专题训练四相似三角形的基本模型

初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【基本模型】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DEBC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DEAB AC BC．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2： 如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CDAC AB BC．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例1】如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走2米到达B 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于_________．【变式1-1】有一块直角三角形木板，∠B ＝90°，AB ＝1.5m ，BC ＝2m ，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式1-2】（2022•衢州二模）已知菱形ABCD ，E 是BC 边上一点，连接AE 交BD 于点F （1）如图1，当E 是BC 中点时，求证：AF ＝2EF ；（2）如图2，连接CF ，若AB ＝5，BD ＝8，当△CEF 为直角三角形时，求BE 的长； （3）如图3，当∠ABC ＝90°时，过点C 作CG ⊥AE 交AE 的延长线于点G ，连接DG ，若BE ＝BF ，求tan ∠BDG 的值．初中数学 ︵九年级 ︶培优篇 ③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB∽△CJD ⇔A B JA C D JC【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC 、BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式2-1】如图，在△ABC 中，BC ＝6，AEA F EBFC，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP ＋BP 的值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24【变式2-2】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD 于点F ，当AD =CD 时，求CE 的长．【变式2-3】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD的中点．求AN:NC的值．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BEEG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【变式3-1】（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例4】如图，在△ABC 中，45ABC ，AB A D A E ，D A E 90 ，C E，则CD 的长为______．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-1】矩形ABCD 中，AD ＝9，AB ＝12，点E 在对角线BD 上（不与B 、D 重合），EF ⊥AE 交CD 于F 点，连接AF 交BD 于G 点． （1）如图1，当G 为DE 中点时． ①求证：FD ＝FE ； ②求BE 的长．（2）如图2，若E 为BD 上任意点，求证：AG 2＝BG •GE ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-2】如图，ABC 中，,,AB AC AB AC 点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．（1）求证：2AE FE BE ；（2）求A F C 的大小；（3）若DF=1，求△ABF 的面积．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇结论：AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，GF AHBC AM【例5】如图1，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上． （1）求正方形DEFG 的边长；（2）如图2，在BC 边上放两个小正方形DEFG 、FGMN ，则DE= ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式5-1】有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120cm ，高AD ＝80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示． （1）求矩形纸片较长边EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇 ②拓展：（1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【例6】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是（ ） A.15B ．215C ．17D ．217初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式6-1】如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，垂足分别为D 、E 两点，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式6-2】如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且AD AC ＝ACAB． （1）求证 △ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【变式6-3】ABC 中，90ABC ，BD AC ，点E 为B D 的中点，连接A E 并延长交B C 于点F ，且有AF CF ，过F 点作FH AC 于点H ． （1）求证：AD E CD B ∽； （2）求证：=2A E EF ； （3）若FHB C 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇②如图所示，BDE 和ABC 则ABD CBE ∽△△，且相似比为总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例7】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ） A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【变式7-1】如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，相似比是：2，连接EB ，GD ．（1）求证：EB ＝GD ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝2，求GD 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式7-2】如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，90MQN ，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上．（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：1132DN BM BC ；（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若:3:1M B M C ，N Q ，求EF 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 补充：其他常见的一线三等角图形【例8】【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B D PC ．若4PD ，8P C ，6BC ，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，8AC BC ，12A B ，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-1】如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠AEB 43，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当A P D △是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-2】（2022秋•温州校级月考） 【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ． （1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF ，9C E ，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC ，45HD HF ，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．。

