《分式四则运算》热点专题高分特训(含答案)

10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd⋅=； a b c d a b d c ad bc ÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则a cbc a b c±=± （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则()a b a bn nn =（n 为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算x x x x x x x x 22222662----÷+-+-的结果是（ ） A. x x --13B. x x +-19C. x x 2219--D. x x 2213++ 分析：原式=-+-+÷+-+-()()()()()()()()x x x x x x x x 21323221 =-+-+⋅+-+-=+-+-=--()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x x 2132213211331922 故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知abc =1，求a ab a b bc b c ac c ++++++++111的值。

分式计算题分类训练（5种类型50道）【答案】（1）23x ；（2）5ac −【分析】（1）根据分式乘法法则，可得答案；（2）根据分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案；【详解】解：（1）3324423263x y xy y xx y x ⋅==； （2）32233222222254422425105ab a b ab cd ab cd bd ccd c a b a b c ac −÷=⋅=−=−−． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，根据法则计算是解题关键． 2442a a a a −++【答案】（1）12；（2）a【分析】（1）由分式的除法运算法则进行计算，即可得到答案； （2）由分式的乘法运算法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：（1）原式=21x x +14x x +=12；（2）原式=()22a a a +−()222a a −+=2a a −； 【点睛】本题考查了分式的乘法、除法运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．【答案】（1）2152()ab a b +；（2）2(2)x x y x y +−+ 【分析】（1）先对分子、分母分解因式，再约分，即可求解；（2）先对分子、分母分解因式，再把除法化为乘法，然后约分即可求解．【详解】解：（1）原式=()()()2332510a b a b ab a b a b −⋅−+ =2352ab a b ⋅+ =2152()ab a b +；（2）原式=()()()()22222y x y x x yx x y x y +−−÷++=()()()()22222y x y x x x y x y x y +−+⋅−+ =2(2)x x y x y +−+． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，掌握因式分解以及约分是解题的关键．【答案】（1）2(1)(2)a a a −−+；（2）7m m −+【分析】（1）先把分式的分子分母因式分解，再约分化简即可；（2）先把分式的分子分母因式分解，再除法变乘法，最后约分化简即可．【详解】（1）222441214a a a a a a −+−⋅−+−22(2)1(1)(2)(2)a a a a a −−=⋅−−+ 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a −−=−−+2(1)(2)a a a −=−+；（2）2211497m m m ÷−−()221(7)749(7)(7)m m m m m m m −=−⋅−=−−+−7mm =−+．【点睛】本题考查分式的乘除运算，一般都是先把分子分母因式分解，最后约分化简．【答案】(1)224a ab+(2)22239x x x --+【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可；（2）根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．【详解】（1）解：22234246a b a b a b ab −⋅− =3a 2b2（a −2b ）∙(a +2b)(a −2b)6ab (2)4a a b += 224a ab =+；（2）2222133218412x x x x x x −+−÷−−2(1)4(3)2(3)(3)3(1)x x x x x x --=×+-- 2(1)3(3)x x x -=+22239x x x --+=．【点睛】本题考查了分式的乘法运算以及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【答案】(1)22b(2)2−【分析】（1）直接根据分式的乘除运算法则解答即可；（2）分式的分子、分母先分解因式，把除法转化为乘法，再约分即可得到答案.【详解】（1）原式2222245353422a b c d d cd ab abc b =⋅⋅=；（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键.【答案】(1)234a c −；(2)21−−ab b ． 【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．【详解】（1）解：原式2232162b a a bc a b ⎛⎫− ⎪⎝=⋅⎭⋅ 3221216a b ab c =−234a c =−（2）解：原式()22122()a b ab ab b a −=−⋅⋅−()2222()ab a b b a ab −=−−()1b a b =−−21ab b =−− 【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键．【答案】(1)()()()()3242x x x x −++−(2)22aa −+【分析】根据分式的乘除混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式()()()()()()2232444322x x x x x x x x −+−=⋅⋅+−−+−()()()()3242x x x x −+=+−；（2）解：原式()()()()()211221112a a a a a a a −++−=⋅⋅+−+22aa −=+．【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【答案】(1)2a −(2)12x x ++【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算；（2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算．【详解】（1）原式()()()()()244214222a a a a a a a +−−=⋅⋅+−−−42a a −=−．（2）原式()()()()()()()()2314444322x x x x x x x x x x −−++−=⋅⋅+−−+−12x x +=+． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题．【答案】(1)42b a -(2)-2【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．【详解】（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)x y −【分析】（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式()()a b a b a b a b +−==+−．（2）解：原式222x y xy x y x y +=−−− 222x y y x y x −+=−()2x y x y −=−x y =−．【点睛】本题考查了同分母分式的加减法以及平方差公式，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解题的关键．【答案】(1)1x +(2)12x y +【分析】（1（2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式加减运算即可；【详解】（1）原式2221311x x x x x +−=+−−22131x x x x ++−=−22121x x x +−=−()()()2111x x x +=−−11x x −=+； （2）原式()()2222422x y x y x y x y x −++−−+=2224y xy x −−=12x y =+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减的运算，熟练掌握运算法则并你能将异分母分式互为同分母分式是解题的关键．【答案】(1)21m m −(2)224x x −【分析】（1）根据分式与整式的加法进行计算即可求解；（2）根据异分母的加法进行计算即可求解．【详解】（1）解：111m m ++−()()11111m m m m +−=+−−2111m m +−=−21m m =−； （2）解：2242x x x x −−− ()()()2222x x x x x −+=+−22224x x x x −−=−224x x =−．【点睛】本题考查了分式的加减计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】(1)3a +(2)221212a a a a −−++【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可；（2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可．【详解】（1）解：22193a a a −−−()()21333a a a a =−+−− ()()()()233333a a a a a a +=−+−+− ()()2333a a a a −−=+− ()()333a a a −=+− 13a =+；（2）解：221121a a a a a a −−++++()()21111a a a a a −−=+++ ()()()()()2211111a a a a a a −−+=+++()()()21211a a a −+=+221212a a a a =−−++．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．【答案】（1）221x −−；（2）2x x −+【分析】（1）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，分母都变为()()11x x +−，变为同分母分式，再加减计算即可；（2）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，使前两项分数的分母都变为()()22x x +−，变为同分母分式，再加减计算，约分化简，再把1−这项写成同分母的形式22x x +−+，再加减计算即可．【详解】（1）原式()()()()111111x x x x x x −+=−+−+−()()()1111x x x x −−+=+−221x −=−；（2）原式()()()()()22412222x x x x x x +=−−+−−+()()()22122x x x −=−+−2222x x x +=−++2x x =−+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)21m m +【分析】（1）先通分计算括号内，再根据分式的除法法则进行计算即可；（2）先算除法，再通分进行加法运算即可．【详解】（1）解：原式()2222a ab b ab a b a b ab −+=⋅−+()()2a b ab ab b a a b −=⋅+−a ba b −=+；（2）原式()()()()23313321m m m m m m −+=−+⋅+−+111m m =−++ 2111m m −+=+21m m =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，正确的计算．【答案】(1)26m +(2)11x −【分析】（1）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解； （2）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解．【详解】（1）解：原式()22224523m m m m m ⎛⎫−=−⋅ ⎪−−−−⎝⎭ ()222923m m m m −−=⋅−−()()()332223m m m m m +−−=⋅−−26m =+；（2）解：原式22121x x x x x x ⎛⎫++=÷− ⎪⎝⎭211x x x x +−=÷()()111x x x x x +=⋅+−11x =− 【点睛】本题考查分式的混合运算．异分母分式的加减运算关键是通分，分式的乘除运算关键是将分子分母因式分解后进行约分．【答案】3x − 【分析】先将括号内的两个式子通分并化简，然后将除法改为乘法，分子分母调换位置，最后再约分，可得最终化简结果．