中国石油大学(华东)第二十一届高等数学竞赛试卷

A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面与平面的夹角为 .2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 .3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时，.4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：______________________________________.6.将函数展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（ ）(A) ； (B) ； (C)； (D).8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（ ）(A)； (B) ；(C)； (D).0:1=-∏z y 0:2=+∏y x 22y x z +=)2,1()2,1()32,2(+(,)f x y 222:a y x D ≤+0→a =⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20πΩ222x y z +=1=z f dVΩ⎰⎰⎰Γ32,,t z t y t x ===t 01R Q P ,,ΓPdx Qdy Rdz Γ++=⎰)0(1)(π≤≤+=x x x f ),(y x f z =K y x f xy=''),((,)y f x y '=22K Ky )(x Ky ϕ+)(y Kx ϕ+)(x f )(x g {}xy x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(0)()(=⎰⎰Ddxdy x g y f 0)()(=⎰⎰Ddxdy y g x f 0)]()([=+⎰⎰Ddxdy y g x f 0)]()([=+⎰⎰Ddxdy x g y f9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .10. 曲面积分在数值上等于( )(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； (C) 向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场沿Σ边界所做的功.11．( )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数的敛散性为 ( )(A) 当时，绝对收敛； （B ）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛； （D ）当时，发散. 三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分. 题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -ABC ∆29379273⎰⎰∑dxdyz2i z v 2=2z =ρk z F 2=k z F 2=处则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1=-=+∑∞=x x x c n n n ∑∞=--121)1(n pn n p >12p >12210≤<p 012<≤p ()x y z x y z e -++++=(,)z z x y =dz 2223023540x y z x x y z ++-=⎧⎨⎩-+-=nn x n ∑∞=+0)12(⎰⎰∑++=dSz y x I )(∑5=+z y 2522=+y x 222(24)(2)LI x xy dx x y dy=++-⎰L上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.18.（本题满分8分）计算，其中是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：.答 案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面与平面的夹角为.2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为.3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时，.4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：.22355()()222x y -+-=(1,1)(2,4)⎰⎰∑+++=xydxdydzdx z x y yzdydz I )(22∑224y x z -=+0=y Ω1222222=++c z b y a x )(),(x g x f []b a ,])(][)([])()([222⎰⎰⎰≤b abab adx x g dx x f dx x g x f 0:1=-∏z y 0:2=+∏y x 3π22y x z +=)2,1()2,1()32,2(+321+(,)f x y 222:a y x D ≤+0→a =⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f Ω222x y z +=1=z f dVΩ⎰⎰⎰211()rd dr f r rdzπθ⎰⎰⎰Γ32,,t z t y t x ===t 01R Q P ,,ΓPdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数展开成余弦级数为.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

