例１求下列各数得绝对值:
(1)-38; （２)０、15；
(3)a(ａ<０)；（4)3b(ｂ＞0）；
(5）a－2(ａ＜2）；（6)a－ｂ。
分析:欲求一个数得绝对值，关键就是确定绝对值符号内得这个数就是正数还就是负数，然后根据绝对值得代数定义去掉绝对值符号,(6）题没有给出a与ｂ得大小关系，所以要进行分类讨论.
解:（１）｜－3８｜=38;（2）｜＋0、15|=0、１5；
(3）∵a<0，∴｜a｜=-a;
(4）∵b＞０,∴３b＞0,｜3b｜＝3b;
(5)∵a＜2,∴ａ－2<0,｜a-2|＝—(a-2）＝2-ａ;
说明:分类讨论就是数学中得重要思想方法之一,当绝对值符号内得数(用含字母得式子表示时)无法判断其正、负时,要化去绝对值符号,一般都要进行分类讨论。
例２判断下列各式就是否正确(正确入“T”，错误入“Ｆ”）:
(1）｜－a｜=｜a｜；( ）
（2）—｜a|=｜－a｜；（）
（４）若｜a|=|b|，则a=b; （)
（５)若a=b，则|a|=｜ｂ|；(）
（６)若｜a|＞｜b｜，则a〉b;（）
(7）若a〉ｂ，则｜a｜＞｜b｜;（）
（8)若ａ＞b，则|ｂ—a|=a—b. (）
分析：判断上述各小题正确与否得依据就是绝对值得定义，所以思维应集中到用绝对值得定义来判断每一个结论得正确性.判数（或证明)一个结论就是错误得,只要能举出反例即可.如第（2)小题中取a＝1,则－｜a|＝－｜1｜＝-1,而｜—a｜＝｜—１｜=1,所以—｜a｜≠|-a|。同理，在第(６)小题中取a=—1，ｂ＝0，在第（4)、(7)小题中取ａ＝５,b＝-５等，都可以充分说明结论就是错误得。要证明一个结论正确，须写出证明过程.如第（３）小题就是正确得．证明步骤如下：
此题证明得依据就是利用|a|得定义，化去绝对值符号即可.对于证明第（1）、(5)、(8）小题要注意字母取零得情况。
解：其中第(2)、（4)、(6)、(7）小题不正确,（１）、(3）、(5）、(8）小题就是正确得。
说明：判断一个结论就是正确得与证明它就是正确得就是相同得思维过程，只就是在证明时需要写明道理与依据,步骤都要较为严格、规范.而判断一个结论就是错误得,可依据概念、性质等知识,用推理得方法来否定这个结论,也可以用举反例得方法，后者有时更为简便。
例3判断对错.（对得入“Ｔ”，错得入“F”)
(1）如果一个数得相反数就是它本身，那么这个数就是０。
（)
（２)如果一个数得倒数就是它本身,那么这个数就是1与0．
（）
(3)如果一个数得绝对值就是它本身,那么这个数就是0或1。
( ）
（４)如果说“一个数得绝对值就是负数”，那么这句话就是错得.
( ）
（5）如果一个数得绝对值就是它得相反数,那么这个数就是负数.
解:（1)Ｔ。
（２）F.—1得倒数也就是它本身，０没有倒数.
（3)F。正数得绝对值都等于它本身，所以绝对值就是它本身得数就是正数与０。
（4）T.任何一个数得绝对值都就是正数或0，不可能就是负数，所以这句话就是错得.
