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与数学相关的诗歌音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能使人获得智慧，科技能够改善物质生活，但数学却能提供以上的一切。
我们想变枯燥乏味的数学学习为欣赏美发现美的审美过程，完全能够渗透一些与数学相关的诗歌，甚或者引导学生去创作。
我曾听过青岛二中老师的课和教研活动，他们的学生们在这方面所体现的水平和才情使我惊讶。
可见要相信学生的创造力想象力远超过我们所能想象，我们所能做的应该做的，就是给他们一个启发，搭建一个平台。
下面附上我所积累的一些与数学相关的诗歌。
一、与课本章节相关的诗歌第一章《集合、映射与函数》：日落月出花果香，物换星移看沧桑。
因果变化多联系，安得良策破迷茫？集合奠基说严谨，映射函数叙苍黄。
看图列表论升降，科海扬帆有锦囊。
第二章《指数函数、对数函数和幂函数》：晨雾茫茫碍交通，蘑菇核云蔽长空；化石岁月巧推算，文海索句快如风.指数对数相辉映，立方平方看对称；解释大千无限事，三族函数建奇功。
二、诗歌数学题朱世杰的《四元玉鉴》、《或问歌录》共有十二个数学问题，都采用诗歌形式提出。
如第一题："今有方池一所，每面丈四方停。
葭生两岸长其形，出水三十寸整。
东岸蒲生一种，水上一尺无零。
葭蒲稍接水齐平，借问三般（水深、蒲长、葭长）怎定？"在元代有一部算经《详明算法》内相关于丈量田亩求法："古者量田较润长，全凭绳尺以牵量。
一形虽有一般法，惟有方田法易详。
若见涡斜并凹曲，直须裨补取为方。
却将黍实为田积，二四除之亩法强。
"明代程大位有一首类似的二元一次方程组的饮酒数学诗："肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。
好酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人。
共同饮了一十九，三十三客醉颜生。
试问高明能算士，几多醨酒几多醇？"这道诗题大意是说：好酒一瓶，能够醉倒3位客人;薄酒三瓶，能够醉倒一位客人。
如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒。
试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？著名《孙子算经》中有一道"物不知其数"问题。
《古算诗词题今解》的两个片段
《古算诗词题今解》是一本结合古代诗词和数学题目的书籍，它通过将古代诗词中的算术问题转化为现代数学题目，来展示中国古代数学的丰富性和趣味性。
以下是两个可能的片段示例，包括原诗词和现代数学题解：
片段一：杜甫《江南逢李龟年》
原诗句：“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。
”
现代解释：这句诗描述了一艘帆船在江面上的景象。
假设我们要计算帆船的速度和它行驶的距离，可以根据江流的流速和帆船的航行时间来进行计算。
例如，如果江流的流速为每小时5公里，帆船航行了2小时，那么帆船的行驶距离就是10公里。
片段二：王之涣《登鹳雀楼》
原诗句：“白日依山尽，黄河入海流。
欲穷千里目，更上一层楼。
”
现代解释：这首诗描绘了登高远望的景象。
如果将其转化为现代数学题，可以考虑视觉和几何学的问题。
比如，假设观察者的高度增加，如何计算他们能够看到的最远距离？这涉及到视线与地平线的角度计算，可以用几何学的方法来解决。
这些示例展示了如何将古代诗词中的描述转化为现代数学问题，不仅增加了学习数学的趣味性，也让我们更加欣赏古代文学作品中的数学思想。
锐哥团队数学最后一课
锐哥团队数学最后一课
第一部分：回顾过往
