2019届一轮复习人教版 双星及多星问题 学案

2019年高考物理一轮复习精品资料1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度．一、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的比较1．轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r 同>r 近＝r 物。

2．运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。

由T ＝2πr 3GM可知，近地卫星的周期要小于同步卫星的周期，即T 近<T 同＝T 物。

3．向心加速度：由G Mm r2＝ma 知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。

由a ＝r ω2＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度，即a 近>a 同>a 物。

4．动力学规律(1)近地卫星和同步卫星满足GMm r 2＝m v 2r＝m ω2r ＝ma 。

(2)赤道上的物体不满足万有引力充当向心力即GMm r 2≠m v 2r。

二、卫星的变轨问题 1．卫星变轨的原因 (1)由于对接引起的变轨 (2)由于空气阻力引起的变轨 2．卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2<m v 2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GMr可知其运行速率比原轨道时减小。

(2)当卫星的速率突然减小时，G Mm r 2>m v 2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GMr可知其运行速率比原轨道时增大。

卫星的发射和回收就是利用这一原理。

三、天体运动中的能量问题1．卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。

2．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足G Mm r 2＝m v 2r，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。

高中双星问题教案一、教学目标1. 知识目标：了解高中双星问题的概念与基本性质，掌握相关计算方法。

2. 技能目标：能够运用所学知识解决实际问题。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和探究精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：高中双星问题的概念、基本性质及计算方法。

2. 教学难点：如何应用所学知识解决实际问题。

三、教学过程步骤一：引入1. 引入活动：通过展示两颗星星的图片，让学生猜测这两颗星星是否会相撞，并引出“双星问题”。

2. 引入概念：介绍“双星问题”的概念，即两个质量很大的天体相互绕转的运动状态。

步骤二：理论探究1. 讲解基本性质：（1）双星系统的重心是不动点；（2）重心到两个天体的距离之比等于它们的质量之比；（3）两个天体围绕重心做圆周运动，圆周半径之比等于它们的质量之比。

2. 讲解计算方法：（1）计算重心坐标；（2）计算重心到两个天体的距离之比；（3）计算圆周半径之比。

步骤三：实例演练1. 案例分析：通过一些实际案例，让学生掌握如何应用所学知识解决问题。

2. 练习题：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

步骤四：拓展应用1. 实际应用：介绍双星问题在现代科技领域中的应用，如卫星轨道设计、恒星运动规律研究等。

2. 探究任务：布置一些探究任务，让学生自主探究双星问题在其他领域中的应用。

四、教学方式1. 讲授法：通过讲解基本概念和性质，引导学生理论探究。

2. 案例分析法：通过实际案例分析，帮助学生理解和应用所学知识。

3. 课堂练习法：通过课堂练习巩固所学知识，并培养自主思考能力。

4. 探究式学习法：通过探究任务，培养学生探究精神和创新能力。

五、教学评价1. 课堂表现：评价学生在课堂上的听讲、思考和回答问题的表现。

2. 作业完成情况：评价学生完成作业的质量和数量。

3. 考试成绩：通过考试成绩评价学生对所学知识的掌握情况。

六、教学资源1. 图片资料：两颗星星的图片等。

2. 教材资料：高中数学教材相关章节。

36双星与多星问题
［方法点拨］（1）核心问题是“谁”提供向心力的问题. （2） “双星问题”的隐含条件是两者 的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；
（3）多星问题中， 2 每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，
即F 合=mr ；，以此
列向心力方程进行求解. 1. （2018 •四川泸州一检）“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小
于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体•如图 1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心 0做圆周运动，A 、B 的质量分别为 m 、m ,周期均为T.若有间距也为L 的双星C D, C D 的质量分别为 A 、B 的两倍，则（ ）
图1
m
A. A 、B 运动的轨道半径之比为 一 m
B A B 运动的速率之比为后
C. C 运动的速率为A 的2倍
D.
2. （多选）太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星
体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式： 一种是直线三星 系统一一三颗星体始终在一条直线上； 另一种是三角形三星系统一一三颗星体位于等边三角 形的三个顶点上.已知某直线三星系统 A 每颗星体的质量均为 m 相邻两颗星中心间的距离
都为R 某三角形三星系统 B 的每颗星体的质量恰好也均为
m 且三星系统 A 外侧的两颗星 体做匀速圆周运动的周期和三星系统 B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等. 引力常量为G
A. 三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为
B. 三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为
C D 运动的周期均为。

