课题学习：韦达定理

**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。

韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。

二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。

对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。

具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。

2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。

通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。

三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。

通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。

2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。

例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。

3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。

例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。

韦达定理详细讲解初中1. 韦达定理的基本概念嘿，大家好！今天咱们聊聊一个有趣的数学小知识，那就是韦达定理。

你可能会问，韦达是谁呀？其实，他是个很牛的数学家，专门研究方程的。

韦达定理主要是讲关于二次方程的根和系数之间的关系。

简单来说，如果你有一个形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程，韦达定理告诉我们根的和和根的积是怎么回事。

听起来有点复杂，但别担心，咱们一步一步来，保证你听得明白！1.1. 根的和与根的积首先，咱们来看看根的和。

设这个方程的两个根是 (x_1) 和 (x_2)，那么根据韦达定理，它们的和就是 (frac{b{a)。

哦，别以为这就完了！根的积也很重要，两个根的积是(frac{c{a)。

这就像你找朋友聚会，知道总共有多少人（和）和几对情侣（积），就能推算出不少事情来。

1.2. 实际例子来个实际例子，让你更容易理解。

假设我们有个方程 (2x^2 4x + 2 = 0)。

这里 (a = 2)，(b = 4)，(c = 2)。

根据韦达定理，根的和是 (frac{4{2 = 2)，根的积是 (frac{2{2 = 1)。

哇，这样一算，感觉根的关系就像你和你最好的朋友一样，彼此心知肚明呢！2. 韦达定理的应用说到这儿，可能有的小伙伴会想：“这理论有啥用呢？”别急，让我给你讲讲韦达定理在实际生活中的妙用。

其实，这个定理在解决各种实际问题时简直是个好帮手！比如说，你想找出一个水池的水位变化，或者解决一些最优化问题，韦达定理都能派上用场，帮助你理清思路。

2.1. 在几何中的应用不仅如此，韦达定理在几何学里也大显身手哦！想象一下，一个三角形的顶点坐标，你可以用韦达定理来帮助你计算出某些重要的点，简直就是数学界的瑞士军刀，功能强大到不行。

2.2. 数学竞赛中的好帮手另外，韦达定理在数学竞赛中也是一大法宝。

许多题目都能通过它轻松解出，比如求解二次方程的根，甚至能帮助你推导出一些新的数学性质。

则两根与系数关系（韦达定理）1212b x x ac x x a ì+=-ïïíï·=ïî。

推导过程：由求根公式可得2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=。

1、2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2）1211x x +； （3）2112x xx x +； （4）12x x -。

一元二次方程的根与系数关系一、一元二次方程的根与系数关系（一、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理韦达定理）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的两个的两个实数实数根分别是12,x x 。

、22222122244()(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a aa-+-------·=·===。

二、一元二次方程的根与系数关系定理的主要应用：应用条件：240b ac D =-³。

1、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或字母字母系数。

系数。

例1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。

的值。

2、不、不解方程解方程，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

例2、已知方程22310x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值：，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）2212x x +； （2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是122-+和122--；（23、已知、已知一元二次方程一元二次方程的两个根，求这个方程。

的两个根，求这个方程。

例3、解下列各题：、解下列各题：（1）求作一个以2的相反数和2的倒数为根的一元二次方程。

韦达定理教案教案标题：探索韦达定理教学目标：1. 了解并理解韦达定理的概念和应用。

2. 掌握使用韦达定理解决三角形相关问题的方法。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：1. 韦达定理的定义和基本概念。

