§9-5-2 简单常用的旋转体

§定积分应⽤之简单旋转体的体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积【学习⽬标】1、利⽤定积分的意义和积分公式，求⼀些简单旋转⼏何体体积。

2、数学模型的建⽴及被积函数的确定。

【问题导学】1、复习求曲边梯形⾯积公式？定积分的⼏何意义？微积分基本定理？2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？⼀个平⾯图形绕平⾯内的⼀条定直线旋转⼀周，所成的⽴体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。

如：圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠。

3、旋转体的体积（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：v=π()b2a f x dx （2）类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：()d2c v y dy π?=?[]【⾃学检测】1、给定直⾓边为1的等腰直⾓三⾓形，绕⼀条直⾓边旋转⼀周，得到⼀个圆锥体. 利⽤定积分的⽅法求它的体积2、⼀个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转⼀周得到的，利⽤定积分的⽅法求球的体积3、求曲线y=e x 、x=0、x=12与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积【当堂训练】4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积5、将第⼀象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积等于6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积7、求曲线y=1x、x=1、x=2 与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积8、求曲线x=1与坐标轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积1、3π2、43π3、(1)2e π-4、310π5、108π6、32π7、2π8、2π。

高数求旋转体体积公式一、引言在数学领域，特别是高等数学中，我们经常会遇到一些形状不规则的物体。

这些物体通常由曲线或直线围成，而它们的体积可以通过特定的方法进行计算。

其中一种常见的方法是使用旋转体体积公式。

本文将详细介绍如何利用这个公式来求解旋转体的体积。

二、旋转体体积公式概述旋转体体积公式是指，一个平面图形绕着它的某一轴线旋转所形成的立体体积的计算公式。

其基本形式为V = ∫πr²θh dθ，其中V代表体积，r是底圆半径，θ是角度变量，h是高，dθ表示对角度的微分。

积分是对所有角度的求和。

三、具体应用及实例1. 圆柱体：当旋转体围绕其中心垂直于平面的轴线旋转时，得到的几何体通常是圆柱体。

我们可以将该问题简化为求出圆的周长（2πr）乘以高度（h）。

这种情况下，面积积分可以视为周长的函数，因此可以用定积分的概念进行处理。

2. 圆锥体：如果旋转体是从一个斜面或锥形开始，然后围绕其中一个边旋转，那么得到的几何体就是一个圆锥。

在这种情况下，可以使用旋转体体积公式结合三角形的面积来进行计算。

3. 其他形状：除了上述两种情况外，还可以通过旋转更复杂的图形来形成各种不同的旋转体。

例如，可以将多边形作为母体，然后将其各边按照一定顺序依次围绕一条轴线旋转，得到新的几何形体。

此时需要用到积分的知识以及相应的技巧来解决实际问题。

四、进一步讨论与扩展1. 更复杂的旋转体：除了上述的圆柱和圆锥，还可以通过围绕不同的轴线旋转更复杂的图形来形成其他类型的旋转体。

例如，可以通过将多边形围绕其边界上的点进行旋转来得到旋转星体等。

这些问题的解决需要更深入的理解积分以及形状与体积之间的关系。

2. 自适应算法：在实际应用中，可能需要求解涉及大量数据或复杂几何形状的问题。

此时，可以使用一些自适应的算法来优化计算效率。

例如，可以根据问题的具体情况选择合适的坐标系，或者使用分治等方法将大问题分解为小问题来解决。

3. 与其他方法的结合：旋转体体积公式并不是wei一的立体体积计算方法。

§1。

1 简单旋转体一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法(1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

(2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感、态度与价值观(1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力.二、教材分析重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.难点:圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。

三、教学方法探析讨论法四、教学过程（一)、新课导入在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分。

如果我们只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就称为空间几何体。

观察下面几个几何体，说说它们有何共同特征？容易看出，组成几何体的每个面不都是平面图形.像这样的几何 体称为旋转体。

这节课，我们就来学习简单的旋转体.(二)、研探新知1.旋转体首先，我们来看旋转体的概念.一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面 称为旋转面；封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.绕之旋转的 定直线称为旋转体的轴,如图直线OO ′。

2.简单的旋转体 (1)球人类赖以生存的地球，天体中的月亮，太阳，体育比赛中的足球、篮球等,都给我们球的形象.那么，球的定义是什么呢？ ①定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转所形成的曲面称为球面。

球面所围成的几何体 称为球体，简称球。

半圆的圆心称为球心。

连接 球心和球面上任意一点的线段称为球的半径。

连接球面上两点且过球心的线段称为球的直径. ②表示球用表示球心的字母表示，右图中球表示为球O 。

《简单旋转体》一、教学目标：1、通过直观图形演示认识圆柱、圆锥、圆台的生成过程，感受从平面到立体的延伸过程；2、通过具体的练习，加深学生对圆柱、圆锥、圆台的结构特点及基本性质的理解；3、培养学生作图解题的习惯；4、体会解决立体几何问题的基本思想：将立体图形问题转化平面图形问题。