题一各种性质的力和物体的平衡【重点知识梳理】一．各种性质的力：1．重力：重力与万有引力、重力的方向、重力的大小G = mg (g随高度、纬度、地质结构而变化)、重心（悬吊法，支持法）；2．弹力：产生条件（假设法、反推法）、方向（切向力，杆、绳、弹簧等弹力方向）、大小F = Kx (x为伸长量或压缩量,K为倔强系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) ；3．摩擦力：产生条件（假设法、反推法）、方向（法向力，总是与相对运动或相对运动趋势方向相反）、大小（滑动摩擦力：f= μN ；静摩擦力：由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解）4．万有引力：F=G（注意适用条件）；5．库仑力：F=K(注意适用条件) ；6．电场力：F=qE (F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反)；7．安培力：磁场对电流的作用力。

公式：F= BIL （B⊥I）方向一左手定则；8．洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。

公式：f=BqV (B⊥V) 方向一左手定则；9．核力：短程强引力。

二．平衡状态：1．平衡思想：力学中的平衡、电磁学中的平衡（电桥平衡、静电平衡、电磁流量计、磁流体发电机等）、热平衡问题等；静态平衡、动态平衡；2．力的平衡：共点力作用下平衡状态：静止（V=0，a=0）或匀速直线运动（V≠0，a=0）；物体的平衡条件，所受合外力为零。

∑F=0 或∑F x =0 ∑F y =0；推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。

[2]几个共点力作用于物体而平衡，其中任意几个力的合力与剩余几个力（一个力）的合力一定等值反向三、力学中物体平衡的分析方法：1．力的合成与分解法（正交分解法）； 2．图解法；3．相似三角形法； 4．整体与隔离法；【分类典型例题】一．重力场中的物体平衡：题型一：常规力平衡问题解决这类问题需要注意：此类题型常用分解法也可以用合成法，关键是找清力及每个力的方向和大小表示！多为双方向各自平衡，建立各方向上的平衡方程后再联立求解。

双星及多星、天体追及问题1.双星问题知识点(1)运动模型：远离其他天体的两星在相互间的万有引力作用下绕两星连线上某点O各自做匀速圆周运动。

（2)几个结论：①两星彼此间的万有引力提供向心力，即＝m 1r1，＝m 2r2。

1②两星绕行方向、周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2＝L。

④两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比，即。

⑤两星的运动周期为T＝2π。

⑥两星的总质量为m＝m1+m2＝。

22.多星问题类型三星模型四星模型3结构图2.多星问题类型三星模型四星模型结构图结论：1、每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它万有引力的合力提供42、每颗星做圆周运动转动的方向、周期、角速度、线速度的大小均相同活动一、宇宙双星及多星模型1.宇宙双星模型2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(BC)A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度2. 宇宙三星模型三颗质量均为M的星球(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。

如图所示，如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是(BD)A．其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力大小为3GM 2 2L2B．其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力指向圆心OC．它们运行的轨道半径为3 2LD．它们运行的速度大小为GML56【习练】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。

