旋转体侧面积公式三个

极坐标侧面积旋转公式
极坐标侧面积旋转体的公式：
面积=∫2πyds=∫2πrsinθ√(r²+r²)dθ。

极坐标属于二维坐标系统，创始人是牛顿，主要应用于数学领域。

极坐标是指在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。

旋转体的侧面积公式证明过程摘要：一、旋转体的概念及分类二、旋转体侧面积公式的推导三、旋转体侧面积公式的应用举例四、总结正文：一、旋转体的概念及分类旋转体是由一个平面图形围绕一条定直线旋转所形成的几何体。

根据底面的不同，旋转体可以分为圆柱体、圆锥体、椭圆柱体、椭圆锥体等。

其中，圆柱体和圆锥体是常见的旋转体。

二、旋转体侧面积公式的推导为了更好地理解旋转体侧面积公式的推导过程，我们先来了解一下旋转面的概念。

旋转面是由一个平面图形围绕着其中的一条定直线旋转所形成的曲面。

在这个过程中，旋转面的侧面积公式是一个重要的公式。

假设我们有一个长方形，以一边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间形成一个圆柱体。

我们可以将这个圆柱体展开成一个扇形，其弧长等于圆柱体的底面周长，半径等于圆柱体的高。

根据扇形的面积公式，我们可以计算出扇形的面积为：s = 1/2 * l * r，其中l 为弧长，r 为半径。

由于旋转体是由无数个这样的扇形组成的，所以我们需要将扇形的面积公式积分，以得到旋转体的侧面积公式。

设旋转体的高为h，底面半径为r，母线长为L，则有：s 侧= ∫[0, 2π] ∫[0, h] 1/2 * l * r dx dy通过积分计算，我们可以得到旋转体的侧面积公式为：s 侧= πrL。

三、旋转体侧面积公式的应用举例假设我们有一个圆柱体，底面半径为r，高为h，则根据旋转体侧面积公式，我们可以计算出其侧面积为：s 侧= πr * h。

同样地，对于一个圆锥体，底面半径为r，高为h，其侧面积公式为：s 侧= πr * √(r^2 + h^2)。

四、总结通过以上的推导和举例，我们可以看出旋转体的侧面积公式在计算旋转体侧面积时起到了关键作用。

极坐标侧面积公式
极坐标旋转体的侧面积公式：面积=∫2πyds=∫2πrsinθ√(r ²+r²)dθ。

极坐标属于二维坐标系统，创始人是牛顿，主要应用于数学领域。

极坐标是指在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。

高等数学旋转体表面积公式
1. 绕x轴旋转体的表面积公式。

- 设y = f(x)在[a,b]上具有连续导数，那么由曲线y = f(x)，a≤slant x≤slant b绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积S为：
- S = 2π∫_a^bf(x)√(1 + [f^′(x)]^2)dx。

- 推导过程（简单理解）：
- 我们把曲线y = f(x)分成很多小段弧，对于一小段弧Δ s，当它绕x轴旋转时，近似得到一个圆台的侧面。

- 圆台侧面积公式为S=π(r_1 + r_2)l，这里r_1=f(x)，r_2 = f(x+Δ x)，l近似为√((Δ x)^2)+(Δ y)^{2}，当Δ xto0时，l=√(1+(y^′)^2)Δ x。

- 对每一小段弧旋转得到的侧面积求和取极限就得到上述积分公式。

2. 绕y轴旋转体的表面积公式。

- 若x = g(y)在[c,d]上具有连续导数，由曲线x = g(y)，c≤slant y≤slant d绕y轴旋转一周所得到的旋转体的表面积S为：
- S = 2π∫_c^dg(y)√(1+[g^′(y)]^2)dy。

- 推导过程与绕x轴旋转类似，也是将曲线分割成小段弧，考虑小段弧绕y轴旋转得到近似的旋转体侧面积，然后求和取极限得到积分公式。

旋转体的侧面积公式证明过程旋转体的侧面积公式证明过程导语：旋转体是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、几何学以及工程学等领域。

