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有限元分析理论基础

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有限元理论基础

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把 计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的 节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其 导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理 或加权余量法，将微分方程离散求解。釆用不同的权函数和插值函数形 式，便构成不同的有限元方法。

4.加权余量法：

是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为 加权余量法。(Weighted residual method WRM)是一种直接从所 需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为：

在V域内 厶(")-八0 (5.1.1)

在 S 边界上 〃(“)-& = 0 (5.1.2)

式中：

L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；

f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；

u——为问题待求的未知函数

当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数 H 一般兵升如下形式:

仁 土 CN=NC (5.1.3)

TM

式中： c{ ----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；

N： --- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°

由于〃 一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂 因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:

| R] = L(flb— f 在 V域内

\RB =B(^~g 在 S 边界上 ("14)

城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称

做内召卩牙口边界余覺。

若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数 WB 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：

L兀WB1RBdS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5) • V • S

不同的权函数幵；和jrR反映了不同的消除余•眩的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组」一经解得待定 系数.由式(5.1.3)即可得所需求解边值问题的进似解」 由于试函数〃的不同■ 余址 A 和RB可冇如下三种T/r况.

依”匕加权余•竝法可分为：

1. 内部法

试函数满尺边界条件，也即《=B©-g=° 此时消除氽呈的条件成为: 1；%尺"=° 0 72丄 E) (5.16)

2. 边界法

试函数满足控制r方程. 也即 R ■砂CO 此时消除氽址的条件为: “詁/£二° (心 L2L JI) (5.1.7)

• s

3.混合法

试函数不测兄控制方程和边界条件. 此时用式(5 1.5)来消除氽显、限元分析理论基础

有限元分析概念

有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元 （子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单 元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地 适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件

有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的 单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷 工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用 有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在 小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求 解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方 程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两 方面。

非线性问题与线弹性问题的区别：

1） 非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；

2） 非线性问题不能采用叠加原理；

3） 非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类：

1） 材料非线性问题

材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时 应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从 理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力 与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可 用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实 际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、 弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2） 几何非线性问题

几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究 这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位 移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移 小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。

3） 非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视， 接触边界属于高度非线性边界。

平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、

橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界 相接触时通常要考虑非线性边界条件。

实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。

有限元理论基础

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把 计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的 节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其 导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理 或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形 式，便构成不同的有限元方法。

1・加权余量法：

是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为 加权余量法。(Weighted residual method WRM)是一种直接从所 需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法O 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为：

在 V 域内 L(u)-f=O (5.1.1)

在 S 边界上 Bg-g=0 (5.1.2)

式中： L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；

f、9 ——为与未知函数U无关的己知函数域值；

U——为问题待求的未知函数

当牙!J用力口权余试法求近T以解日寸，甘先在求解喊上理立一个壬式函数 〃 一般兵冇如帀形式:

z? o= V C\Nt = AV (5」3)

式中： G ------------ 钳定系数. 她可称为广义坐标；

N、 ---- J队白完备函数共的线J生无关白勺基函数二

由于R 一 般只足彳寺求函掬;u的近似解. 因D匕将•式(5.1.3) 代入式(5.1 1)芽口式(5.1 2)后将•得•不至U满足. 若2:

、Ri=L(M_.f 在 V 域内

\RB=B(ft^-g 在 S 边界上

显然耳、為反映了试《函数与為卖稱之川1白勺偏差，它T门分另州尔

做内占卩才口边界余Tib ,

若在域¥內引入内部权函数 为，在边界S上引入边界权函数 WB 则可建立11个消除氽量的条件，一般可农示为：

| r,^r+ | rs)A^zs = o (/ = L 2,L ,〃) er ♦ p * s

不同的权函数〃；和 % 反映了不同的消除余-址的准贝!J。从上 式可以得到求解诗定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，由式(5.1 3)即可得所需求稱边值问題的近似解〉 由于试函数"的不同. 余壁&和 凫 可方如下三种‘侨况，

依此加权余崔•法可分为：

1. 内部法

试函数满兄边界条件.她即 & 7衢甘Q 此时消除余壁的条件成为：

I：麻"卩=0 Q=1、2.L") (5.1.6)

2. 边界法

试函数满足控制方程，电卯 只=乂$7-/=0 此时消除金量的条件为： 曲阳洽=0 (/ = 1.2X Ji) (S-i-7) 3. 混合法

试函数不濒叉控制方程和边界条件. 此时用式(5.1.5)来消除余蚤°类似于冇P艮元法O

混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最

大。对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构 分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：

