高三上学期摸底自测理科数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有最小正整数解的是（）A. x + 2 = 3x - 4B. 2x - 1 = 3(x + 1)C. 3x - 2 = 2(x + 3)D. 4x + 1 = 3(x + 2)2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 10，则a 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. x - 1 > 2x - 3C. 3x < 2x + 1D. x + 2 > x + 44. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，则a1的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在△ABC中，∠A = 60°，AB = AC，则sinB的值为（）B. √3/2C. 1D. √36. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. y = 2C. x = 1D. y = 17. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 08. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1 + b2 + b3 = 27，b4 + b5 + b6 = 243，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 129. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 90°，∠C = 45°，若AB = 2，则BC的长度为（）A. √2B. 2D. 410. 已知函数y = log2(x + 1)，则函数的值域为（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-1, +∞)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。

高三摸底考试数学(理科)试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题 (本大题共8小题 ，每小题5分，共40分，请把正确答案填在答题卡上) 1．已知∈b a ,R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ）A ．1>b aB ．22b a >C ．()0lg >-b a D.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21212．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．9B ．10C ．11D ．2323．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．14．设函数)0(112)(<-+=x xx x f ，则)(x f （ ） A．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．1B ．12C ．2D 6.已知平面内不共线的四点C B A O ,,,满足3231+==（ ）A.3:1B. 1:3C. 2:1D. 1:27．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b =,则a b +=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．．1二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分 请把答案填在答题卡上） （一）必做题（9～13题） 9．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 10．阅读右边程序框图，该程序输出的结果是 _11．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示， 则数学期望ξE 的值为___.13．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是1 1 正视图侧视图俯视图第2题图第5题图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做按第一题给分）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为15.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）16. （12分） 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(1) 求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.17（12分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．18．（14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量42cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．19．（14分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求12111nS S S +++…20．（14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =． （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．21．（14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立．高三级摸底考试数学(理科)答题卡 总分一、选择题 得分二、填空题 得分9、 10、 11、 12、 13、 选做题14、 15、三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16. (12分)17．(12分)18．(14分)19．(14分)读班级 考试试室 姓名 考试座位号…密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………20. (14分)21．(14分)高三级摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把正确答案填在答题卡上)1．已知∈ba,R且ba>，则下列不等式中成立的是 DA．1>baB．22ba> C．()0lg>-ba D.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛21212．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 CA．9 B．10C．11 D．2323．若实数x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1yxyx则yx+的最小值是 CA．4 B．3 C．2 D．14．设函数)0(112)(<-+=xxxxf，则)(xf AA．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数5．函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0,||2Aπϕ><）的图象如图所示，则(0)f= DA．1B．12C D6.已知平面内不共线的四点CBAO,,,满足OCOAOB3231+== DA.3:1B. 1:3C. 2:1D. 1:27．已知集合{}|4||1|5M x x x=-+-<，{}6N x a x=<< ,且()2,M N b=,则a b+= BA．6B．7C．8D．98．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x xx=⊕>的最小值为A．4 B．3 C．．18B解析：根据条件③，对于任意的,,a b c有()()()()2a b c c ab a c b c c⊕⊕=⊕+⊕+⊕-，∴取0c=得()00()(0)(0)20a b ab a b⊕⊕=⊕+⊕+⊕-⋅得①②得00a a a⊕=⊕=对任意实数a都成立，代入上式得：a b ab a b⊕=++这就是运算⊕的定义,将其代入题目检验符合①②③，∴1111()f x x x x xx x x x=⊕=⋅++=+1()(0)f x x xx=⊕>的最小值为3.二、填空题：本大共7(一)必做题(9～13题)9．设i为虚数单位，则复数i2i+1011．已知抛物线24x y=上一点P12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE的值为______59_____.13．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部11正视图侧视图俯视图第2题图第5题图分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是 1π[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π. 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为 3415.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 1 .16. （本小题满分12分） 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(2) 求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值. (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分sin 2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=, …… 6分 (2) 解:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. … 7分∴1cos 23θ=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分 17（12分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数， 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a18．（14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量42cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．解: (1) (1,sin )2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥42sin cos 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,3sin 4cos ,tan .5cos 3αααα∴==-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,222,b c a +-=222cos 22b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈,π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分19．（14分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求12111nS S S +++… 解：（I ）由已知可得223123q a a q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ 解直得，3q =或4q =-（舍去），26a = 3(1)33n a n n ∴=+-= 13n n b -=（2）证明：(33)12211()2(33)31n n n n S S n n n n +=∴==-++ 121112*********(1)(1)322334131n S S S n n n ∴+++=-+-+-++-=-++…… 20．（14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =． （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， ----2分 因为2x =时，3L =，所以322228k=⨯++-. ----4分 解得18k =. ---5分 （Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--≤（）．-------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． ------------10分 当6x ≥时，115L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． ----------14分 21．（14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立． 解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =----------------3分（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x-++=(21)(1)ax x x --=------4分∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； -----5分 当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a=， 若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减--6分若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a+∞上单调递增，在1(1,)2a 单调递减；---7分若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， ---------------8分综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增；当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增．----9分（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n +>-， ----------12分2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑-----14分 【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+，------------11分 显然1ln 2a =也满足该式，故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=--------------12分令1x n=，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x >则11(21)'()12120111x x h x x x x x x+=-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立，2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑． -------------------------14分】 【证法三：令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑， 则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++----10分令11,1x n =++则(1,2]x ∈，*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增， 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->， ∴数列()n ϕ单调递增，又(1)ln 20ϕ=>，∴()211ln 1ni i n i=-+>∑------14分】。