【详解】解：2569122x x x x −+⎛⎫−÷ ⎪++⎝⎭ 22569222x x x x x x +−+⎛⎫=−÷ ⎪+++⎝⎭()23322x x x x −−=÷++()23223x x x x −+=+−g13x =−．【点睛】本题考查了用公式法因式分解、约分、通分、分式的化简等知识点．熟知分式的化简步骤是解题的关键，同时要将结果化为最简分式或整式．【答案】232a a −++【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，即可求解．【详解】解：22231211a a a a a a −⎛⎫÷−+ ⎪+++⎝⎭ ()()22231111a a a a a a −⎛⎫−=÷− ⎪+++⎝⎭()()()()221221a a a a a a −+=⋅+−+()()12a a a =−++ 232aa a =−++．【点睛】本题主要考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【答案】1 【分析】通分，计算括号内，再将除法变成乘法，约分即可．【详解】解：原式()()2a ab a b a a b −−=⋅−1=．【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．【答案】2241x xx ++【分析】再括号外的分式2乘法运算即可化简原式．【详解】解：231111x x x x x x ⎛⎫⋅ ⎭−⎝−−++⎪ ()()()()()()31111111x x x x x x x x x +−−−+=⋅−++22331x x x x x +−+=+2241x x x +=+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．【答案】1aa −【分析】先计算括号里边的式子，通分化成同分母的分式相加，再计算除法运算即可． 【详解】解：+⎛⎫+÷ ⎪−−−+⎝⎭2a 11a a 1a 1a 2a 1=（a +1a −1+1(a −1)2）÷a a −1=a 2(a−1)2÷a a−1 =a 2(a−1)2×a−1a 1aa =−．【点睛】此题考查学生分式运算，以及完全平方公式、平方差公式的运用，解答此题的关键是把分式化到最简．【答案】26x + 【分析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．【详解】解：532224x x x x −⎛⎫+−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()()2252223x x x x x +−−−=⋅−− ()222923x x x x −−=⋅−− ()()()332223x x x x x +−−=⋅−− ()23x =+ 26x =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【答案】2x +，1．【分析】首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式()22121x x x x +−=⨯+− 2x =+，当=1x −时，原式121=−+=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．【答案】1x −，4 【分析】先计算括号内加法，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：22121124x x x x −+⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ 222121224x x x x x x −−+⎛⎫=+÷ ⎪−−−⎝⎭()()()211222x x x x x −−=÷−+− ()()()222121x x x x x +−−=⋅−− 21x x +=− 当3x =−时， 原式32113144−+−===−−− 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】1x −，2−(答案不唯一) 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从1−，0，1和2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】解： 原式211(2)(2)1(2)x x x x x −−+−=⋅−−2212x x x x −+=⋅−−21x x +=−，∵1x ≠，2x ≠±∴当0x =时，原式02201+==−−(答案不唯一)．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算法则．【答案】2，当2m =时，值为12−【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m 的值代入进行计算即可．【详解】解：22221369m m m m −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭()()2323321m m m m −+−=⋅−−()()231321m m m m −−=⋅−−32m −=， 3010m m −≠−≠，，31m m ∴≠≠，，∴当2m =时，原式23122−==−【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】3a b −+，11− 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a 、b 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式()()()()2232251=222a b a b a b b a a b a b a b a ⎡⎤−+−÷−−⎢⎥−−−⎣⎦ ()()()2222531=224a b a b a a b a b a b −−−÷−−−()()222321=29a b a b a a b a b a −−−−⋅−()()()()23321=32a b a b a a b a b a b a −−+−−−⋅()31=3a b a a b a −−+ ()()()=3333b a b a a b a b a a +−++− 23a b =−+， 解方程组51a b a b +=⎧⎨−=−⎩得23a b =⎧⎨=⎩，当2,3a b ==时，原式有意义，∴原式2223311=−=−+⨯．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】4【分析】根据2222244x y x y A x xy y x y −+=⋅+++，即可化简求值． 【详解】解：∵2222244x y x y A x xy y x y −+÷=+++ ∴()()()22222224422x y x y x y x y x y x y A x xy y x y x y x y x y +−−++−=⋅=⋅=++++++ 当2,1x y ==时，2112214A −==+⨯ 【点睛】本题考查分式的化简求值．将分子分母正确的进行因式分解是解题关键．【答案】2a +，5【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从2−，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可． 【详解】解：22224a a a a a ⎛⎫−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()22222222a a a a a a a a +−⎛⎫−=−⨯ ⎪−−⎝⎭()()22222a a a a a +−=⋅−2a =+，∵要使分式有意义，a 不能取0和2±，∴当3a =时，原式325=+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．【答案】26x −−；6− 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】解：233139x x x +⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ ()()333333x x x x x ++−=÷−+− ()()33363x x x +−=−⋅− ()23x =−+26x =−−，当()()330x x +−=，即3x =或3x =−时，分式没有意义，当0x =时，原式266x =−−=−．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．【答案】()122x −；14042【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：2142422x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+−+⎝⎭ ()2142222x x x x x ⎡⎤++÷⎢⎥+−+⎣⎦=()()()()()()224222222222x x x x x x x x x ⎡⎤−++÷⎢⎥+−+−⎣⎦++= ()()22422224x x x x x ++=⋅+−+()122x =−，当2023x =时，原式()112202324042==⨯−．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【答案】3a +【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()()23333233231339323323a a a a a a a a a a a a a a a a −+−+−+−−⎛⎫+÷=⋅=⋅=+ ⎪−−−−−−⎝⎭，当3=a 时，原式33=+=【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【答案】(1)无解(2)无解【分析】（1）去分母，化为整式方程求解，注意检验；（2）去分母，化为整式方程求解，注意检验；【详解】（1）解：2216124x x x ++=−−−，两边同时乘以2(4)−x ，得22(2)16(4)x x −++=−−， 44164x −−+=，2x =，2x =时，240x −=∴原方程无解．（2）解：两边同时乘以2(9)x −，得32(3)12x x −++=，39x =，3x =，3x =时，290x -=∴原方程无解．【点睛】本题考查分式方程的求解；掌握分式方程的求解步骤，注意检验是解题的关键．【答案】(1) 1.5x =(2)无解【分析】（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】（1）解：2111x x x +=−−， 去分母得：12x x +−=，移项合并同类项得：23x =，系数化为1得： 1.5x =，检验：把 1.5x =代入1x −得：1.510.50−=≠，∴ 1.5x =是原方程的解．（2）解：2216124x x x −−=+−，去分母得：()222164x x −−=−，去括号得：2244164x x x −+−=−，移项合并同类项得：48x −=，系数化为1得：2x =−，检验：把2x =−代入得：()2240−−=，∴2x =−是原方程的增根，∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．【答案】(1)4x =；(2)原分式方程无解．【分析】（1）方程两边乘以最简公分母()22x x −，把分式方程转化成整式方程求解即可； （2）方程两边乘以最简公分母()()22x x +−，把分式方程转化成整式方程求解即可．【详解】（1）解：()21522x x x x +=−， 方程两边同乘()22x x −，得482510x x −+=−，解得：4x =，检验：当4x =时，()22160x x −=≠，4x ∴=是原方程的解，∴原方程的解为4x =；（2）解：2224162424x x x x x −++=+−−，()()()()2221622222x x x x x x +−−=+−+−，()()22162222x x x x x x −+−=+−+−，方程两边都乘()()22x x +−，得：()()222216x x −−+=，解得：2x =−，检验：当2x =−时，()()220x x +−=，∴2x =−是增根，即原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． ） ）．【答案】见解析【详解】解：（1），去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣1），得：x2﹣2（x ﹣1）=x （x ﹣1），x2﹣2x+2=x2﹣x ，﹣x=﹣2，x=2，经检验：x=2是原分式方程的解；（2）去分母，方程两边同时乘以x2﹣1，得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，x2+2x+1﹣4=x2﹣1，2x=2，x=1，经检验：x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解．【点评】本题是解分式方程，明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；注意去分母时，要同时乘以所有分母的最简公分母，解分式方程时，一定要检验．【答案】(1)1x =(2)2x =【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母，得32x x +−−，解，得1x =，经检验知1x =是分式方程的解；（2）原方程变形得()()23111111x x x x +=+−+− 去分母，得()()213111x x −++=， 解，得2x =，经检验知2x =是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。

