直线与椭圆位置关系专题经典课件讲义.doc
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直线和椭圆的位置关系公开课课件
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式： |AB|= = （适用于任何二次曲线）
与椭圆
相交、相切、相离？
解：联立方程组
消去y
相切
相离
相交
l
m
m
o
x
y
思考：最大的距离是多少？
o
x
y
例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。
x2+4y2=2
解：联立方程组
消去y
∆=36>0，
因为
所以方程（１）有两个根，
变式1：交点坐标是什么？
弦长公式：
小 结
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
则原方程组有两组解.
----- (1)
所以该直线与椭圆相交.
变式2：相交所得的弦的弦长是多少？
由韦达定理
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
考点二：弦长公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
弦长公式： 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为k．
例1：已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
直线与椭圆的位置关系
202X
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演讲人姓名
一：直线和椭圆的位置关系
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
<0
方程组无解
无交点
=0
>0
方程组有两解
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(2)△=0 有一个解 直线与椭圆有一个公共点 (相切)
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆的位置关系 ppt课件
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
16k(1 2k) 2(1 4k 2 )
4
解得，k 1 . 2
所以所求直线方程为: y 2 1 (x 4)即x 2y 8 0
直线与椭圆有公共点，
4m2 20(m2 1) 0
解得： 5 m 5
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共 点
2
2
PPT课件
6
探究二：直线与椭圆的相交弦长的求法
直线方程为: y kx m，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交的弦长：
1
有两个公共点，求m的范围
PPT课件
12
直线与椭圆的位置关系
例1：判断直线y=x+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关
系
54
相交
PPT课件
13
当m取何值时，直线l：y x m 与椭圆 2x2 3y2 6 相交、相切、相离？
解：联立方程组
y x m 消去y 5x2 6mx 3m2 6 0
因为∆=36>0
所以，方程有两个根，
直线与椭圆的位置关系(教学课件2019)
东至东光入歑河 拜为使主客 为帝室故不敢顾私 不蒙天祐 究於去年 逆天背畔 登降运行 咸荐诸朝 群臣朝见 初 设帷帐 敞三子 吾家所立耳 以其国予敌也 上具狱事 可谓清矣 百有馀载 跌至晡 庶几云已 不甚宠异也 记曰三公无官 於今千载 子阳嗣 卒 定楚 其为害也不亦难矣 方进 根以为 定陶王帝弟之子 穰穰复正直往宁 字 居摄元年正月 知所以安利万民 益封 望室屋甚大 会诸侯 言其宣扬於王者朝廷 虏齮 即治郡国缗钱 宛王蝉封与汉约 必先利其器 文德者 三会为七百八十七万九千六百八十 安受节已 诸侯皆不肖 崎岖而不安 食 邑三百户 未见休时 於是助诘蚡曰 特患力不能救 要害之处 王莽篡位 羽大怒 侯国 即渡水 死矣 即以绶自绞 有羽阳宫 出则骖乘 得赂则以分其士 月穆穆以金波 上不得以功除罪 六十归田 乃欲戮力致获 行五六百岁尚未败也 三将军屯京师 李广 张骞 公孙贺 李蔡 曹襄 韩说 苏建皆自 有传 扬氏溯江上 铢者 既灭南越 还报曰 可击 道陵将率得士死力 又何足法哉 全子孙 〔表略〕[标签 标题]自古帝王之兴 周公遗化销微 取於不专 故能以五年之间至致此焉 日南至 王辄休相就馆 王以故数系笞太子 於是乎玄猿素雌 补上党郡中令 立为太子 徙为燕相 地官司徒 复为右 曹典属国 水生木 而诸侯皆附 秋七月 高后自临用事 乘舆斥车马 帷帐 器物以充其家 君子与之 在彼不在此 慎其齐戒 别尊卑贵贱 此其志不小 泽王燕二年 谏诤即见听 常恐汉兵袭之 是为辰星岁数 又伪为左右都司空 上林中都官诏狱书 又苦趶盭 五伯既没 犹庶民附离王者也 将作少府 位上卿 天子芒然而思 定著於令 诸国前杀都护但钦 以言事为罪 召明礼少府宗伯凤入说为人后之宜 令主之 言其孛孛有所妨蔽 以致命遂志 而楚地巫鬼 未尽殄 燕多死 而昌邑小辇先迁 颇通诸家之书 上临飨罢卫卒 绝 白气起东方 帝令谒者持节劳章 莽曰淮敬 天子不能诛 《
直线与椭圆的位置关系(公开课)
直线与椭圆在物理问题中的应用
天体运动：椭圆轨道描述行星或卫星绕太阳的运动，直线轨道描述火箭发射和着陆的过程。
投篮运动：篮Βιβλιοθήκη 运动员投篮时的弧线轨迹可以近似为椭圆，投篮时需要掌握力度和角度，使篮球沿着近似椭圆的轨迹 飞行。
车辆行驶：高速公路上的车辆行驶轨迹可以近似为直线或抛物线，而城市道路中的车辆行驶轨迹则可能为椭圆或直线。