在学习旋转体时，我们经常会遇到求解旋转体侧面积的问题。

本文将以数学的角度，为您详细展示旋转体侧面积公式的证明过程，帮助您更全面、深刻地理解这一概念。

一、旋转体的定义和背景知识在开始证明旋转体的侧面积公式之前，我们先来回顾一下旋转体的定义和相关知识。

旋转体是由一个二维平面图形绕着某条轴线旋转一周而形成的立体图形。

在这个过程中，轴线通常被称为旋转轴，而原始的二维图形被称为截面。

在证明旋转体的侧面积公式之前，我们需要掌握几个关键概念：1. 弧长：旋转体侧面的边缘是由旋转过程中截面形成的曲线，这条曲线的长度被称为弧长。

2. 半径：旋转体截面的半径是指从旋转轴到曲线上的某一点所画的垂直线段的长度。

在旋转体的侧面积公式中，我们需要考虑半径的变化情况。

二、旋转体侧面积公式的证明过程1. 我们以一个简单的圆为例，来证明旋转体侧面积公式。

假设我们有一个半径为r的圆形截面，将该圆形绕着与截面垂直的轴线旋转一周，形成一个圆柱体。

在旋转的过程中，圆形截面在旋转轴上每旋转一度，圆的一条弧长就对应圆柱体的一小块侧面积。

由于圆的弧长公式为s=2πr，圆柱体侧面积公式为A=2πrh，其中h为圆柱体的高度。

圆柱体的侧面积为A=2πrh。

2. 接下来，我们考虑一个更一般的情况，即旋转体的截面不是圆形而是任意形状。

为了证明侧面积公式的普遍性，我们可以将非圆形的截面分割成无数个极小的扇形片段，然后用极限的方法将它们相加。

假设我们将非圆形截面分割成n个扇形片段，每个扇形片段的边长为Δs，对应的半径为Δr。

将每个扇形片段绕着轴线旋转一周，形成n个小的扇形表面。

那么，每个小的扇形表面的面积为ΔA=Δs×Δr。

将n个小的扇形表面的面积相加，得到旋转体整个侧面积的近似值为Sum(ΔA)=Sum(Δs×Δr)。

定积分应用求侧面积公式定积分这玩意儿，在数学里可有着不小的作用，尤其是在求侧面积的时候，那公式简直就是神奇的魔法棒。

咱先来说说啥是定积分。

简单来讲，定积分就是把一个区间上的函数值累加起来。

可别小看这累加，它能解决好多复杂的问题呢！比如说，咱们要求一个旋转体的侧面积。

假设咱有一个曲线，像一条调皮的小蛇，绕着某个轴转了起来，形成了一个立体的形状。

这时候，咱们就可以用定积分来求出它的侧面积。

就拿一个常见的例子来说吧，有一个函数 y = f(x)，它在区间 [a, b] 上连续，而且绕着 x 轴旋转一周。

那这时候，它的侧面积 S 就可以用定积分来表示：S = 2π∫[a, b] f(x) √(1 + [f'(x)]²) dx 。

这个公式看起来有点复杂，是不？别担心，咱们一点点来拆解。

先说这个2π ，它就好像是一个魔法系数，让整个计算有了一个合适的比例。

然后 f(x) 呢，就是原来的那个函数，代表着曲线到 x 轴的距离。

而√(1 + [f'(x)]²) 这部分，就像是一个修正因子，考虑了曲线的弯曲程度。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？感觉像从天上掉下来的一样。

”我笑着告诉他：“这可不是天上掉下来的，是数学家们经过深思熟虑推导出来的。

”为了让他们更好地理解，我拿出了一个纸筒，就像那种卫生纸用完剩下的纸筒。

我问他们：“这纸筒的侧面，如果把它展开，像什么呀？”学生们七嘴八舌地说像个长方形。

我接着说：“对呀，那这个长方形的长是多少呢？”经过一番引导，他们发现这个长其实就是曲线绕轴旋转一周形成的周长，也就是2πf(x) 。

而宽呢，就是曲线的一小段弧长，通过微元法，我们可以近似地认为这一小段弧长就是√(1 + [f'(x)]²) dx 。

把长乘宽，再积分，就得到了整个侧面积。

经过这么一解释，学生们恍然大悟，那表情别提多有成就感了。

定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积
设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：
弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①
线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②
因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ
绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于
Δ∑＝π(y＋y＋Δy)
＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]
＝2πyds＋o(dx)，
显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有
从而旋转体的侧面积为
相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．
例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．
由⑤式得侧面积为
例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．
故对哪个半圆周都有
代入公式⑤即得所求表面积为
解采用参数坐标较为方便．
令x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π
弧长微分
故表面积为
我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e
习题
29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．求旋转下列曲线所成曲面的面积
33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．
答案。