高三上学期摸底自测理科数学试卷参考答案一、选择题 1．D2=a ，33)21)(21()21)(2(21212000ii i i i i i ai i a -=-+---+-=++，故选D 。

2．AP ×Q 的元素分别为0×2，0×3，0×4，1×2，1×3，1×4，2×2，2×3，2×4，即0，2，3，4，6，8共有6个，故选A 。

3．A画出不等式组所表示的可行域，如图3—1—6所示，z 的几何意义是直线z ax y +-=在y 轴上的截距。

当a <0时，z 不可能取得最大值7，可排除B 和D 。

当a >0时，z 只能在过B （4，3）的直线上时才能取得最大值7，可得a =1，故选A 。

4．B如图3—1—7，连结B 1C ，交BC 1于E ，则E 为B 1C 的中点，则B 1到平面BDC 1的距离等于点C 到平面BDC 1的距离，过C 点作CH ⊥平面BDC 1，则由CB=CD=CC 1且BD=BC 1=DC 1知，36233=⋅=BH ，故3322=-=BH BC CH ，故选B 。

5．A)('x f 有4个不同的解4321x x x x 、、、，其中在1x 的左右两侧，)('x f 均大于0，故1x 不是函数)(x f 的极值点；在x 2的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，故x 2是函数)(x f 的极大值，同理可得3x 图3—1—6图3—1—7是函数)(x f 的极小值点，x 4不是函数)(x f 的极值点，故选A 。

6．Bc bx ax x f ++=23)('2，由图可知)(x f 在（－∞，－2）上是减函数，所以)(x f 在这个区间上有0)('<x f ，所以0)('<x f 的开口向下，从而a <0，又因为)(x f 的两个极值点都为负数，所以0)('=x f 有两个负根21x x 、，从而，03221<-+abx x ，所以b <0，故选B 。

高三摸底考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分.第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A)·P(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},,|{Q b P a ab z z Q P ∈∈==*，若P={－1，0，1}，Q={－2，2}，则集合Q P *中元素的个数是A ．3B ．4C ．5D ．62．已知ni im-=+11，其中m ，n 是实数，是m+n i 等于A ．1+2iB ．1－2iC ．2+iD ．2－i3．若,011<<b a 则下列不等式：①ab b a <+ ②||||b a >③b a < ④2>+baa b 中，正确的不等式有A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．若)2,4(412sin ππαα∈=且，则ααsin cos -的值是A ．23 B ．43 C ．－23 D ．－43 5．若数列{a n }满足nn a a a 11,211-==+，则a 2007的值A ．1B ．－1C ．21 D ．26．已知0,2||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=45°，设),(R n m OB n OA m OC ∈+=，则nm等于A ．21 B ．22 C ．2D ．27．把函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象按向量)0,3(π-=a 平移，所得曲线的一部分如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3π D ．2，－3π8．已知向量a 、b 满足||,6||,2||,1||b a b a b a -=+==则等于A ．2B ．3C ．21 D ．33 9．已知实数a ，b 满足等式b a 32log log =，下列五个关系式：①1<a <b ；②1<b< a ；③b< a <1；④a <b<1；⑤a =b ，其中不可能成立的关系有A ．4B ．3C ．2D ．110．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是A ．x x f sin )(=B ．|1|)(+-=x x fC ．)(21)(x xa a x f -+=D ．xxx f +-=22ln)( 11．在△OAB 中，O 为坐标原点，)1,(sin ),cos ,1(θθB A ，其中)2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最小值时，θ的值A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意a 、b ∈[0，1]，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是A ．||log x y a =B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x y D ．3x y =第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。