我们的数学课已经进行到了最后一节，回想起这一年来，我们一起走过了多少个数学难关，经历了多少个智力风暴。
想必在这段时光里，我们都学到了许多。
从最开始的微积分，到后来的复杂分析，每一个知识点的掌握都是一次次的挑战与成长。
第二部分：数学的魅力
在学习数学的过程中，我们常常会被这门学科的独特魅力所吸引。
数学天生就是一门充满创造力的学科，它需要思维的跳跃和创新的思维来解决一些看似不可能解决的难题。
同时，在解决问题的过程中，数学也常常能够带给我们意想不到的欣喜。
第三部分：锐哥团队的精神
锐哥团队一直以来都秉持着“交流合作、共同成长”的理念，数学学习也不例外。
我们在这一年的学习中，彼此之间的鼓励和帮助都是必不可少的，只有互相学习才能成就更高的成就。
同时，在这个过程中我们也懂得了坚韧和耐心，这些都是我们未来走向成功所必须的品质。
第四部分：未来的挑战
学习数学虽然结束了，但是我们依然会面临未来的挑战。
我们时刻需要保持着好奇心和求知欲，不断地学习，不断地前进。
成为未来的精
英，我们必须有“不甘平凡”的心态，勇于挑战自我，在不断地超越自我中逐渐成长。
第五部分：结束语
在锐哥团队学习数学这一年中，我们收获了很多。
在这里，我们要感谢团队中每一位成员的支持和鼓励。
我们要把这一年来所学习到的知识运用到实践中，以更好地迎接未来的挑战，我们也要以此为动力，不断前行，创造更加美好的明天。
李天岩约克定理李天岩是中国数学家中的一位杰出人物，他在数学领域中有着很高的地位和声誉。
他的研究成果涵盖了多个领域，其中最著名的就是他提出的“李天岩约克定理”。
李天岩约克定理是一项关于拓扑学的理论，它描述了二维流形（即具有平滑曲面的物体）中的曲线和点的关系。
具体来说，它说明了任何一条不重复的、连续的曲线都可以被一系列的点所切割成为若干个部分，并且这些部分是可以被重新组合成为一条连续的曲线的。
这个定理的意义在于，它为我们提供了一种新的方法来理解和描述曲线在二维空间中的运动和变化。
在实际应用中，这个定理可以被用来解决一些重要的问题，比如在地图上标记不同的地点时，如何避免标记的重叠，或者如何在网络拓扑中建立稳定的连接等。
李天岩约克定理的证明过程非常复杂，需要运用到许多高级的数学工具和理论。
但是，它的基本思想可以用简单的语言来解释。
我们可以把曲线想象成一条绳子，而点则是用来切割这条绳子的剪刀。
这个定理的核心思想就是，无论我们用多少次剪刀来切割这条绳子，最后我们都可以把它们重新组合成为一条连续的绳子。
这个思想看起来非常简单，但是它却能够描述非常复杂的现象，比如地图上的标记和网络拓扑的建立。
李天岩约克定理的提出，为数学领域中的拓扑学研究开辟了新的方向。
它不仅解决了一些重要的问题，同时也为后来的数学家提供了许多启示和灵感。
在今天，这个定理仍然被广泛地应用在各个领域中，比如地理学、计算机科学、物理学等等。
总之，李天岩约克定理是一项非常重要的数学理论，它的提出和发展不仅推动了数学的进步，也为我们理解和解决现实生活中的问题提供了新的思路和方法。
我们应该对李天岩这位杰出的数学家表示敬意，并且继续探索和发展他的研究成果，为人类的进步做出更大的贡献。
回首语文来时路退步原来是向前作者：叶刚来源：《小学教学参考(语文)》2005年第10期一个时代有一个时代的课题。
新课程呼唤新课堂，新课堂借助新课程。
但是，当“生成”成为时尚、“探究”成为新宠、“朗读”成为标签、“点拨”成为流行之后，语文课堂真的就“新”起来了吗?真的就能“一路走好”了吗?恐怕未必!“千金难买回头看”的古训提醒“走在大路上”的我们：在慷慨豪迈、阔步前行的同时，也必须常常带着那颗“驿动的心”作“再回首”!一、课前预设与现场生成在新课程时代，“预设”与“生成”是一对充斥我们耳鼓的“姊妹”词汇。
一个是“预先设定”。
