=𝑓(𝑥)>0，故排除B，

故选：A．

4.【答案】B

【知识点】频率分布直方图

【解析】

【分析】

本题考查了频率分布直方图，属于基础题．

根据频率分布直方图求出直径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可．

【解答】

解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，

则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，

故选：B．

5.【答案】C

【知识点】球的表面积、球的切、接问题

【解析】

【分析】

本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，属于基础题．

正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．

【解答】

解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，

所以2𝑅=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，