第二十届高等数学竞赛试卷专业年级：学 号： 姓 名： 成 绩：说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.2. 题目所在页背面为草稿纸.3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办 2006年6月4日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则=a .解题过程是：2. =+→)1l n (102)(c o s lim x x x .解题过程是：3. 设函数2301sin d,0,(),0,xt t xf x xa x⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x=处连续，则a=.解题过程是：4.=∂∂+∂∂=yzyxzxxyxyz则设,sin. 解题过程是：5.的解为：满足微分方程91)1(ln2-==+'yxxyy x.解题过程是：_______)()(,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰DdxdyxygxfIDxaxgxfa则表示全平面，而其他若设16解题过程是：7..dtan)cos(22222005=+⎰-xxxxππ解题过程是：8..sin 2sin sin 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n n n n πππ解题过程是： 9. .,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域解题过程是：10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π解题过程是：2. 设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，计算曲面积分d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰..解题过程是：.,),(.的值和数图形有拐点，试确定常处函数的，且在点处有极小值在设函数c b a x cx bx ax y 20012323=+++=解题过程是：.)(d d )()()(),()(.x f t y x y x f y x t f t x f t y x 求函数满足下式：上连续，且对任意的在设函数4222222224+++=∞-∞⎰⎰≤+解题过程是：..之间的最短距离．与平面求旋转抛物面22522=-++=z y x y x z解题过程是：要多少时间？厘米的雪堆全部融化需问高为）系数侧面积成正比，（比例已知体积减少的速率与，小时设长度为厘米，时间为其侧面满足方程的雪堆在融化过程中，为时间设有一高为130,9.0)()()(2)())((.622t h y x t h z t t h +-=解题过程是：.86,)1,1,1(632.722222处的梯度的方向导数和在点处沿方向在点计算函数处指向外侧的法向量在点是曲面设P n P zy x u P z y x n+==++解题过程是：三、证明题（本题8分）：.)()(022)(0)(22)()(4242的表达式求函数；，有简单闭曲线内的任意分段光滑证明：对右半平面的值恒为同一常数，曲线积分上，单闭曲线原点的任意分段光滑简有连续的导数，在围绕设函数y II yx xydydx y C x I yx xydydx y L y CLϕϕϕϕ=++>++⎰⎰中国石油大学（华东）第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则=a ..解 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a x ax x x ax x x ，故a=-4.2. =+→)1ln(12)(cos lim x x x .解 )1ln(102)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故 原式=.121e e =-3. 设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.解 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =.4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20sin 202,1,:2z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y z x y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z yx =+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.的解为：满足微分方程91)1(ln 2-==+'y x x y y x ...91ln 31091)1(191ln 31]ln [1]ln [ln 222222x x x y C y x C x x x C xdx x x C dx ex e y x y xy dxx dx x -==-=+-=+⋅=+⎰⋅⎰==+'⎰⎰-，故所求通解为：得，由，于是通解为：解：原方程等价为：._______)()( ,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰Ddxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设01006解：本题积分区域为全平面，但只有当 10,10≤-≤≤≤x y x时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 .⎩⎨⎧+≤≤=-⇒⎩⎨⎧≤-≤=-,,0;1)(,,0;10)(其他若其他若x y x a x y g x y a x y g⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≤≤=-其他,0,1,10)()(2x y x x a x y g x f.])1[(0)()(2121012221a dx x x a dydx a dxdy dxdy a dxdyx y g x f I x xD D D=-+==+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+7..d tan )cos (22222005=+⎰-x x x xππ.22212d sin 20d tan cos d d tan d tan )cos (2022222222200522222005πππππππππ=⋅⋅=+=+==+⎰⎰⎰⎰---x x xx x x x x xx x x x解：8..sin 2sin sin 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→n n n n n n πππ⎰∑∑=∆=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-+++=→∞=→∞→∞1011d sin )(lim 1sin lim )1(sin2sin sin 1lim xx x f n n i nn n n n i ni i n ni n n πξππππ 解：n in x n n n i n n n x x f i i ==∆<<<<<<=ξπ,1 ,210]10[, sin )(取等份，分点为分为，把区间看作().20cos cos 101cos d sin 1`0ππππππ=+-=-==∴⎰x x x 原式9..,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域.2)1(22211210222ππ=-===-≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdz e z dxdy dz e dv e dv ez y x D z z D z z zz z上法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为解：10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L解2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导得 3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-.令 1t =，则 (,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-,. 即11(,)(,)(,)22x y f x y xf x y yf x y ''=-- ①设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q Pf x y xf x y f x y yf x y x y ∂∂''=--=+∂∂.则由①可得 11(,)(,)22y x Q P yf x y xf x y xy ∂∂⎛⎫''==- ⎪∂∂⎝⎭. 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有.0),(),(=-⎰dy y x xf x d y x yf L二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π，解：dt dyt dx dt dt dy y si n 1-=⋅='，代入原方程得0),sin 1(]sin 1sin cos [22222=+-⋅-=⋅'=''y dty d t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y 。

高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。

A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。

A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。

一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。

习题一一、填空题1．设,3)1ln()(x x x f -++=则此函数的定义域是___________.2. 极限.23151lim2=+--+→xx xx x ________________. 3. 设f(x)=arcsinx,φ(x)=lnx,则)]([x f φ的定义域是_______________.4. 设(),,10111cos1)(⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=x x x x x f a在1=x 处连续,则a 的值为_______________.5 当x x →0时,f(x)是比g(x)高阶的无穷小,则当x x →0时, 无穷小 f(x)+g(x) 与无穷小g(x)的关系是_______________.6. ().1,0._______________41lim20≠>=-→a a xa x x 7. f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是_____________.8. ()x xx f πsin ln =的一个可去间断点=x ______________. 9. xx x arcsin lim 0→的值等于_______________.10. ()3arctan )(2-=x x f 的定义域是______________.11. 若当()()x x x x γα,,0时→是等价无穷小，()x β是比()x α高阶的 无穷小，则当0x x →时，函数()()()()x x x x βγβα--的极限是___________.12. 设)(x f 的定义域是],2,1[则⎪⎭⎫⎝⎛+11x f 的定义域是_____________. 13. ()1ln 2--=x x x f 的一个无穷间断点=_____________.14． ()24ln )(x x f -=在区间_____________是连续的。