分式乘除法一、选择题1. 下列等式正确的是（ ）A. （－1）0＝－1B. （－1）－1＝1 C. 2x －2＝221xD. x －2y 2＝22x y2. 下列变形错误的是（ ）A. 46323224y y x y x -=-B. 1)()(33-=--x y y xC. 9)(4)(27)(12323b a x b a b a x -=--D. y xa xy a y x 3)1(9)1(32222-=--3. cd axcd ab 4322-÷等于（ ） A. －x b 322 B. 23 b 2x C. x b 322 D. －222283d c x b a 4. 若2a ＝3b ，则2232b a 等于（ ） A. 1 B. 32C.23D.69 5. 使分式22222)(y x ayax y a x a y x ++⋅--的值等于5的a 的值是（ ）A. 5 B. －5 C. 51D. －516. 已知分式)3)(1()3)(1(-++-x x x x 有意义，则x 的取值为（ ）A. x ≠－1B. x ≠3C. x ≠－1且x ≠3D. x ≠－1或x ≠3 7. 下列分式，对于任意的x 值总有意义的是（ ）A. 152--x xB. 112+-x xC. xx 812+D.232+x x8. 若分式m m m --21||的值为零，则m 取值为（ ）A. m ＝±1B. m ＝－1C. m ＝1D. m 的值不存在 9. 当x ＝2时，下列分式中，值为零的是（ ）A.2322+--x x x B. 942--x x C.21-x D.12++x x 10. 每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为（ ）A.yx mynx ++元B.yx nymx ++元C.y x nm ++元 D. 21（ny m x +）元 11. 下列各式的约分正确的是（ ）A. 2()23()3a c a c -=+- B.2232abc c a b cab=C.2212a b ab a ba b=---- D.222142a c a c c a=+--+22211a a a a aM +++=+A. aB. 1a +C. a -D.21a - 13. 小马虎在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ）A.11326b a a ⨯=B.22()b a b a a b ÷=--C.111x y x y ÷=+-D.2211()()x y y x y x ⨯=---14. 下列式子：,,1,1,32,32πn m b a a ba x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3D 、215. 下列等式从左到右的变形正确的是（ ）A 、11++=a b a bB 、22a b a b = C 、b a b ab =2D 、am bma b = 16. 下列分式中是最简分式的是（ ）A 、a 24B 、112+-m mC 、122+mD 、m m --1117. 下列计算正确的是（ ）A 、m n n m =•÷1 B 、111=÷•÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=•÷ 18. 计算32)32()23(m n nm •-的结果是（ ） A 、m n3B 、m n3-C 、m n 32D 、m n 32-19. 计算y x yy x x ---的结果是（ ）A 、1B 、0C 、y x xy-D 、y x y x -+20. 化简n m m n m --+2的结果是（ ） A 、n mB 、n m m --2 C 、n m n --2D 、m n -21. 下列计算正确的是（ ）A 、1)1(0-=-B 、1)1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷--22. 如果关于x 的方程8778=----x kx x 无解，那么k 的值应为（ ）A 、1B 、-1C 、1±D 、923. 甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（ ）A 、61511=++x xB 、61511=-+x xC 、61511=--x xD 、61511=+-x x二、填空题1. 计算：cb a a b 2242⋅＝________． 2. 计算：abx 415÷（－18a x 3）＝________．3. 若代数式4321++÷++x x x x 有意义，则x 的取值范围是________． 4. 化简分式22y x abyabx -+得________．5. 若ba ＝5，则ab b a 22+＝________．6. 下列各式：π3,32,4,52,21222-++x x y x xy b a a 中，是分式的为________． 7. 当x ________时，分式812+-x x 有意义． 8. 当x ＝________时，分式121+-x x 的值为1． 9. 若分式yx yx --2＝－1，则x 与y 的关系是________．10. 当a ＝8，b ＝11时，分式ba a 22++的值为________．11、分式aa-2，当a__ ___时，分式的值为0；当a___ ___时，分式无意义，当a__ ____时，分式有意义()22y x -x yx -=13、96,91,39222+----a a aa a a 的最简公分母是_ _ ___________．14、=-÷-b a ab a 11_____________． 15、=-+-a b b b a a _____________． 16、=--2)21(_____________．18、一轮船在顺水中航行100千米与在逆水中航行60千米所用的时间相等，已知水流速度为3千米/时，求该轮船在静水中的速度？设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则所列方程为___________________19. 将分式22x x x +化简得1x x +，则x 满足的条件是_____________。