(5）F．0得绝对值就是0,也可以认为就是0得相反数，所以少了一个数0．
说明:解判断题时应注意两点:
（１）必须“紧扣”概念进行判断;
（2)要注意检查特殊数，如0，1，-1等就是否符合题意。
例4 已知（a－1)2+｜b+3｜＝0，求a、b．
分析：根据平方数与绝对值得性质，式中(a－1)2与｜b+3｜都就是非负数.因为两个非负数得与为“０"，当且仅当每个非负数得值都等于0时才能成立,所以由已知条件必有ａ-１=0且b＋3＝0。a、ｂ即可求出．
解:∵（ａ-1)2≥0,｜ｂ＋3|≥0，
又（ａ－1)2+|ｂ+３｜=0
∴a-1=0且ｂ＋３=０
∴a=1,b=—3。
说明:对于任意一个有理数x，x２≥0与|x｜≥0这两条性质就是十分重要得,在解题过程中经常用到.
例5填空:
（1）若｜a|＝6,则a＝______;
（2）若｜－ｂ|＝０、87，则ｂ＝_____＿；
（4）若x＋|x｜＝0,则x就是＿＿___＿数.
分析:已知一个数得绝对值求这个数,则这个数有两个，它们就是互为相反数。
解：（１）∵｜a|＝６,∴a＝±6;
（2)∵｜－ｂ｜＝０、87，∴b＝±0、８7；
(4）∵x+｜x|＝０，∴|x｜＝－x。
∵|x｜≥0,∴—x≥0
∴x≤0,x就是非正数.
说明:“绝对值”就是代数中最重要得概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念．
对绝对值得代数定义，至少要认识到以下四点：
（家教４、0,复习辅导“有理数"例32结（１)-（4)）
例6判断对错:(对得入“T”，错得入“F”)
（1）没有最大得自然数。（）
(2）有最小得偶数0。( ）
（3）没有最小得正有理数．（）
（４）没有最小得正整数. ( ）
（5)有最大得负有理数. （)
(６)有最大得负整数－１。（）
（７)没有最小得有理数．(）
(８）有绝对值最小得有理数。( )
解:（1)Ｔ。
（２)F．数得范围扩展后,偶数得范围也随之扩展.偶数包含正偶数，０,负偶数（-２,—4,…)，所以0不就是最小得偶数，偶数没有最小得。
（3)T．
（4)F.有最小得正整数1.
（５)F．没有最大得负有理数．
（6）T.
（7)T.
(8）T。绝对值最小得有理数就是0.
例７比较下列每组数得大小，在横线上填上适当得关系符号
（“＜”“=”“＞"）
(1）｜-0、01｜___＿＿_－｜1０0|;
（2）-(-３）＿_____－|—３｜;
（3）-[－（－90）］_____＿_0；
(６）当a＜3时，ａ－3____＿_0;｜3-a｜__＿___a－3.
分析：比较两个有理数得大小,需先将各数化简,然后根据法则进行比较。
解:（1）｜—0、01|＞-|1０0｜;
(2)－（－3)>－｜—3|；
（3)－［－(－9０）］＜0；
（6)当ａ＜３时，ａ－３＜0，|3－a|〉a－3。
说明:比较两个有理数大小得依据就是：
①在数轴上表示得两个数，右边得数总比左边得数大，正数大于０,大于一切负数,负数小于0,小于一切正数,两个负数,绝对值大得反而小．
②两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同,则分子越大分数值越大;也可将分数化成小数来比较。
例8 比较大小：
分析：比较两个负分数得大小，按法则,先要求出它们得绝对值,并比较绝对值得大小.
（1)这两个数得绝对值就是两个异分母得正分数，要比较它们得大小，需通分;
（2）用(1)得方法比较这两个负数绝对值得大小就是非常麻烦得，此法不可取。通过比较它们得倒数,可以快捷得达到目得。
说明：两个有理数比较大小,当它们都就是负数时,必须通过比较绝对值得大小来确定它们得大小.(１)一定要注意,因为就是两个负数，所以它们得绝对值越大,对应点在数轴得左边离原点得距离就越远，因此它得值就越小.（２)比较两个异分母正分数得大小时，如果通分很麻烦,可以考虑通过比较它们倒数大小得方法间接达到目得。理论依据
例９在数轴上画出下列各题中ｘ得范围：
(１)｜x｜≥４；(2）｜x|＜3;（3)２〈｜x｜≤5．
分析：根据绝对值得几何意义画图。例如，｜ｘ｜≥4得几何意义就是:数轴上与原点得距离大于或等于４个单位长度得点得集合;｜x|＜3得几何意义就是:数轴上与原点得距离小于3个单位长度得点得集合.