15. ()23+-=x xx f 的定义域是_____________.16. 极限=+∞→xxx x x x lim ___________________17. ()3)(-=x x x f _的定义域是_____________.18. 极限=--+→2223lim 32x x x ____________________.19. ()xx x 613ln lim0+→的值等于_________________. 20. ()3arccos -=x x f 的定义域是__________________21. 设()()f x x x x ==arcsin ,ln ϕ，则()[]ϕf x 的定义域是_____________. 22. 要使函数()f x x xx=+--11在x=0处连续，则须定义f(0)的值为_____________ 23. 极限lim sinn n n x →∞-=221____________________.24． ()()f x x x =+-ln 22的定义域是_________________________. 25．函数y x =lnarcsin 的连续区间为_______________________. 26. xxx 52arctan lim 0→的值等于____________________.27 . lim n nn n →∞++⎛⎝ ⎫⎭⎪213的值等于________________.28. 若()321lim e ax xx =-→，则a=_____________29. =+-→xx x 210)1(lim _________________.选择题1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,21,11)(2x x x x x x f 则1=x 是)(x f 的(A)连续点; (B)可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D)无穷间断点. 答: （）2. 当0x x →时A x f -)(为无穷小是 A x f x x =→)(lim 0的（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 答: （）3. 设f x x x ()sin ,,=-∞<<+∞,则此函数是 (A)奇函数, (B)既不是奇函数也不是偶函数,(C)周期为2π的周期函数 (D) 周期为π的周期函数. 答: （） 4. 极限.cos 22limxxx -→的结果是(A)1 (B)2 (C)2 (D)极限不存在. 答: （ ） 5. 设()f x x x x ()sin ,=++-∞<<+∞112,则此函数是(A)有界函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)周期函数 答:( )6. 函数xx f -=11arctan )(当x →1时的极限值是 (A)π2(B)-π2 (C)0 (D)不存在.答:( )7. 的是时当x x x x sin ,0.2-→(A)高阶无穷小 (B)同价无穷小，但不是等价无穷小(C)低价无穷小 (D)等价无穷 答: ( )8. xx x x 11lim 20-++→等于 （A ）1 （B ）21（C ）2 （D ）0 答: ( )极限[]x x x cos 1cos lim -++∞→的结果是 （A ）无穷大 （B ）0 （C ）21- （D ）不存在，也不是无穷大 答: ( ) 10．设()xx eex f 11321++=，则0=x 是)(x f 的：（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡 间断点 答: ( )11.函数f(x)在点0x 连续是)(lim 0x f x x →存在的（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）即非充分又非必要条件 答: ( )12. ()x ee xf xx sin )(-+=在其定义域 ()+∞∞-,上是（A ）有界函数 （B ）周期函数 （C ）偶函数 （D ）奇函数 答: ( )13. 设()11cot2-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的： （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡 间断点 答: ( ) 14. 极限()x x x x -+∞→2lim的结果是(A) 0; (B) 1/2;(C) 无穷大， （D ）不存在. 答： （ ）15. ()()23sin x x f =在定义域()-∞+∞,上为（A ）周期是3π的函数； （B ）周期是π/3的函数； （C ）周期是2π/3的函数； （D ）不是周期函数. 答： （ ）16. 若当0x x →时()()x x βα,都是无穷小，则当0x x →时， 下列表示式哪一个不一定是无穷小： （A ）()()x x βα+； （B ）()()x x 22βα+；（C ）()()[]x x βα+1ln ； （D ）()()x x 22βα. 答： （ ）17.“数列极限存在”是“数列有界”的（A ）充分必要条件； （B ）充分但非必要条件； （C ）必要但非充分条件；（D ）既非充分条件，也非必要条件。