设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上。

高考重点难点热点快速突破1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω 22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. 2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．典例分析【例1】 (多选)(2017年昆明模拟)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( )A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1＋R 23GT 2【答案】 BC【例2】：2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×105 m，太阳质量M＝2×1030 kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )A．102 Hz B．104 Hz C．106 Hz D．108 Hz【答案】 A【例3】：．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．(1)计算出该双星系统的运动周期T；(2)若该实验中观测到的运动周期为T 观测，且T 观测∶T ＝1∶N (N >1)．为了理解T 观测与T 的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．【答案】 (1)πL2L GM (2)3N －1M2πL3 【解析】 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则G M 2L 2＝M ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2·L 2，解得T ＝πL2L GM.【例4】：由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .【答案 】 (1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)74a (4)πa 3Gm【解析】(1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a2＝F CA方向如图所示则合力大小为F A ＝F BA ·cos 30°＋F CA ·cos 30°＝23G m 2a2(3)由于m A ＝2m ，m B ＝m C ＝m通过分析可知，圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点 则R C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝74a (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m (2πT)2R C ，可得T ＝πa 3Gm. 专题练习1：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )A ．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm RB ．每颗星做圆周运动的角速度为 3GmR 3C ．每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 【答案】 ABC【解析】由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r ＝R2cos 30°＝33R .由牛顿第二定律得Gm 2R 2·2cos 30°＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma ，可解得v ＝GmR，ω＝ 3GmR 3，T ＝2πR 33Gm ，a ＝3GmR2，故A 、B 、C 均正确，D 错误． 2.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )A ． 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ． 四颗星的轨道半径均为C ． 四颗星表面的重力加速度均为D ． 四颗星的周期均为2πa【答案】B3.宇宙中存在一些离其他恒星较远，由质量相等的三个星体组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三个星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示．设每个星体的质量均为m，相邻的两个星体之间的距离为L，引力常量为G，则( )A．该圆形轨道的半径为3 2 LB．每个星体的运行周期均为3πL3 2GmC．每个星体做圆周运动的线速度均为Gm LD．每个星体做圆周运动的加速度均与星体的质量无关【答案】：C4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 【答案】：B【解析】：设m 1的轨道半径为r 1，m 2的轨道半径为r 2，由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同，两星之间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2r 1＋r 22＝m 1r 1⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2，Gm 1m 2r 1＋r 22＝m 2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，可得T ＝2πr 1＋r 23G m 1＋m 2，故当两恒星总质量变为原来的k倍，两星间距变为原来的n 倍时，圆周运动的周期变为n 3kT ，B 正确． 5．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( )A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为r 1＝25LD ．m 2做圆周运动的半径为r 2＝25L【答案：】C6. (多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统P、Q绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若PO>OQ，则( )A．星球P的质量一定大于Q的质量B．星球P的线速度一定大于Q的线速度C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大【答案】BD7. (多选)宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A．双星相互间的万有引力不变B．双星做圆周运动的角速度均增大C．双星做圆周运动的速度均减小D．双星做圆周运动的半径均增大【答案】CD【解析】双星间的距离在不断缓慢增加，由万有引力定律，F＝G，知万有引力减小，A错误；根据万有引力提供向心力得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，可知m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离变大，则双星的轨道半径都变大，B 错误，D 正确；根据G＝m 1v 1ω＝m 2v 2ω，可得线速度减小，C 正确8. (多选)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，两星总质量为M ，两星之间的距离为r ，两星质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的轨道半径分别为r 1、r 2，则下列关系式中正确的是( )A ． M ＝B ． r 1＝rC ． T ＝2πD ． ＝【答案】AC【解析】由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：对m 1：＝m 1ω2r 1① 对m 2：＝m 2ω2r 2②；由①②式可得：m 1r 1＝m 2r 2 ，即＝，D 错误．r 1＋r 2＝r ，得：r 1＝r ＝r ，B 错误．将ω＝，r 1＝r 代入①式，可得：＝m 1·r，得：T ＝2π，M ＝，A 、C 正确．9．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T 1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T 2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T 1T 2.【答案】T 1T 2＝6＋634＋2【解析】：对于第一种形式，一个星体在其它三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径为：r1＝22a.。