极坐标侧面积公式推导一、极坐标下曲线弧长公式回顾。

1. 参数方程下的弧长公式。

- 对于参数方程x = x(t)，y=y(t)，a≤slant t≤slant b，弧长s的计算公式为s=∫_a^b√((x^′)(t))^{2+(y^′(t))^2}dt。

2. 极坐标与直角坐标的转换关系。

- 已知x = rcosθ，y = rsinθ，且r = r(θ)，则x=r(θ)cosθ，y = r(θ)sinθ。

- 对x和y关于θ求导：- x^′=r^′(θ)cosθ - r(θ)sinθ。

- y^′=r^′(θ)sinθ + r(θ)cosθ。

- 那么(x^′)^2+(y^′)^2=(r^′(θ))^2+r^2(θ)。

- 极坐标下曲线r = r(θ)，α≤slantθ≤slantβ的弧长公式为s=∫_α^β√(r^2)(θ)+(r^{′(θ))^2}dθ。

二、极坐标下旋转体侧面积公式推导。

1. 旋转体侧面积的微元法思想。

- 设曲线r = r(θ)，α≤slantθ≤slantβ绕极轴旋转一周得到旋转体。

- 取[θ,θ + dθ]上的一小段弧长ds，根据弧长公式ds=√(r^2)(θ)+(r^{′(θ))^2}dθ。

- 这一小段弧绕极轴旋转所得的侧面积近似看作一个圆锥台的侧面积。

2. 圆锥台侧面积公式的应用。

- 对于圆锥台，其侧面积公式为S=π l(R + r)，其中l为母线长，R和r分别为上下底面半径。

- 在极坐标中，当一小段弧ds绕极轴旋转时，母线长l =ds=√(r^2)(θ)+(r^{′(θ))^2}dθ。

- 设y = r(θ)sinθ，则这一小段弧绕极轴旋转得到的侧面积微元dS为：- 上底面半径R = y + dy，下底面半径r = y，dy=r^′(θ)sinθ dθ。

- 所以dS = 2π yds=2π r(θ)sinθ√(r^2)(θ)+(r^{′(θ))^2}dθ。

3. 极坐标下旋转体侧面积公式。

定积分求侧面积的三个计算公式
1. 绕x轴旋转体的侧面积公式。

- 设y = f(x)在[a,b]上具有连续导数，由曲线y = f(x)，a≤slant x≤slant b绕x轴旋转一周所得到的旋转体的侧面积S为：
- S = 2π∫_a^by√(1+(y')^2)dx，这里y = f(x)，y'是y = f(x)的导数。

2. 绕y轴旋转体的侧面积公式（x是y的函数情况）
- 设x = g(y)在[c,d]上具有连续导数，由曲线x = g(y)，c≤slant y≤slant d绕y轴旋转一周所得到的旋转体的侧面积S为：
- S = 2π∫_c^dx√(1+(x')^2)dy，其中x = g(y)，x'是x = g(y)的导数。

3. 参数方程形式下绕x轴旋转体的侧面积公式。

- 若曲线C的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(t) y = y(t)end{array}right.，α≤slant t≤slantβ，且x(t)，y(t)具有连续导数，y(t)≥slant0，曲线C绕x轴旋转一周所得到的旋转体的侧面积S为：
- S = 2π∫_α^βy(t)√((x'(t))^2)+(y'(t))^{2}dt。

利用定积分推导旋转体侧面积公式的一个误区摘要：本文剖析了在应用定积分求旋转体表面积时易出现的一个错误，并对错因进行了分析及证明。

通过本文的分析和阐述，指出了在定积分使用时，要注意“取近似”这个环节，近似量（或微元）选择不当，将会导出错误的结论.关键词：定积分；旋转体；表面积；近似量；微元1引言定积分的应用较为广泛，其中一部分应用是在几何方面的应用，如计算平面图形面积，计算旋转体的体积，计算旋转体的表面积，计算平面曲线弧长等，这些计算公式的推导，主要有以下步骤：（1）分割、（2）取近似、（3）求和、（4）取极限.但在取近似这个环节，往往会由于取了不恰当的近似而导致出现错误的结论。