第十六章《分式》提要：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一，所以，分式的四则运算是本章的重点．分式的四则混合运算，是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用，由于运用了较多的基础知识，运算步骤增多，解题方法多样灵活，又容易产生符号和运算方面的错误，所以是分式的难点．同时列分式方程解应用题和列整式方程解应用题相比较，虽然涉及到的基本数量关系有时是相同的，但由于含有未知数的式子不受整式的限制，所以更为多样而灵活． 习题：一、填空题1．使分式234x ax +-的值等于零的条件是_________．2．在分式2242x x x ---中，当x _____________时有意义，当x _________时分式值为零．3．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：2xy =22()2ax y ； 322()x xy x y --=()x x y-．4．某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务，如果要提前a 天结束，那么平均每天比原计划要多播种_________公顷． 5．函数y =221(3)x x -++-中，自变量x 的取值范围是___________．6．计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________．7．已知u=121s s t -- （u≠0），则t=___________． 8．当m =______时，方程233x mx x =---会产生增根． 9．用科学记数法表示：12．5毫克=________吨． 10．用换元法解方程222026133x x x x+-=+ ，若设x 2+3x =y ，，则原方程可化为关于y 的整式方程为____________．11．计算（x +y ）·2222x y x y y x+-- =____________． 12．若a ≠b ，则方程a b +x a =x b -ba的解是x = ____________； 13．当x _____________时，||3x x -与3xx-互为倒数．14．约分：34522748a bxa b x=____________；22923aa a---=_____________．15．当x__________________时，分式325x-－12x+有意义．16．若分式123x--的值为正，则x的取值范围是_______________．17．如果方程5422436x x kx x-+=--有增根，则增根是_______________．18．已知xy=32；则x yx y-+＝__________．19．m≠±1时，方程m（mx-m+1）=x的解是x＝_____________．20．一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26 天完成且多生产15个．求这个工人原计划每天生产多少个零件?若设原计划每天生产x个，由题意可列方程为____________．二、选择题21．下列运算正确的是（）A．x10÷x5=x2；B．x-4·x=x-3；C．x3·x2=x6；D．（2x-2）-3=-8x622．如果m个人完成一项工作需要d天，则（m+n）个人完成这项工作需要的天数为（）A．d+n B．d-n C．mdm n+D．dm n+23．化简a ba b a b--+等于（）A．2222a ba b+-B．222()a ba b+-C．2222a ba b-+D．222()a ba b+-24．若分式2242xx x---的值为零，则x的值是（）A．2或-2 B．2 C．-2 D．425．不改变分式52223x yx y-+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（）A．2154x yx y-+B．4523x yx y-+C．61542x yx y-+D．121546x yx y-+26．分式：①22 3a a ++，②22a ba b--，③412()aa b-，④12x-中，最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个27．计算4222x x xx x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的结果是（）A ．12x + B ．-12x + C ．-1 D ．128．若关于x 的方程x a cb x d-=- 有解，则必须满足条件（ ）A ．c ≠dB ．c ≠-dC ．bc ≠-adD ．a ≠b29．若关于x 的方程ax =3x -5有负数解，则a 的取值范围是（ ）A ．a <3B ．a >3C ．a ≥3D ．a ≤330．一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要（ ）小时．A ．11a b + B ．1ab C ．1a b + D ．aba b+ 三、解答题31．23651x x x x x+----； 32．2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+．33．11322x x x--=---．34．先化简，再求值：)12(122+-÷++x x x x x ，其中，2=x ．35．已知：bab a bab a b a -+--=-22,211求的值．36．若0136422=++-+y x y x ，求y x -的值．37．阅读下列材料：∵11111323⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭， 111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭， 111157257⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭， ……1111171921719⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，∴11111335571719++++⨯⨯⨯⨯L L =11111111111(1)()()()2323525721719-+-+-++-L=11111111(1)2335571719-+-+-++-L=119(1)21919-=．解答下列问题： （1）在和式111133557+++⨯⨯⨯L L 中，第6项为______，第n 项是__________． （2）上述求和的想法是通过逆用________法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以_______，从而达到求和的目的． （3）受此启发，请你解下面的方程：1113(3)(3)(6)(6)(9)218x x x x x x x ++=++++++．38．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天， 再由两队合作2天就完成全部工程，已知甲队与乙队的工作效率之比是3：2，求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?39．5.12汶川大地震给我们国家造成巨大损失，有许多人投入了抗震救灾战斗之中，身为医护人员的小刚的父母也投身其中．如图16-1，小刚家、王老师家，学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0．5千米．由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小刚上学．已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?学校王老师家小刚家40．把金属铜和氧化铜的混合物2克装入试管中，在不断通入氢气的情况下加热试管，待反应不再发生后，停止加热，待冷却后称量，得到1．8克固体物质．请你求一下原混合物中金属铜有多少克?参考解析一、填空题图16-11．x =-2a 且a ≠-83 （点拨：使分式为零的条件是20340x a x +=⎧⎨-≠⎩ ，即23402a x a ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩，也就是283a x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩）2． x ≠2且x ≠-1，x =-23． 2xy =22(4)2axy ax y； 322()x xy x y --=()x x y x y +- 4．()aA m m a -（点拨：按原计划每天播种Am公倾，实际每天播种A m a - 公倾，故每天比原计划多播种的公倾数是()()()A A mA A m a aA m a m m m a m m a ---==---．结果中易错填了AA m a m ⎛⎫-⎪-⎝⎭的非最简形式） 5．