一个是“即时产生、形成”，到底谁为重?古语云“凡事预则立，不预则废”，一语道出了“预设”的重要性。
但是．课堂是一个富于变化的时空。
主体、客体、本体、媒体等的关系随时在转换。
如果教师为“圆满”地完成“预设”教程而一味地抢时间、赶教案，生硬施教而少有“花絮”，则学生必然只能跟着教师亦步亦趋。
何谈主体地位和愉悦发展?教师要想上好课，认真加以“预设”绝对是“必修课”。
但是，“学为主”的理念却又要求教学进程必须随机渗透、现场生成。
特级教师贺诚说得好：“预设是必须的。
但生成是更鲜活的。
”其实，那些听起来“不够好”的课，往往是在“预设”和“生成”方面不够和谐的课。
在这类课中，“强势型”的教师急急地走过场以保证不“危险”，而“弱势型”的教师则慢慢地展开去以突显“主体性”。
总之，就是无法“双赢”。
那怎么才能实现“双赢”呢?笔者认为，从“眼前”的角度看，教师在进行课前“预设”时，可多一些并联式的教学步骤，少一些串联型的线性设计；多一些充分准备的“紧急预案”，少一些粗放随意的“临阵磨枪”，让“预设”既能萌发于课堂生成之前，又可游走在教学生成之时。
如果从“远景”角度看，教师则重在练好自己的“内功”，使自己具有深厚的文化底蕴。
有此功底，不管课堂上出现什么样的情况，教师都能胸有成竹地“接招”。
二、专题探究与多点解读时下的语文课上，常见教师在课始即设定一个或几个问题让学生据此开展思考并刻意求答。
2020年第12期49《中等数学》2020年总目次I M O快讯(10.封底）数学活动课程讲座.初中.初中数学竞赛中的组合最值问题解法举例(钟志强6-2)完全平方数的性质及其应用(李昌勇刘应成6-7)•高中•一些关于无穷多个素因子的问题（吴宇培丨*2) “线性化”在多元不等式证明与最值求解中的应用(唐智逸茹双林2-2)数学竞赛中两种不等式基本思想的应用(缠祥瑞3*2)数学竞赛中的复数问题（唐立华 4.27-2)数学竞赛中组合几何问题的常见解法(程振峰李宝毅5-2)递归计数的六种方式（冯跃峰8-2)圆锥曲线几个结论的证明与应用（金荣生9-2)数学竞赛中数列不等式的常见解法举例(王逸凡王彬瑶10-2)数论中的升幂引理及其应用（王永喜丨卜2)对应思想在组合问题中的应用（缠祥瑞12-2)命题与解题数学命题中的“抱残守缺”（陶平生I*7)例谈不等式题的命制方法（张端阳卜1丨）两道赛题的创作思路、答题情况及启示(林天齐何忆捷熊斌2-8)开世定理的推广与应用（李庆圣2，12)老题新芽别样趣味（肖恩利陈博文3-6) 2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进(晏兵川赵凌燕3*13)一道罗马尼亚竞赛题的分析与推广(朱华伟邱际春4‘7)一道高中数学竞赛题的探讨(邱慎海沈家书4’11)一道集训队选拔考试题的推广（李伟健4*14)一道不等式赛题的演变与推广(邱际春朱华伟郑焕5-9)利用抽屉原理证明三道竞赛题（隋婷婷5*11)一道数学竞赛题的推广（林根 5 •13)一道中国北方数学奥林匹克试题的引申(赵凌燕隋世友6‘11)判别式在不定方程中的应用（雷勇7-9)三道国外竞赛题的简解（姚先伟于娟7 •12)两道数学竞赛题的分析与推广(邱际春朱华伟8‘12)与三角形的内切圆有关的一个性质及相关性质和命题（李庆圣一道印度赛题的解题思考（李明谈谈数学竞赛中的数学期望（吴宇培关于一道数论题的思考（李彬解题小品—投石问路（陶平生利用复数证明竞赛题（刘东华华洁一道东南赛题与2020年高中联赛数论题的渊源（陶平生一道高中联赛题的推广与变形（王若飞9.9)9.16)10.11)10-13)11.7)11-11)12.7)12.9)赛题另解(1-154-155-157-1310-15)2020年全年高中数学联赛加试题另解(李庆圣杨续亮刘晓理等12-13)专题写作一类麦比乌斯反演问题及其应用（刘志乐2•15)多项式根的倒数和问题求解（梅述恩 