解：（１）|x|≥4，即数轴上x对应得点到原点得距离大于或等于4，如图1。
∴当x＞0时，有x≥4;当x<0时,有x≤－4。
(2）｜x|＜３,即数轴上ｘ对应得点到原点得距离小于3,如图２．
即有-3＜x＜３.
(3）2〈|ｘ|≤５，即数轴上x所对应得点到原点得距离比2大且小于或等于5,如图3。
即－5≤x＜-2或2〈x≤５.
说明:在数轴上表示含绝对值得不等式时，最容易错得就是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件得点得范围．应当认真研究负数部分符合条件得点得范围得画法，并真正做到“理解”.
例10 (1）求绝对值不大于２得整数;
(２）已知ｘ就是整数,且2、5＜｜ｘ|〈７,求x.
分析:
(1)求绝对值不大于2得整数,就就是求数轴上与原点得距离小于或等于2个单位长度得整数点。
(2)因为２、5＜|x|＜7中得x表示得就是绝对值小于7同时绝对值又大于2、5得整数，所以，依绝对值定义应该就是满足－7＜x<—2、５,或２、５ 解：(1)先画出数轴上与原点得距离小于或等于2得点得范围。 由图瞧出,绝对值不大于２得整数就是： -2,—1，0，1,2 （2）符合2、5<|x｜＜7得所有整数,就就是符合-7〈x＜—２、5或２、5 由图瞧出,符合2、５＜｜x｜<7得整数就是: x=±3,±4，±5,±6． 说明:因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义，所以在解含绝对值得问题时要注意灵活运用这两个定义.此题也可以用代数定义求解.根据绝对值得几何定义，用数形结合得思想,把有关绝对值得问题转化为数轴上得点与原点得距离问题来解决，就是经常采用得方法. 例1１已知a、b、ｃ所表示得数如图所示: （１）求｜ｂ｜,｜c｜,|b＋1｜,|a－c|； *（2)化简｜a-b｜－|－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b|． 分析:由图知a<－1＜b＜0,0〈c＜1。 根据以上条件，先确定绝对值符号内得数就是正数还就是负数，然后再化简。解：由图知ａ＜0,ｂ＜０,c>０, 且b>－1,a＜ｃ，a＜b,c〈1，c＞b， ∴b＋1＞０,ａ－c＜０,ａ-ｂ<0，ｃ—1＜0，c-b>0 (1）｜b｜=—b,｜c｜=c,｜b＋１|=b＋1 ｜a—c｜＝—(ａ－ｃ）＝c－a （2)｜a-b|—｜-a｜+｜c－1|＋|c－ｂ| ＝(b—a）－（—a)+（１-c)+(c-b) ＝b-a＋a＋1—c＋ｃ－b =１ 说明：（1)a—b得相反数就是—(a－b)＝ｂ－a. a＋b得相反数就是－(a+b)＝—a-b。 (2)｜ａ－ｂ｜得几何意义就是：数轴上表示数a、ｂ得两个点之间得距离.不同得两个点之间得距离总就是一个正数，等于“较大得数减较小得数"得差. 例12 解方程： （1）已知｜14—x｜=６,求x； *（2)已知|ｘ+1|+4=2x,求x。 分析：解简单得含有绝对值符号得方程，一般都根据绝对值得代数定义，先化去绝对值符号,然后求解。 （2）题需把原方程转化为｜ｘ＋1｜=2x－4得形式后,才便于应用绝对值得代数定义. 解：（１)∵|1４－x|=｜x－14｜＝6 ∴x—14＝±6 当x-１4=6时，x=２0; 当x－14＝－６时，ｘ=8． ∴x=20或８． （２)∵｜x＋１|＋4=2ｘ ∴｜x+１｜＝2x－4 ∵｜ｘ+1｜≥0, ∴2x-4≥0，x≥2。 ∵x≥2， ∴x＋1〉0,｜ｘ＋1|=ｘ＋1． 原方程变形为x+１＋４＝2ｘ ∴x=5． ＊例13化简｜ａ+2｜－｜a－３| 分析:要化简此式，关键就是依据绝对值定义判断好绝对值符号内ａ＋２与ａ－3在a取不同数值时它们得符号情况，才能正确地转化为不含绝对值得式子.为了能达到此目得,首先应判定｜a＋2｜＝0与｜ａ—3｜＝０时ａ得取值,即ａ=—２与ａ=3，由此可知，a得取值可分为三种情况：即a＜－２，－2≤a＜3，a≥3.这时｜ａ＋２|与|a－3｜就可依绝对值定义分别得到不同得去掉绝对值符号后得新形式了。 解：由｜a+2｜=0与|a-３｜=０ 得a＝－2或ａ＝3. －2与3把数轴分为三部分(如图)： 当ａ＜—２时，原式=－(ａ＋2)－[－（a－３)］ =—a－2＋a-3 =－5 当-2≤a＜3时,原式=a+2—[—(a-３）］ ＝ａ+2+a-3 ＝2a－1 当a≥3时，原式＝a＋2—(a－3） ＝a+2-a＋3 ＝５ 说明：解含有绝对值符号得题目时,首先要将其转化为不含绝对值符号得形式。然后再进行整理或化简。 b c a 10一、选择题 1.下列说法中正确的个数是( ) (1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个非正数的绝对值是它的相反数;(3)?两个负数比较,绝对值大的反而小;(4)一个非正数的绝对值是它本身. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若-│a │=- 3.2,则a 是( ) A.3.2 B.-3.2 C.±3.2 D.以上都不对 3.若│a │=8,│b │=5,且a+b>0,那么a-b 的值是( ) A.3或13 B.13或-13 C.3或-3 D.-3或-13 4.一个数的绝对值等于它的相反数的数一定是( ) A.负数 B.正数 C.负数或零 D.正数或零 5.a<0时,化简 ||3a a a 结果为( ) A.23 B.0 C.-1 D.-2a 二、填空题 6.绝对值小于5而不小于2的所有整数有_________. 7.绝对值和相反数都等于它本身的数是_________. 8.已知│a-2│+(b-3)2+│c-4│=0,则3a+2b-c=_________. 9.比较下列各对数的大小(用“)”或“〈”填空〉 (1)-35_______-23;(2)-116_______-1.167;(3)-(-19)______-|-110 |. 10.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示: 试化简:│a+b │-│b-1│-│a-c │-│1-c │=___________. 三、解答题 11.计算 (1)│-6.25│+│+2.7│; (2)|-8 13|-|-323|+|-20| 12.比较下列各组数的大小:(1)-112与-43 (2)-13 与-0.3; 13.已知│a-3│+│-b+5│+│c-2│=0,计算2a+b+c 的值. . ... .. . 