专题训练 相似三角形的五种基本模型模型一 “A ”字型1．2016·黔西南州如图3－ZT －1，在△ABC 中，点D 在AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，则下列结论不正确的是( )A ．BC ＝3DEB .BD AB ＝CEACC . △ADE ∽△ABCD . S △ADE ＝13S △ABC2．如图3－ZT －2，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D .(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．模型二“X”字型3．如图3－ZT－3，在▱ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，他们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有()A．2对B.3对C.4对D.5对4．如图3－ZT－4，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF∶S△EFC＝2∶3.(1)求EF的长；(2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．模型三母子型4．如图3－ZT－5，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，下列条件中不能判断△CAB∽△CED的是()图3－ZT－5A．∠CDE＝∠B B. ∠CED＝∠AC. CDCE＝CBCAD.CDCA＝CEAB6．如图3－ZT－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．(1)求证：△ADC∽△ACB；(2)若AC＝4，BC＝3，求AD的长．7．如图3－ZT－7，F，E分别是AB，AC上的点，连接FE并延长交BC的延长线于点D.已知AE·CE＝EF·ED.找出图中所有相似的三角形，并证明．模型四一线三等角型8．如图3－ZT－8，已知等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．9．(1)尝试：如图3－ZT－9①，已知A，E，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC ＝90°，求证：△ADE∽△BEC.(2)一位同学在尝试了上题后还发现：如图3－ZT－9②③，只要A，E，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC，那么(1)中的结论总成立．你认为他的发现正确吗？若正确请加以证明；若不正确，请说明理由．模型五旋转型10．如图3－ZT－10所示，在△ABC和△AED中，AB·AD＝AC·AE，∠CAE＝∠BAD，S△ADE＝4S△ABC.求证：DE＝2BC.教师详解详析1．D2．解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE . ∵ED ∥BC ， ∴∠DEB ＝∠CBE ， ∴∠ABE ＝∠DEB ， ∴BD ＝ED . ∵ED ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AE AC ＝ED BC ， ∴AE AC ＝BD BC， ∴AE ·BC ＝BD ·AC . (2)∵S △ADE S △BDE ＝AD BD ＝32，∴AD AB ＝35.由(1)知△ADE ∽△ABC ，∴ED BC ＝ADAB， 即6BC ＝35，∴BC ＝10. 3．C [解析] 有△AGB ∽△FGH ，△HED ∽△HBC ，△HED ∽△BEA ，△AEB ∽△CBH ，共4对．故选C.4．解：(1)∵AC ∥BD ，∴CE DE ＝AC DB ＝64＝32.∵△BEF 和△EFC 同高，且S △BEF ∶S △EFC ＝2∶3，∴CF BF ＝32，∴CE DE ＝CF BF .又∠BCD ＝∠FCE ，∴△CEF ∽△CDB ，∴EF BD ＝CF BC ，∴EF 4＝35，∴EF ＝125. (2)∵△CEF ∽△CDB ，∴∠CEF ＝∠D ， ∴EF ∥BD .∵AC ∥BD ，∴EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ，∴S △BEF ∶S △ABC ＝(BF BC )2.由(1)知BF CF ＝23，∴BF BC ＝25. ∵S △BEF ＝4，∴4∶S △ABC ＝(25)2，∴S △ABC ＝25.5．D6．解：(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△ACB .(2)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5. ∵△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB ，即AD 4＝45， ∴AD ＝165.7．解：图中所有相似的三角形有△AEF ∽△DEC ，△ABC ∽△DBF . 证明如下：∵AE ·CE ＝EF ·ED ， ∴AE ∶ED ＝EF ∶CE . ∵∠AEF ＝∠DEC ， ∴△AEF ∽△DEC ， ∴∠A ＝∠D . 又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBF .8．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°，∴∠EDB ＋∠BED ＝120°.∵∠EDF ＝60°，∴∠FDC ＋∠EDB ＝120°，∴∠BED ＝∠FDC ，∴△BDE ∽△CFD . (2)∵△BDE ∽△CFD ， ∴BD CF ＝BE CD， 即13＝BE 5，解得BE ＝53. 9．解：(1)证明：∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝90°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝90°. ∵∠DEA ＋∠D ＝90°，∴∠D ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC . (2)正确．以题图②为例加以证明：∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ，∠A ＋∠D ＝∠DEC ＋∠CEB ， ∴∠D ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC . 10．证明：∵AB ·AD ＝AC ·AE ，∴AB AC ＝AE AD .又∵∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE ＋∠DAC ＝∠BAD ＋∠DAC ， 即∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB . 又∵S △ADE ＝4S △ABC ，∴S △ADES △ABC ＝4，∴(DEBC )2＝S △ADE S △ABC ＝4， ∴DEBC＝2，∴DE ＝2BC .。

专题四三角形模型归纳
专题四三角形模型归纳
引言
本文将对三角形模型进行归纳总结，包括三角形的定义、分类、性质和应用等方面内容。

三角形的定义
三角形是由三条线段相连而成的多边形，其中每条线段称为一
条边，相邻两条边的交点称为一个顶点。

三角形的顶点总数恰好是
3个。

三角形的分类
根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类：
1. 等边三角形：三条边的长度相等。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等。