3 •17)一个与多项式相关的不等式（刘亮赵斌5*18)高斯整数在数学竞赛中的应用（古德麟 7_15)一道北方希望之星数学夏令营试题的拓展第29届南美洲数学奥林匹克(8.36) (贾秀平段敏敏11-14)2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛(9-20)学生习作2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛(9-25)2018中国香港代表队选拔考试(9-28)论局部调整法的妙用(阮书镐4-17)2018中美洲及加勒比地区数学奥林匹克(9-32)构造表格探究一类数的分布(徐博润6-18)第61届I M O试题(10-16)一种证明三元齐次不等式的方法(王一鹏8.16)2020年全国高中数学联合竞赛(10-17)两道罗马尼亚大师杯赛题的另解(严彬玮9-18)第17届中国东南地区数学奥林匹克(10-25)竞赛之窗第61届I M O试题解答(11-18)第16届中国东南地区数学奥林匹克2019中国数学奥林匹克希望联盟夏令营(1.29 2.30第30届亚太地区数学奥林匹克第35届中国数学奥林匹克2019年全国高中数学联赛四川赛区预赛第三届中国北方希望之星数学夏令营2019青少年数学国际城市邀请赛2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛2019美国数学竞赛（八年级）2019年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）2019年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第六届伊朗几何奥林匹克2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛第12届罗马尼亚大师杯数学邀请赛2020美国数学竞赛（十、十二年级）2018爱沙尼亚国家队选拔考试（初中）2018荷兰数学奥林匹克（初中）2019马其顿数学奥林匹克（初中）2019巴尔干地区数学奥林匹克（初中）2〇19希腊数学奥林匹克（初中）2019希腊国家队选拔考试（初中）2019年全国高中数学联赛贵州赛区预赛2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛第83届莫斯科数学奥林匹克（7,29 2020欧洲女子数学奥林匹克2019年全国高中数学联赛广西赛区预赛2019美国国家队选拔考试第60届I M O预选题(11-2212-20) 0-17)2019亚太地区数学奥林匹克(11-32) 3-33)第19届中国女子数学奥林匹克(11-36)首届百年老校数学竞赛(12-30) (1*35)(2.18)2019瑞士数学奥林匹克（初赛）(12-37) (2.25)再品佳题(2-36)(3.20)第二届国际大都市竞赛（数学）(1-38) (3-27)第32届北欧数学竞赛(2-39) (4.21)2018瑞士数学奥林匹克（预赛）(3-39)(4.26)课外训练(4-29)(4.34).初中.(5.20)(186罗家亮 6.34187 李铁汉汪波 6 •(5.27)39 188 谢文晓9.34189 陈迁赵手志(5-32)王祥10.38)(6.20).高中■(6.23)(247 巢中俊 1.41 248王永中2•41 249 (6.28)于现峰 3.41250王永喜4■41251 刘(6-30)小杰宛昭勋5‘42252杨运新6•42 253 (6.31)李潜7 41254徐节槟龙崎钢8-40(6.33)255何忆捷9.39256李培臣谭祖春郝(7.20)泽来10.42 257 胡满11.42258褚小光(7-26)田开斌12.39)8.29)(7.36)(8.20)(8.24)数学奥林匹克问题(1-48 2-47 3.474-475-48 6.477.488.469-4610-48 11-48 12-46)。