绝对值题型归纳总结 一、知识梳理 模块一绝对值的基本概念 模块二零点分段法（目的：去无围限定的绝对值题型） 模块三几何意义 . . .z 例题分析 题型一 绝对值代数意义及化简 【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( ) A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2 2a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值围． 【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ． . ... .. . . . .z ⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ． ⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤． 【变1】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2 120a b ++-=，分别求a b ，的值 【解析】 因为55a a ==±，，因为22b b ==±，，又因为a b <，所以22a b =-=±， 即52a b =-=，或52a b =-=-， ⑵由非负性可知12a b =-=， 【例2】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【解析】 因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-= 故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2= 【例3】 （1）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ． （2）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ） A ． 0ab < B ． 0ab > C ． 0a b +> D ． 0a b +< （3）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示， 化简227a b a b +---． a-b a+b 【解析】 （1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>， 所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=- 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=， 绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 【绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 关于绝对值的几种题型 及解题技巧 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。 所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。如：5=a ，则5=a 和5-=a 。合并写成：5±=a 。 于是我们得到这样一个性质： 很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢 a -。因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如 2)2(=--。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。 例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。 绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性 质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||| |b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一：比较大小 典型题型： 0 0=a 绝对值专项训练 一、基础题 1、（绝对值的意义） 1°绝对值的几何定义：在数轴上表示数a 的点与__________的距离叫做数a 的绝对值，记作__________. 2°绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是_________；一个负数的绝对值是________；0的绝对值是_________. （2006年贵阳）（1）2-的绝对值等于（ ）A 、2 1 - B 、2 C 、2- D 、2 1 （2006年连云港）（2）3-等于 （ ） A 、3 B 、－3 C 、3 1 D 、 3 1- （2005年梅州）（3）设a 是实数，则|a|－a 的值（ ） A 、可以是负数 B 、不可能是负数 C 、必是正数 D 、可以是正数也可以是负数 2、（绝对值的性质）（1）任何数都有绝对值，且只有________个. （2）由绝对值的几何意义可知：距离不可能为负数，因此，任何一个数的绝对值都是_____数，绝对值最小的数是______. （3）绝对值是正数的数有_____个，它们互为_________. （4）两个互为相反数的绝对值________；反之，绝对值相等的两个数______或________. （2006年资阳）（4）绝对值为3的数为____________ 3、（有理数的大小比较）正数_________0，负数________0，正数________负数；两个负数比较大小的时候，__________大的反而小. （2005年无锡）（5）比较4 1,31,21 --的大小，结果正确的是（ ） A 、413121 <-<- B 、314121-<<- C 、213141-<-< D 、4 12131<-<- 二、[典型例题] 1、（教材变型题）若4x -=，则x ＝__________；若30x -=，则x ＝__________；若31x -=，则x ＝__________. 