x ≥-12且x ≠12，x ≠3 （点拨：根据二次根式，分式和负整数指数幂有意义的条件得不等式组21012030x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得12123x x x ⎧≥-⎪⎪⎪≠⎨⎪≠⎪⎪⎩）6．-2 （点拨：原式=1+2-5÷1=3-5=-2） 7．12u s s u +-（点拨：等式两边都乘以（t-1），u （t-1）=s 1-s 2 ，ut-u=s 1-s 2，ut=u+s 1-s 2，∵u≠0， ∴t=12u s s u+-．本题是利用方程思想变形等式，要注意“未知数”的系数不能为0）8．-3（点拨：方程两边都乘以公分母（x -3），得：x =2（x -3）-m ①，由x -3=0，得x =3，把x =3代入①，得m =-3．所以，当m =-3时，原方程有增根．点拨： 此类问题可按如下步骤进行：①确定增根；②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值） 9．1．25×10-8 （点拨：∵1吨=103千克=103×103克=103×103×103毫克= 109毫克，∴1毫克=10-9吨，∴12．5毫克=12．5×10-9吨=1．25×10×10-9吨=1．25×10- 8吨） 10．2y 2-13y -20=0 （点拨：分式方程可变为2（x 2+3x ）-2203x x+=13，用y 代替x 2+3x ，得2y -20y =13，两边都乘以y 并移项得2y 2-13y -20=0）11．x +y （点拨：原式=222222()()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+⋅-=-==++-----） 12．x =22a b a b +-； 13． x <0 14．约分：34522748a bx a b x =32916x a b ；22923a a a ---=31a a ++15．x ≠52且x ≠-2 16． x <32 17． x =2 18． 15 19． x ＝1m m + 20．3015265x x +=+ 或26（x +5）-30x =15（点拨：原计划生产30x 个，实际生产（30x +15） 个， 实际生产的个数亦可表示为26（x +5），所以实际生产个数÷实际生产效率=实际生产时间，即30155x x ++=26，或用实际生产个数-原计划生产个数= 实际比原计划多生产的个数，即26（x +5）-30x =15） 二、选择题21．B （点拨：x -4·x =x -4+1=x -3．x 的指数是1，易错看成0；A 错在将指数相除了；C 错在将指数相乘了；D 中，2332361(2)2()8x x x -----=⋅=-）22．C （点拨：m 个人一天完成全部工作的1d，则一个人一天完成全部工作的1md ，（m +n ） 个人一天完成1md ·（m +n ）=m n md +，所以（m +n ）个人完成全部工作需要的天数是1md m n m n md=++） 23．A （点拨：原式=2222()()()()()()a a b b a b a b a b a b a b a b a b +-+-=-++--）24．C （点拨：由x 2-4=0，得x =±2．当x =2时，x 2-x -2=22-2-2=0，故x =2不合题意；当x =-2时，x 2-x -2=（-2）2-（-2）-2=4≠0，所以x =-2时分式的值为0） 25．D （点拨：分式的分子和分母乘以6，原式=121546x yx y-+．易错选了A ，因为在分子和分母都乘以6时， 原本系数是整数的项容易漏乘，应特别注意） 26．B （点拨：②中22()()a b a b a b a b a b --=-+-有公因式（a -b ）；③中4412()43()a aa b a b ⨯=-⨯- 有公约数4，故②和③不是最简分式） 27．B （点拨：原式=(2)(2)4421(2)(2)2(2)(2)42x x x x x x x x x x x x x x +---÷=⨯=--+--++）28．B （点拨：方程两边都乘以d （b -x ），得d （x -a ）=c （b -x ），∴dx -da =cb -cx ，（d +c ）x =cb +da ，∴当d +c ≠0，即c ≠-d 时，原方程有解）29．B （点拨：移项，得ax -3x =-5，∴（a -3）x =-5，∴x =53a --，∵53a --<0，∴a -3>0，a >3．解分式不等式应根据有理数除法的负号法则，即0ab >，则有00a b >⎧⎨>⎩或00a b <⎧⎨<⎩；若0ab <， 则有00a b >⎧⎨<⎩ 或00a b <⎧⎨>⎩，然后通过解不等式或不等式组得到相关字母的取值范围） 30．D （点拨：甲和乙的工作效率分别是1a ，1b ，合作的工作效率是1a +1b，所以，合作完成需要的时间是1111abb a a b a bab==+++） 三、解答题31 解析：原式=3653(1)651(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x +-++-=+------ =3365888(1)(1)x x x x x x x x x-+---==--．点评：①学习了解分式方程之后，在进行分式的化简计算时， 易错将本该通分的运算变成了去分母；②进行分式的化简计算应进行到最简分式为止，本题还易错将88(1)x x x --当成最后结果．32．解析：原式=242222222()()()()xy x y x y x y x y x y x y x +-⨯-++-=2222()()()()()()()()()xy x y xy x y xy y x xyx y x y x y x y x y x y x y x y x y---===--+-+-+-++．点评：熟练而准确的因式分解是进行分式化简的重要保证，分式的加、减、乘、除混合运算易出现运算顺序方面的错误．33．解析：原方程可变形为11322x x x -+=---．方程两边都乘以最简公分母（x -2），得1+1-x =-3（x -2），解这个整式方程， 得x =2，把x =2代入公分母，x -2=2-2=0，x =2是原方程的增根，所以，原方程无实数解． 点评：验根是解分式方程的易忽略点． 34．1-x x，22+ 35．5 36．5,3,2=--==y x y x 37．（1）11,1113(21)(21)n n ⨯-+．（2）分式减法，对消（3）解析：将分式方程变形为111111333366218x x x x x x ⎛⎫-+-+=⎪+++++⎝⎭ 整理得11992(9)x x x -=++，方程两边都乘以2x （x +9），得2（x +9）-2x =9x ，解得x =2． 经检验，x =2是原分式方程的根．点评：此方程若用常规方法来解，显然很难， 这种先拆分分式化简后再解分式方程的方法不失是一种技巧． 38．解析：设甲队单独完成此项工程需2x 天，则乙队需要3x 天，由题意，得11121332x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 解之得x =2，经检验，x =2是所列分式方程的根．∴2x =2×2=4，3x =3×2=6．答：甲队单独完成需4天，乙队需6天．点拨：①本题使用了“参数法”， 当题目中出现两个量的比值时，使用这一方法比较简便；②因为效率与时间成反比， 所以本题易错设为：“甲单独完成需3x 天，乙需2x 天”；③验根极易被忽略．39．解析：设王老师步行的速度是x 千米/时，则骑自行车的速度是3x 千米/时， 20分钟=13小时，由题意，得60.50.5133x x +-=，解得x =5．经检验x =5是所列方程的根，∴3x =3×5=15（千米/时）．答：王老师步行的速度是5千米/时，骑自行车的速度是15千米/时．点评：①王老师骑自行车接小刚所走路程易错以为是（3+0．5）千米． ②行程问题中的单位不统一是个易忽略点． 40．解析：根据题意写出化学反应方程式： 22U U C O H C H O +∆+80 64设原混合物中金属铜有x 克，则含有氧化铜（2-x ）克结果中新生成氧化铜（1．8-x ）克，由题意，列方程为：80642 1.8x x=--，解得x =1．经检验x =1是所列方程的根．答：原混合物中金属铜有1克． 点评：这是一道数字与化学学科的综合题，本题既考查了化学反应的生成和对元素式量的记忆，也考查了学生利用列分式方程解决问题的能力，这是今后中考命题的趋势，意在考查学生学科间知识的综合应用水平．试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．1．会笔记 上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．2．会比较 在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．3．会质疑 “学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．4．会分析 一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1．认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．2．认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．。