(1) 试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数有幕 级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等 等。

(2) 试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数 低一阶的导数连续性。

(3) 试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具 有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的 不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最 小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。

下而以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余蚤的五种基本 方法。对内部法来说，消除余蚤的统一格式是：

0%亦=0 (/ = 1,2.L 屮)

1. 子域法(Siibdoinnin Method)

此法首先M各求解域丫划分成n个子域 % ,衣宓个子域内令权函数 等于1. 而在子域之外取权函数为零，也艮P:

卩(豐)

” |0代外)

如果在各个子域里分别选取试函数.那么它的求禅在形式上将 2. 配点法(Collocation Method)

子域法是令余呈在一个子域上的总和为冬。而配点法是使

余•豪在扌旨定的n个点上等于寺，这些点称为配点。0匕法的杈

ooo

篦羽诚£(犹拉克)函数，它的定义为:

P、Pj—分别代表求稱域内任一点和色己点。

由于此法只在配点上偌证余量为零，因此不需耍作积分计算，

所以是最简单的加权余蚤法

3. 最小二乘法(Least Square Method)

本法立旌立无丫更在涎个求解域上余-处的平方和取极力、来建立消除余 量的条件。

若记余泌平方和为1(C),即2(C) = f砖如=I R]R,dV

则极值条件为： 2厂(箸)'巳沙=°

由此可见，本法权函数为： 昭=淫 0=L21 ,«)

4. 伽辽金法Method)

本法是使余涅'与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数

Wh = N( (/ = 1,2,L JI)

当•£式函数 田包含注个完备函数集时，用本法必可衣得耕确解 函数为： Wh =&P_P)

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有限元理论基础

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2.1 数值模拟技术

2.1.1数值模拟技术简介

在工程技术领域中许多力学问题和场问题，实质上就是在一定的边界条件下求解一些微分方程。对于少数简单问题，人们可以通过建立它们的微分方程与边界约束求出该问题的解析解。但是对于比较复杂的数学方程问题以及不规则的边界条件通过激吻戏法往往难以求解，而需要借助各种数值模拟方法活的相应的工程数值解，这就是所谓的数值模拟技术。

在实际工程领域中，用数值模拟技术可以对复杂的工程结构进行受力和响应分析，这样可以在设计或者加工前预知实体结构工作状态下的大概情况。

目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法、有限差分法、边界元等但从实用性和使用范围来说，有限单元法则是随着计算机技术的发展而被广泛应用的一种行之有效的数值计算方法。

2.2.2 有限元法

有限元法是一种基于能量原理的数值计算

方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计算工具。它是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论。

限元法是处理连续的结构体离散或有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过节点相互连续，同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律：进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。

有限元求解问题中的单元分析：tttakF

式中：:tF单元节点作用力。

tK:单元刚度矩阵。

ta：单元节点位移。

通过单元分析确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元为伊关系。有限元求解问题时建立的结构整体平衡方程：PKU