第5讲天体运动问题[学生用书P79]，由于天体运动贴近科技前沿，且蕴含丰富的物理知识，因此是高考命题的热点．近几年在全国卷中都有题目进行考查．预计高考可能会结合我国最新航天成果考查卫星运动中基本参量的求解和比较以及变轨等问题．常考点有：卫星的变轨、对接；天体相距最近或最远问题；随地、绕地问题；卫星运动过程中的动力学问题、能量问题，包括加速度(向心加速度、重力加速度)、线速度、周期的比较等．解决这些问题的总体思路是熟悉两个模型：随地、绕地．变轨抓住两种观点分析，即动力学观点、能量观点．注意匀速圆周运动知识的应用．【重难解读】本部分要重点理解解决天体运动的两条基本思路，天体质量和密度的计算方法，卫星运行参量的求解及比较等．其中卫星变轨问题和双星系统模型是天体运动中的难点．在应用万有引力定律分析天体运动要抓住“一个模型”“两个思路”1．一个模型：无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动模型．2．两个思路(1)所有做圆周运动的天体所需向心力都来自万有引力，因此向心力等于万有引力，据此列出天体运动的基本关系式：GMm r 2＝m v 2r＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ＝ma .(2)不考虑地球或天体自转的影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G MmR 2＝mg ，变形得GM ＝gR 2(黄金代换式)．【典题例证】(多选)作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已知A 点距地面的高度为2R (R 为地球半径)，B 点为轨道Ⅱ上的近地点，地球表面重力加速度为g ，地球质量为M .又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为r 时，其引力势能E p ＝－G Mmr (式中m 为物体的质量，M 为星球的质量，G 为引力常量)，不计空气阻力．则下列说法中正确的有( )A ．该航天飞机在轨道Ⅱ上经过A 点的速度小于经过B 点的速度B ．该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点时的向心加速度大于它在轨道Ⅱ上经过A 点时的向心加速度C ．在轨道Ⅱ上从A 点运动到B 点的过程中，航天飞机的加速度一直变大D ．可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过A 、B 两点的速度大小[解析] 在轨道Ⅱ上A 点为远地点，B 点为近地点，航天飞机经过A 点的速度小于经过B 点的速度，故A 正确．在A 点，航天飞机所受外力为万有引力，根据G Mmr 2＝ma ，知航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点和在轨道Ⅱ上经过A 点时的加速度相等，故B 错误．在轨道Ⅱ上运动时，由A 点运动到B 点的过程中，航天飞机距地心的距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故C 正确．航天飞机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒，有－GMmr A ＋12m v 2A ＝－GMm r B ＋12m v 2B ，由开普勒第二定律得r A v A ＝r B v B，结合GMm R 2＝mg ，r A ＝3R ，r B ＝R ，可求得v A 、v B ，故D 正确．[答案] ACD常见变轨问题的处理方法(1)力学的观点：如在A 点减速进入轨道Ⅱ，即为减速向心，反之加速离心，同时还要清楚减速时向运动方向喷气，加速时向运动的反方向喷气．(2)能量的观点：如在轨道Ⅰ上运行时的机械能比在轨道Ⅱ上运行时的机械能大．在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点的过程中航天飞机的机械能守恒、动能增加、引力势能减小等．变轨问题经常考查的知识点有：速度、加速度的比较；动能、势能、机械能的比较；周期、线速度、加速度的求法，特别是椭圆轨道上周期的求法要用到开普勒第三定律；第一宇宙速度、第二宇宙速度的理解．【突破训练】1．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A .3πGT 2g 0－g g 0B ．3πGT 2g 0g 0－gC .3πGT2 D ．3πGT 2g 0g解析：选B .物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，则ρ＝M 43πR 3＝3πg 0GT 2（g 0－g ）.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．2.(多选)(2016·高考江苏卷)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A >TB B ．E k A >E k BC ．S A ＝S BD ．R 3A T 2A ＝R 3B T 2B解析：选AD .卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G Mm R 2＝m v 2R ＝mR ⎝⎛⎭⎫2πT 2，得v ＝ GMR，T ＝2πR 3GM，由R A >R B ，可知，T A >T B ，v A <v B ，由于两卫星的质量相等，因此E k A <E k B ，A 项正确，B 项错误；由开普勒第三定律可知，R 3A T 2A ＝R 3BT 2B ，D 项正确；卫星与地心的连线在t 时间内扫过的面积S ＝t T πR 2＝t GMR 2，可见轨道半径大的卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积大，C 项错误．3．我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息．若该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2.已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，地球表面处的重力加速度为g ，则( )A ．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为G 1G 2B ．地球的质量与月球的质量之比为 G 1R 22G 2R 21C ．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 G 2G 1D ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2解析：选D .质量与引力无关，故“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为1∶1，A 错误；重力加速度g ＝G 重m ，故地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为G 1∶G 2，C 错误；根据g ＝GMR 2，有M ＝gR 2G ，故地球的质量与月球的质量之比为M 地M 月＝G 1R 21G 2R 22，B 错误；因第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，且v ＝gR ，故地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为v 1v 2＝G 1R 1G 2R 2，D 正确． 4．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L ，质量分别为M 1和M 2，试计算： (1)双星的轨道半径； (2)双星的运行周期； (3)双星的线速度的大小． 解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，如图所示，所以具有周期、频率和角速度均相同，而轨道半径、线速度不同的特点．(1)由于两星受到的向心力相等， 则M 1ω2R 1＝M 2ω2R 2，L ＝R 1＋R 2. 由此得：R 1＝M 2M 1＋M 2L ，R 2＝M 1M 1＋M 2L .(2)由万有引力提供向心力得 G M 1M 2L 2＝M 1⎝⎛⎭⎫2πT 2R 1＝M 2⎝⎛⎭⎫2πT 2R 2.所以，周期为T ＝2πL LG （M 1＋M 2）.(3)线速度v 1＝2πR 1T ＝M 2GL （M 1＋M 2），v 2＝2πR 2T＝M 1GL （M 1＋M 2）.答案：(1)R 1＝M 2M 1＋M 2L R 2＝M 1M 1＋M 2L(2)2πLLG（M1＋M2）(3)v1＝M2GL（M1＋M2）v2＝M1GL（M1＋M2）。