1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -12. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = log2(x)D. y = sin(x)3. 若向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. -1/5D. -2/54. 在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积S为（）A. 14B. 21C. 28D. 355. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，|x| ≥ 0D. 对于任意实数x，x|x| ≥ 06. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则S5的值为（）A. 31B. 63C. 127D. 2557. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a6 = 15，则a1 + a10的值为（）A. 25B. 30C. 35D. 408. 若函数y = x^3 - 3x + 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 0D. -39. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z-1| = |z+i|，则a的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在10. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 - 1 < 0D. x^2 + 1 < 011. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a3 = 2，a5 = 16，则a1的值为______。

12. 若复数z = 3 + 4i的共轭复数为z'，则|z-z'|的值为______。

高三数学理科摸底考试试题一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{}2log ,1y y x x =>，B ＝{}2,1xy y x -=>，则A ∪B ＝ （ ） A ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}0y y >C ． ΦD ．R 2. 复数212ii+-的虚部是（ ） A ．0B ．iC ．1D ．-13. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，， 在某项测量中，已知()196P.ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9754. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75.在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是（ ） A ．∠C 为钝角的三角形 B ．∠B 为直角的直角三角形 C ．锐角三角形 D ．∠A 为直角的直角三角形6．关于θ的方程cos 2sin θθ=在区间[0，2π]上的解的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．47. 己知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ，那么不等式01)(2<-x f 的解集是( )A ．5{|0}2x x <<B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．}023|{≤<-x xD ．3{|02x x -<<或50}2x << 8. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ． ①②③④9．汕尾市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（ ）A.18B.24C.30D.3610．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11．直线0102=-+y x 与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 12．设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑=（ ）A.1()2fB.1()3fC. 1()4fD. 1()5f 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.彭湃中学高一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差， 则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 14．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为 .15. 如果1()nxx 展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ______________16.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点第13题图相同，则双曲线的渐近线方程为____.三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）若10,BC =求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，211=a ，点()()12n n n a a n N *+-∈，在直线x y =上． （1）令11--=+n n n a ab ，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．19. （本题满分12分）广州大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知学生小张只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （1）求学生小张选修甲的概率；（2）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（3）求ξ的分布列和数学期望。

2020届高三摸底测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合3{|0},{|1x M x N x y x -=≥==-，则()M N R I ð等于 A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3] 2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.13.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.95.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于A.10B.12C.13D.146.在平面直角坐标系xOy 中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=，则动点P的轨迹方程是A.y 2＝4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4xD.x 2＝－4y7.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题q ：点(1，1)在区域D 内，则下列命题中，真命题是A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝8.已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 是BC 的中点，则HM BC ⋅= A.5 B.6 C.7 D.89.圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是A. B.55(,)32 C.55(,)42D.1)+ 10.已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log , ()log , log 23aba b c c ===，则A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。