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有限元分析理论基础

有限元分析概念

有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件

有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

非线性问题与线弹性问题的区别：

1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；

2）非线性问题不能采用叠加原理；

3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类：

1）材料非线性问题

材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2）几何非线性问题

几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。

有限元分析基础复习题

有限元分析基础复习题

1 2

3 X2

①

② Y2

 《有限元分析基础》复习题

1. 有限元法有什么特点和优势？

2. 简述有限元法的基本步骤和基本思想。

3. 有限元法有哪些热点问题？

4. 单元、节点、节点力和节点载荷分别是指什么？

5. 简要分析选择位移函数的一般原则。

6. 简要分析有限元法的收敛准则。什么叫协调元、非协调元和完备元？

7. 什么叫虚功原理和最小势能原理？并列出其一般表达式。

8. 分别列出平面杆、平面梁单元的形状函数列阵、应变矩阵和应力矩阵，并说明其中各符号的含义。

9. 写出平面杆单元的坐标变换矩阵，并给出局部坐标系下单元刚度矩阵与总体坐标系下单元刚度矩阵的变换关系，并说明其中各符号的含义。

10. 试用最小势能原理推导杆、平面梁单元的刚度方程，并给出单元刚度矩阵的具体表达式，并说明其中各符号的含义。

11. 简要分析Mises等效应力准则，并说明其中各符号的含义。

12. 简述二维连续体问题虚功原理及其具体表达，并说明其中各符号的含义。

13. 列出二维连续体问题的单元平衡方程、几何方程以及物理方程，并说明其中各符号的含义。

14. 试用最小势能原理推导二维连续体问题的单元刚度方程，并说明其中各符号的含义。

15. 简述达朗贝尔原理，并给出二维问题的具体表达，说明其中各符号的含义。

16. 列出结构动力学方程和特征方程，并说明其中各符号的含义。

17. 给出结构振动平面弹性问题的几何方程和物理方程，说明其中各符号的含义，并分析其与静力学问题的不同之处。

18. 简述一致质量矩阵和集中质量矩阵的含义，并用杆单元加以说明。

19. 简要分析传热过程分析的重要意义。

20. 给出热传导问题的控制方程，并说明其中各符号的含义。

21. 连续体的热问题包括哪两个部分？并分析其相互影响。

22. 列出下图所示2杆桁架结构各单元在总体坐标中的刚度矩阵，并将其组装成总体刚度矩阵，再求出各节点位移。其中，θ=45º，X2=10×106 N，Y2=5×106 N，杆1横截面积为A1=0.15 m2，杆2横截面积为A2=0.1 m2，弹性模量为E=210 GPa，杆2的长度为1 m。

普通人有限元分析入门方法--理论学习篇

普通人有限元分析入门方法--理论学习篇

普通人有限元分析入门方法--理论学习篇

展开全文

（这文章写的时候估计会被喷，我已经做好心理准备的！）

文章开始前，我要先说明：就像文章题目说的一样，本文只是从一个很普通的有限元分析工程人员的角度出发，既没有华丽的学历背景，也没有超一流的企业研发经验，更没有超高的智商，只是从一个普普通通的分析工程师角度和大家说说作为一个普通凡人如何去看待有限元分析学习的问题。

本人在网络上浸淫多年，有限元分析的学习也经历了整整10个年头，从一个无知小白到现在能够解决一些问题的工程人员，一路走来的心酸也是只有自己才知道。回忆最初的起步，以及网络上看到很多新手学习的艰辛，想到写这样一篇文章，说说咱们这种普通人该如何去玩有限元分析。

我打算把文章分为理论学习篇、软件操作学习篇、实际应用学习篇和有限元分析行业市场分析篇四个部分，主要针对学习有限元分析5年以内的群体。

理论学习篇

一说到有限元分析理论学习，我就觉得我上的那个是假大学，为啥随便来几个不是新手的人都是学过这么多课的，看过这么多书的，我上的大学不都是浪出来的么？我相信很多新手和我的感觉是一样一样的。

首先我以我目前的认知以及在网上很多人解答新手的问题来大致罗列下出镜率比较高的理论科目，并大致评估下学习需要的时间（假设我们从20岁开始为有限元分析打基础）。

大学本科四年掌握：高等数学、线性代数、材料力学、理论力学、概率统计，到这里24岁，这一阶段大多数的步调基本一致，接下来开始：

1. 弹性力学（1年）；

2. 数值方法（0.5年）；

3. 有限单元法（1年）；

4. 振动力学（1年）；

5. 损伤力学（1年）；

6. 张量分析（1年）；

7. 线性空间（1年）；

8. 软件应用（0.5年）。

把以上的内容相加，大概7年时间，WTF！这些学完已经30+了，这玩意我还是按照及其保守的时间，实际操作起来只会长不会短，有人说我可以一起学，有这种想法的人可以试试，或者去问问身边群里那些正在学习的人（这类人肯定不少，而且多数都是新手），听听他们学习之后的感受。已经参加工作的朋友们肯定知道，过了大学本科之后的阶段，还要学相关的产品设计，产品标准一大堆的东西，读书的还要应对考试，工作的每天还说不定要加班，还要谈恋爱，到了27岁以后还有要考虑结婚生孩纸，要照顾家里人，年纪大了记忆能力理解能力衰退，学这些玩意，确实想太多了，即使学个大概，估计30岁前能学完都谢天谢地了！所以这种学习方式适合那些精英群体，不适合一般的普通学习者，更加不适合在24岁之后就走上工作岗位的工程人员。所以我们这样的非精英群体该如何学习有限元分析的理论部分？