本文主要论证在旋转体表面积计算式推导过程中易犯的一个错误.2旋转体表面积公式的正确推导[1]设曲线（旋转体的母线）方程为连续函数，在曲线上截出一段，设为AB.在曲线AB上依照从A到B的顺序选取一列点，如图一所示。

，，，...，，1图下面来研究内接于曲线AB的折线.可以用这条折线代替曲线绕X轴旋转一周，得到一个旋转体，并以该旋转体近似代替曲线AB绕X轴旋转一周所得到的旋转体。

设表示线段的长度，并设，，即：N段折线中任意一个绕X轴旋转都将得到一个圆台，如果用与分别表示点与的纵坐标，则第段折线所描出的曲面（圆台侧面）面积为：.整个折线（含n条折线）所描出的曲面面积即n个圆台侧面积之和为：所得的和可以分解如下形式：因为函数是连续的，根据一致连续性的性质可以假设所有的差的绝对值皆不超过任意小的正数，于是：.由此可见，上式中的和当，（注：）时趋近于零.至于和，则可以分解为两个和.因为函数是连续的，所有它是有界的，于是所有，为某一常数，不妨用表示上式中的后一个和，我们有：.当曲线所分成的各部分越来越小时，根据弧长定义：内接折线周长的极限.下面这个差应当趋于零，即，余下的和就是积分，即：而此积分由于函数的连续性，是存在的.至此我们得出：旋转体的侧面积公式如下：. （1）3旋转体表面积公式的错误推导在图1中不妨设曲线AB在X轴上的范围为，选取第段曲线作为研究对象.并将该曲线对应的旋转体的侧面积近似的当成圆柱的侧面积，其他曲线段做同样的处理，然后就会得到n个圆柱的侧面积，将这n个圆柱侧面积相加，得，然后在对曲线AB无限细分，即时，旋转体的侧面积为：. （2）由于公式（1）是正确的（有严格证明），故公式（2）是错误的.4错因分析接下来用微元法原理对公式（2）进行错因分析.微元法的使用前提条件是实际值和近似值之间的误差必需是的高阶无穷小.而公式（2）错误的原因可归结为选择了错误的微元，这个公式认为旋转体侧面积的近似量为，而不是，下面我们通过计算验证一下，看看是否满足“实际值和近似值之间的误差必需是的高阶无穷小”，不妨设实际值和近似值的差为，则：因为连续，所以当时，，，又因为，当且仅当时，取值为1.所以当时对同理，所以只有当时，，即不能保证当时，亦即这种情况不满足微元法使用的前提条件.所以相对应的旋转体表面积公式（公式（2））是错误的.5结语微元法使用时的难点在于如何判断所选微元是否合理，教材有明确的判断依据，即“实际值和近似值之间的误差必需是的高阶无穷小”但是这里的实际值往往难以通过常规方法计算获得，否则就不需要定积分这个工具.但我们可以可以给出实际值的估计范围，即（正确的范围）和（错误的范围）来代替实际值，从而微元的合理性判断得以顺利完成.参考文献]：1.. .菲赫金哥尔茨[M]．北京：高等教育出版社，2019：175-177．。

绕y轴旋转体体积公式两种是什么样的？一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b；
一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b；
前者是绕y轴形成的旋转体的体积公式
后者是绕x轴形成的旋转体的侧面积公式
或
V=Pi* S[x(y)]^2dy
S表示积分
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x
则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱
该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x 该圆环柱的高为f(x)
所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
扩展资料：
若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。

相应的切线方程为
T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。

如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。

星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。

在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。

定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积
设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：
弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①
线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②
因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于
Δ∑＝π(y＋y＋Δy)
＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]
＝2πyds＋o(dx)，
显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有
从而旋转体的侧面积为
相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．
由⑤式得侧面积为
例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．
故对哪个半圆周都有
代入公式⑤即得所求表面积为
解采用参数坐标较为方便．令x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π弧长微分
故表面积为
我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e
习题
29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．求旋转下列曲线所成曲面的面积
33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．
答案
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