最新高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={−1, 0, 1, 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∩B =( ) A.{−1, 0, 1} B.{0, 1} C.{−1, 1, 2} D.{1, 2}2. 已知复数z =2i 1−i，则复数z 为（ ） A.1+i B.−1+iC.1−iD.−1−i3. 已知向量a →=(1, m)，b →=(3, −2)且(a →−b →)⊥b →，则m =( ) A.−8 B.−5C.5D.84. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的体积是（ ）A.2B.2√2C.2√3D.3√35. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳6. 已知函数f(x)={sinπx6,x≤0log13x,x>0，则f（f(9)）＝（）A.1 2B.−12C.√32D.−√327. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝51，则2a10−a11＝（）A.2B.3C.4D.68. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的有（）①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4；②点C到平面ABC1D1的距离为√22；③两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4；④三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为√32．A.1个B.2个C.3个D.4个9. 函数y=2|x|sin2x的图象可能是()A. B.C. D.10. 已知F1、F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO=∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的离心率e=()A.√2B.2C.√3D.3211. 已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，则f (8)=()A.−2B.−1C.0D.212. 已知a=log23，b=log34，c=log45，则（）A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知α∈(0, π2)，sinα=35，则sin2α=________．在二项式(x2−1x)5的展开式中，含x4的项的系数是________．已知椭圆C:x24+y2=1的右焦点为F，点P在椭圆C上，O是坐标原点，若|OP|=|OF|，则△OPF的面积是________．设等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=10，则a1a2a3...a n的最大值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.△ABC的周长为√2+1，且sin A+sin B=√2sin C．（1）求边AB 的长；（2）若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图，若立定跳远成绩落在区间(x ¯−s, x ¯+s)的左侧，则认为该学生属“体能不达标”的学生，其中x ¯，s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈27（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)中抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200, 220)的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，且AA 1=2，E 为棱AA 1的中点．（1）求证：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）求二面角B−EC−C1的大小．已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点M(x, y)满足直线AM与BM的斜率之积为−14，记M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，并说明这是什么曲线；（2）设直线l不经过点P(0, 1)且与曲线C相交于D，E两点，若直线PD与PE的斜率之和为2，证明：l过定点．已知函数f(x)=a ln x+4x．（1）当a=1时，求f(x)的极值；（2）设a>0，若存在正数x，使不等式f(x)<4成立，求a的取值范围．请考生在第22、23、24题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y23=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2．（1）求C1的参数方程和C2的直角坐标方程；（2）设点M在C1上，点N在C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x+2|+|x−a|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≤5的解集；（2）对任意x∈R，f(x)≥1−a成立，求实数a的取值范围．还未学过选修4-4、4-5的同学可选做此题已知数列{a n}是递增的等差数列，a2＝3，a1，a3−a1，a8+a1成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3a n a n+1，数列{b n}的前n项和S n，求满足S n>3625的最小的n的值．参考答案与试题解析最新高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】∵ A ={−1, 0, 1, 2}，B ={x|−2<x <2}， ∵ A ∩B ={−1, 0, 1}． 2. 【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】 把z =2i 1−i的分子、分母同时乘以分子的共轭复数，得到2i(1+i)(1−i)(1+i)，再由复数的代数形式的乘除运算法则，能够求出结果． 【解答】 解：z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i +2i 22=−1+i ． 故选B ． 3.