3年高考2年模拟1年原创精品高考系列专题05 万有引力与航天【2019年高考考点定位】高考试题的考察集中于以下几点：1．物理学史中关于对天体运动认识的考察，对于开普勒三大定律的考察。

2．结合万有引力定律的公式对中心天体和环绕天体之间由于万有引力而做匀速圆周运动的考察。

3．绕同一个中心天体的各个环绕天体之间追击相遇问题的考察。

4．根据表面卫星的运动对未知天体的探究，包括未知天体的密度，未知天体表面的重力加速度等。

5．根据地球公转和自转周期与其他星体的运动相类比的估算类问题。

【考点pk 】名师考点透析 考点一、开普勒三大定律1．内容：○1开普勒第一定律：所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

○2开普勒第二定律：对任意一个行星的运动来说，它与太阳的连线在任意相等时间内扫过的面积相等。

○3所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，即32R k T=，k 的取值与中心天体有关，与其他无关。

2．虽然开普勒第二定律是关于行星绕太阳运动的描述，但是对于只收到万有引力的卫星，导弹在地球表面的运动也同样适用，另外所有的卫星绕中心天体的圆周运动也都适用，因为圆周就是一个特殊的半长轴等于半短轴的椭圆。

3．物理学史：○1关于行星运动的三大定律是开普勒提出的○2万有引力定律是牛顿提出的○3万有引力常量是卡文迪许测量的。

考点二、万有引力定律1．内容：自然界中任意两个物体都相互吸引，引力大小跟这两个物体质量的乘积成正比，跟他们距离的平方成反比。

公式即：2GMmF R =，G 为引力常量。

适用范围：适用于质点之间的相互作用，对于天体运动一般可以看做质点，此时距离为球心之间的距离。

2．万有引力提供向心力：卫星和环绕天体的运动分析中，以M 表示中心天体质量，以m 表示环绕天体质量，以R 表示天体之间的距离，则根据万有引力提供向心力有222224GMm v ma m mR mR R R T πω====，可得环绕天体或卫星的相信加速度2GMa R=，线速度v =T =，角速度ω=3．万有引力和重力：一般认为万有引力等于重力即2GMm mg R =，重力加速度2GMg R =。