3. 直角三角形：其中一个角为直角（90度）。

4. 钝角三角形：其中一个角大于90度。

5. 锐角三角形：其中所有角都小于90度。

三角形的性质
三角形有许多重要的性质，包括：
1. 角的和定理：三角形的三个内角之和等于180度。

2. 外角定理：三角形的一个内角和与它相邻的外角之和等于180度。

3. 相似三角形：具有相同角度的三角形，对应边的比例相等。

4. 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的应用
三角形广泛应用于几何学和实际生活中。

它们可以用于测量地理距离、计算航空航天器的轨迹、建筑设计等领域。

结论
通过对三角形的定义、分类、性质和应用的归纳总结，我们更深入地了解了三角形的特点和作用，为进一步研究和应用三角形提供了基础。

请注意，本文的内容仅供参考，具体问题需要根据实际情况进行具体分析和解决。

专题4.38 相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题1. 如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上一点（点P 不与点B ，C 重合），连接AP ．作PE ⊥AP ，PE 交CD 于点E ．若AB ＝6，点P 为BC 的中点，则DE ＝（ ）A. 32 B. 92 C. 12 D. 532. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，ABE DEF △△∽，AB ＝6，DE ＝2，DF ＝3，则BE 的长是（ ）A. 12B. 15C.D. 3. 如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝4，P 是边AB 上一点，BP ＝32，D 是边BC 上一点（点D 不与端点重合），作∠PDQ ＝60°，DQ 交边AC 于点Q ．若CQ ＝a ，满足条件的点D 有且只有一个，则a 的值为（ ）A. 52 B. 83 C. 2 D. 34. 如图，在 ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝3，AE ＝2，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（ ）A. 35 B. 32 C. 43 D. 345. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 上一点，且ADE B ∠=∠，下列说法错误的是（ ）A. AD CE BD DE⋅=⋅ B. ADE ACD C. ABD DCE △△ D. AD DE=6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝6，AE ＝，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 5.57. 如图，在等边三角形ABC 中，P 为边BC 上一点，D 为边AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =23，则ΔABC 的边长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 68. 如图，D 是等边三角形ΔABC 边上的点，AD ＝3，BD ＝5，现将ΔABC 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 点F 分别在边AC 和BC 上，则CE CF的值为( )A. 1113 B. 35 C. 45 D. 899. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，DE ⊥EF ，EF ⊥FG ，BE ＝3，BF ＝2，FC ＝6，则DG 的长是（ ）A. 4B. 133 C. 143 D. 510. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 1.5AB =米，同时量得2BC =米，10CD =米，则旗杆高度DE 为（ ）A. 7.5米B. 403米C. 7米D. 9.5米二、填空题11. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．12. 如图，在边长为a 的正方形中，E 、F 分别为边BC 和CD 上的动点，当点E 和点F 运动时， AE 和EF 保持垂直．则①△ABE ∽△FCE ；②当12BE a =时、梯形ABCF 的面积最大；③当点E 运动到BC 中点时Rt ABE ∽Rt △AEF ；④当Rt ABE ∽Rt △AEF 时cos ∠AFE =12其中正确结论的序号是 ．13. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且:1:4CF CD =，给出下列结论：①ABE ECF ∽；②ABE AEF ∽；③AE EF ⊥；④ADF ECF ∽．其中正确结论的序号为________．14. 如图，四边形ABCD 是正方形，6AB =，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB DE CD 、、于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF EN ⊥交AB 于F ，则AF =______．15. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，4AB =，8AD =，3CF =，若ABE △与以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则BE 的长为______．16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、点E 分别在BC ，AC 上，且∠ADE ＝60°，（1）写出和∠CDE 相等的角：______；（2）若AB ＝3，BD ＝1，则CE 长为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB =3，AE =4，DE =1.2，则EF =_____．18. 如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD：1DB=：2，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，且ABCCE：CF的值为______．⊥交19. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AEDC于点F．若4BC=，则DF的长为______．AB=，620. 如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC 的中点，则线段ED'的长为_____．三、解答题21. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．22. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC=2，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足ADE B∠=∠．（1）证明：ADB AED ∆∆ ；（2）若3AE =，5AD =，求AB 的长．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．25. 在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ．（1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求AP DE的值；（2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；（2）如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．专题4.38相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，∵P为BC中点，∴BP=PC=12AB=3，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，∵∠B=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠EPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴AB PCBP CE=，即633CE=，∴32 CE=，∴DE=CD-CE=39622 -=，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键．【2题答案】【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABE DEF ∽，∴AB AE DE DF=，∴623AE =，∴9AE =，∵矩形ABCD 中，∠A =90°，∴BE ===故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE 的长后利用勾股定理求解．【3题答案】【答案】B【解析】【分析】先证明△BPD ∽△CDQ ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD 的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∴∠BPD +∠BDP =180°-∠B =120°，∵∠PDQ =60°，∴∠BDP +∠CDQ =120°，∴∠BPD =∠CDQ ，∵∠B =∠C =60°，∴△BPD ∽△CDQ ，∴BP BD CD CQ=，∴324BD BD a=-，∴2BP 2-8BP +3a =0，∵满足条件的点P 有且只有一个，∴方程2BP 2-8BP +3a =0有两个相等的实数根，∴△=82-4×2×3a =0，∴a =83．故选：B ．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．【4题答案】【答案】C【解析】【分析】由等边对等角可得∠B =∠C ，即得出∠C =∠AED ．再结合题意易证△EAD ∼△CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知AB =AC =3，∴∠B =∠C ，∵∠B =∠AED ，∴∠C =∠AED ，又∵∠EAD =∠CAE ，∴△EAD ∼△CAE ，∴AD AE AE AC =，即223AD =，解得：43AD =,故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据AB AC =和ADE B ∠=∠，可证得△ABD ∽△DCE ，△ADE ∽△ACD ，再逐项判断即可求解．【详解】解：∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠ADC =∠ADE +∠CDE ，ADE B ∠=∠，∴∠BAD =∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，故C 正确，不符合题意；∴AD BD DE CE=，∴AD CE BD DE ⋅=⋅，故A 正确，不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵ADE B ∠=∠，∴∠ADE =∠C ，∵∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，故B 正确，不符合题意；∴AD DE AC CD=，∠AED =∠ADC ，∵点D 是边BC 上一点，∴AC 不一定等于CD ，∴∠ADC 不一定等于∠DAC ，∴∠AED 不一定等于∠DAC ，∴AD 不一定等于DE ，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．【6题答案】【答案】A【解析】【分析】由等边对等角可得B C ∠=∠，即得出C AED ∠=∠．再结合题意易证EAD CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知6AB AC ==，∴B C ∠=∠．∵B AED ∠=∠，∴C AED ∠=∠．又∵EAD CAE∠=∠，∴EAD CAE，∴AD AEAE AC==解得：3AD=．故选A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出AB BPCP CD=，代入求出即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴AB BP CP CD=∵23CD=，CP=BC-BP=x-1，BP=1，∴1213 xx= -解得：AB=3．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．【8题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8，由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴1113 DE AE AD DEDF BD DF BF++==++，∴1113 CE DECF DF==，故选A．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH 是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3∴EF==如图：过G作GH⊥DE垂足为H，∵DE⊥EF，EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形∴HG=EF∵矩形ABCD∴∠A =∠B =90°∴∠AED +∠ADE =90°∵DE ⊥EF∴∠AED +∠BEF =90°∴∠BEF =∠ADE又∵∠A =∠B =90°∴△EBF ∽△DAE同理：△DAE ∽△GHD∴△EBF ∽△GHD∴DG HG EF BE =,=,解得DG =133. 故选B .【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠ 再证明,ABC EDC ∽再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】解：由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠90,ABC EDC ∠=∠=︒,ABC EDC ∴ ∽,AB BC DE CD∴= 1.5AB =米，2BC =米，10CD =米，1.52,10DE ∴= 解得：7.5DE =，经检验：符合题意，∴ 旗杆高度DE 为7.5米.故选A【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.二、填空题【11题答案】【答案】AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可）【解析】【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【详解】∵矩形ABCD ，∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．