【答案】 B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用向量坐标运算法则求出a →−b →=(−2, m +2)，再由(a →−b →)⊥b →，能求出m 的值． 【解答】∵ 向量a →=(1, m)，b →=(3, −2)，∵ a →−b →=(−2, m +2)， ∵ (a →−b →)⊥b →，∵ (a →−b →)⋅b →=−6−2(m +2)=0， 解得m =−5． 4.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积． 【解答】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱体． 如图所示：所以V ＝12×2×√3×2＝2√3．故选：C ． 5.【答案】 D【考点】众数、中位数、平均数频率分布折线图、密度曲线【解析】月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少；月跑步平均里程高峰期大致在9、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳． 【解答】由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：在A 中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A 错误； 在B 中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B 错误； 在C 中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C 错误；在D 中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确． 6.【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】根据已知函数解析式先求f(9)，然后再代入求解即可求解．【解答】∵ f(x)={sinπ6,x≤0 log13x,x>0，∵ f(9)=log139=−2，则f（f(9)）＝f(−2)＝sinπ6=127.【答案】B【考点】等差数列的性质等差数列的前n项和【解析】由S17＝51，可得17(a1+a17)2=51，可得a1+a17＝2a9，解得a9．利用2a10−a11＝a9即可得出．【解答】∵ S17＝51，∵ 17(a1+a17)2=51，可得a1+a17＝6＝2a9，解得a9＝3，则2a10−a11＝a9＝3．8.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用异面直线的夹角判定③，线面的夹角判定①，点到平面的距离判定②，三棱柱和外接球的关系求出外接球的半径判定④．【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，如图所示：①根据正方体的性质，AB ⊥平面BCC 1B 1，故平面BCC 1B 1与平面ABC 1D 1所成的角即∠CBC 1＝π4，故正确．②连接B 1C 和BC 1，由于CO ⊥BC 1，由于平面BCB 1C 1⊥平面ABC 1D 1，所以C 到平面ABC 1D 1的距离为√22；故正确．③连接AC ，所以△D 1AC 为正三角形，两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角即为∠AD 1C =π3，故错误．④三棱柱AA 1D 1−BB 1C 1外接球半径为R ，所以2R 为正方体的对角线的长， 所以R ＝(√22)(12)＝√32，故正确． 故选：C ． 9. 【答案】 D【考点】函数图象的作法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设f(x)=2|x|sin2x ，f(−x)=2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x =−f(x)， 所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A 和B ． 又因为f (π2)=2|π2|⋅sinπ=0，所以排除C ． 故选D ． 10.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为y =ba x ，对称点为A(m, n)，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求出对称点A 的坐标，A 满足∠F 1AO =∠AOF 1，可得|AF 1|=|OF 1|=c ，由两点的距离公式，可得离心率．【解答】设F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为y =ba x ，F 2的对称点为A(m, n)， 即有n m−c＝−ab ， 且12⋅n =12⋅b(m+c)a，解得m =a 2−b 2c，n =2ab c，A 满足∠F 1AO =∠AOF 1，可得|AF 1|=|OF 1|=c ， 即有(a 2−b 2c+c)2+4a 2b 2c 2=c 2，结合c 2=a 2+b 2， 化为c =2a ，可得双曲线的离心率为e =ca =2． 11. 【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】求得函数的周期为1，再利用当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)，得到f(1)=−f(−1)，当x <0时，f(x)=x 3−1，得到f(−1)=−2，即可得出结论． 【解答】∵ 当x >12时，f(x +12)=f(x −12)，∵ 当x >12时，f(x +1)=f(x)，f(x)的周期为1． ∵ f(8)=f(1)，∵ 当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)， ∵ f(1)=−f(−1)，∵ 当x <0时，f(x)=x 3−1，∵ f(−1)=−2，∵ f(1)=−f(−1)=2，∵ f(8)=2．故选：D．12.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】直接利用构造函数和导数的应用求出函数为单调递减函数，进一步求出结果．【解答】令f(x)=logx (x+1)＝ln(x+1)ln x(x>1)，所以f′(x)＝1x+1⋅ln x−1x⋅ln(x+1)(ln x)2=x ln x−(x+1)ln(x+1)x(x+1)(ln x)2由于x>1，所以f′(x)<0，故f(2)>f(3)>f(4)，即a>b>c．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【答案】2425【考点】二倍角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．