马尔可夫链

马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。

经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。

马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。

1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。

当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。

定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。

k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。

特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。

如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。

定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。

马尔可夫链
马尔可夫链（Markov Chain, MC）是概率论和数理统计中具有马尔可夫性质（Markov property）且存在于离散的指数集（index set）和状态空间（state space）内的随机过程（stochastic process）。

适用于连续指数集的马尔可夫链被称为马尔可夫过程（Markov process），但有时也被视为马尔可夫链的子集，即连续时间马尔可夫链（Continuous-Time MC, CTMC），与离散时间马尔可夫链（Discrete-Time MC, DTMC）相对应，因此马尔可夫链是一个较为宽泛的概念。

马尔可夫链的命名来自俄国数学家安德雷·马尔可夫以纪念其首次定义马尔可夫链和对其收敛性质所做的研究。

马尔科夫链_马尔可夫过程一、引言1、马尔科夫链的数学背景马尔可夫链，因安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。

该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。

马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。

这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。

如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则PX_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n = PX_{n+1}=x|X_n. 这里x为过程中的某个状态。

上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

2、马尔科夫链的典型应用①马尔科夫链在股指期货投资中的应用马尔科夫链转移矩阵的有效状态以近时点动量策略原时点反转策略为主,有效抓住了上涨和下跌的中期和初期.从而准确的抓住了日内股指波动. ②马尔科夫链在天气预报中的应用通过对马尔科夫链理论和切普曼-柯尔莫哥洛夫方程方程的探讨,,结合天气情况不确定等诸多特点,构想了天气情况预报的马尔科夫链预测模型,给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法,根据此算法可以预报短期天气情况,同时扩展到对未来天气情况趋势的预测。

③马尔科夫链在环境预测中的应用鉴于目前环境质量预测在理论方法和实践上的缺乏，把马尔科夫链引入环境质量的预测中，将各种污染物的浓度变化过程视作马尔科夫过程，通过预测各种污染物的污染负荷系数来推知其浓度值/④马尔科夫链在桥梁状态预测中的研究与应用马尔科夫链以矩阵的形式来表达桥梁状况,通过求解状态转移矩阵,进一步预测桥梁未来数年内的基本状况。

综合考虑了桥梁检修的影响,给出了桥梁检修后不同状态的状态转移矩阵,为进一步引入实际数据做了充分的准备。

3、相关文献《程序设计实践》作者 Brian W.Kernighan程序设计实践并不是只是写代码。

马尔可夫链公式1. 什么是马尔可夫链马尔可夫链是指一个随机过程，在这个过程中某些状态可以通过概率转移去到其他状态，而且转移只与当前状态有关，与之前的状态无关。

具有这个特点的随机过程称为马尔可夫过程，而它产生的序列称为马尔可夫链。

2. 马尔可夫链的特点马尔可夫链具有以下几个特点：- 状态空间：指该随机过程中所有可能的状态的集合。

- 转移概率：在任意时刻，从一个状态转移到另一个状态的概率。

- 状态的分布：表示在任意时刻每个状态出现的概率。

- 稳定性：表示在长时间运转后达到的稳定状态的分布。

3. 马尔可夫链的公式马尔可夫链的公式描述了该过程中某个状态在下一时刻的概率分布与当前状态的概率分布之间的关系。

数学表示如下：P(X_n+1=i | X_n=j) = Pij其中，Pij表示从状态j转移到状态i的概率。

上述公式可以表示为一个矩阵形式：P = [Pij]其中P是一个n×n的矩阵，表示马尔可夫链的状态转移概率矩阵。

矩阵中的每个元素都是非负的，且每一行元素之和为1。

4. 马尔可夫链的应用马尔可夫链可以应用于许多现实生活中的问题。

例如：- 预测天气：根据前面几天的天气情况，通过马尔可夫链可以预测后面几天的天气情况。

- 音乐生成：通过马尔可夫链可以生成新的音乐片段，以及根据既有音乐生成新的音乐曲目。

- 股票分析：通过分析历史数据，使用马尔可夫链可以预测未来股票价格的走势。

- 自然语言处理：使用马尔可夫链可以构建文本生成模型，例如自动泡面爆款语录。

总之，马尔可夫链是一种极为重要的随机过程，在很多领域都有广泛的应用。

熟悉马尔可夫链公式，能够帮助我们更好地理解和应用这个概念，从而解决很多实际问题。

马尔可夫过程一类随机过程。

它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。

该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。

例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。

在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。

关于该过程的研究，1931年 A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。

目录马尔可夫过程离散时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链生灭过程一般马尔可夫过程强马尔可夫过程扩散过程编辑本段马尔可夫过程Markov process1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。