【12题答案】【答案】①②③【解析】【分析】如图，证明∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠CEF ，得到①正确；证明S 梯形ABCF22111222,a a λλ=-++由12-＜0，得到当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大，得到②正确；证明AB AE BE EF=，由∠B ＝∠AEF ＝90°，得到Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；证明cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为正方形，且AE ⊥EF ，∴∠B ＝∠AEF ＝∠C ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝∠AEB +∠CEF ，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△ABE ∽△FCE ，故①正确；设BE ＝λ，则EC ＝a ﹣λ；∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE CE CF =，故2,CF aλλ=-+∴S 梯形ABCF ＝21()2a a aλλ-++22111222,a a λλ=-++∵12-＜0，∴当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大．故②正确．∵△ABE ∽△ECF ，∴AB AE CE EF=；若点E 为BC 的中点，则BE ＝CE ，∴AB AE BE EF =，而∠B ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；∴∠AFE ＝∠AEB ，∴cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．故答案为①②③．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是解本题的关键【13题答案】【答案】①②③【解析】【分析】容易证明①△ABE ∽△ECF ；利用①可得90AEB FEC ∠+∠= ，，可得③AE ⊥EF ；且可得2AE AB EF EC ==，可证得②△ABE ∽△AEF ，而AD DF CE CF ≠，所以④不正确．【详解】∵E 为BC 中点，CF :CD =1:4，∴2AB BE CE CF==， 且∠B =∠C ，∴△ABE ∽△ECF ，∴①正确；∴∠BAE =∠FEC ,且90BAE AEB ∠+∠= ，∴90AEB FEC ∠+∠= ，∴90AEF ∠= ，∴AE ⊥EF ，∴③正确；由①可得2AE AB EF EC ==， ∴AB EC BE AE EF EF==,且90ABE AEF ∠=∠= ， ∴△ABE ∽△AEF ，∴②正确；∵2,3DA DF CE CF==， ∴AD DF CE CF ≠， ∴△ADF 和△ECF 不相似，∴④不正确，综上可知正确的为：①②③，故答案为①②③.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【14题答案】【答案】2【解析】【分析】MN 垂直平分DE ，得出NE ND =，利用6DN NC +=，在ΔRt NCE 中利用勾股定理求得CN 的长，再证明FBE ECN ∆∆ ，利用相似比求得BF 的长度，进而求得AF 的长度．【详解】设CN x =，则6DN x=- MN 垂直平分DE∴6NE ND x==-在ΔRt NCE 中，222CN CE NE +=又∵E 是BC 中点∴3CE =2223(6)x x ∴+=-解得94x =又∵EF EN⊥90NEC FNB ∴∠+∠=,NEC EFB CNE FEB∴∠=∠∠=∠Δ~ΔFBE ECN∴FB CE BE CN∴=3934FB ∴=4FB ∴=642AF AB FB ∴=-=-=故答案为：2．【点睛】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．【15题答案】【答案】26，或327【解析】【分析】设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x=-，解方程即可．【详解】解：设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-整理得28120x x -+=，解得1226x x ==，，经检验都符合题意，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x =-，解得327x =．经检验符合题意，故答案为26，或327．【点睛】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．【16题答案】【答案】 ①. ∠BAD ②. 23【解析】【分析】(1) 根据△ABC 是等边三角形,得到∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又因为∠ADC =∠B +∠BAD ，∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD 就得到∠EDC =∠BAD(2) 因为∠EDC =∠BAD ，∠C =∠B 得到△ABD ~△DCE ，得到AB BD CD EC= ，即可求出EC ；【详解】(1) 证明: ∵△ABC 是等边三角形,∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又∵∠ADC =∠B +∠BAD∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD又∵∠ADE =∠B =60°∴∠EDC =∠BAD所以和∠CDE 相等的角为：∠BAD故答案为：∠BAD(2) ∵∠EDC =∠BAD∴∠C =∠B△ABD ~△DCE ，AB BD CD EC ∴= 3,1BC AB BD ===又312CD BC BD =-=-=312EC∴= 解得：EC =23故答案为：23；【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD ~△DCE 是解答此题的关键．【17题答案】【答案】2【解析】【分析】由勾股定理，求出BE=5，由△ABE∽△DEF，得ABDE=BEEF，进而求出EF的长．【详解】解：在矩形ABCD中∠A=90°∵AB=3，AE=4∴BE=5∵△ABE∽△DEF∴ABDE=BEEF∴31.2=5EF解得EF=2故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．【18题答案】【答案】4 5【解析】【分析】设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF ＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．【详解】解：设AD＝k，则DB＝2k，∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由△CEF折叠得到△DEF，得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED 与△BDF 的相似比为4：5，∴CE ：CF ＝DE ：DF ＝4：5．故答案为：45．