【解答】∵ α∈(0, π2)，sinα=35，∵ cosα=√1−sin2=45，∵ sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425．【答案】10【考点】二项式定理的应用【解析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=C5r(x2)5−r(−1x)r=(−1)r C5r x10−3r，要求x 4的项的系数 ∵ 10−3r =4， ∵ r =2，∵ x 4的项的系数是C 52(−1)2=10 故答案为：10 【答案】12【考点】 椭圆的离心率 【解析】根据椭圆方程求出焦点F 的坐标，再设出P 的坐标，代入已知条件建立方程组，求出P 的纵坐标，进而可以求出面积． 【解答】由椭圆方程可得：a 2=4，b 2=1，所以c 2=4−1=3，则a =2，b =1，c =√3， 所以F(√3, 0)，设P 的坐标为(x, y)，则由|OP|=|OF|，所以点P 的坐标满足方程{x 24+y 2＝1x 2+y 2＝3，解得y 2=13，即|y|=√33， 所以三角形OPF 的面积为12|OF||y|＝12×√3×√33＝12， 【答案】 210【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用等比数列的通项公式可得：a n ．指数运算性质、二次函数的单调性即可得出． 【解答】设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1+a 3=20，a 2+a 4=10， ∵ {a 1(1+q 2)＝20a 1(q +q 3)＝10，解得a 1=16，q =12．∵ a n =16×(12)n−1=25−n ． 则a 1a 2a 3...a n =24+3+⋯+（5−n ）=2n(4+5−n)2=2−12(n−92)2+818，当且仅当n =4或5时，a 1a 2a 3...a n 的最大值为210．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】由正弦定理知，asin A =bsin B =csin C ， ∵ sin A +sin B =√2sin C ， ∵ a +b =√2c ，∵ △ABC 的周长为√2+1，∵ a +b +c =√2+1=√2c +c ， ∵ AB =c =1．△ABC的面积S=12ab sin C=16sin C，∵ ab=13，由（1）知，a+b=√2，c=1，由余弦定理知，cos C=a 2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=2−2×13−12×13=12，∵ C∈(0, π)，∵ C=π3．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理将sin A+sin B=√2sin C中的角化为边，得a+b=√2c，再结合△ABC的周长即可得解；（2）由S=12ab sin C=16sin C，得ab=13，再根据余弦定理cos C=a2+b2−c22ab即可求得cos C的值，从而得解．【解答】由正弦定理知，asin A =bsin B=csin C，∵ sin A+sin B=√2sin C，∵ a+b=√2c，∵ △ABC的周长为√2+1，∵ a+b+c=√2+1=√2c+c，∵ AB=c=1．△ABC的面积S=12ab sin C=16sin C，∵ ab=13，由（1）知，a+b=√2，c=1，由余弦定理知，cos C=a 2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=2−2×13−12×13=12，∵ C∈(0, π)，∵ C=π3．【答案】由题意各：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.3，0.15，0.05，∵ x¯=0.1×170+0.2×190+0.2×210+0.3×230+0.15×250+0.05×270= 217．x¯−s≈190，∵ 187<190，∵ 该男生属于“体能不达标”的学生．由题意跳远距离在[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)的人数分别为12人，24人243人，按分层抽样抽取5人，则[160, 180)抽1人，[180, 200)抽2人，[200, 220)抽2人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200, 220)的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C22C52=110，∵ X分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据频率=纵坐标×组距，分别求出各组频率=各组小矩形面积，由此能求出平均数，从而能判断该男生是否属于“体能不达标”的学生．（2）由频数=频率×样本容量，分别求出样本区[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】由题意各：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.3，0.15，0.05，∵ x¯=0.1×170+0.2×190+0.2×210+0.3×230+0.15×250+0.05×270= 217．x¯−s≈190，∵ 187<190，∵ 该男生属于“体能不达标”的学生．由题意跳远距离在[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)的人数分别为12人，24人243人，按分层抽样抽取5人，则[160, 180)抽1人，[180, 200)抽2人，[200, 220)抽2人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200, 220)的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C22C52=110，∵ X分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．【答案】证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1, 1, 0)，E(1, 0, 1)，B 1(1, 1, 2)，C 1(0, 1, 2)， ∵ |BE|=√2，|B 1E|=√2，|C 1E|=√3，|BC 1|=√5， ∵ |BE|2+|B 1E|2=|BB 1|2，|BE|2+|C 1E|2=|BC 1|2， 即BE ⊥B 1E ，BE ⊥C 1E ，又B 1E ∩C 1E =E ，B 1E 、C 1E ⊂平面EB 1C 1， ∵ BE ⊥平面EB 1C 1．