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式及应用（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感．2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．【题型1：分式方程及其解法】【典例1】（2023•凉山州）解方程：＝．【答案】x＝2．【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，去括号得：x2﹣x＝2，移项得：x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，将x＝2代入原方程，原方程左右相等，∴x＝2是原方程的解．将x＝﹣1代入，使分母为0，∴x＝﹣1是原方程的增根，∴原方程的解为：x＝21．（2023•山西）解方程：．【答案】x＝．【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），∴原方程可化为：2+2x﹣2＝3．∴x＝．检验：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．∴原方程的解为x＝．2．（2023•陕西）解方程：．【答案】x＝﹣．【解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，移项，合并同类项得：﹣15x＝25，解得：x＝﹣，经检验，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解为：x＝﹣．3．（2022•眉山）解方程：＝．【答案】x＝4．【解答】解：＝，方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解这个整式方程得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．4．（2022•西宁）解方程：﹣＝0．【答案】x＝7．【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括号得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移项，合并同类项得：x＝7．检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．【题型2：分式方程的应用】【典例2】（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】（1）每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，由题意得：，解得：x＝90，当x＝90时，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，由题意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．1．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】200个摆件．【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．2．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？【答案】（1）B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）116个．【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个，根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整数a最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个3．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6种购买方案；（3）m＝5．【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，根据题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，根据题意得：，解得：275≤y≤280，又∵y为正整数，∴y可以为275，276，277，278，279，280，∴共有6种购买方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴w的值与y值无关，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值为5．4．（2023•泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）10元；（2）该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据题意，得，解得x＝10或x＝﹣12（舍去），经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，解得m≤300，w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，∵2＞0，∴w随着m增大而增大，当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．【题型3：与分式方程的解有关的问题】【典例3】（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故选：C1．（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＞﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移项，合并同类项得：x＝m+1，∵原分式方程的解是负数，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故选：D．2．（2023•淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【答案】B【解答】解：将x＝1代入方程，得：﹣＝3，解得：m＝2．故选：B．3．（2023•巴中）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），由题意得：x＝2是该整式方程的解，∴2+m﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．1．（2023秋•乐亭县期中）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3xC．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，故选：B．2．（2023秋•株洲期中）分式方程的解是（）A．x＝﹣9B．x＝﹣6C．x＝5D．x＝﹣2【答案】A【解答】解：原方程去分母得：7（x+3）＝2（2x﹣3），去括号得：7x+21＝4x﹣6，移项，合并同类项得：3x＝﹣27，系数化为1得：x＝﹣9，经检验，x＝﹣9是分式方程的解，故选：A．3．（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程无解，则n＝（）A．﹣1B．0C．1D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同类项、系数化为1，得，由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故选：A．4．（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：＝+240，故选：A．5．（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程有增根，则a的值为（）A．4B．5C．6D．﹣5【答案】D【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故选：D．6．（2024•辽宁模拟）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个整式是（）A．x B．x﹣1C．x（x+1）D．x（x﹣1）【答案】D【解答】解：将两边同时乘以x（x﹣1）即可得到一个一元一次方程，故选：D．7．（2022秋•五常市期末）若关于x的方程无解，则m的值为0或4．【答案】0或4．【解答】解：，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，可分为以下两种情况：①分式方程没有意义时，x＝0或﹣，此时m＝0，②整式不成立时，4﹣m＝0，∴m＝4，故答案为：0或4．8．（2023秋•新田县期中）甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要10分钟可以注满全池．【答案】10．【解答】解：设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟．根据题意得：，三式相加得：2（）＝，∴＝，则四管齐开，需要10分钟可以注满全池．故答案为：10．9．（2023秋•岱岳区期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．10．（2023秋•平南县期中）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个．（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？【答案】（1）50元；（2）1700元．【解答】解：（1）设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据题意得：，解得：x＝50，经检验：x＝50是方程的解，且符合题意，答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元；（2）70×（）﹣3000×2＝1700（元），答：该商店两次购进吉祥物的总利润为1700元．11．（2023秋•南县期中）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元，根据题意得：＝3×，解得：x＝80，经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意．答：第一批头盔进货单价为80元．12．（2023秋•兴宾区期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原计划每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务．（1）求原计划每天制作多少件冰墩墩？（2）该公司原计划每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原计划增长了20%，完成任务后，该公司实际支付的工资与原计划相比多还是少？