2006—2007学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一、填空题(每小题5分, 共40分) 1．设向量,2,23k j i b k j i a +-=-+=则）（）（b a b a322-⋅⨯= _______________.2．已知向量}2,3,4{-=a ，向量u 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 a 在u轴上的投影等于__________________.3．已知空间三角形三顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC Δ的面积等于______________;过三点的平面方程是:__________________________.4．直线⎩⎨⎧=+--=-+072,0532:z y x z y L .在平面083:=++-z y x π内的投影直线方程是： ____________________________________.5. 由曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处指向外侧的单位法向量是____________________________.6．设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则y zx z ∂∂+∂∂=__________________________.7. 设函数)(u f 可微,且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1,2)处的全微分 )2,1(d z =_________________________________________.8. 曲面 22yx z += 平行于平面 042=-+z y x 的切平面方程.是：___________________.二、(7分) 设平面区域D 由1,==xy x y 和2=x 所围成，若二重积分 1d d 22=⎰⎰D y x yAx ，则常数=A ____________________________. 解题过程是：三、(8分) 设),(y x f 是连续函数，在直角坐标系下将二次积分⎰⎰-223210d ),(d y y xy x f y 交换积分次序，应是______________________________________.解题过程是：四、(7分) 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，若单位向量}1,1,1{31=n ，则方向导数)3,2,1(nu ∂∂等于_____________________；该函数在点(1,2,3)的梯度是____________________；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于________________.解题过程是：五、(8分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u '''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.解题过程是：六、(7分) 设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1D xyx y x y +++⎰⎰解题过程是：七、(8分) 设空间区域Ω，是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==0,2x z y 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面4,1==z z 所围成的区域，计算三重积分⎰⎰⎰+Ωz y x y x d d d )(22.解题过程是：八、(8分) 做一个长方体的箱子，其容积为 29m 3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m 2, 箱子的底造价为1元/m 2, 试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）. 解题过程是：九、(7分) 设函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim22220=+-→→y x xy y x f y x ，试问点(0,0)是不是),(y x f 的极值点？证明你的结论. 解题过程是：A 卷2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期末考试试卷一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1．设三向量c b a ,,满足关系式c a b a ⋅=⋅，则（ ）.（A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0===c b a ;（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.2. 已知2,2==b a，且2=⋅b a ，则=⨯b a （ ）.（A ）2 ; （B ）22; （C ）22; （D ）1 .3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）. （A ）⎰⎰⎰⎰=S S S x S x 1d 4d ; （B ）⎰⎰⎰⎰=S SSx S y 1d 4d ;（C ）⎰⎰⎰⎰=S SS x S z 1d 4d ; （D ）⎰⎰⎰⎰=S S Sxyz S xyz 1d 4d . 4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（ ）.（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x . 5. 判别级数∑⋅∞=1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ ）. （A ）条件收敛; （B ）发散；（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（ ）.（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 . 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e x yz =，则____________________d =z.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量OP 的方向导数是____________，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是____________.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则⎰+=Ls y x ________________d )(2.4. 设函数展开傅立叶级数为：∑∞=≤≤-=02)(,cos n n x nx a xππ，则___________2=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数∑∞=+01n n n x 收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222d d y x yx yx e.解题过程是：3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设Ω是由y x z 22+=，4=z 所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰++Ωzy x z y x d d d )(22.解题过程是：5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 21-=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++L AByx yy x x 22d d .解题过程是：6. 设∑是上半球面y x z 221--=的下侧，计算曲面积分⎰⎰++-+∑yx z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 2322.解题过程是：7. 将函数 61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）. 证明不等式: ⎰⎰≤+≤Dx y 2d )sin (cos 122σ，其中D 是正方形区域：10,10≤≤≤≤y x .2007—2008学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1 向量32a i j k →→→→=++在向量245b i j k →→→→=++上的投影Pr bj a = .2 函数u =在点)2,2,1(-M 处的梯度=M gradu __________.3 曲面1222=+-zx yz xy 上点(1,1,1)M 处的切平面方程为 .4 函数sinu yxy x =在点(,)11的全微分(1,1)du =.5 函数2(,)z xf x y =有连续的二阶偏导数，则y x z ∂∂∂2＝ . 二、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分).1．直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是（ ） （A ）平行,但直线不在平面上； （B ） 直线在平面上；（C ） 垂直相交； （D ） 相交但不垂直. 2．函数00(,)(,)f x y x y 在点处偏导数存在是(,)f x y 在该点可微的( ) (A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件 ； (C) 充要条件； (D) 非充分非必要条件.3.设有两平面区域2221:D x y R +≤，2222:,0,0;D x y R x y +≤≥≥ 则以下结论正确的是( )（A ）124D D xdxdy xdxdy=⎰⎰⎰⎰； （B ）12224D D x dxdy x dxdy=⎰⎰⎰⎰；（C ）124D D ydxdy ydxdy=⎰⎰⎰⎰； （D ）124D D xydxdy xydxdy=⎰⎰⎰⎰．4. 若函数00(,)(,)f x y x y 在点处不可微，则函数00(,)(,)f x y x y 在点处是( )(A) 沿任何方向的方向导数不存在； (B)两个偏导数都不存在； (C) 不能取得极值； (D) 有可能取得极值. 三、画图题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）1．写出函数(,)f x y =的定义域，并画出定义域的图形.2．画出由平面1,0,2y z z y ===及曲面2y x =所围空间立体的图形.四、解答题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）1.设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y ∂∂+∂∂ .解：2 .考察函数221sin (,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点 (0,0)的连续性和可微性. 解：3．在曲面z xy =上求一点，使在该点处的法线与平面3290x y z +++=垂直，并写出该法线方程. 解：4．抛物面22z x y =+被平面4x y z ++=截成一个椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：5.计算1130dy x dx⎰.解：6.计算二重积分21D y x dxdy+-⎰⎰，其中D 是由直线1,1,0,1x x y y =-===围成的平面区域. 解：7．计算由球面2221x y z ++=，柱面220x y x +-=所围立体的体积. 解：五、证明题(9分)试证明：11201()(1)()2x ydx dy f z dz z f z dz=-⎰⎰⎰⎰Ａ卷2007—2008学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷（理工类）一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为 .3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dVΩ⎰⎰⎰在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰______________________________________.6.将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

