大学物理质点运动学课件

Δr = 0 Δs = 2π R
Δr Δs ∴v = = 0 而v = ≠0 Δt Δt
dr = r2 − r1
*
dr —表示速度 v dt dr —表示 v 的大小 dt dr —表示位矢 r 的大小随t 的变化率 O • dt
r1 r2
dr = r2 − r1
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三. 加速度 a ——描写速度矢量变化规律的物理量（矢量）
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§1.3 在直角坐标系表示各运动参量
1. 位置矢量
r = xi + yj + zk
2. 位移
z
P(x,y,z)
r
o x y
Δr = Δxi + Δyj + Δzk
3. 速度
dr dx dy dz v= = i+ j + k = vx i + v y j + vz k dt dt dt dt
2 2 v = vx + v y + vz2
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x
t
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方向可用方向余弦表示
若质点作直线运动，如沿 x 轴正向
a > 0 则a // i , a // v
若质点作曲线运动：
加速
a < 0 则a // − i , a // − v 减速 a 方向永指向曲线凹向一侧
四个基本量 r , Δr , v , a 从不同方面描写同一质点运动 的规律，这四个量之间有密切的联系：
r1
O•
r2
Δr = AQ
y 质点沿弧线从P→Q
Δr = 2 R
R P Q x
Δr = 0
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二. 速度 v ——描写质点位置变化快慢和方向的物理量（矢量） Δ 设质点作一般曲线运动， t 内，位置变动 Δr ，路程 Δs
平均速度（粗略描写） 平均速率 Δr Δr 大小： Δs Δt v= v= Δt Δt 方向：与 Δr 同方向 瞬时速度（精确描写） Δr d r = v = lim Δt → 0 Δt dt dr 大小： dt 方向：切线方向 瞬时速率
a→ v→ x 积分法
第二类问题
dv 从定义式： a = = 2t dt
分离变量，积分：∫0 dv = ∫0 2t ⋅ dt
v t
∴v = t2
t =2s时， v =4m/s
dx 2 从定义式： v = =t dt
dx = ∫ t 2 ⋅ dt 分离变量，积分：∫0 0
1 3 ∴x = t 3
t =2s时， x =2.67m
Δs d s v = lim = Δt → 0 Δ t dt
当Δt → 0 时，平均速度 v →确定的极限值，即该时 14 刻的瞬时速度。 14
*
Δ r ≠ Δs ∴ v ≠ v 即平均速度的大小≠平均速率
但当Δt→0时 dr = ds
∴ v = v 即瞬时速度的大小=瞬时速率
例 质点作圆运动，运动一周
= −ω 2 r
a 始终指向椭圆中心
此题为第一类问题 例 质点沿x轴运动，v=1+2t2 m/s，t =0时，质点在原点右方2m处 求：（1）质点在t =2s时的加速度； （2）t =2s时，质点的位置。 解：质点做什么运动？ 是直线运动吗？ 是匀直运动吗？ 是匀加直运动吗？初速度为多少？ 是初速度不为零的变加速直线运动。
y = b sin ϕ = b sin ωt
直角坐标法表示M的运动学方程 位矢法： = xi + yj = a cos ωt ⋅ i + b sin ωt ⋅ j r 从运动学方程中消去 t 得到轨迹方程：
x2 y 2 + 2 =1 2 a b
椭圆
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dr v= = −aω sin ωt ⋅ i + bω cos ωt ⋅ j dt dv a= = −aω 2 cos ωt ⋅ i − bω 2 sin ωt ⋅ j dt = −ω 2 (a cos ωt ⋅ i + b sin ωt ⋅ j )
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例 质点沿x轴运动，v=1+2t2 m/s，t =0时，质点在原点右方2m处 求：（1）质点在t =2s时的加速度； （2）t =2s时，质点的位置。 （1）从 v→ a 微分法 第一类问题
dv a= = 4t t = 2 = 8(m/s 2 ) dt
直线运动，用正负表示方向
（2）求某时刻质点的位置，即求运动学方程 从 v→ x 积分法 第二类问题
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* 坐标法 的联系： 位矢法 如果固定点O就是坐标系的坐标原点，则P点的直角 坐标值（ x，y，z ）就是矢径 r 沿坐标轴的投影 取 i , j , k 为单位矢量，则：
r = xi + yj + zk
r = x2 + y 2 + z 2 r 的方向：方向余弦（见教材）
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3. 自然法 条件：质点相对参照系运动轨迹已知 方法：在轨迹上任取一点O，规定一个正方向，质点沿轨迹 从O点运动到P点处，O点到P点的曲线长度用s表示 P O s
