正方形的定义及性质

正方形的定义性质判定

执笔：陈振华 课型：新课 审稿：八年级数学组

教学目标：理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法

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一、 理解定义

1、 如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形，折一折

2、 如何在下面的长方形中画一条直线得到正方形图形，试一试

由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形

3、 如何将顶点不固定的棱形变为正方形

因此，我们还可以把_____________的棱形叫正方形

二、找性质

1、 因为正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，对边_________，四角都是__________，对角线_______________

2、 因为正方形是特殊的棱形，所以它具有棱形的性质，四边_____，对角线______且_________

讲例与探究 探究一、（1）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形

（2）若边长为a，求BO的长 A B

O

D C

探究二、

边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB1C1D1的位置，则图中阴影部分的面积是

课堂练习

1、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形

2、在边长为12cm的正方形纸片ABCD的BC边上有一点P，已知PB＝5cm，如果将纸折起，使点A落在点P上，试求折痕的长度。

3、设P是正方形ABCD内的一点，满足PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB．

4、

ABCD为正方形，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，

求证：BM＝CN。

课外练习

2、如图，正方形ABCD中，△BEC为等边三角形，求∠EAD的度数

3、四边形ABCD是正方形，点E是边BC上任一点，∠AEF=90°，且EF交正方形的外角的平分线CF于点F，求证：AE=AF

正方形

【知识点一】正方形的性质

正方形：既是矩形又是菱形的四边形叫做正方形.

思考：正方形和矩形和菱形有什么区别呢？

分析：

对角线：垂直边：四边相等与矩形相比

对角线：垂直角：四角相等与菱形相比

思考：根据正方形的定义，四边形、平行四边形、矩形、 菱形及正方形之间的关系是怎样的呢？

总结正方形的性质如下:

(1)边：四边相等，邻边垂直；

(2)角：四个角都是直角；

(3)对角线：互相垂直平分且相等 ，毎个对角线平分一组对角；

(4)对称性：既是轴对称图形，也中心对称图形.

注意：正方形的对称中心是对角线交点，过这点的任意直线可以将正方形分成两个全等图形.

练习：下列对正方形的描述错误的是（ ）

A. 正方形四条边相等

B. 正方形每条平分线平分一组对角

C. 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形

D. 正方形是对角线相等的矩形

分析：A性质（1)； B性质（3)； C性质⑷ ； D错误

练习：如图正方形ABCD中，DAF=20，AF角对角线BD与E，则BEC= .

例1.（1）下列关于正方形的说法，错误的有（ ）

①正方形是轴对称图形； ②正方形有两条对称轴； ③正方形是中心对称图形；

④正方形的对称中心是对角线的交点； ⑤正方形的对角线平分一组内角；

⑥正方形的对角线互相垂直平分．

A：1个 B：2个 C：3个 D：4个

(2)如图，P是正方形ABCD边AB上任意一点，AC、BD交于O，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若

AB = 10，则四边形PMON的周长为______．

(3)如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，则∠AED =______．

练1.1.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）

A：对角线相等

B：对角线互相垂直平分

正方形的性质

简介

正方形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和特点。本文将介绍正方形的定义、性质以及一些常见的应用。

定义

正方形是一种具有特殊几何形状的四边形，其四条边相等且四个角均为直角。正方形可以看作是一种特殊的矩形，也可以视为特殊的菱形。在平面几何中，正方形是最简单和最基本的形状之一。

性质

1. 边长和周长

正方形的最显著性质之一是其四条边相等。如果一个正方形的边长为a，则它的周长为4a。

2. 面积

正方形的另一个重要性质是其面积。正方形的面积等于边长的平方。设正方形的边长为a，则它的面积可以表示为𝑎2。

3. 对角线

正方形的对角线是一条连接正方形相对顶点的线段，它们相等且垂直相交。设正方形的边长为a，则正方形的对角线长度可以通过勾股定理计算，即对角线的长度𝑑满足𝑑2=𝑎2+𝑎2=2𝑎2。

4. 角度

正方形的四个角均为直角，每个角的度数为90°。这是正方形与其他四边形的一个明显区别。

5. 对称性

正方形具有多个轴对称线和旋转对称性。具体来说，正方形具有4条轴对称线，它们分别是连接中心点与对边中点的线段，以及连接相邻顶点的线段。此外，正方形还具有4个旋转对称中心，它们分别是正方形的4个角。 6. 相似性

正方形与自身是相似的，这意味着可以通过缩放、旋转和平移等操作将一个正方形变换为另一个正方形。

应用

正方形的性质使其在许多领域有着广泛的应用。以下是几个常见的应用示例：

1. 建筑设计

正方形是建筑设计中常用的基本形状之一。许多建筑物的平面布局中采用正方形，这在一定程度上能够提供更好的结构稳定性和空间利用效率。

2. 材料切割

在一些制造行业，如纺织、木工等领域，使用正方形材料进行切割可以最大限度地减少浪费。因为正方形具有对称性和相等边长的特点，因此可以更好地优化材料的利用效率。

3. 几何推理

正方形作为一种具有简单结构的形状，常常被用于几何推理的证明过程中。正方形的对称性和性质可以帮助推导出其他更复杂形状的性质和关系。

学科：数学

教学内容：正方形

【学习目标】

1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．

2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．

3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．

【主体知识归纳】

1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

3．正方形的判定

（1）根据正方形的定义；

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）有一个角是直角的菱形是正方形；

（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

【基础知识精讲】

1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行)()2()()1(

正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

2．正方形的性质可归纳如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．

【例题精讲】

［例1］如图4－50，已知矩形ABCD中，F为CD的中点，在BC上有一点E，使AE＝DC＋CE，AF平分∠EAD．

求证：矩形ABCD是正方形．

图4—50

剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．