2021—2021学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每题3分，共计1 5 分）判定以下命题是不是正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，若是正确，请给出证明，若是不正确请举一个反例进行说明.1．若)(x f 在),(∞+a 无界，那么∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点持续，那么)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点持续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，那么0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ） 例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，那么)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分 ）二．（共3小题，每题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的中断点，并判定其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的中断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去中断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷中断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分） 3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确信二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即 x x y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 ) ⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 ) 322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 ) 三．（共3小题，每题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin .解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解 )(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 ) C x dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2） dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，那么当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，那么 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得对角线的增加率：3=dt dy（cm/s ）. -------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解 ct dtdxt v 2)(== ----------------------------------------------------------- ( 2分 )cx t c t c k x f 444)(2222===, -------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdx W 04＝22ca . ------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（此题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的概念域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 ) 六．（共2小题，每题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x 与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所取得的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dx xe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分）[]x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特点方程为：,0452=++r r 特点根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C eC y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特点根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（此题7分）表达罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上持续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，那么),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 )令nnx a xa x a x f n sin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 ) 在],0[π上持续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2021—2021学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每题4分，共计12 分）判定以下命题是不是正确在题后的括号内打“√”或“⨯” ，若是正确，请给出证明，若是不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．假设曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，那么)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上持续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上持续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(lim x dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ .解 )21(lim 222222n n nn n n nn ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n nn i 12111lim ------------------------------------------------------------------（3分） ⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x .-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的中断点并判定其类型.解 0=x 是)(x f 的中断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃中断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222xe e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim 2xe x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 ) 3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确信y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分） ⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分） C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上持续，求定积分 dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分） 242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（此题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y ey y ππ1220132)22(3)1(y y eee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全数抽出所做的功.解 过球心的纵截面成立坐标系如图,那么半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，假设空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时刻的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，那么依照牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两头积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Ce kv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32 dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（此题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特点方程为：,0652=+-r r 特点根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x xe C eC y +=----------------------------------------（3分）而0不是特点根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x++=---------------------------------------------（2分）八．（此题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 通过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 和两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y=，那么,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 通过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ，切线与x 轴及y 轴的交点别离为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2021—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日A 卷注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，维持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，总分值100分；试卷本请勿撕开，不然作废； 4. 本试卷正文共8页。