书：P3 例1.1 一质点作匀速圆周运动，圆周半径为r，角速 度为ω，试分别写出用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点 远动学方程 解：以圆心O为坐标原点建立直 y 角坐标系Oxy ，取质点经过x轴上 O/点的时刻为计时起点，即t=0。 P(x , y) ω y 设 t 时刻质点位于P，直角坐标为 +s r x ωt (x , y) ，如图。∠ O/ O P=ωt，用 x O/ O 直角坐标表示的质点运动学方程 为： = r cosωt y = r sin ωt x 消去 t 得轨迹方程： 2 + y 2 = r 2 x 位矢法：取O点为参考点，P点的位矢
dx 从定义式出发： = v dt
分离变量，积分：
dx = 1 + 2t 2 即 dt
t
∫
x
2
dx = ∫ (1 + 2t 2 )dt
0
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2 3 ∴x = 2+t + t = 9.3(m) 3 t =2
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书：P11 例1.6 质点沿x轴运动，a=2t，已知t =0时，x0=0， v0=0，求：t =2s时，质点的速度、位置。 解： a=2t 是变量，不能用匀变速直线运动公式
v1
P • • Q
v2
Δt内，质点从P→Q v 速度： 1 → v2
Δ 速度的增量： v = v2 − v1
Δt内的平均加速度定义为：
O •
Δv a= Δt
当Δt →0时 Δv dv d 2 r = = 2 瞬时加速度：a = lim
Δt →0
Δt
dt
dt
r , Δr , v , a 均为矢量，在具体运算时，把矢量运算转 16 换成代数运算，使运算方便。
大学物理
上学期：64学时 下学期：66学时 共8学分 理论课和实验课单独设课，内容不同步 教材：交通大学教材 作业：大学物理作业 质点力学 刚体力学 上学期内容： 机械振动和机械波 热学
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力
学
自然界中一切物质都处在永恒的运动之中；物质及其运 动形式是多种多样的，物理学研究物质及其运动，对不同形 态的运动的研究形成了物理学的不同分支。 力学是研究物体机械运动的学科：物体的位置随时间的 变化规律，是最简单、最基本的运动。 内容：质点运动学、动力学 刚体运动学、动力学 机械振动、机械波
质点沿弧线从A→B R A
Δr
y
B
Δr = 2R Δs = π R
质点沿弧线从o顺时针oA
x
o
Δs = oA
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3. Δr 和 Δr 区别 矢径增量的大小和矢径大小的增量 P 图中 Δr 表示矢径 r 大小、方向 Δ Δr 的变化； r即Δ r 仅指 r 大小 Q 的变化 A Δr = PQ Δr
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第1章 质点运动学
研究对象——质点：力学中的理想化模型 一个有质量的几何点，忽略了物体的大 小形状，在空间只占据一个点的位置 1. 突出了物体运动的主要因素； 2. 用数学工具对运动进行精确的描述。 研究内容：研究物体的位置随时间变化的规律， 回答一个基本问题： 物体何时在何处？ 物体——质点 何时——用参数 t 表示 何处——质点的位置，如何表示？
r (t )
O• P •
Δs
Δr
r (t + Δt )
• P’
pp′ = r (t + Δt ) − r (t ) = Δr
位移 Δr 是位置矢量的增量
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Δr 和坐标的选取无关，与中间过程无关，只表示位置 1. （初、终）的变动
2. 区别位移 Δr 和路程 Δs
Δr — —矢量 矢径的增量，大小为弦线长 Δs — —标量 质点实际经历的长度，弧线长
r = xi + yj = r cosωt ⋅ i + r sin ωt ⋅ j
自然法：取O/点为参考点，逆时针为正
s = rωt
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§1.2 质点的位移、速度和加速度
一. 位移 Δr ——描写质点位置变动的物理量（矢量）
位移表示质点位置变化的大小、方向 位移是从质点的始点到终点引的一条有向线段 如图：
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书：P7 例1.2（后接P17 例 1.6） 直杆AB二端可以分别在二 固定而相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆的倾角ϕ 按ϕ =ωt 随时间变化，ω 为常量，求杆上任意点M的运动规律（运动 学方程、轨迹方程、v 、a 。 y 解：沿直线导槽作直角坐标系 B a oxy ，设 AM = b ， BM = a ， M r b A x 则M点的坐标为： o ϕ =ωt x = a cos ϕ = a cos ωt