由（1）知，C(0, 1, 0)，E(1, 0, 1)，∵ BE →=(0, −1, 1)，CE →=(1, −1, 1)，C 1E →=(1, −1, −1)， 设平面BEC 的法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅CE →＝0˙，即{−y +z ＝0x −y +z ＝0，令y =1，则x =0，z =1，∵ m →=(0, 1, 1)， 同理可得，平面ECC 1的法向量为n →=(1, 1, 0)， ∵ cos <m →，n →>=|m →|⋅|n →|˙=√2×√2=12， 由图可知，二面角B −EC −C 1为锐角，故二面角B −EC −C 1的大小为60∘． 【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直【解析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出B ，E ，B 1和C 1的坐标后，可求得|BE|，|B 1E|，|C 1E|，|BC 1|的长，再由勾股定理的逆定理证得BE ⊥B 1E ，BE ⊥C 1E ，从而推出BE ⊥平面EB 1C 1；（2）根据法向量的性质求得平面BEC 和平面ECC 1的法向量m →与n →，再由cos <m →，n →>=|m →|⋅|n →|˙即可得解．【解答】证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1, 1, 0)，E(1, 0, 1)，B 1(1, 1, 2)，C 1(0, 1, 2)， ∵ |BE|=√2，|B 1E|=√2，|C 1E|=√3，|BC 1|=√5， ∵ |BE|2+|B 1E|2=|BB 1|2，|BE|2+|C 1E|2=|BC 1|2， 即BE ⊥B 1E ，BE ⊥C 1E ，又B 1E ∩C 1E =E ，B 1E 、C 1E ⊂平面EB 1C 1， ∵ BE ⊥平面EB 1C 1．由（1）知，C(0, 1, 0)，E(1, 0, 1)，∵ BE →=(0, −1, 1)，CE →=(1, −1, 1)，C 1E →=(1, −1, −1)， 设平面BEC 的法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅CE →＝0˙，即{−y +z ＝0x −y +z ＝0，令y =1，则x =0，z =1，∵ m →=(0, 1, 1)， 同理可得，平面ECC 1的法向量为n →=(1, 1, 0)， ∵ cos <m →，n →>=|m →|⋅|n →|˙=2×2=12， 由图可知，二面角B −EC −C 1为锐角，故二面角B −EC −C 1的大小为60∘． 【答案】由斜率公式可得直线AM ，BM 的斜率分别为k AM =yx+2，k BM =yx−2， 所以k AM k BM =y 2x 2−4=−14(x ≠±2)， 化简可得x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 是焦点在x 轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，去掉(−2, 0)，(2, 0)两点， 证明：直线l 不经过点P(0, 1)，则点D ，E 不与点P 重合， ①直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为x =a ， 由{x ＝ax 24+y 2＝1，解得D(a, √4−a 22)，E(a, −√4−a 22)，所以k PD +k PE =2，得a =−1，即直线l 的方程为x =−1．②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b(b ≠1)，设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，由{y ＝kx +bx 24+y 2＝1，消去y 可得(4k 2+1)x 2+8kbx +4b 2−4=0，可得x 1+x 2=−8kb4k 2+1，x 1x 2=4b 2−44k 2+1，由k PD +k PE =2，得k =b +1，则l:y =(b +1)x +b ，则y +1=(b +1)(x +1)，横过定点(−1, −1) 可得(1+4k 2)x 2+8kx =0，解得x 1=0，x 2=−8k1+4k ，． 综上所述，l 过定点(−1, −1)．【考点】 轨迹方程 【解析】（1）利用直接法表示出直线AM 与BM 的斜率之积，化简可得曲线C 的方程； （2）①直线l 斜率不存在时，易得直线l 的方程为x =−1；②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b(b ≠1)，设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，联立方程，利用根与系数关系和斜率公式可得k =b +1，进而利用直线的方程说明直线恒过定点(−1, −1)，综合即得结论． 【解答】由斜率公式可得直线AM ，BM 的斜率分别为k AM =y x+2，k BM =yx−2，所以k AM k BM =y 2x 2−4=−14(x ≠±2)， 化简可得x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 是焦点在x 轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，去掉(−2, 0)，(2, 0)两点， 证明：直线l 不经过点P(0, 1)，则点D ，E 不与点P 重合， ①直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为x =a ， 由{x ＝ax 24+y 2＝1，解得D(a, √4−a 22)，E(a, −√4−a 22)，所以k PD +k PE =2，得a =−1，即直线l 的方程为x =−1．②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b(b ≠1)，设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)， 由{y ＝kx +bx 24+y 2＝1，消去y 可得(4k 2+1)x 2+8kbx +4b 2−4=0，可得x 1+x 2=−8kb4k 2+1，x 1x 2=4b 2−44k 2+1，由k PD +k PE =2，得k =b +1，则l:y =(b +1)x +b ，则y +1=(b +1)(x +1)，横过定点(−1, −1) 可得(1+4k 2)x 2+8kx =0，解得x 1=0，x 2=−8k1+4k 2，． 综上所述，l 过定点(−1, −1)． 