Ａ卷2008—2009学年第一学期《高等数学》期末考试试卷(理工科类)专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2009年1月5日说明：1本试卷正文共6页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）1)(cos lim xx x → =________________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为_________________. （3）已知xxxe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f _____________ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 ______________. （5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为___________________.二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .3. 计算不定积分.4.计算定积分⎰++3011dxxx.四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256x y y y xe'''-+=.2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为ρ，计算桶的一端面上所受的压力．图4-13. （本题8分）设()f x在[,]a b上有连续的导数，()()0f a f b==，且2()1baf x dx=⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A; (2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 10)(cos lim x x x →（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.9131-=x y（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e ee xxxy C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→-------1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→-------2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ -------1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x -------2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,s i n )()(t t t x t y dx dy =''= ----------------------------（3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''=---------------------（6分）4. 计算不定积分.222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx x x.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x --------- --------------- （3分）35)1(323323=++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图220322203*********RRRP g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰分）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222bb aab ab b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y = ----1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线x e y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= ----2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 2102)(⎰-=π， ----1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ ----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+. 解法一：2112xe e x x x ξ=++≥+解法二：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f =------------------------1分 因为() 1.x f x e '=-------------------------—————— 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。

2011—2012学年第一学期《高等数学》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年1月3日页号一二三四五六总分本页满分30 18 12 18 15 7本页得分阅卷人1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废；5．本试卷正文共6页。

一、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1．函数23422+--=x x x y 的可去间断点是_________. 2．曲线21xy e -=-的下凸区间是_________________________.3．设(ln )ln f x x x '=，则()f x =____________C +. 4.211d 1xx +∞+⎰=____________.5.221cos y y x x x '-=的通解是_________________________．二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则()f x 在点0x =处（ ）． A ．极限不存在；B ．极限存在但不连续；C.连续但不可导；D ．可导. 2. 已知0x →时，30()3sin cos d xf x x t t=-⎰与kcx 是等价无穷小，则（ ）．A ．1,4k c ==；B ．1,4k c ==-； C. 3,4k c ==； D ．3,4k c ==-.3．设)(x f '连续，(0)0,(0)2f f '==，则20(1)lim x x f e x x →--=（ ）．A ．2；B ．∞； C. 1； D ．12.4．函数()y f x =在1x =处有连续导数，21)('lim 1=-→x x f x ，则1x =处取得（ ）. A. 拐点； B. 极大值； C. 极小值； D. 都不是.5．微分方程x xy y e e -''-=+的特解形式为（ ）．A ．()x x a e e -+；B ．()x x ax e e -+；C ．2()x xx ae be -+； D ．()x x x ae be -+.三、计算题（共5小题，每小题6分，共30分）1. 求极限41cos 0ln d lim1xx x t t te →-⎰.2．方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=⎰t t y du u t u t x t arctan )(102确定y 为x 的函数，求dy dx 及22d y dx .3．求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-.4．求定积分10x ⎰.5．设0sin ()x t f x dt t π=-⎰, 求0()f x dx π⎰.四、应用题（共3小题，共24分）1．（本题6分）求曲线1()ln(1)x f x e x =++的渐近线.2．（本题12分）设由曲线xy e =与过点(1,)e 的切线及y 轴所围平面图形为D .（1）．求D 的面积A ； （2）．求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V .3．（本题6分）有半径为 R 的半球形容器如图， 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功 最少应为多少 ?五、证明题（16分）1．（本题9分）设0>x ，证明：xx x x<+<+)1ln(1. 2．（本题7分）设函数()f x 在[0,5]上连续，在(0,5)内存在二阶导数，且2()d 2(3)(4)(5)f x x f f f ==+⎰，证明：（1）存在[0,3)η∈，使()(3);f f η= （2）存在(0,5)ξ∈，使()0f ξ''=.答案一、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1． x =2 ； 2．(； 3． ()f x =x x xe e -C +；4． 4π 5． 21(sin )2y x x C =+二、填空题共（5小题，每小题3分，共计15分） 1．（ D ）；2．（ C ）； 3．（ C ）；4．（ C ）；5．（ D ）.三、计算题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1．求极限41cos 0ln d lim1xx x t t te →-⎰解：原式1cos 40ln d lim x x t t t x →=⎰30cos ln(cos )(sin )lim 4x x x x x →--=20ln(cos )lim 4x x x →=0sin 1cos lim88x xx x →-==- 2．方程20d 1()arctan t t u x u t u y t t -⎧=⎪+-⎨⎪=-⎩⎰确定y 为x 的函数，求dy dx 及22d y dx 。