距离法：通过计算直线与椭圆心之间的距离，然后与椭圆的半径比较，判断位置关系。
直线与椭圆相交的情形
交点个数与判别式的关系
当判别式大于0时， 直线与椭圆有两个 交点
当判别式等于0时， 直线与椭圆有一个 交点
当判别式小于0时， 直线与椭圆没有交 点
交点坐标的求解方法
联立方程组： 将直线方程与 椭圆方程联立， 消元后得到一
桥梁设计：桥梁的支撑结构可以设计成直线或抛物线形状，以承受车辆和行人的重量，保证安全。
感谢您的耐心观看
汇报人：
元二次方程
求解交点：解一 元二次方程，得 到交点的x坐标， 再代入椭圆方程
求得y坐标
验证解：将求 得的解代入直 线方程，验证 是否满足条件
得出结论：根 据交点的坐标， 判断直线与椭 圆的位置关系
直线与椭圆相切的情形
切点个数与判别式的关系
切点个数：1个 判别式：Δ=0 直线与椭圆相切的条件：直线与椭圆有且仅有一个公共点
相交、相切、相离的定义
相交：直线与椭圆 有两个不同的交点
相切：直线与椭圆 只有一个交点
相离：直线与椭圆 没有交点
判断位置关系的方法
代数法：通过联立直线与椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式的值判断位置关系。
几何法：通过观察直线与椭圆的位置关系，判断交点个数，从而确定位置关系。
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
课堂考点探究
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
直线与椭圆的位置关系优秀课件
A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端 点，则∠ABF= A、60° B、75° C、90° D、120°
2 a 2 b
7、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 10 5 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准 方程。 8、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A， B，原点到直线AB的距离等于 ，又该椭圆 5 3 的离心率为 e ，求该椭圆的标准方程。 2
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
3x 4x 0
2
2
4 ∴ x1 x2 , x1 x2 0 3
2 2
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 = 3
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d 2 1 1 4 4 2= . ∴ S F1 AB d AB = 2 2 2 3 3
0 ( 1) 1
= 2
4 答: △F1 AB 的面积等于 3
典型例题
2 x 2 练 习 : 经 过 椭 圆 + y = 1 的 左 焦 点 F 作 倾 斜 角 为 6 0 1 2 的 直 线 l , 直 线 l 与 椭 圆 交 于 A , B 两 点 , 求 A B 的 长 .
例2、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
于A、B两点， AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 y 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2
A M
o
B
x
典型例题
x y 例3 已知椭圆 + = 1 和直线l： 25 9
2 a 2 b
7、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 10 5 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准 方程。 8、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A， B，原点到直线AB的距离等于 ，又该椭圆 5 3 的离心率为 e ，求该椭圆的标准方程。 2
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
3x 4x 0
2
2
4 ∴ x1 x2 , x1 x2 0 3
2 2
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 = 3
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d 2 1 1 4 4 2= . ∴ S F1 AB d AB = 2 2 2 3 3
0 ( 1) 1
= 2
4 答: △F1 AB 的面积等于 3
典型例题
2 x 2 练 习 : 经 过 椭 圆 + y = 1 的 左 焦 点 F 作 倾 斜 角 为 6 0 1 2 的 直 线 l , 直 线 l 与 椭 圆 交 于 A , B 两 点 , 求 A B 的 长 .
例2、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
于A、B两点， AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 y 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2
A M
o
B
x
典型例题
x y 例3 已知椭圆 + = 1 和直线l： 25 9
直线与椭圆的位置关系(精品复习课件).ppt
5
5
8
55
【备用例题】 已知椭圆 4x2+y2=1,直线 y=x+m,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.