【点睛】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k 的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．【19题答案】【答案】74【解析】【分析】结合矩形的性质证明BAE CEF ∆∆ 可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，BAE CEF ∴∆∆ ，::AB CE BE CF ∴=，E 是BC 的中点，6BC =，3BE CE ∴==，4AB = ，4:33:CF ∴=，解得94CF =，97444DF CD DF ∴=-=-=．故选：74．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF ∆∆ 是解题的关键．【20题答案】【答案】94【解析】【分析】根据折叠的性质可得'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，由线段中点可得''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，利用勾股定理可得'5A M =，4MB =，利用相似三角形的判定定理及性质可得''A BM ECA ，'''A E AC A M BM =，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．【详解】解：将长方形纸片ABCD 沿着MN 折叠，使点A 落在BC 边上点'A 处，∴'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，∵'A 是BC 的中点，∴''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，'22'2A B BM A M +=，即()22239+-=x x ，解得：5x =，∴'5A M =，4MB =，∵''90MA B EAC ∠+∠=︒，''90A EC EAC ∠+∠=︒，∴''MA B A EC ∠=∠，∵'90B ACE ∠=∠=︒，∴''A BM ECA ，∴'''A E ACA M BM=，即'354A E=，∴'15 4A E=，∴'''''159 644ED A D A E AD A E=-=-=-=，故答案为：9 4【点睛】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．三、解答题【21题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．【22题答案】【答案】（1）见解析（2）CD的长为2 3【解析】【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD可得BP ABCD PC=，从而可以求出线段CD的长．【小问1详解】证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；【小问2详解】解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，BP ABCD PC=，∴132 CD=，∴CD=23．答：CD的长为23．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．【23题答案】【答案】（1）见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD=，则可得出答案．【小问1详解】∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．【小问2详解】∵△ADB∽△AED，∴AD AB AE AD=，∵AE=3，AD=5，∴535AB =，∴253 AB=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【24题答案】【答案】见解析【解析】【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．【25题答案】【答案】（1）2 3（2）3 2【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD =∠ABC =90°，再由折叠的性质可得APB AED ∠=∠．可证得ABP △∽DAE △．即可求解；（2）过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，由折叠的性质可得HED HDE ∠=∠，从而得到EH DH =．然后设EH DH x ==，则6AH x =-，由勾股定理可得103DH =，从而得到83AH =．再证得AEH △∽BFE △，即可求解．【小问1详解】解：在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ABC =90°，∴90BAP APB ∠+∠=︒，由折叠性质得：AP DE ⊥，∴90BAP AED ∠+∠=︒，∴APB AED ∠=∠．∵90EAD ABP ∠=∠=︒，∴ABP △∽DAE △．∴4263AP AB DE AD ===．【小问2详解】解：过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，∵EH DF ∥，∴HED EDP ∠=∠．∵由折叠性质得HDE EDP ∠=∠，∠DPE =∠A =90°，∴HED HDE ∠=∠，∴EH DH =．设EH DH x ==，则6AH x =-，∵E 是AB 的中点，∴2AE =，∵AE 2+AH 2=EH 2，∴()22226x x +-=，解得：103x =，即103DH =，∴83AH =．∵EH DF ∥，∴∠HEP =90°，∴∠AEH +∠BEF =90°，∵∠A =∠B =90°，∴∠AEH +∠AHE =90°，∴∠AHE =∠BEF ，∴AEH △∽BFE △，∴AE AH BF BE =，即8232BF =，解得32BF =，∴BF 的长为32．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．【26题答案】【答案】（1）DE ，AE ；（2）AC ．证明见详解．【解析】【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ⊥直线l 于E ，先证△MCA ≌△AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证△NGP ≌△DEP （AAS ）即可．【小问1详解】解：∵(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；【小问2详解】证明：过D 作DE ⊥直线l 于E ，∵90MAN ∠=︒，∴∠CAM +∠NAG =90°，∵BM ⊥l ，∴∠MCA =90°，∴∠M +∠CAM =90°，∴∠M =∠NAG ，∵NG l ⊥，∴∠AGN =90°，在△MCA 和△AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MCA ≌△AGN （AAS ），∴AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，∴NG =DE ，在△NGP 和△DEP 中，90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NGP ≌△DEP （AAS ）∴NP =DP ，故答案为AC ．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．。