2、（易错题）化简(4)--+的结果为___________ 3、（教材变型题）如果22a a -=-，则a 的取值范围是 （ ） A 、0a > B 、0a ≥ C 、0a ≤ D 、0a < 4、（创新题）代数式23x -+的最小值是 （ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、5 5、(章节内知识点综合题)已知a b 、为有理数，且0a <，0b >，a b >，则 （ ） A 、a b b a <-<<- B 、b a b a -<<<- C 、a b b a -<<-< D 、b b a a -<<-< 三、[自主练习题] 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是 （ ） A 、正数 B 、整数 C 、正数或零 D 、自然数 2、下列说法中正确的个数有 （ ） ①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么 （ ） 三人行教育陈老师教案——绝对值及有理数加减运算：请同学们认真答题，每一道题都经过精选 ３ 绝对值（满分100分） 知识要点：1.绝对值的概念：在数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值，记作 . 2.绝对值的求法：由绝对值的意义可以知道： （１）一个正数的绝对值是 ；（２）零的绝对值是 ； （３）一个负数的绝对值是 .即()()()?? ???<=>=0a 0a 0a a ３.绝对值的非负性：数轴上表示数a 的点与原点的距离 零，所以，任意有理数a 的绝对值总是一个 ，即 4.有理数大小的比较： 一个有理数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点就离原点越 ，所以，两个负数比较大小，绝对值大的 ；正数都 零；负数都 ；正数 一切负数． 5.绝对值等于()0>a a 的有理数有两个，它们 ．（基础知识填空20分，每错一空扣2分） 同步练习Ａ 组（共40分） 一、填空题（每空1分）1.（１）=-2 ； （２）=+7 ； （３）=--3 23 ； （４）()=--6 ． 2. 2 12- 的绝对值是 ，绝对值等于５的数是 和 ． 3.绝对值最小的数是 ；绝对值小于的整数是 ；绝对值小于３的自然数有 ；绝对值大于３且小于6的负整数有 ． 4.如果a a =，那么a 是 ，如果a a -=，那么a 是 ． 5.若a ≤０，则=a ；若a ≥０，则=+1a ． 二、选择题（每题3分）6.下列说法中，正确的是（）A. 绝对值相等的数相等 B.不相等两数的绝对值不等 C. 任何数的绝对值都是非负数 D. 绝对值大的数反而小 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 绝对值小于２的数有无穷多个 B. 绝对值小于２的整数有无穷多个 C. 绝对值大于２的数有无穷多个 (Ｄ) 绝对值大于２的整数有无穷多个 8.有理数的绝对值一定是（ ）A. 正数 B. 整数 C. 正数或零 D. 非正数 9.如果m 是一个有理数，那么下面结论正确的是（ ） A. m -一定是负数 B. m 一定是正数 C. m -一定是负数 D. m 不是负数 10.如果甲数的绝对值大于乙数，那么（ ） A. 甲数大于乙数 B. 甲数小于乙数 C. 甲、乙两数符号相反 D. 甲、乙两数的大小不能确定 11.设1--=a ，1-=b ，c 是１的相反数，则c b a ,,的大小关系是（ ） A. c b a == B. c b a << C. c b a <= D. c b a >> 三、解答题（每题2分）12.比较下列各数的大小（要有解答过程）： （１）85 ,2413-- （２）21 17 ,76 ,65--- 13.（3分））若一个数a 的绝对值是３，且a 在数轴上的位置如图所示，试求a 的相反数． a 绝对值综合练习题一 1、有理数的绝对值一定是（） 2、绝对值等于它本身的数有（）个 3、下列说法正确的是（） A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4.（） A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2，则x=____；若|x－3|=0，则x=______；若|x－3|=1，则x=_______。 9、实数a_______。 10、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b的值。 11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a A ．11个 B ．12个 C ．22个 D ．23个 15、│a │= －a,a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 16、有理数m ，n 在数轴上的位置如图， 17、若|x-1| =0， 则x=__________，若|1-x |=1，则x=_______． 18、如果，则，． 19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 20、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c= 21、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1， 求代数式x b a ++x 2+cd 的值。 22、已知│a │=3，│b │=5，a 与b 异号，求│a －b │的值。 23.如果 a,b 互为相反数,那么a + b = ,2a + 2b = . 24. a+5的相反数是3,那么, a = . 25．如果a 和 b 表示有理数,在什么条件下, a +b 和a －b 互为相反数? 26、若X 的相反数是—5，则X=______;若—X 的相反数是—3.7，则X=_______ 27、若一个数的倒数是1.2，则这个数的相反数是________,绝对值是________ 28、若—a=1,则a=____; 若—a=—2，则a=_______;如果—a=a,那么a=_______ 29、已知|X —4|+|Y+2|=0，求2X —|Y|的值。 30.若)5(--=-x ，则=x ________，42=-x ，则=x ________ 关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。 所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a π和0φa 。如：5=a ，则5=a 和5-=a 。合并写成：5±=a 。 