36 双星与多星问题[方法点拨] (1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r，以此列向心力方程进行求解．1．(2018·四川泸州一检)“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )图1A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 2．(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( ) A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝Gm RB ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R5GmRC ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πRR 5GmD ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝3125R3．(多选)(2017·福建龙岩3月质检)冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为M 、m (m <M )，两星相距L ，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点O 做匀速圆周运动．冥王星与星体卡戎到O 点的距离分别为R 和r .则下列说法正确的是( )A ．可由G Mm R2＝MR ω2计算冥王星做圆周运动的角速度B ．可由G Mm L 2＝M v 2L 计算冥王星做圆周运动的线速度C ．可由G Mm L2＝mr (2πT)2计算星体卡戎做圆周运动的周期D ．冥王星与星体卡戎绕O 点做圆周运动的动量大小相等4．(2017·山东枣庄一模)2015年12月17日我国发射了“悟空”探测卫星，这期间的观测使人类对暗物质的研究又进了一步．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且T 理论T 观测＝k (k >1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m ，那么，暗物质的质量为( )A.k 2－14mB.k 2－28mC ．(k 2－1)mD ．(2k 2－1)m5．(2017·广西南宁一模)2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到．在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统．如图2所示，黑洞A 、B 可视为质点，它们围绕连线上O 点做匀速圆周运动，且AO 大于BO ，不考虑其他天体的影响．下列说法正确的是( )图2A ．黑洞A 的向心力大于B 的向心力 B ．黑洞A 的线速度大于B 的线速度C ．黑洞A 的质量大于B 的质量D ．两黑洞之间的距离越大，A 的周期越小6．(多选)(2018·陕西商洛模拟)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( ) A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3GT2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2(R 1＋R 2)3GT2答案精析1．D [对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πLLG (m 1＋m 2)，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v ＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πLLG (2m 1＋2m 2)＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．]2．BCD [三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行．其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有：G m 2R 2＋G m 2(2R )2＝m v 2R，解得v ＝ 5Gm 4R ，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πRv＝4πR R 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R5GmR，B 正确；由于两种系统周期相等，则三星系统B 的运行周期为T ＝4πRR5Gm，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°·4π2T 2，解得L ＝3125R ，D 正确．]3．CD [冥王星与星体卡戎之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力：可由G Mm(R ＋r )2＝MR ω2计算冥王星做圆周运动的角速度，故A 错误；同理，可由G Mm L 2＝M v 2R 计算冥王星做圆周运动的线速度，故B 错误；冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统．所以冥王星和星体卡戎做圆周运动的周期是相等的，可由G Mm L2＝mr (2πT)2计算星体卡戎做圆周运动的周期，故C 正确；因G Mm(R ＋r )2＝MR ω2＝mr ω2，由于它们的角速度的大小是相等的，所以：MR ω＝mr ω，又：v m ＝ωr ，v M ＝ωR ，p m ＝mv m ，p M ＝Mv M ，所以冥王星与星体卡戎绕O 点做圆周运动的动量大小相等，故D 正确．]4．A [两星球均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L ，由万有引力提供向心力得：G m 2L 2＝m4π2T 理论2·L2，解得：T 理论＝πL2LGm.根据观测结果，星体的运动周期T 理论T 观测＝k ，这种差异是由两星球之间均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在两星球之间的暗物质对双星系统的作用与一质量等于暗物质的总质量m ′、位于中点O 处的质点的作用相同．则有：G m 2L 2＋Gmm ′(L 2)2＝m 4π2T 观测2·L2，解得：T 观测＝πL2L G (m ＋4m ′)，又T 理论T 观测＝k ，所以：m ′＝k 2－14m ，故A 正确，B 、C 、D 错误．]5．B [两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A 对B 的作用力与B 对A 的作用力大小相等、方向相反，则黑洞A 的向心力等于B 的向心力，故A 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由题图可知A 的轨道半径比较大，根据v ＝ωr 可知，黑洞A 的线速度大于B 的线速度，故B 正确；由于m A ω2r A ＝m B ω2r B ，由于A 的轨道半径比较大，所以A 的质量小，故C 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以G m A m B L 2＝m A 4π2T 2r A ＝m B 4π2T 2r B ，又：r A ＋r B ＝L ，得r A ＝m B Lm A ＋m B ，L 为二者之间的距离，所以得：G m A m B L 2＝m A 4π2T 2·m B L m A ＋m B ，即：T 2＝4π2L 3G (m A ＋m B )，则两黑洞之间的距离越小，A 的周期越小，故D 错误．] 6．BC [设两星质量分别为m 1、m 2.对m 1有：G m 1m 2(R 1＋R 2)2＝m 1R 14π2 T 2，解得m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，同理可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2GT 2，故两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3GT2，则不可能其中一个的质量为4π2(R 1＋R 2)3GT2，故选项D 错误，选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故选项C 正确．]。

22双星问题学习目标：1.了解万有引力定律在天文学上的应用2.掌握双星问题的处理方法3.培养学生归纳总结建立模型的能力学习重点：双星问题的处理方法学习难点：学生建模能力的培养学习过程：新知探究一、 “双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作 运动，其向心力由 提 供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，由万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是 的， 也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：对M 1： 对M 2：在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

小结：“双星”系统的特点若双星质量m 1、m 2；球心间距离L ；轨道半径 r 1、r 2；周期T 1、T 2；角速度ω1、ω2 线速度V 1、V 2；则1.周期相同： T 1=T 2 （参考同轴转动问题）2.角速度相同：ω1 =ω2 （参考同轴转动问题）3.向心力相同：Fn 1=Fn 2 （牛顿第三定律）4.轨道半径之比与双星质量之比相反：r 1：r 2=m 2：m 1 （由向心力相同推导）5.线速度之比与质量比相反：V 1:V 2=m 2:m 1（由半径之比推导）二、“三星”问题：有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。