二、教学重点、难点：重点是圆柱、圆锥、圆台的性质；难点是转化思想的运用。

三、教学过程：1、基础回顾：2、基础训练：1）如果圆锥的底面半径为，高为2，则它的母线长是（）A、1B、C、D、22）以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；其中正确命题的个数为（）A、0B、1C、2D、33）底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（）A、B、2 C、3 D、43、巩固训练：4）一个圆台的底面面积分别为4 和25 ，且母线与底面半径的夹角为45°，求圆台的高及截得该圆台的圆锥的母线长。

解：作图：分析：5）一个正方体内接于高为4，底面半径为3的圆锥，求正方体的棱长。

解：作图：分析：6）圆锥的底面半径为1，母线长为4，从圆锥底面圆周上一点A拉一条绳子绕圆锥侧面一周再回到A，求 1）所需绳子的最短长度；2）在绳子最短时，底面圆周上的点到绳子的最大距离。

解：作图：分析：4、课后作业：1、下列命题：①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是母线；其中正确的个数为（）A、0B、1C、2D、32、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的直径为________________.3、圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，求这个圆台的高，以及母线与下底面半径的夹角。

掌握简单旋转体计算技巧的教学案例在学习高中数学时，我们经常需要计算旋转体的体积、表面积等相关问题。

旋转体是几何图形的一个重要分支，掌握简单旋转体计算技巧对于我们掌握数学知识以及解决实际问题都有着很重要的作用。

本文将为大家介绍一些简单的旋转体计算技巧，并附带教学案例，希望能对大家学习和掌握这一技能有所帮助。

一、基本概念在介绍计算技巧之前，我们需要先了解旋转体相关的基本概念。

1.旋转轴：几何图形绕哪一条轴线旋转，这条轴线就被称为旋转轴。

2.旋转方向：正方向是沿着顺时针旋转，反方向是沿着逆时针旋转。

3.旋转角度：图形绕旋转轴旋转的角度。

4.旋转体：以一个平面图形为轮廓，绕某个直线旋转一周所形成的立体图形被称为旋转体。

二、计算技巧1.圆的旋转体对于圆的旋转体，我们通常会利用圆面积公式$\pi r^2$来计算其面积，利用立体角体积公式$\frac{4}{3}\pi r^3$来计算其体积。

[教学案例]【题目】：如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以 $y$ 轴为旋转轴将图形 $\Delta OAB$ 绕一周所得的旋转体为圆柱，图形$\Delta OCD$ 绕一周所得的旋转体为圆锥，计算圆柱和圆锥的体积。

【分析】：首先需要求出 $\Delta OAB$ 和 $\Delta OCD$ 的面积，以及旋转轴的长度。

根据上述公式，即可求得圆柱和圆锥的体积。

【解答】：计算圆柱的体积：$\because$ 圆柱的高为 $OC$，底面半径为 $AB$，则圆柱的体积为：$V_{\text{圆柱}} = \pi AB^2 OC$$\because$ $AB = 3, OC = 4$，故 $V_{\text{圆柱}} = 36\pi$计算圆锥的体积：$\because$ 圆锥的高为 $OD$，底面半径为 $CD$，则圆锥的体积为：$V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3}\pi CD^2 OD$$\because$ $CD = 1, OD = 4$，故 $V_{\text{圆锥}} =\frac{4}{3}\pi$2.矩形、三角形的旋转体对于任意矩形或三角形绕旋转轴旋转所得的旋转体，我们可以分别将其视为一系列由小方块或三角形叠加而成的柱体或锥体，然后分别计算其体积。

第七讲 旋转体的计算分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）．旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线．圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长．由此可得2S r l π=圆柱侧其中l 是圆柱侧面的母线长，r 是底面半径（下左图）。

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上右图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得12S Cl rl π==圆锥侧其中l 是圆锥侧面的母线，C 是圆锥底面的周长，r 是圆锥底面的半径。

圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形．这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得1()()2S C C l r r l π=+=+下下圆台侧上上其中l 是圆台侧面母线长， C 上、C 下 分别是圆台上底和下底周长，r 上、 r 下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）．圆柱的体积等于它的底面积S 与高h 的乘积，即2V S h r h π==圆柱，其中r 为圆柱底面的半径．圆锥的体积等于它的底面积S 与高h 的积的三分之一， 即 21133V Sh r h π==圆锥，其中r 为圆锥底面半径。

圆台的体积是：221()3V h r r r r π=+++下下圆台上上其中，r 上、r 下分别是上底和下底的半径．例 1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙两桶的高度。

分析与解答如下图．由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为1.5r；甲桶高度为h，则乙桶高度为h＋25，则π（1.5r）2h＝πr2（h＋25），2.25r2h＝r2（h＋25），2.25h＝h＋25，∴h＝20（厘米），h＋25＝45（厘米）．答：甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米．例2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）．解：如下图×2π×22=11π厘米，因此所作的圆锥筒底的周长扇形弧长=14=2πr=11π，解得r=5.5厘米。