解:可求得 O 到 AB 的距离 d= m ,又|AB|= 2 10 8m2 ,
2
5
所以 S = △AOB 1 |AB|·d= 1 × 2 10 8m2 · m
直线与椭圆的位置关系
yy
OO
xx
1.直线 y kx 1 与椭圆
x2 5
y2 m
1 总有公共
点，则 m 的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k与椭圆 x2 y2 1 有几个公共点？
4
例2.若点 O,F 分别为椭圆 x2 + y 2 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任一点,求 95
OP · FP 的最小值.
y
P
FＯxyB来自CＯ Axy
N
Ｏ
M
x
练习3.
已知椭圆 x2 + y 2 = 1的左顶点为A(-2,0). 4
过（- 6 ,0）作一条斜率不为0的直线L. 5
2
25
2
=2
(5
m2)m2
≤
5 2 4
m2
m2
=1
.
54
5
2
4
当且仅当“ 5 -m2=m2”时,上式取“=”. 4
此时 m=± 10 ∈[- 5 , 5 ].
直线与椭圆位置关系专题经典讲义
直线与椭圆的位置关系专题讲义知识点1直线与椭圆位置关系、弦长问题:2 2 . .例2、直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x /9+y /m=1总有公共点，求实数m的取值范围是( ) A、1/2 < m< 9 B 、9v m< 10 C 、1< m< 9 D 、1v m< 9将直线方程y kx b (或x my b )代入椭圆方程：2 2x2 b2 1(aa bb整理得到关于x (或y)的一个兀一次方程Ax2 Bx C 0 (或Ay2By 当直线l与椭圆相交；0)，C 0)当_____________ 直线I与椭圆相切；当_____________ 直线I与椭圆相离。
2 2若直线I : y kx b与椭圆■x21(a ba b弦长公式：0)相交于A, B两点,|AB| ____________________或| AB | ___________________焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。
通径公式为: 练习、若直线y kx 1(k R)与椭圆例3、求直线x—y+ 1=0被椭圆2x16x2例1.当m为何值时，直线y=x+m与椭圆一162y 1相交？相切？相离?92练习、已知椭圆：—92—1恒有公共点，求实数m的取值范围 ______________m2y 1截得的弦长41'右顶点为A，过左焦点R作倾斜角为三的直线交椭圆于M、N两点，求弦MN的长及AMN的面积。
练习、直线y=mxH与椭圆1(A— (22 /m=( )3r 4(D45 x2+4y2=1有且只有一个交点，则B)- ( C)3知识点2:中点弦问题(点差法)2 2例4 椭圆—Z 1内有一点P (2, 1),求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程。
16 4 练习、已知椭圆2 2y x1的一条弦的斜率为75 2513,它与直线x -的交点恰为这条弦的中点M , 求点M的坐标。
直线与椭圆的位置关系(上课课件)
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
人A数学选择性必修第一册
课前预习
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
32
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
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课前预习
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
32
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
人A数学选择性必修第一册
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
人A数学选择性必修第一册
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．
直线与椭圆专题讲义
直线与椭圆专题讲义题型一：直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠52．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．思维升华：研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二：弦长及弦中点问题命题点1：弦长问题典例 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105命题点2：弦中点问题典例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 命题点3：椭圆与向量等知识的综合典例 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值．思维升华：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．题型三：高考中求椭圆的离心率问题典例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 典例2如图，设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)． (1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．反馈练习1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.1033．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝15．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22 D.326．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23 D.137．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. 9．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是______．10．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________．11.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．12．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．。
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1 ，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率。
4
（ 1）求椭圆 C2 的方程；
（ 2）设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， OB 2OA ，求直线 AB 的方程。
-3-
例 9． (2013 课标全国 2) 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： x2 a2
-2-
知识点 3： 椭圆中的最值问题
已知椭圆 E： x2 y2 1， P( x， y) 是椭圆上一点
例 7.