2. 韦达定理在解决实际问题中的应用。

教学难点：1. 学生对于韦达定理的应用理解深度。

2. 学生在解决实际问题时的思考和分析能力。

教学准备：1. 教师准备教学投影仪，展示相关示意图和计算过程。

2. 准备课本和练习题集等教材资料。

3. 给学生准备纸和笔，以及计算器。

教学过程：引入（5分钟）：1. 教师可以通过一个简单有趣的问题来引起学生对韦达定理的兴趣。

例子：在平面内，有三条线段，它们分别连接一个点和一个普通的五边形的三个顶点。

这三个线段的长度分别是3、4和5，那么这个五边形的面积是多少呢？2. 引导学生思考可能的解决方法，引出韦达定理。

讲解与示范（15分钟）：1. 通过示意图和具体的数学推导，讲解韦达定理的定义和公式表达方式。

2. 给出韦达定理的一些示例问题，并详细解答过程。

3. 强调韦达定理在解决实际问题中的应用，如测量三角形的边长、面积等。

实践与巩固（20分钟）：1. 学生个别或分组完成一些练习题，检验对韦达定理的理解和应用能力。

2. 提供不同难度的问题，鼓励学生运用韦达定理解决实际场景中的三角形问题。

总结与拓展（10分钟）：1. 教师与学生总结韦达定理的要点和应用方法。

2. 引导学生思考并讨论韦达定理的拓展应用，如四边形、多边形等。

课后作业：1. 布置一些与韦达定理相关的作业题，以巩固学生的学习成果。

2. 鼓励学生在实际生活中观察和应用韦达定理。

教学资源：1. 教师投影仪、示意图PPT等。

2. 课本和练习题集等教材。

3. 白板和彩色笔等。

评估与反馈：1. 教师针对学生的课堂表现和作业完成情况进行评估，并及时给予反馈。

2. 针对学生对韦达定理的理解程度和问题解决能力，进行个别指导和辅导。

韦达定理及其应用高一数学 B 段教学目的：1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用一、 知识要点1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。

则ab x x -=+21 ac x x =•21，； 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=•+++x x x x x x3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++ 二、例题1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2. 若1x 、2x 是方程2x +2x-17=0的两根，试求下列各式的值.（1）2221x x + （2）2111x x +学生练习： （1）=--)5)(5(21x x（2）=-21x x反思：韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形:()2122122212x x x x x x -+=+ 2111x x +=2121x x x x + ()212212214)(x x x x x x -+=- 21221214)(x x x x x x -+=-3.已知关于x 的方程x 2 + kx －6= 0的一个根是2，求另一个根及k 的值练习．已知关于x 的方程2x -(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m 的值.4 .当m 取什么实数时，方程0)5()2(42=-+-+m x m x 有两个正实根。

练习（引申变形一）：若方程有一正根和一负根，求m 取值范围。

三、练习1、 在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。

韦达定理初中教案教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用；2. 能够运用韦达定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 韦达定理的表述及证明；2. 韦达定理的应用。

教学难点：1. 韦达定理的推导过程；2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例；2. 学生准备笔记本，记录重要的知识点和解题步骤。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的根与系数的关系；2. 提问：你们认为一元二次方程的根与系数之间有什么联系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义；2. 讲解韦达定理的表述及证明过程；3. 通过例题展示韦达定理的应用。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 挑选几位学生的作业进行讲解和分析。

四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：如何利用韦达定理解决实际问题？2. 举例讲解如何利用韦达定理解决实际问题；3. 让学生分组讨论，提出自己遇到的实际问题，共同解决。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结韦达定理的表述和应用；2. 提问：你们认为韦达定理在数学中有什么重要性？教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习题的完成情况；3. 学生对实际问题的解决能力。

教学反思：本节课通过讲解韦达定理的表述及证明，让学生了解并掌握韦达定理的内容及应用。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对韦达定理有一定的理解。

但在拓展与应用环节，部分学生对如何将韦达定理应用于实际问题还存在一定的困难。

在今后的教学中，可以更多地举一些实际例子，让学生更好地理解和运用韦达定理。

韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。

韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。

本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。

二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。

韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。

我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。

这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。

三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。

例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。

解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。

通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。

例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。

解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。

韦达定理详解韦达定理是解决几何中求未知量问题的重要工具之一。

它可以用来求平面上的三角形中各边平方和、角度数等问题。

本文将详细介绍韦达定理的原理、使用方法以及实例计算。

一、韦达定理的原理韦达定理是指：对于一个三角形ABC，它的三个内角所对应的边分别为a、b、c，则有以下公式成立：a²=b²+c²-2bc*cosA其中，cosA、cosB和cosC是表示对应角度余弦值的函数。