中国⽯油⼤学23届⾼等数学竞赛题中国⽯油⼤学（华东）第⼆⼗三届⾼等数学竞赛试卷专业年级：学号：姓名：成绩：说明：1. 答案必须写在题⽬指定的空⽩处, 否则⽆效.2. 题⽬所在页背⾯为草稿纸.3. 试卷正⽂共7页.中国⽯油⼤学（华东）教务处、学⽣⼯作处、数学学院主办基础数学系承办2009年6⽉7⽇⼀、填空题（每⼩题4分，本题共20分）：1．=++++++++∞→nnnnnππππcos1 ...3 cos12 cos1 cos11lim_____ 2．设≤>-=,arctan1)(2tanxaexxexfxx在0=x处连续，则= a_______2 -3．[]{}?-=-+-+aadxxaxxf22sin)()(4．设L为椭圆22143x y+=，其周长记为a，则____)432(22=++dsyxxyL.12a5．设∑的⽅程是)0(2222>=++R R z y x ，则R z y x dS 4⼆、选择题（每⼩题4分，本题共20分）：1．若)(x f 连续，且1)cos 1()(lim 0-=-→x x x f x ，则（A ）.)(0)()()(0)()()(0)()()(0)(的驻点不是的极⼤值点；的驻点，且是是的极⼩值点；的驻点，且是是的极值点；的驻点，但不是是x f x D x f x f x C x f x f x B x f x f x A ==== 2．若)(x f 可导，且在0=x 的某邻域内有),(3)1(2)1(x o x x f x f +=--+则（A ）处不⼀定可导在；；；1)(',0)1()(1)1(',0)1()(2)1(',0)1()(1)1(',0)1()(==-=>====x x f f D f f C f f B f f A3．设0)(>x f 且可导，则=+∞→)()1(lnlim a f n a f n n （D ）（A ）0 （B ）∞ （C ）)(ln a f ' （D ）)()(a f a f '4.设C 为曲线32y x =和直线y x =所围成的区域整个边界，沿逆时针⽅向，则曲线积分=+?Cdy y ydx x 32( B ).(A) 1;44 (B)1;44- (C)23;44 (D)23.44-5．设函数)(u f 连续，区域{}y y x y x D 2 ),(22≤+=，则=Dd d )(y x xy f （） ;d )(d )(221 1 11----x x y xy f x A2-y y x xy f y B;d )cos sin (d )(sin 202 0θπθθθr r f C;d )c o s s i n (d )(s i n202 0θπθθθr r r f D三、计算下列各题1。