简评李尚志一首数学诗及数学诗的特点大罕原诗：三等分角与数域扩张[1]李尚志[2]一角三分本等闲，尺规限制设难关。
几何顽石横千载，代数神威越九天。
步步登攀皆是二，层层寻觅杳无三。
[3]黄泉碧落求真諦，加减乘除谈笑间。
注：[1} 这首诗是为湖南教育出版社的高中教材写的“章头诗”之一。
[2] 李尚志，数学家，北京航空航天大学博士生导师.[3] 尺规作图只能将数域不断作二次扩张，永远也不能包含不可约三次方程的根。
这是证明三等分角不可尺规作图的关键。
评论：此诗为七律，对仗工整，押韵合仄，可见作者有相当的古诗词功底。
但个别词语似可推敲，“黄泉碧落”一词出自于白居易的《长恨歌》，用在这里与“求真谛”似乎搭配得不是最佳。
诗的长处在于抒情，短于论述科学道理。
数学诗莫不如此。
真正的数学诗，是从事数学工作的人，用意识流的方式，巧妙地借用数学里的概念和法则，自然地写自然的景，或抒自然人的情。
中国历史上的一些数学诗，就像现代的打油诗一首，诗的成分少，打趣的成分多。
有的则既有趣味又有意境。
著名《孙子算经》中有一道“物不知其数”问题。
这个算题原文为：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”程大位在《算法统宗》中以诗的形式写出了解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
”这里数学诗打趣的成分居多。
又如，宋代理学家邵康《山村咏怀》：“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。
”有人把它归于数学诗。
此诗妙在顺序嵌进十个自然数，层层递进，寥寥数语，描绘出一幅恬静淡雅的田园景色，勾起人们不尽的情思和神往。
此诗属于既有趣味又有意境的上乘之作。
本文列举的李尚志的诗，既有说理的成分，又显得雅趣，应为佳作。
数学诗的注释是诗的重要组成部分，若本诗没有注释3就让人云里雾里了。
（写于2011年4月9日）。
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黑龙江教育·教育与教学2021.5哈尔滨市刘雅兰小学数学工作室刘雅兰孙晶隋辛王静王磊张路娜马娜方堃李剑钊哈尔滨市刘雅兰小学数学工作室自2013年在香坊区生命化课程理念的引领下,构画了“研学教”课题研究一体化。
以“课题研究”为第一推动力,以“研究成果课程化”为落脚点,研究的过程中关注课程的应用性,构建了成果呈现的平台,通过几年的努力促进了教师专业的成长。
一、合中的整体构画在研究之初,工作室负责人刘雅兰老师构画了《四位一体、内外相容、构建香坊区小学数学生命化课堂》(图一)的生命化课堂破解策略的框架。
“结构化”就是解决“学什么”的问题。
教师要为学生提供“大概念”下理解下的核心知识。
以“大单元”备课的思维方式去结构化地“勾连”相关概念,为学生对数学概念的深度理解提供保障。
“生命激活”就是“学习是一种经历”,一节课时间短吗?不短。
我们可以还原知识曾经产生的背景,让学生在发现、提出问题,分解、解决问题的过程中,理解知识形成的过程、体会知识就是对问题的破解策略,感悟到数学知识的价值,从而为学生的创新精神和创造能力的提升提供支撑。
“大问题”教学即我们要想使学生获得“核心概念”,那我们就应该把核心概念蕴含于一个或几个“大问题”,随着问题的破解,知识就得以达成。