于是我们得到这样一个性质： a 很多同学无法理解，为什么0πa 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。因为此时0πa ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。 例如：0πb a -，则)(b a b a --=-。 绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性 质； a （a ＞0） a 0φa 0 0=a a - 0πa （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||| |b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一：比较大小 典型题型： 【1】已知a 、b 为有理数，且0πa ，0πb ，b a φ，则 （ ） A ：a b b a --πππ； B ：a b a b --πππ； C ：a b b a πππ--； D ：a a b b πππ-- 这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。 一、基础知积： 1、几何绝对值概念----在上，一个数到的距离叫做该数的绝 对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示的点 的距离 2、代数绝对值概念：---一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即： I a I = {a,(a > 0)0(a=0) 3、绝对值性质： (1)任何的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； (2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。 (3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数或相等。 (4)互为相反数的两个数的绝对值相等。 (5)正数的绝对值是它本身。 (6)负数的绝对值是它的相反数。 (7)0的绝对值是0。 4、绝对值其它性质： (1)任何一个数的绝对值都不少于这个数，也不少于这个数的相反数。 即：I a I> a; I a I> -a; ⑵若I a I = I b I 则a=b 或a=-b (3)I ab I = I a I * I b I ; I a/b I = I a I / I b I (b 工0) (4) I a I 2= I a2I =a2 (5) I a I - I b I 《绝对值》练习 一．选择题 1. －3的绝对值是（ ） （A ）3 （B ）－3 （C ）13 （D ）－13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A ．负数 B ．正数 C ．负数或零 D ．正数或零 3. 若│x│+x=0，则x 一定是 （ ） A ．负数 B ．0 C ．非正数 D ．非负数 5．绝对值最小的数（ ） A ．不存在 B ．0 C ．1 D ．－1 6．当一个负数逐渐变大（但仍然保持是负数）时（ ） A ．它的绝对值逐渐变大 B ．它的相反数逐渐变大 C ．它的绝对值逐渐变小 D ．它的相反数的绝对值逐渐变大 7．下列说法中正确的是（ ） A ．a -一定是负数 B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C ．若b a =则a 与b 互为相反数 D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有（ ） A ．11个 B ．12个 C ．22个 D ．23个 12．______7.3=-；______0=；______3.3=--；______75.0=+-． （2）若x x =－1，求x ． 2．正式排球比赛，对所使用的排球的重量是严重规定的，检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记为正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表： +15 -10 +30 -20 -40 指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题？ 拓展题 1．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x ． 2．若2 《绝对值》典型例题 例1 求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来． 87-，9 1+，0，－1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.18 7->-，其他数的比较就容易了． 解 .2.12.1,00,9191,8787=-==+=- .2.18 7091->->>+ 说明： 利用绝对值只是比较两个负数． 例2 求下列各数的绝对值： （1）－38；（2）0.15；（3）)0(b b ； （5）)2(2<-a a ；（6）b a -． 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论． 解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15； （3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ； （4）∵b ＞0，∴3b ＞0，|3b|＝3b ； （5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ； （6）?? ???<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论． 例3 一个数的绝对值是6，求这个数． 分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±． 说明：互为相反数的两个数的绝对值相等． 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤? ； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值重点题型 例1、已知a 0，化简|2a-|a||。 