1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。

流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。

类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。

人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。

这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。

荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。

青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。

如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。

液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。

第四章 马尔可夫链随机过程在不同时刻下的状态之间一般具有某种关系，马尔可夫（Markov ）过程就是描述一类状态之间具有某种特殊统计联系的随机过程.Markov 过程在近代物理学、生物学、管理科学、信息处理与数字计算方法等领域都有重要的应用.按其状态和时间参数是连续的或离散的，它可分为三类：（1）时间、状态都是离散的Markov 过程，称为Markov 链；（2）时间连续、状态离散的Markov 过程，称为连续时间的Markov 链；（3）时间、状态都连续的Markov 过程.本章主要讨论Markov 链，有关连续时间的Markov 链的相关理论将在下章讨论.4.1 马尔可夫链的概念和例子独立随机试验模型最直接的推广就是Markov 链模型，早在1906年俄国数学家Markov 对它进行研究而得名，以后Kolmogorov 、Feller 、Doob 等数学家发展了这一理论.4.1 .1 Markov 链的定义假设Markov 过程{,}n X n T ∈的参数集T 是离散时间集合，即{0,1,2,}T =，相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态集012{,,,}I i i i =.定义 4.1 设有一随机过程{,}n X n T ∈，若对于任意整数n T ∈和任意011,,,n i i i I +∈，条件概率满足11001111{|,,,}{|}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======则称{,}n X n T ∈为离散时间的Markov 链，简称Markov 链（Markov chains ）或马氏链.从定义可以看出：Markov 链具有Markov 性（即无后效性），如果把时刻n 看作现在，那么，1n +是将来的时刻，而0,1,2,,1n -是过去的时刻.Markov 性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来的状况与过去的状况无关，而且Markov 链的统计特征完全由条件概率11{|}n n n n P X i X i ++==所决定. 因此，如何确定这个条件概率，是研究Markov 链理论和应用中十分重要的问题之一. 4.1.2 转移概率定义 4.2 称条件概率1(){|}ij n n p n P X j X i +=== （4.1）为Markov 链{,}n X n T ∈在时刻n 的一步转移概率，其中,i j I ∈，简称转移概率（transition probability ）.一般地，转移概率()ij p n 不仅仅与状态,i j 有关，而且与时刻n 有关，如果()ij p n 不依赖时刻n 时，则称Markov 链具有平稳转移概率.定义 4.3 若对任意,i j I ∈，Markov 链{,}n X n T ∈的转移概率()ij p n 与n 无关，则称Markov 链是齐次的（或称时齐的）（time homogeneous -），并记()ij p n 为ij p . 下面只讨论齐次Markov 链，并且通常将“齐次”两字省去.定义 4.4 设P 表示一步转移概率ij p 所组成的矩阵，且状态空间{1,2,}I =，则1112121222...........................n n p p p P p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为系统状态的一步转移概率矩阵（transition probability matrix ），它具有性质： （1）0,,ij p i j I ≥∈； （2）1,ijj Ipi I ∈=∈∑.（2）式说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1，通常称满足性质（1）（2）的矩阵为随机矩阵.定义 4.5 称条件概率(){|},n ij m n m p P X j X i +=== ,,0,1i j I m n ∈≥≥ （4.2）为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移概率，并称()()()n n ij P p =为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移矩阵.其中()()0,1n n ij ij j Ip p ∈≥=∑，即()n P 也是一个随机矩阵.特别地，当1n =时，(1)ij ij p p =，此时，一步转移矩阵(1)P P =.我们还规定(0)0,1,iji jpi j ≠⎧=⎨=⎩Markov 链n 步转移概率满足重要的Chapman Kolmogorov -方程（简称C K -方程）。