在研究与实践的过程中,我们不仅把围绕核心概念下的“大问题”的设计作为我们研究的重点,最重要的是我们把“创意理念”融入到大问题的呈现方式的研究上。
让STEA M 课程理念、数学游戏、绘本课程、项目式研究、融合式课程等内容融入到课堂教学之中,让新奇、有趣、挑战、创造、探究、融合式思考问题的方式浸润课堂,让数学学习变得更为生动、更趣味盎然!在“大问题”的挑战过程中,学生的合作、对话、批判、质疑、理性思维、理性精神等素养得到关注和培养,课堂学习共同体初见端倪。
围绕“结构化”“生命激活”“大问题”“学习共同体”,我们进行了多年的研究与成果的集结,本次活动仅就“大问题”研究中“STEA M 课程理念下的空间观念培养的实践研究”为例来呈现我们三年来的研究与探索。
李天岩（1945年6月－）生于福建，台湾数学家，湖南人, 密歇根州立大学杰出数学教授。
1968年成为国立清华大学数学系第一届毕业生。
1974年在马里兰大学取得博士学位，指导教授为James A. Yorke。
數學傳播31卷4期, pp. 38-42回首來時路李天岩當初第一志願考進數學系, 當然號稱是因為對數學感興趣。
其實中學時代對數學的所謂興趣多半也只是建立在鑽研和解決數學難題時所得到的…快感‟上吧。
沒想到一進了大學, 差點就被初等微積分裡那些莫名其妙的"- 給逼瘋了。
記得那時同寢室的另三位室友都是大一數學系的新生。
那時我們多在晚間11點左右就熄燈就寢。
但是常常在半夜一、二點鐘時, 發現大家都被那些鬼"- 的抽象概念搞得睡不著覺。
記得我隔壁書桌的一位同學常常在打草稿寫…遺書‟, “遺書”的內容基本上是說: 什麼都搞不懂, 不知怎麼辦好, 不想活下去了. . .。
後來到了美國以後才知道, 我們都不是天字第一號的笨蛋。
好比說, 在我目前任教的密西根州立大學, 系裡根本禁止在一、二年級初等微積分的課程裡灌輸學生所謂"- 的抽象概念。
其實在牛頓, 萊比尼玆(Leibniz) 發明微積分時, …逼近‟, …漸近‟, …Infinitesimal‟ 的概念並沒有非常嚴格的…定義‟。
也只有到19世紀的中期, 數學界的頂尖高手才開始對所有數學概念要求…嚴格地定義‟ (rigorously defined)。
比如說, 請告訴我到底什麼是“1”? 什麼是“2”? 為什麼1 + 1 = 2 ? (For thatmatter, 到底什麼是“+”?) 若在初等微積分入門那個階段就要用"- 去嚴格刻劃…逼近‟, …漸近‟, Infinitesimal‟ 的抽象概念, 就好像在小學生學基本算術加乘法之前, 要求他們先嚴格定義什麼是“1”, 什麼是“2” . . . 什麼的。
果真如此, 少年維特對數學的煩惱肯定提前發生了, 不是嗎? 中學時代對數學難題的鑽研根本上和數學概念上的所謂intuition 沒啥關係, 因此大家都好像嚴重忽略在引入抽象概念之前, 先介紹intuitive idea 的重要性。
我也是到美國以後才知道, 數學上的邏輯推理和對數學結構性的認知有相當大的差距。
記得上次在南京時, 和一位南京大學數學系的年青教授午餐, 這位教授那時並沒有放過…洋‟, 他聽說東方學生到美國念研究所一、二年級時成績多半傑出, 可是過了選課期到研究做論文的階段就逐漸落後老美了, 不知是真是假? 其實這位教授所聽說的大致正確。
一般較用功的東方學生, 在國內受教育時大都下很大的功夫在記憶數學上的邏輯推論: 這一步為什麼implies 下一步, 下一步為什麼implies 再下一步. . . 什麼的。
然後把所有習題都拿來鑽一鑽。
在這種情況下, 一般的筆試是很難考倒這些學生的。
可是美國學生所不同的是, 在他們早期的數學教育裡卻已很普遍的在問: What it says? 以及Why it works? 這些問題在考筆試時幾乎不太可能遇到。
