02Matlab符号运算

数学实验
邓化宇 上海电力学院数理系 dhy0826@
MATLAB符号运算 MATLAB符号运算
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符号对象的建立 表达式简化 符号微积分 级数求和
卫星的轨道长度
Matlab 符号运算介绍
Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建立在功能 强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进行符号运算时， 它就请求 Maple 软件去计算并将结果返回给 Matlab。 Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算 功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、 化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代 数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支 持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。
符号对象的建立： 符号对象的建立：sym 和 syms syms 命令用来建立多个符号变量，一般调用格式 命令用来建立多个符号变量 用来建立多个符号变量，
为：
syms 符号变量1 符号变量2 ... 符号变量n
>> a=sym('a'); >> b=sym('b'); >> c=sym('c'); 经常用
How 中记录的为简化过程中使用的方法。 中记录的为简化过程中使用的方法。
f
2*cos(x)^2-sin(x)^2 (x+1)*x*(x-1) x^3+3*x^2+3*x+1 cos(3*acos(x)) x^3-x (x+1)^3 4*x^3-3*x
R
3*cos(x)^2-1
HOW
simplify combine(trig) factor expand
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行， 计算以推理方式进行，因此不受计算误 推理方式进行 差累积所带来的困扰。 差累积所带来的困扰。 符号计算指令的调用比较简单，与数学 符号计算指令的调用比较简单， 教科书上的公式相近。 教科书上的公式相近。 符号计算所需的运行时间相对较长。 符号计算所需的运行时间相对较长。
计算极限
limit(f,x,a): 计算 lim f ( x ) x →a limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限 默认变量趋向于 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,'right'): 计算右极限 limit(f,x,a,'left'): 计算左极限
下面的命令运行结果会是什么？ f=2*u ans=4 f2=2*(u+2) ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6
>> subs(f3,[x,y],[x+y,x+y])
计算函数值 计算函数值
练习： 练习：
f = x − 2e + 6.3
3 −x
x + π ln( x + 0.5)
digits(25); p=vpa(pi) w=vpa('(1+sqrt(5))/2',4)
上机作业
下面语句计算出来的 c1，c2 相等吗，为什么？上机验证。
>> a1=1e10; b1=1e-10; >> c1=(a1+b1-a1)/b1; >> a2=sym(a1); b2=sym(b1); >> c2=(a2+b2-a2)/b2;
练习： 练习：
e −1 lim x → 0+ 1 − cos x − sin x
x3
ans=12
计算导数 计算导数
diff g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数 ： g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 关于默认变量 默认变量的导数 ： g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数 ：
符号对象的建立 符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms 符号对象的建立： sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：
符号变量 = sym(A) 参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串 可以是一个数或数值矩阵，
例： >> a=sym('a')
a 是符号变量
符号对象的建立 符号对象的建立
例：计算
ln( x + h ) − ln( x ) L = lim ， h→0 h
x M = lim 1 − n→∞ n
n
>> syms x h n; >> L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0) >> M=limit((1-x/n)^n,n,inf)
计算极限
可以达到最简表达。 多次使用 simple 可以达到最简表达。
分式通分
函数简化 [N,D]=numden(f):
为通分后的分子， N 为通分后的分子，D 为通分后的分母 >> syms x y; >> f=x/y+y/x; >> [N,D]=numden(f) >> [n,d]=numden(sym(112/1024))
>> syms x y; >> f= x^2*y + y*x - x^2 + 2*x ; >> collect(f) >> collect(f,y)
函数简化
函数简化 y=simple(f): 对 f 尝试多种不同的算法进行 尝试多种不同的算法进行
简化， 简化，返回其中最简短的形式
[How,y]=simple(f): y 为 f 的最简短形式， 最简短形式，
符号表达式的替换
用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式
若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或出结果 >> f=sym('2*u'); >> subs(f,'u',2) >> f2=subs(f,'u','u+2') >> a=3; >> subs(f2,'u',a+2) >> subs(f2,'u','a+2') >> syms x y >> f3=subs(f,'u',x+y) >> subs(f3,[x,y],[1,2])
多项式展开 >> syms x; f=(x+1)^6; >> expand(f) 三角函数展开 >> syms x y; f=sin(x+y); >> expand(f)
合并同类项
合并同类项 collect(f,v): 按指定变量 v 进行合并 进行合并 collect(f): 按默认变量进行合并 默认变量进行合并 变量进行
例：计算
x2 + 1 I=∫ 2 dx 和 K = 2 ( x − 2 x + 2)
∫
+∞
0
e
− x2
dx
>> syms x; f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2; >> I=int(f,x) >> K=int(exp(-x^2),x,0,inf)
计算积分 计算积分
练习： 练习：
1 e dx, ∫ 0 2π 2 2t e −2 x + 1 dx 2 2 ∫cos t (2 x − 3x + 1)
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根
>> solve('a*x^2+b*x+c')
求的根 f (x) = (cos x)2 的一次导数
>> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2)
计算 f (x) = x2 在区间 [a, b] 上的定积分
符号对象的基本运算 符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等 sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、acsc、… exp、log、log2、log10、sqrt abs、conj、real、imag rank、det、inv、eig、lu、qr、svd diag、triu、tril、expm
函数简化举例 函数简化举例
例：简化
f (x) =
3
1 + 6 + 12 + 8 x x3 x2
>> syms c alpha beta; >> f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); >> y1=simplify(f) >> g1=simple(f) >> g2=simple(g1)
>> syms n x; f=x/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf)
Taylor级数展开 级数展开
taylor(f): 求f在默认自变量 处的 阶 在默认自变量=0处的 在默认自变量 处的5阶 Taylor级数展开式定积分 级数展开式定积分 taylor(f,n,x): 求f在默认自变量 在默认自变量x=0处的 在默认自变量 处的 n-1阶Taylor级数展开式定积分 阶 级数展开式定积分 taylor(f,n,x,a): 求f在默认自变量 在默认自变量x=a处 在默认自变量 处 的n-1阶Taylor级数展开式定积分 阶 级数展开式定积分