论文：大数定律及其应用

1 大数定律及其应用

学生姓名：徐转 学号：20110401266

数学与计算机科学系 数学与应用数学专业

指导教师：任园园 职称：讲师

摘 要: 本文介绍了几个常见的大数定律及其在生活中应用,具体包括在数学分析中定积分以及在保险业中等方面的应用,进一步说明了大数定律在各分支学科中的重要作用和应用价值.

关键词：大数定律；保险；应用

Abstract : we introduce several common law of large numbers and often used in our

daily life, including the integration and application of medium in the insurance industry

in terms of mathematical analysis, we obvious the important

function and application

value on the law of large numbers in various branches.

Key Words：the law of large numbers；insurance；application

前言

大数定律是概率历史上第一个极限定理.常见的大数定律有伯努利大数定律，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律等.

一方面，大数定律是一种解决方案,一个新的双积分的收敛条件的思想，另一方面,大数定律在国内外的市场上都得到了很好的应用,尤其是在实际生活中的应用.很多研究者在这个领域都取得了很大的成果.所以继续研究大数定律是一个非常有价值的方向,通过这些问题的研究,不仅仅可以让人们更加的了解大数定律，而且很多数学问题以及生活问题都可以得到解决.

1.大数定律

1.1大数定律的发展史

1733年，德莫佛--拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限是正态分布.接着拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广成了更一般的分布.1900年,李雅普诺夫也进一步促进他们的结论,并对特征函数法进行创造,把它命名为“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨是中心极限定理 2 成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情况下的显著进展.

1.2 几个常见的大数定律

（伯努利大数定律） 如果nS为n重伯努利试验中的事件A发生的次数,p为每次试验中A出现的频率,那么对任意的0，有

pnSPnnlim

（切比雪夫大数定律） 如果nX为一列两两不相关的随机变量序列,若每个iX的方差存在,且有共同的上界,即,,2,1,icXVari则iX服从大数定律,那么对任意的0,下式成立.

111lim11niniiinXEnXnP

（马尔科夫大数定律）有随机变量序列nX,如果0112niiXVarn成立,那么nX服从大数定律,所以对任意的0,则

111lim11niniiinXEnXnP

成立.

（辛钦大数定律） 如果nX为一独立同分布的随机变量序列,假设iX的数学期望存在,那么nX服从大数定律,所以对任意的0,有

111lim11niniiinXEnXnP

（泊松大数定律）如果nS为n次独立分布试验中的,事件A出现的次数,而事件A在第i次试验时出现的概率为ip，,,,2,1ni,所以对任意的0,有

11lim1niinnpnnSP 3 2.大数定律在数学分析中的一些应用

2.1大数定律在收敛问题中的应用

例1 设xf为区间ba,上的连续函数,则存在多项式序列xNn,于ba,上一致收敛于xf.

证明 先从区间1,0上证明,也可以变量变换：atabx,可将ba,化为1,0,.1,0t令

nkfxxCxNknknkknn10

显然有,11,00fNfNnn故当0x或1x时的收敛问题解决.现只考虑1,0x时的收敛问题.

设～1,0,1,,xnxnB则

xNxxCnkfnfEnknkknnkn10

有

knkknnknxxCxfnkfxfxN10

所以

knkknnknxxCxfnkfxfxN10

因为xf在上1,0连续,所以xf在1,0上有界，设kxf，且xf在1,0上一致连续,那么对任意的0,存在0,使得当xnk时，就有 4 2xfnkf.

由伯努里大数定律，得xnpn，所以对0，存在0N，使得当Nn时就有kxnPn4.

从而当Nn时,所以1,0x有

knkknxnknxxCxfnkfxfxN1

knkknxnkxxCxfnkf1

knkxnkknxxCk122

2222xnkPn.

证毕.

2.2大数定律在定积分方面的应用

例2 有0()1fx,求xf在区间1,0上的积分值.

Jdxxf10)(

解 二维随机变量YX,服从正方形10,10yx上的均匀分布,则可知X服从1,0上的均匀分布,Y也服从1,0上的均匀分布,且X与Y独立.又记事件

XfYA

则A的概率为

XfYPp=10)(0xfdydx=dxxf10)(=J 5 即定积分的值J就是事件A的概率p.即将YX,看成是向正方形,10,10YX内的随机投的点，用随机点落在区域xfy中的频率作为定积分的近似值.

下面用蒙特卡罗方法得到A出现的频率：

（1）先用计算机产生1,0上均匀分布的n2个随机数,组成n对随机数,,1,2,,iixyin,这里的n可以很大,譬如n=410,甚至510n.

图1：关于随机投点法的图

（2）n对数据（ix，iy），1,2,,in记录满足如下不等式iy)(ixf的次数，

这就是事件A发生的频率nSn,则JnSn

譬如计算dxex21022,其精确值和在5410,10nn时的模拟值如下：

表1：关于模拟值的表

精确度 410n 510n

341344.0 340698.0 341355.0

注意,对于一般区间ba,上的定积分

'J=dxxgba)(

作线性变换)()(abaxy,即可化成1,0,区间上的积分,进一步若dxgc)(, 6 ]))(([1)(cyabagcdyf

则1)(0yf.此时有

100'()()()baJgxdxSfydycba

其实))((0cdabS.这说明以上用蒙特卡洛方法计算定积分方法带有普遍意义.

3.大数定律在实际中的应用

3.1大数定律在保险业中的应用

例3有一家保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为006.0，死亡时，家属可以向保险公司领1000元.试问：家庭的平均支付9.5元赔偿1.6元的概率？保险公司的概率有多大？损失钱吗？

解 如果用100001i表示保险公司给家属的赔偿金,那么，

16,5.9641,2,,1000010000iiEXDXi,诸iX相互独立.

则100001iiXX表示保险公司赔给每家的钱

410964.5,5XDXE

由中心定理,X～20244.0,6N

99996.0109.420245.061.60245.069.51.69.5XP

保险公司亏本,也就是赔偿金额大于12万元左右,即死亡人数大于100人的概率.设死亡人数为Y,则Y～64.59,60,006.0,10000YDYEB,Y近似服从正态分布64,59.60N，那么

777.71201120YPYP

则 7 9952.059.264.59608080YP

在保险市场的竞争，一是减少5元的保险费,另一个是提高1000元的赔偿,对于保险公司来说,收益是一样的,采用提高赔偿金比例降低5元保险费更能吸引投保户.

3.2大数定律在产品中的应用

例4 有一大批无线电元件,合格品占61,从中任意选择6000个,试问把误差限定为多少时,才能保证频率与概率之差的绝对值不大于的概率为99.0？

解 设6000个电器元件中合格品为,～pnB,，其中65,61,6000qpn，有大数定律得

pqnnpqnppqnPP616000

99.012pqn

即995.0pqn,找查表的0124.0,58.265616000pqn,把0124.0代入上式得

0124.0616000P=4.741000P

=99.04.10746.925P

就是说相应合格品的个数落在962个与1074个之间.

3.3大数定律在学校中的应用

例5 一所学校的900名学生的“高等数学”课程的教师6人,假设每个学生完全随机选择教师和教师之间的选择,同学们都是相互独立的.那么上课教室应该有多少个座位,才能让学生不因为没有座位离去的概率小于%1.

解 设教师设iX个座位，那么

iX=101,2,,900.{ii，若第个学生选择教师甲，，其他，