该公式由法国数学家韦达在1821年提出。

二、韦达定理的使用方法使用韦达定理时，首先需要明确已知的量和未知的量。

根据已知与未知，可以选择使用上述公式中的哪个。

一般情况下，需要根据题目条件，先确定一个角对应的两条边，再使用韦达公式求出未知边或角。

三、韦达定理的实例计算下面通过几个实例来演示韦达定理的计算方法。

1.已知三角形的三边长分别为3、4、5，求其内角度数。

解：将a=3，b=4，c=5带入公式，得到9=41-40×cosA所以∠A=cos⁻¹0.8≈36.87°，同理可得∠B≈53.13°，∠C=90°。

2.已知一个直角三角形，其中直角边为5，斜边为13，求另一条直角边长。

解：由题目条件可知a=5，c=13。

将这两个数带入公式：5²=b²+13²-2×b×13×cos90°25=b²+169b²=144∴b=12所以，另外一条直角边长为12。

解：将b=12，c=16，角A=120°代入公式：a²=144+256-384×(-0.5)a²=400∴a=20所以，第三边的长度为20。

总之，韦达定理是解决几何问题的常见方法。

通过运用韦达公式，可以求出三角形中的各边长度、角度大小等未知量，帮助我们更好地理解和掌握几何知识。

韦达定理概念(一)韦达定理（Vera’s Theorem）概念简介•韦达定理，又称为Vera定理，是一种在高等数学中常用的定理。

•该定理主要用于求解多项式方程的根，对于解析几何中的问题也有广泛应用。

•韦达定理的核心思想是通过已知根的信息，推导出多项式方程的其他根的一种方法。

定理表述•给定一个n次多项式方程a n⋅x n+a n−1⋅x n−1+⋯+a1⋅x+ a0=0，其中a n≠0，并且已知其中一个根为x1。

•那么可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−x1)，得到一个n-1次的新多项式方程a n⋅x n−1+a n−1⋅x n−2+⋯+a2⋅x+a1=0。

•韦达定理指出，该新多项式方程的根与原多项式方程的其他根是相同的。

推论•韦达定理的推论是，如果已知一个多项式方程的一个根，那么可以通过迭代运用韦达定理，逐步降低多项式的阶次，从而找到该多项式方程的所有根。

•在实际应用中，可以通过对多项式进行因式分解，得到一个一次项的乘积形式，进而求得方程的所有根。

应用举例•这里举一个简单的实例来说明韦达定理的应用：–给定一个三次多项式方程x3−7x2+14x−8=0，已知其中一个根为x1=2。

–我们可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−2)，得到一个二次的新多项式方程x2−5x+4=0。

–根据韦达定理，该新多项式方程的根为原多项式方程的其他根，即x2、x3。

–解二次方程x2−5x+4=0可得x2=1、x3=4。

–因此，原三次多项式方程的根为x1=2、x2=1、x3=4。

总结•韦达定理是一种重要的工具，在数学领域中广泛应用于求解多项式方程的根。

•通过已知根的信息，韦达定理可以帮助我们推导出其他根的值，从而解决实际问题。

•在实际应用中，熟练掌握韦达定理可以极大地简化解方程的过程，提高求解效率。

2016届自主招生数学教学内容05．韦达定理学案【教学目标】1．通过具体特例获得韦达定理，从而渗透归纳猜想的思想．2．会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题，渗透化归的思想． 【教学重点】通过具体特例获得韦达定理，从而渗透归纳猜想的思想． 【教学难点】会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题． 【教学过程】 一．复习引入 1．问题（1）解方程0322=--x x ；051892=+-x x ，并分别求两根之和21x x +与两根之积21x x ．问题（2）分别考察21x x +与21x x 方程系数的关系．2．归纳猜想：若21,x x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac ba c bx ax 的两个根，则21x x +, 21x x 与c b a ,,的关系．二．韦达定理 1．韦达定理：若21,x x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个根，则ab x x -=+21,ac x x =21．反之，如果ab x x -=+21,ac x x =21，则21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 两个根． 2．学生给出证明：3．练习1：若下列方程有解，试分别写出两根之和与两根之积．（1）06322=-+x x ； （2）01442=+-x x ； （3）06322=++x x ．练习2：：已知方程022=++c bx x 两根和为23-，两积为-3，求a , b 的值．三．定理应用例1．已知21,x x 是方程02=++m mxx 的两个根．（1）求m 的取值范围；（2）当2-=m 时，求2221x x +的值；（3*）求2221x x +的取值范围．例2．已知抛物线322-+-=mx x y 与x 轴交于不同两点A 、B ．（1）若A 点横坐标为1，求B 点的横坐标； （2）若A 、B 两点间距离为1，求m 的值．（或条件改为：方程0322=-+-mx x两根为21,x x ）练习：已知方程06322=-+x x 两根为21,x x ，分别求221)(x x -；2221x x +；1221x x x x +；3231x x +的值．例3*．已知方程01)1(2=+-+x m x 有两个不同的实数解21,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若0,021>>x x ，求m 的取值范围．四．小结与作业1．小结：韦达定理实质：反映了一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 根与系数的关系，在解决实际问题过程中，往往不通过求解方程的根而解决问题．注意的是：定理的前提是：方程有解（如例1、例3）． 今后常会碰到：用a , b , c 表示2221x x +；||21x x -等．2．可给出韦达定理其他证明： （1）0,0122121=++=++c bx ax c bx ax 两式相减求得21x x +（注意21x x =的讨论）；两式相加可得21x x ． （2）由))((212x x x x a c bxax --=++比较可得．3．作业：见讲义。