例2、 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a ，满足条件的a 有 个，则a+b= 。 例3、已知│a │=2，│b │=3，│c │=6，且│a+b │=a+b ，│a+c │=-（a+c ）， 求a-b-c 的值． 例4、 已知a 、b 、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。 练习：数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|| 0 b a c a 0 b 例5、若abc ≠0，则 | |||||c c b b a a ++的所有可能值 例6、已知a 、b 、c 是有理数，且a+b+c=0，abc >0，求 ||||||c b a b a c a c b +++++的值。 例7、已知3π -=x ，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。 例8、 已知|x+5|+|x-2|=7，求x 的取值范围。 练习: 1、若3|x-2|+|y+3|=0，则x y 的值是多少？ 2、已知a ，b |a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|。 3、有理数a ，b ，c ，d ，满足 1||-=abcd abcd ，求d d c c b b a a ||||||||+++的值。 4、如果0 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| [例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a 环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号：副校长/组长签字：签字日期： 学员编号：年级：课时数：3课时 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题绝对值化简 授课日期及时段 教学目的能化简绝对值，解绝对值方程 重难点化简与解方程 【考纲说明】 1、能够根据绝对值的意义、性质及非负性进行绝对值的化简； 2、灵活运用绝对值的性质进行化简和方程的解决。 【趣味链接】 由于研究的需要，人类创造了了大量的数学符号，来代替和表示某些数学概念和规律，简化了数学研究工作，促进了数学的发展．在中学数学中，常见的数学符号有以下八种：数量符号、运算符号、关系符号、结合符号、性质符号、简写符号、逻辑符号、集合论符号，其中，绝对值符号属于性质符号中的一种，常见的性质符号还有正号（＋）和负号（－）。数学符号不仅随着数学发展的需要而产生，而且也随着数学的发展不断完善。我国宋朝科学家沈括说过，数学方法应该“见繁即变，见简即用”。数学符号正是适应这种变“繁”为“简”的实际需要而产生的。 【知识梳理】 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 【经典例题】 【例1】（2012毫州）若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________. 【例2】（2012曲阜）（1）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿； （2）已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿； （3）已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿. 【例3】（2012徐州）若|a|=b ，求|a+b|的值. 【例4】（2012淮北）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求 y xy x 4312--的值. 【例5】（2012商丘）|m+3 |+|n-2 7|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值. 【例6】（2011菏泽）若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求 12+++-ab a b ab a 的值. 【例7】（2011新乡）计算：14 134191413419-+--- 【例8】（2012开封）解方程：（1） 05|5|2 3=-+x （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1 【例9】（2011济宁）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|. 高中数学常见题型解法归纳 绝对值常考题型的解法 【知识要点】 一、去绝对值常用的有两种方法. 方法一：公式法 0||000 x x x x x x ì>??==í?-||x a x a x a a x a ?<- 【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法. 【反馈检测1】已知函数2 ()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+； （Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围. 【例2】已知函数()12f x x x =+-。 （Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集； （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-??=+-=+-≤≤??->? 则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-?? -≤-?或10,316x x -≤≤??+≤-?或0,1 6.x x >??-≤-? 解得5x ≤-或7x ≥. 故该不等式的解集是{ 5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =， (完整版)绝对值提高 专项练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值 1、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求 y x y x -+的值。 