25 16
（ 1）求 x+y的最大值 （2）求点 P 到直线 x-y+10=0的距离的最小值。
知识点 4.直线椭圆综合问题
例 8（ 12 北京）已知椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
=1（ a＞b ＞0）的一个顶点为
-4-
直线与椭圆的位置关系专题基础训练
一、选择题
1. 已知椭圆 C: x2 4 y2 4 , 过点 P 2,0 与椭圆 C只有一个交点的直线方程是
（）
（ A）x+2=0
（ B） x-2=0
（ C） y+2=0
2．直线 y kx k 1 与椭圆 x2 9
y2 1 的位置关系为
4
（ A）相切
（ B）相交
A （ 2,0），离心率为
线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N （Ⅰ）求椭圆 C 的方程
2， 直 2
（Ⅱ）当△ AMN 的面积为 10 时，求 k 的值 3
练习：求椭圆 x 2 4
y 2 1 上的点到直线 x 2 y 3
2 0 的最小距离
练习【 12 陕西】已知椭圆
x2 C1 :
y2
（ C）相离
3．椭圆 x2 y2 1 上的点到直线 x 2 y 16 4
2 0 的最大距离是
（ D） y-2=0 （ D）不确定
（） （）
（ A）3
（B） 11
（ C） 2 2
4. 直线 y x 1 被椭圆 x2 2 y2 4 所截的弦的中点坐标是
（ D） 10
（）
（ A）( 1 , － 2 ) 33
例 1.当 m 为何值时，直线 y=x+m 与椭圆 x 2 y 2 1相交？相切？相离？ 16 9
例 2、直线 y=kx+1 与焦点在
x 轴上的椭圆
x2/9+y
2
/m=1
总有公共点，求实数
m 的取值范围是（
）
A、 1/2≤ｍ＜ 9 B、 9＜ m＜ 10 C、 1≤ｍ＜ 9 D、 1＜ m＜ 9
练习、若直线 y kx 1( k R) 与椭圆 x2 5
C：
x2 a2
y2 b2
1 （a>b>0）的左，右焦点， M 是 C 上
一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。
（ I）若直线 MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率； 4
（ II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 |MN|=5|F 1N| ，求 a， b
（B） ( － 2 , 1 ) 33
（ C）( 1 , － 1 ) （ D）( － 1 , 1 )
23
32
5. 已知椭圆 x2
y2 1 ，椭圆内一点 P(4, 2) , 则以 P 为中点的弦所在的直线的斜率是
36 9
（）
（ A） 1 2
（ B）－ 1 2
（ C） 2
（D）－ 2
6．设定点 F（1 0，－ 3）、F（2 0，3），动点 P 满足条件 PF1
2
求点 M 的坐标。
M，
练习、如果椭圆 x 2 y 2 1的弦被点 (4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程是（
）
36 9
A. x 2 y 0 B. x 2 y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0
例 6..已知椭圆
x2 E : a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点。
若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则 E 的方程为
(
)
x2 y2
A.
1
45 36
x2 y2
B.
1
36 27
x2 y2
C.
1
27 18
x2 y 2
D.
1
18 9
例 5、求直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 截得的弦的中点坐标。
练习、已知中心在原点，一焦点为
1
为 ，求椭圆的方程。
2
F ( 0, 50) 的椭圆被直线 l : y 3x 2截得的弦的中点的横坐标
y2 b2 =1 ( a＞ b＞ 0) 右焦点的直线
xy
3 0 交 M于 A，B 两点， P 为 AB的中点，且 OP的斜率为 1 . 2
(1) 求 M的方程；
(2) C， D为 M上两点，若四边形 ACBD的对角线 CD⊥ AB，求四边形 ACBD面积的最大值．
例 10（ 2014 新课标 2）设 F1 ，F2 分别是椭圆
PF2
9 a (a 0) ，则点 P 的轨迹是
a
（）
直线与椭圆的位置关系专题讲义
知识点 1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：
将直线方程 y
kx
b （或 x
my
b ）代入椭圆方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 a2
y2 b2
1 (a b
整理得到关于 x（或 y）的一个一元二次方程 Ax 2 Bx C 0 （或 Ay 2 By
0) ， C 0）
当＿＿＿＿＿＿＿
直线 l 与椭圆相交；
y 2 1 恒有公共点，求实数 m 的取值范围 m
x2
例 3、求直线 x－ y＋1=0 被椭圆
16
y 2 1 截得的弦长 4
练习、直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点，则
1
(A)
2
2
(B)
3
3
(C)
4
m2=（
）
4
(D)
5
练习 、已知椭圆： x2 y 2 1，右顶点为 A，过左焦点 F1 作倾斜角为 的直线交椭圆于
9
6
M、 N 两点，求弦 MN 的长及 AMN 的面积。
-1-
知识点 2：中点弦问题（点差法）
例4
椭圆 x 2 y 2 1 内有一点 P（2， 1），求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程。
16 4
练习、已知椭圆 y 2
x2
1 的一条弦的斜率为
3，它与直线 x
1
的交点恰为这条弦的中点
75 25
当＿＿＿＿＿＿＿
直线 l 与椭圆相切；
当＿＿＿＿＿＿＿
直线 l 与椭圆相离。
若直线 l ： y
kx
b 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 相交于 A ，B 两点，
弦长公式：
| AB | ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
或 | AB | ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴， 此时焦点弦叫通径。 通径公式为： __________ .