多或者少的具体数额是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设原计划每天制作x件冰墩墩，则实际每天制作1.5x件冰墩墩，根据题意得：﹣＝10，解得：x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每天制作500件冰墩墩；（2）完成任务后，该公司原计划支付的工资总额为1000×＝1000×30＝30000（元）；该公司实际支付的工资总额为1000×（1+20%）×＝1200×20＝24000（元）．∵24000＜30000，30000﹣24000＝6000（元），∴公司实际支付的工资比原计划少了，少了6000元．答：该公司实际比原计划少支付工资6000元．1．（2023秋•大渡口区校级期中）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣4．2．（2023秋•祁阳县期中）a为何值时，关于x的方程+＝无解？【答案】见试题解答内容【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），整理得：（a﹣1）x＝﹣10，（i）当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解；（ii）当a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，当x＝2时，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4；当x＝﹣2时，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，即当a＝1，﹣4或6时原方程无解．（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．3．（2023•新化县模拟）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的20倍．若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时．（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件．该厂调配了2台检测机和30名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设一名检测员每小时检测零件x个，由题意得：﹣＝3，解得：x＝5，经检验：x＝5是分式方程的解，20x＝20×5＝100，答：一台零件检测机每小时检测零件100个；（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，由题意得：（2×100+30×5）×7+100a×（7﹣3）≥3450，解得：a≥2.5，∵a为正整数，∴a的最小值为3，答：该厂至少再调配3台检测机才能完成任务．4．（2022秋•代县期末）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西省委决定修建“太忻大道”，现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？【答案】（1）乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；（2）乙队至少施工18天才能完成该项工程．【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工90天完成该项工程，根据题意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，检验得：x＝30是原方程的根，答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．5.（2023•兴庆区校级模拟）宁夏中宁县素有“枸杞之乡”的美誉，某商场从中宁县枸杞批发市场购进甲、乙两种不同价位的枸杞，甲种枸杞共用了2000元，乙种枸杞共用了2400元．已知乙种枸杞每千克进价比甲种枸杞每千克进价多8元，且购进的甲、乙两种枸杞的数量相同．（1）求甲、乙两种枸杞每千克的进价．（2）该商场将购进的甲、乙两种枸杞进行销售，甲种枸杞的销售单价为60元，乙种枸杞的销售单价为88元．销售过程中发现甲种枸杞销量不好，商场决定：甲种枸杞销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种枸杞销售单价不变，要使两种枸杞全部售完共获利不少于2460元，问甲种枸杞按原销售单价至少销售多少千克？【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）20件．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，＝，解得x＝40．经检验，x＝40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则，（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．6．（2022•南岗区校级一模）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：这所中学今年至少要购买140本文学书．7．（2022春•大观区校级期末）已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．【答案】（1）x＝；（2）或b＝5；（3）b可取3、29、55、185这四个数．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程中，得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，检验：把x＝代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．答：分式方程的解是x＝．（2）把a＝1代入分式方程得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；②当11﹣2b≠0时，，时，分式方程无解，即，b不存在；x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．综上所述，或b＝5时，分式方程无解．（3）把a＝3b代入分式方程中，得：方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，∵，且b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．对应地，b只可以取3、29、55、185，所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．8．（2022春•宁波期末）我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．应用上面的结论解答下列问题：（1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．（3）若关于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．【答案】（1）﹣2：﹣3（2）﹣（3）﹣【解答】解：（1）x+＝﹣5可化为x+＝（﹣2）+（﹣3），∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∴+＝＝＝＝﹣．（3）原方程变为x﹣2﹣＝﹣k﹣3，∴x﹣2+＝k+（﹣2k﹣3）∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3，∴＝＝﹣．1．（2023•海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝6B．x＝﹣6C．x＝5D．x＝﹣5【答案】A【解答】解：去分母，得1＝x﹣5，移项，得﹣x＝﹣5﹣1，合并同类项，得﹣x＝﹣6，系数化为1，得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，∴方程的解是x＝6．故选：A．2．（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1+3＝3x（1﹣x）B．1+3（x﹣1）＝﹣3xC．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．故选：B．3．（2023•淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：，故选：D．5．（2023•日照）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜C．m＞﹣且m≠0D．m＜且m≠【答案】D【解答】解：﹣2＝，去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，整理得，2x﹣4x+4＝3m，解得，x＝，∵分式方程的解为正数，∴4﹣3m＞0且，∴m＜且m≠．故选：D．6．（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为13．【答案】13．【解答】解：解不等式组，得：，∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，∴﹣≥﹣2，∴a≤5，解分式方程+＝2，得y＝，∵y＞0且y≠1，∴＞0且≠1，∴a＞﹣2且a≠1，∴﹣2＜a≤5，且a≠1，∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．故答案为：13．7．（2023•广西）解分式方程：．【答案】见试题解答内容【解答】解：，方程两边同乘x（x﹣1）得：2x＝x﹣1，移项解得：x＝﹣1．将x＝﹣1代入x（x﹣1）≠0，∴x＝﹣1是原分式方程的解．8．（2023•连云港）解方程＝﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2），去括号得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6，移项得：2x﹣3x+3x＝5﹣3+6，合并同类项得：2x＝8，把x的系数化为1得：x＝4，检验：把x＝4代入最简公分母x﹣2＝4﹣2＝2≠0，故原分式方程的解为：x＝4．9．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A 种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）本次购买最少花费2250元．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：＝+3，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，∴m≤100﹣m，解得m≤50，设本次购买花费w元，∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，∵﹣9＜0，∴w随m的增大而减小，∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），答：本次购买最少花费2250元．。