2、a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 3、若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 4、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 5、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0. 求式子 4422++-+c a c ab 的值. 6、若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值． 7、化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 8、02b 1=++-a ，求()2001b a ++()2000b a ++…()2 b a ++=+b a ． 9、已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式 .) 1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab 10、 已知5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值。 11、 a 与b 互为相反数，且54= -b a ，求1 2+++-ab a b ab a 的值. 12、（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 13、（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是______。 14、若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 15、大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是 ． 16、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？ 绝对值的提高练习 一.知识点回顾 1、 绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 2、 绝对值运算法则：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 即： 3、 绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数． 二. 典型例题分析: 例1、 a ，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？请写在题后的横线上。 (1)｜a+b ｜=｜a ｜+｜b ｜； ； (2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜； ； (3)｜a-b ｜=｜b-a ｜； ； (4)若｜a ｜=b ，则a=b ； ； （5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ； ； (6)若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜， 。 例2、 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜． 例3、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求y x y x -+2的值。 三.巩固练习: ().填空题: ＞0时，|2a|=________；(2)当a ＞1时，|a-1|=________； 2. 已知130a b ++-=，则__________a b 3. 如果a>0，b<0，b a <，则a ，b ，—a ，—b 这4个数从小到大的顺序是__________(用大于号连接起来) 4. 若00xy z ><，，那么xyz =______0． 5.上山的速度为a 千米/时，下山的速度为b 千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是__________千米/时 (二).选择题: 6. 值大于3且小于5的所有整数的和是（ ）A. 7 B. －7 C. 0 D. 5 7. 知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ） A . a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 8.下列说法中不正确的是( ) Ａ．0既不是正数,也不是负数 B ．0不是自然数 C ．0的相反数是零 D ．0的绝对值是0 9. 下列说法中正确的是（ ） A 、a -是正数 B 、—a 是负数 C 、a -是负数 D 、a -不是负数 10. x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ）A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 11. a<0时，化简a a 等于（ ）A 、1 B 、—1 C 、0 D 、1± 12. 若ab ab =，则必有（ ）A 、a>0,b<0 B 、a<0,b<0 C 、ab>0 D 、0≥ab 13. 已知：x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ）A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 (三).解答题: 14. a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 15..若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 16. 当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 17.已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0.绝对值练习题(含答案)1
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