但在做研究時卻是非常非常重要。
我有一個台灣來的博士生。
有一次我請他把我在專題討論班裡講過的一篇很重要、很複雜的文章用他自己的數學語言仔細寫出來。
從他後來交來的報告裡, 可以看出他的確下了很大的功夫把文章中被省略的邏輯細節嚴密的補足了。
我把他的報告改了改還給他。
然後他又交了來,我又改了改再還給他。
他再交來時, 我請他告訴我, 這篇文章到底在幹什麼? 沒想到他卻一個字都答不上來。
其實在一般的數學研究論文裡, 我們最常見的是作者用些莫名其妙的定義推些最一般性的定理。
我們若只是非常用力的去瞭解它的邏輯推理, 而輕易忽略去搞清楚作者腦袋瓜裡到底在想些什麼, 那麼我們對文章的瞭解的確非常有限, 很難由此做出傑出的工作。
非常遺憾的是, 極多數重要論文的作者都不會輕易把他們腦袋瓜子裡真正的point 用力寫出來。
你必須自己去問這些問題, 自己去追求它的答案。
這一路過來, 我常舉的一個例子是, 我對一個矩陣的…行秩‟和…列秩‟為什麼會相等的好奇。
其實在任何基本“線性代數”的書裡, 我們都可以找到它們為什麼相等的證明。
但是從那些邏輯推理的外表, 我實在看不出它們為什麼happen to be equal。
在我真正瞭解到它們為什麼會一樣的過程中, 這個…好奇‟卻幫我瞭解了許多廣義逆矩陣的幾何意義。
又好比說, 誰不會矩陣運算裡的…高斯消去法‟啊? 有一次我問台灣南部大學數學系的一位教授(這位教授在大學念書時, 好像還贏過台灣“線性代數”比賽的…銀牌‟) 高斯消去法的幾何意義到底是什麼? 他說, 這年頭誰要去想這種問題?! 語言簡單的東西, 懂不懂好像不那麼重要。
管它懂不懂老子照樣可以擠出可以在…SCI‟雜誌發表的文章。
可是遇到較複雜的語言時, 好比近代代數幾何裡的基本語言…Scheme‟, 一般人若對它整個的來龍去脈缺乏一個整體性的理解, 恐怕連…定義‟都無法輕易記憶。
記得我在自修…交換代數‟時, 遇到所謂的…局部環‟(local ring), 當時只是好奇, 為什麼稱它…局部環‟? 從它定義(只有唯一的一個maximal ideal 的環) 的表面實在看不出憑什麼稱它為…局部環‟。
可是在我試圖真正去瞭解為什麼要稱它…局部環‟的過程裡, 這個…好奇‟卻幫助我了解了許多代數幾何上的概念。
這一路過來, 這種對數學的…好奇‟以及對這些…好奇‟問題答案的追逐的確給我帶來對研讀數學的極大樂趣。
在這裡我想強調的是, 對這些…好奇‟的chase 毫無爭取在SCI 的期刊上發表論文的意圖。
當初去University of Maryland 念研究所是一個巧合, 遇到後來的指導教授James A. Yorke 更是一個極大的巧合。
不管怎樣, 記得Yorke 教授頭一次看了我當初在清華念書的File時, 顯然是吃了一驚。
以為我是那路殺來的“高手”, 功力無比深厚。
現在回想起來那個檔案裡所紀錄的實在是有極大的Misleading(這字有時是…詐欺‟的禮貌性用詞)。
看哪! 我在念大二的“三高”時, …高等微積分‟用的是Apostol 的…Mathematical Analysis‟。
…高等幾何‟用的是Halmos的…Finite Dimensional Vector Spaces‟。
…高等代數‟用的是N. Jacobson 的…Lectures in Abstract Algebra‟。
微分方程用的是Coddington 的…Introduction to Ordinary Differential Equations‟。
大三念…近世代數‟時, 用的是van der Waerden 的…Modern Algebra‟。
念…複變函數論‟用的是Ahlfors 的…Complex Analysis‟。
另外, 大三還念了拓樸學、數論。