相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形是指拥有相似的形状但大小不同的三角形。

在相似三角形中，对应角度相等，而对应边长之间存在比例关系。

以下是一些基本的相似三角形模型：
1. 比例模型：在两个相似三角形中，对应边长之比相等。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。

2. 三角形高度模型：在两个相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有h_1/h_2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中h_1和h_2分别为∆ABC和
∆DEF的高度。

3. 角平分线模型：在两个相似三角形中，对应角的平分线所延伸的比例相等。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，角A和角D相等，则有BD/CE = AB/DE = AC/DF。

4. 底角模型：在两个相似三角形中，底角对应相等。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，并且∠A = ∠D，则有∠B = ∠E和∠C
= ∠F。

5. 周长模型：在两个相似三角形中，对应边长之比等于相似三角形的周长比。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有
(A+B+C)/(D+E+F) = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

这些是常见的相似三角形模型，可以根据具体问题选择适合的模型进行求解。

但需要注意的是，在相似三角形中，只有形状
相似，而边长比例相等，因此，对于三角形中角度的求解通常更加重要。

专题相似三角形的常见模型一、下面六个图中△ADE与△ABC均相似，在相应图的下方写出对应角，及对应边的比例式。

二、如图，若∠A=∠ECD=∠B,则△AEC∽△BCD,我们可以把这种类型的相似叫做“一线三等角”型或“K字型”，请在下方空白处写上对应角，及对应边的比例式。

三、如图，已知△ABC∽△ADE，这种像是一边转一边缩小（或扩大的）相似，我们可以叫做“旋转”型。

先写出对应角及对应边的比例式。

连结BD,CE,你有什么新发现？你能证明吗？练习：1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若,DE＝4，则BC＝．2.如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．3.由36个边长为1的小正方形组成的6×6网格中，线段AB的两个端点都在格点上．（1）如图1，C，D也在格点上，连接AB，CD相交于点O，求的值和OC的长；（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段AB上找一点M，使得．4.如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是5.如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．6.(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．(2)如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE ＝3，求AD的长．7.如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣1，2），点B在第一象限，且OB⊥OA，OB＝2OA，则B点的坐标为．8.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝8，BD＝2，则CF等于．相似三角形模型一———A字型&8字型例1、如图，在△ADE中，BC∥DE，AB＝3，BD＝DE＝6，则BC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．6变式1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且AD＝3BD，若S△ABC＝16，则S△ADE＝（）A．B．9 C．D．12变式2、如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若△ABC与△DEC的周长比为3：2，AC＝6，则DC＝．变式3、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，则EF＝．例2、如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（）A．3：5 B．4：9 C．3：4 D．2：3变式1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE 与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（）A．B．C．D．变式2、如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝，S1：S2：S3＝．例3、如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7变式1、在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则S：S△CBF等于（）△EDFA．B．C．D．变式2、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，若DE＝12，则DF=（）A．3 B．4 C．6 D．8变式3、如图，已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点，线段CM交BD于点E，S△BEM＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．5 B．4 C．8 D．6变式4、如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F．（1）求BE的长；（2）延长FE交DC的延长线于点G ，求证：．例4、如图▱ABCD 中，E 、F分别是AD 、CD边上的点，连接BE 、AF交于点G，延长BE交CD的延长线于H，下列结论错误的是（）＝B．＝C．＝D．＝A．变式1、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．16变式2、如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．变式3、如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝．例5、如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且，则＝．变式1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为．变式2、如图，在正方形AOCB中，AB＝3，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点P 在边AB上，且OP交AC于点Q，函数y＝（x＜0）的图象经过点Q．若S△APQ＝S△OCQ，则k 的值为（）A．﹣B．﹣2 C．2 D．例6、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AF：EF的值为（）A．3：2 B．4：3 C．5：3 D．5：4变式1、在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC＝2EC，连结AD，BE，交于点F．设x ＝CD：BD，y＝AF：FD，则（）A．y＝x+1 B．y＝x+1 C．y＝D．y＝变式2、如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝cm．例8、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC ＝：6；④S▱OEF＝S▱ABCD，成立的是．变式、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，且AD⊥BD，一动点P在AB上方，且∠APB＝60°，AP与BD交于点E，则的最大值为.相似三角形模型二———反（斜）A字型&反（斜）8字型例1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝2，AB＝5，那么DE：BC＝（）A．B．C．D．变式、如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝例2、如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠A＝∠C，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．变式、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC ＝∠ABC，联结BE．（1）求证：△ACD∽△EBD；（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．例3、如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△ADG∽△ABF；（2）若，AF＝6，求GF的长．变式1、如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．变式2、已知∠ADE＝∠C，AG平分∠BAC交DE于F，交BC于G．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）连接DG，若DG∥AC，＝，AD＝6，求CE的长度．例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA 边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM＝BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值．变式1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度向点B运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达B点或点Q到达C点即停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和△ABC相似？（2）当t为多少秒时，△PCQ的面积是△ACB面积的？变式2、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：（1）经过多少秒后，△CPQ的面积为8cm？（2）经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．。

