第三章 习题答案
3.1设一点电荷与无限大接地导体平面的距离为d ，如图3.1所示。求： q
（1）空间的电位分布和电场强度； （2）导体平面上感应电荷密度； （3）点电荷所受的力。 q
解：
（1）(,,)1r x y z d =−u r
2(,,)r x y z d =+u r
1211
(4q
r r φπε=
−04q πε=
E φ=−∇u u r 3333330212121
[()()(]4a a a x y z q x x y y z d z d r r r r r r πε+−=−−+−+−
uu r uu
r ur u
（2）在导体平面上有z=0 则 12==
r r 32
2
22
02()
E a z qd
x y d πε=−
++u u r
ur u
032222
.2()
z a E s qd x y d ρεπ==−
++uu r u u r
（3）由库仑定律得
222
00()4(2)16q q q d d πεπε−=
=−u u r uu r ur z z u F a a
或22320,0,002[()]4(2)16z x y z d
q d q q d d
πεπε=
====−=−u u r uu r ur
v
z
u F E a a 3.6两无限大接地平行板电极，距离为，电位分别为0和U ，板间充满电荷密度为d 00x
d
ρ
的电荷，如题3.6图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。 解： 板间电位满足泊松方程 2
00ρφε∇
=x
−
d
由于平行电容器y 与z 方向都为无穷大，故待求函数仅为x 的函数
泊松方程可以写为：2020x d dx d
ρφ
ε=−
边界条件为0U φφ(0)=0,(d)= 对方程进行两次积分得
3
01206ρφε=−++x C x C d
代入边界条件得 00210
0,6U d
C d ρε==+
C 所以板间电位分布为：
300000
()66x U d x d d ρρφεε=−++
2000()2600E a x x U d d d ρρφεε=−∇=−−u u r uu r
2000()26
00D E a x x U d d d ρερε==−−u u r u u r uu r
x =0的极板上的电荷密度
00
00
60x a D
s x U d
d ερρ==⋅=−
−
uu r u u r
x =d 的极板上的电荷密度
00
()3
0x a D
sd x d
U d
d
ερρ==−⋅=
−
uu r u u r
3.9一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为，其余两面的电位为零，如图3.9所示。求槽内的电位函数。 0U 解：
电位分布满足拉普拉斯方程
2
0φ∇
=由于金属管在z 方向为无穷大，电位只跟x 、y 有关，得
222
20x y
φφ
∂∂+=∂∂ 边界条件
00
(1)0 (2)0(3)0 (4)U x x a y y φφφ
φ
===∞
=====
设()()f x g y φ=
已知边界条件（1）、（2）得：(0)0,()0f f a ==
故()f x 的合理的解为：12()sin()cos()x x f x A k x A k x =+， 根据边界条件（1）、（2）得1()sin()n f x A x a
π
= 由于
2
2
0x y k k +=设
12()()()x x g y B sh k y B ch k y =+由于 2x x k y k y x e e shk y −−=，2
x x k y k y
x e e chk y −+=
再根据边界条件（3）得，则()0g ∞=12B B =− 故 1()n y a
g y B e
π−=
则电位的通解为a 1
sin()a n y n n n D x e ππ
φ∞
−==∑ 代入边界条件00
y U φ
==得01
sin(
)a
n n n U D x π
∞
==∑ 两边同时乘以m x a
π
sin(
)，并对x 从0到a 积分，并由三角函数的正交特性： 0sin()sin()2a n m m n x x dx a a a
ππ==∫时
0sin()sin()0a n m m n x x dx a a
ππ
≠=∫时得
001sin sin()sin()2a
a 0n n m n m U x D x x dx a a a πππ∞==∑∫∫()=n a D 0
(1cos )2n a a U n n πD π
−=
则0
4(1,3,5n U D n n )π==K
代入电位的通解方程得
0a
1,3,54sin()a n y n U n x e n ππφπ∞
−==∑K