中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx是等价无穷小，则=α.解题过程是：2. =-→3s i n a r c t a n limxxx x .解题过程是：3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： .解题过程是：4. =∂∂+∂∂=yz yxz xx y xy z 则设,tan.解题过程是：5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是： 6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： 7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩVz x yxz yxz d )(,12222计算所围成与由设空间区域=.解题过程是：10. 设曲线AnO 0)((0,0),0)(22>--=+a O a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰y y e x y y e x AnOx d 3cos d 3sin 计算.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）： .38)2()1(),0()0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.d d )1(3d d 2d d 2233y x z x z y z y x I ⎰⎰∑-++=解题过程是：.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vy xf z t f t t x f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>+∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是：{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：6. 设曲面1:=++z y x ∑，计算曲面积分⎰⎰+∑Sy x d )(.解题过程是：).,(,),()()(2),(0.724224y x u y x u jy x x i y x xy y x A x 并求的梯度为某二元函数上的向量使在右半平面确定常数 λλλ+-+=>解题过程是：三、证明题（本题8分）：).()(),(),()(),()(),(],[)(),(ξξξg f b a b g b f a g a f b a b a x g x f ''=''∈==使得，存在证明：相等的最大值，内具有二阶导数且存在上连续，在在设函数中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx 是等价无穷小，则=a .解题过程是：若+→0x 时，x x -+11ln与αx是等价无穷小， ())()()(1ln )1ln(11lnx o x x o x x o x x x xx +=+++=--+=-+，则+→0x ，,~)(αx x o x +故21=α.2. =-→3s i n a r c t a n limx xx x .解题过程是：61)](6[)](3[limsin arctan lim333333-=+--+-=-→→xx o xx x o xx xxx x x .3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： 3 ..解题过程是：曲线)1ln(1xe xy ++=渐近线有3条：垂直渐近线0=x ，水平渐近线)(0-∞→=x y ，斜渐近线)(+∞→=x x y . 4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20tan 202,1,:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y zx y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y x =+=+⎪⎭⎫⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是：.1,1:,1,1,,d d 2,21d d .2,121,21,1d d ,1ln ln ln ,d d ,d d d d 0,0d d ,d d ,),(220221101112+=+==⇒=+=⇒=⇒=∴=⇒=⇒='=∴=⇒+-=-=⇒-=⇒-=≠=+='''='=''==⎰⎰x y x y C yC x yx y y yxy C C y yC xy y C P C y P yyP P y y P P P y P y P Py P yP yP P y y P y y f y x x 或通解，，时，代入型，令解：6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： .2)1(cos)sin 1()cos()cos()cos()cos(.22020222020202121-=---=+-+=+-+==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--πππππππππdx x dx x dyy x dx dy y x dx dxdyy x dxdy y x I D D D y x x xD D 两个区域、分为把区域解：用直线7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：解：令tx -=2π， ttsin sin 33--是奇函数，得xxx d )33(0cos cos ⎰--π=.0d )33()d ()33(22sin sin 22sin sin =-=--⎰⎰----t t ttttππππ8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：x x f x d )(⎰'==-=⎰⎰)()()(d x f x xf x f x C x xx+-2222ln 222.9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩdV)(,12222z x yx z y xz 计算所围成与由设空间区域=解题过程是：.8sin cos )(.0),,(124020πϕϕϕθΩππΩΩΩ=⋅==+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr rr d d zdv dv z x xdv x x z y x f yoz 利用球面坐标系的奇函数，有为面为对称，关于10. 设曲线AnO 0).((0,0),0)(22>-=+a O -a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰dy y e dx y y e x AnO x 3cos 3sin .计算.解题过程是： (),83221333cos cos ,22a a dxdy dxdy y e y e dxdy y P x Q OA D D xx D AnOOAAnOAππ=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，组成闭曲线解：补上线段()⎰⎰⎰⎰=⋅-+⋅⋅-=-=∴axOAAnOAAnOa edx e a 0228303083 ππ.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.38)2()1()0(,)0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：,),()1(ax xyy x f y L =-'=由题设得，的方程为设曲线解：由通解公式，这是一阶线性微分方程.,Cxax C ax x C x axee y xxx x+=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-2d 1d 1)(d又,,0)1(a C f -=∴=故曲线L 的方程为：)0(2≠-=x ax ax y .围成的平面图形面积与直线)0()2(>=a ax y L()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰2.a =故2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=解题过程是： .1122，组成闭曲面的下侧为平面圆域解：补充Σyx xoy =+.)1(322)1(32211233233dxdy zdzdx y dydz x dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-++--++=dxdydzz yxdxdy zdzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰++=-++∑+∑Ω)(6)1(322222331.2)]1()1(21[12)(62322102011022ππθπ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰-dr r r r r rdz r z dr d r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdydxdy zdzdx y dydz x π故.32πππ-=-=I.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：),,,(,932),,(:000222z y x M z y x z y x F 切点设解-++=,.},2,3,2{},2,6,4{},2,6,4{},,{000000n n n z y x n z y x F F F n z y x∥由题意-==='''=,,2,2,223624000000λλλλ=-====-=z y x z y x.2,92322,132),,(222202020000±==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++λλλλ解得在椭球面上z y x z y x M.),2,1,1(),2,1,1(代入得切平面方程切点---.9232,9232-=+-=+-z y x z y x 及).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vyxf z t f t t t f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是： dz)]2r f([zrdr dθ1f(t)式可写为解：在柱坐标系下，等2π2th2⎰⎰⎰++=⎰++=2t2)]dr2r f(3hr[2πh1即，f(t) 等式两边对t 求导得)],(3[8)(2t f hht t f +='π⎰⎰=+'8πhtdtdt f(t)3h(t)f 分离变量并积分2C4πh t f(t))3hln(得22+=+1),3hln(C 1,f(t)lim f(0)由原等式可得2t +=⇒==+→.3h )e h 31(1f(t)24πht22-+=∴{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：解：（1）,24,2222y x y f xy x f y x-='-='22222),(y x y x y x f -+=求函数的驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='024,02222y x y f xy x f y x {}0,4),(22≥≤+=y y x y x D 区域内的驻点为：)1,2(±.（2）.2),(2222边界上的极值在区域求函数D y x y x y x f -+=构造拉格朗日函数： )4(2),,(222222-++-+=y x y x y x y x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂040)2(240)2(222222y x L y y x y y L x xy x x L λλλ条件极值驻点为：)23,25(±（3）比较.2),(2222在这些点的值的大小，函数y x yx y x f -+=最小值为0。