模型构建专题：相似三角形中的基本模型——熟知需要用相似来解决的图形◆模型一“A”字型1．(2017·湘潭中考)如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC 的面积比为________．第1题图第2题图2．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.3．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB＝23，M为BC上一点，AM交DE于N.(1)若AE＝4，求EC的长；(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．◆模型二“X”字型4．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是()A.ADAB＝AEAC B.DFFC＝AEEC C.ADDB＝DEBC D.DFBF＝EFFC第4题图第5题图第6题图5．(2016·贵港中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB 于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S ▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC＝3∶6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.(1)若FD＝2，EDBC＝13，求线段DC的长；(2)求证：EF·GB＝BF·GE.◆模型三旋转型8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C.ABAD＝ACAE D.ABAD＝BCDE第8题图第9题图第10题图9．★如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC 固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．◆模型四“子母”型(大三角形中包含小三角形)10．(2016·毕节中考)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC ＝22，AB＝3，则BD＝________．11．(2016·云南中考)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为()A．15 B．10 C.152D．5第11题图第12题图◆模型五垂直型12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对13．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边上的点F 处．若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是( )A.15 B ．215 C.17 D ．217第13题图 第14题图14．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F .(1)求证：△ACD ∽△BFD ；(2)当AD ＝BD ，AC ＝3时，求BF 的长．◆模型六 一线三等角型16．(2017·潮阳区模拟)如图，在边长为9的等边△ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则CE 的长为________．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD ＝∠B . (1)求证：AC ·CD ＝CP ·BP ；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．参考答案与解析1．1∶42．∠ADE ＝∠C (答案不唯一)3．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝AD AB ＝23.∵AE ＝4，∴AC ＝6，∴EC ＝6－4＝2.(2)∵M 为BC 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABC ＝18.∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，∴S △ADN S △ABM＝⎝⎛⎭⎫AD AB 2＝49，∴S △ADN ＝8.4．A5．D 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝60°，∴∠BCD ＝120°.∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠BCE ＝60°，∴△CBE 是等边三角形，∴BE ＝BC ＝CE ，∠CEB ＝60°.∵AB ＝2BC ，∴AE ＝BE ＝BC ＝CE ，∴∠CAE ＝30°，∴∠ACB ＝180°－∠CAE －∠ABC ＝90°.∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，故①正确；∵AC ⊥BC ，∴S ▱ABCD ＝AC ·BC ，故②正确；在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，∴AC ＝3BC .∵AO ＝OC ，AE ＝BE ，∴OE ∥BC ，∴OE ＝12BC ，∴OE ∶AC ＝12BC ∶3BC ＝3∶6，故③正确；∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴CF EF ＝BC OE ＝2，∴S △OCF ∶S △OEF ＝CFEF ＝2，∴S △OCF ＝2S △OEF ，故④正确．故选D.6．4.5 解析：∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB .又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FOEO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 4＝1.52，解得AF ＝3，∴AD ＝AF ＋FD ＝3＋1.5＝4.5. 7．(1)解：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴FD FC ＝ED BC ＝13，∴FC ＝3FD ＝6，∴DC ＝FC －FD ＝4.(2)证明：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，△AEG ∽△CBG ，∴EF BF ＝DE BC ，AE BC ＝GEGB .∵点E 是边AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴EF BF ＝GEGB，∴EF ·GB ＝BF ·GE .8．D9．1或116 解析：∵△ABC ≌△DEF ，AB ＝AC ，∴∠AEF ＝∠B ＝∠C .∵∠AEC ＝∠AEF＋∠MEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠MEC ＝∠EAB .∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM .当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1.当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA .又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE AC ＝AC CB ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝6－256＝116，∴BE ＝1或116.10.8311．D解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，∴S△ACD∶S△ABC＝(AD∶AB)2＝1∶4，∴S△ACD∶S△ABD＝1∶3.∵S△ABD＝15，∴S△ACD＝5.故选D.12．C13.A14.285解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝34x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0), 即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝42＋32＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴PMOA＝PBAB，即PM4＝75，解得PM＝285.15．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF ＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD.(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴ACBF＝ADBD＝1，∴BF＝AC＝3.16．217．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC ＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPCD＝ABCP，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BABC＝BPBA.∵AB＝10，BC＝12，∴1012＝BP10，∴BP＝253.数学选择题解题技巧1、排除法。

相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。