大四念了泛函分析、李氏群論、實變數函數論(用的是Royden 的…Real Analysis‟), 微分幾何(用的是Hicks 的…Notes on Differential Geometry‟)。
這些課不但都修過, 而且成績都不低(大四修的課都在90分以上)。
在表面上看來, 這個紀錄的確是相當傲人了, 不是嗎? 可是今天把那些教科書拿出來翻一翻, 實在很難想像當初是怎麼混過來的。
好比說, Ahlfors 那本書的水平不低。
它絕不適合做初學複變數函數論的教科書。
記得我們大二在學高等微積分時,教授根本就跳過了…線積分‟(現在想來, 大概根本的原因還在於Apostol 那本書過於…高深‟, 教授無法教完書裡大部分的材料。
) 可是Ahlfors 的書基本上是假定閣下已清楚的掌握了所謂的“Countour Integral”(複數面上的線積分)。
若是對Countour integral 都不甚理解, 我很難想像當時怎麼去理解…Cauchy Integral‟ 、…Laurent Expansion‟ . . .等等基本的概念。
那時的老師們好像一般來說都覺得, 能用愈深的教科書(其實每本書都…號稱‟是…self contained‟) 學生自然就會變得較…高檔次‟吧! 其實抽象數學的出發點多半起始於對實際問題所建立的數學模式。
然後將解決問題的方式建立理論, 再抽象化, 希望能覆蓋更一般性的同類問題。
因此在學習較高深的抽象數學理論之前, 多多少少要對最原始的出發點和工具有些基本的認識。
要不然, 若是一開始就搞些莫名其妙的抽象定義, 推些莫名其妙的抽象定理, 學生根本無法知道到底是在幹些什麼。
可是為了考試過關, 只好跟著背定義, 背定理, 背邏輯, 一團混戰。
對基礎數學實質上的認識真是微乎其微。
我們那時的學習環境大致如此。
所以我那時檔案裡的紀錄雖然極為Impressive, 但是如今回想起來, 當時實在是…一竅不通‟。
背定理, 背邏輯最多只能應付考試。
畢業服完兵役以後, 絕大多數以前所學當然都忘了。
老實說, 在出國前, 我真想放棄學數學, 不幹算了。
後來在美遇到了導師Yorke 教授。
從他那裡, 我才慢慢對學數學和數學研究開始有了些初步的認識。
這些認識大大助長了我以後學習數學的視野和方式。
最重要的是, 學習…高檔次‟的數學理論, 絕對必須從對低檔次數學的理解出發。
我自己常常覺得老天在我數學的Career 上實在是給了我太大的幸運。
記得那年在B. Kellogg 教授所開…非線性數值分析‟的課堂上聽到他所講關於M. Hirsch 用微分拓樸的反證法證明“Brouwer 固定點”的存在定理。
其實我覺得只要把M. Hirsch 的證明稍稍做些變動(這個變動大概不超過原來證明的1%吧!), 就可以輕易的把他的反證法(“. . . 若…固定點‟不存在, 則天下會大亂. . .”什麼的) 變成一個找這些固定點的實際方法。
後來和導師J. Yorke 教授提起了我的看法。
記得那時擺在我面前的研究課題有好幾個, 沒想到Yorke 教授卻堅持要我全力以赴的去實踐這個算法的構想。
老實說, 那時我心裡最不想做的就是這一個問題。
首先, 我那時根本不懂計算(連基本的FORTRAN 語言都不會)。
另外, 我們那時並沒什麼…工作站‟, …個人電腦‟ . . . 什麼的, 所有計算程式都必須打在卡片上(一行一張卡), 然後把它們送去計算機中心, 他們用學校僅有的二台機器替你跑程式, 剩下來的就看你的運氣了, 有時二十分鐘之後就有結果。
有時要等二、三小時甚至更長。
還有一個不想做這個題目的理由: 那時總以為數學研究總是要證些定理什麼的, 搞些"- 的玩意兒, 我對算Brouwer 固定點的構想即使可以順利運作,好像也無法擠出些…定理‟來。