【答案】当a =1时，f(x)=ln x +4x ，f′(x)＝1x −4x 2=x−4x 2，x >0，当x >4时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x <4时，f′(x)<0，函数单调递减，故当x=4时，函数取得极小值f(4)=1+2ln2，没有极大值；f′(x)＝ax −4x2=ax−4x2，x>0，当a>0时，令f′(x)>0可得x>4a ，此时函数单调递增，令f′(x)<0可得0<x<4a，此时函数单调递减，若存在正数x，使不等式f(x)<4成立，则f(x)min<4，所以f(4a )=a ln4a+a<4，令g(x)=ln x+1−x，则g′(x)＝1−xx，x>0，当x>1时，g′(x)<0，函数单调递减，0<x<1时，g′(x)>0，函数单调递增，∵ g(x)≤g(1)=0，∵ 4a >0且4a≠1，解可得，0<x<4或x>4，故a的范围(0, 4)∪(4, +∞)【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】（1）把a=1代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解；（2）若存在正数x，使不等式f(x)<4成立可得f(x)min<4，然后结合导数可求．【解答】当a=1时，f(x)=ln x+4x ，f′(x)＝1x−4x2=x−4x2，x>0，当x>4时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x<4时，f′(x)<0，函数单调递减，故当x=4时，函数取得极小值f(4)=1+2ln2，没有极大值；f′(x)＝ax −4x2=ax−4x2，x>0，当a>0时，令f′(x)>0可得x>4a ，此时函数单调递增，令f′(x)<0可得0<x<4a，此时函数单调递减，若存在正数x，使不等式f(x)<4成立，则f(x)min<4，所以f(4a )=a ln4a+a<4，令g(x)=ln x+1−x，则g′(x)＝1−xx，x>0，当x>1时，g′(x)<0，函数单调递减，0<x<1时，g′(x)>0，函数单调递增，∵ g(x)≤g(1)=0，∵ 4a >0且4a≠1，解可得，0<x<4或x>4，故a的范围(0, 4)∪(4, +∞)请考生在第22、23、24题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程] 【答案】曲线C1的方程为x2+y23=1，转换为参数方程为{x＝cosθy＝√3sinθ（θ为参数）．曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2．整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ＝3√3，根据{x＝ρcosθy＝ρsinθ，转换为直角坐标方程为x−y−6=0．点M在C1上，点N在C2上，所以设M(cosθ,√3sinθ)，点M到直线x−y−6=0的距离d=√3sin2=|2cos(θ+π3)−6|√2，当θ＝−π3时，d min22√2，即M(12,−32)．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换求出结果．【解答】曲线C1的方程为x2+y23=1，转换为参数方程为{x＝cosθy＝√3sinθ（θ为参数）．曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2．整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ＝3√3，根据{x＝ρcosθy＝ρsinθ，转换为直角坐标方程为x−y−6=0．点M在C1上，点N在C2上，所以设M(cosθ,√3sinθ)，点M到直线x−y−6=0的距离d=√3sin√2=|2cos(θ+π3)−6|√2，当θ＝−π3时，d min√22√2，即M(12,−32)．[选修4-5：不等式选讲]【答案】a=1时，f(x)=|x+2|+|x−1|，∵ f(1)≤5即为|x+2|+|x−1|≤5，当x≥1时，x+2+x−1<5，解得1≤x<2，当−2<x<1时，x+2+1−x<5，成立，x≤−2时，−x−2+1−x<5，解得−3<x≤−2，综上，不等式的解集是(−3, 2)；f(x)≥1−a对任意实数x都成立，即|x+2|+|x−a|≥1−a恒成立，∵ |x+2|+|x−a|≥|x+2+a−x|=|2+a|，∵ |2+a|≥1−a ，解得a ≥−12， 故实数a 的取值范围[−12, +∞)． 【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）由题意即|x +2|+|x −a|≥1−a 恒成立，由绝对值的几何意义得到|2+a|≥1−a 解之即可．【解答】a =1时，f(x)=|x +2|+|x −1|，∵ f(1)≤5即为|x +2|+|x −1|≤5，当x ≥1时，x +2+x −1<5，解得1≤x <2，当−2<x <1时，x +2+1−x <5，成立，x ≤−2时，−x −2+1−x <5，解得−3<x ≤−2，综上，不等式的解集是(−3, 2)；f(x)≥1−a 对任意实数x 都成立，即|x +2|+|x −a|≥1−a 恒成立，∵ |x +2|+|x −a|≥|x +2+a −x|=|2+a|，∵ |2+a|≥1−a ，解得a ≥−12，故实数a 的取值范围[−12, +∞)． 还未学过选修4-4、4-5的同学可选做此题【答案】设数列{a n }的公差为d(d >0)，a 2＝3，a 1，a 3−a 1，a 8+a 1成等比数列，由条件得{a 1+d =3a 1(2a +7d)=(2d)2， ∵ {a 1=1d =2． ∵ ．b n =3a n a n+1=3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1)， 所以：S n =32(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)， =32(1−12n+1)=3n 2n+1， 由3n 2n+1>3625，得到：n >12，所以：满足S n >3625的最小的n ＝13．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】设数列{a n }的公差为d(d >0)，a 2＝3，a 1，a 3−a 1，a 8+a 1成等比数列，由条件得{a 1+d =3a 1(2a +7d)=(2d)2， ∵ {a 1=1d =2． ∵ ．b n =3a n a n+1=3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1)，所以：S n =32(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=32(1−12n+1)=3n 2n+1，由3n 2n+1>3625，得到：n >12，所以：满足S n >3625的最小的n ＝13．。