分式中的特殊运算一、分式的混合运算 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

归纳： ①运算过程中，要注意运算顺序，在没括号的情况下，按从左向右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减。

有括号的要先算小括号，再算中括号，最后算大括号的顺序运算； ②分子或分母的系数是负数时，要把“-”转化为分式本身的符号； ③在解题过程中，要掌握“1”的使用技巧，“1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。

二、分式运算中常用的方法 分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果。

1. 改变“运算符号” 对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式分母的运算符号提出来，变成同分母分式进行相加减即可。

如： x  1  x  1  x 1  1 x 1 1 x x 1 x 1 x 12. 拆分法 有些分式的分母具有一定的规律，我们可以把它拆分成两个分式相减的形式，用来简化运算。

如： 1  1  1 a(a 1) a a 13. 换元法 对于有些分式的分子和分母都含有多项式，并且这些多项式大多相同，这时我们可以把每一个多项式看成一个整体，用一个简单的字母来代替它进行运算，起到简化运算的效果，最后不要忘记再替换过来。

4. 因式分解法 对有些分式的分母是多项式时，直接运算会很繁琐，通常为了简化运算，我们可以把这些多项式进行因式分解，找出规律约分，起到简化运算的效果。

如：(a1  b)2(a1  b)2=( a1 ba1 )( b a1 ba1) b总之，分式运算方法有多种，在分式的实际运算中，我们要认真观察，反复思考，不断地归纳，寻找规律，以便能准确迅速计算出结果。

例题 1计算b3 a3b2 a2a2 b2a3 b33( b a2 a b)b2 a2b aa ba2 b22解析：本题我们如果直接去计算，计算量是很大的。

分式培优训练含答案专训一：分式求值的方法分式的求值是数学方法运用的考查，既要突出式子的化简计算，又要灵活选用方法。

常见的分式求值方法有设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等。

直接代入法求值需要先化简，再代入参数求值，例如题目a＋2a÷(a＋1)(a－1)+2/(a－1)，其中a＝5.活用公式求值需要熟悉公式，例如题目x2－5x＋1＝(x2＋3xy＋y2)/(2xy)，求x4＋(x4)/(x2＋3xy＋y2)的值。

整体代入法求值需要将分式整体代入，/(x2y2z2)+4/(x+y+z)＝1，且x＋y＋z≠0，求(x+y)/(z+x)+y/(z+y)的值。

巧变形法求值需要巧妙变形，例如题目4x2－4x＋1＝1/(2x)，求2x＋(2x)/(4x2－4x＋1)的值。

设参数求值需要设定参数，例如题目x2－y2＋/(xy＋yz＋xz)＝2/3，y＋z/x＋z＋x＋y＝4/3，求x/y的值。

专训二：六种常见的高频考点本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现。

分式方程是中考必考内容之一，一般考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题。

考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。

分式的概念是指由两个整式相除得到的表达式，分式有意义的条件是分母不能为0.选择题和填空题常考查分式的有、无意义条件。

分式的基本性质包括分式的加减乘除和约分，考试中常以选择题和填空题的形式出现。

1.4x^2 - 2x + 12.分式的有关运算3.下列运算中，正确的个数是(2)4.m^4n^4m^2/n^3 = mnx-y/11 ÷(y-x)/22 = -2mn/(m-n) = n/(m-n)a-b)/(a-2) = 1/25.a-21/2 + 34/a-16.10.计算：(a+1)/(a-2) ÷ 1/(a-1) 的结果是 (B) a-1/a+111.计算：-1/(a+2) + 2/(a^2+2a+2) = -a^2+1/a^2+2a+212.化简：1/(m+1) - 1/(m+2) = -1/(m^2+3m+2)13.(1) (2a^2+2a)/(a-1)^2 + (a-4a^4)/(a-1+a) = (2a^2-2a)/(a-1)2) x^2+2x(1-1/x)/(x-1) = (x+1)/(x-1)选x=3，原式的值为 10/314.先化简：(x^2-1)/(x-1) = x+1整数指数幂15.下列计算正确的是 (B) x^2/x^6 = x^-416.下列说法正确的是 (A) -1/2 + 2 = 3/217.计算(π-3) + (-2)^3 = -1+8 = 718.由2×10^5个直径为5×10^-5cm的圆球体细胞排成的细胞链的长是 5cm19.分式方程 (x+2a)/(x-13) = x-3/(x-3)20.若关于x的方程 (x-1)/(x-2) = 1/a+1 的解为x=3，则a 等于 (C) -221.解分式方程：(x-2)/(x-1) + 1/(x-2) = 1/x，得到 x=322.2x+1/x-3 = 1，得到 x=11.解：原式 = [a/(a+1) + 2/(a-1) - 12/(a+1)(a-1)]，化简后得到 (3a+1)/(a+1)，再代入a=5，得到原式的值为 2/3.2.解：由 x^2 - 5x + 1 = 0，解出x = (5 + √21)/2，代入 x + 1/x = 5，得到 x^2 + 1/x^2 = 23，代入原式，化简得到 (x^2 + 3)/(x^4 + 1) - 2 = 527/4.3.解：将分子化简得到 xy(x+y)/(x+y)^3，代入 x+y=12，xy=9，得到原式的值为 1/8.4.解：将等式两边同时乘以 (x+y+z)，化简得到(xy+yz+zx)/(xyz) + 1 = (x+y+z)/(x+y)(y+z)(z+x)，代入已知条件，化简得到 (x+y+z)/(xy+yz+zx) = 0，所以原式的值为 0.5.解：将等式移项得到 4x^2 - 4x + 1 = 0，化简得到 (2x-1)^2 = 0，解得 x = 1/2，代入原式得到 2.6.解：设k ≠ 0，代入已知条件，解出 x = 2k，y = 3k，z = 4k，代入原式化简得到 2.1.B2.A3.A4.B2.(答案不唯一) a+1/(x+y+z) + y(x+y+z)/(z+x) =(a(x+y+z)+y(x+y+z))/(z+x) = (ax+ay+yz+y^2+z^2)/(z+x)3.26.D4.删除此段落5.解：(1) 原式 = (a+2)(a-2)a+2/[(a-2)(2a-2)] = (a+2)/2(a-2) - 1/(a-2) = (a^2-2)/2(a-2) = -3/2 (a=0) (2) 原式 = (x-11)/[(x-1)(2x-1)] = -1/(2x-1) + 3/(x-1) = (4x-3)/(2x-1)(x-1)6.删除此段落7.解：(1) 最简公分母是15m^2n^2.840n/39m * 2/5mn^2 = -8/13m^2n (2) 最简公分母是(a+1)^2(a-1)。

数学分数的四则运算试题答案及解析1.（2013•华亭县模拟）甲车比乙车多运，甲车运的是乙车的倍，乙车比甲车少运，乙车运的是甲车的分之．【答案】，四，三【解析】（1）把乙车运的量看成单位“1”，那么甲车就是乙车的（1+）倍；（2）把甲车运的量看成单位“1”，那么乙车就是甲车的（1﹣）．解：（1）1+=；（2）1﹣=；故答案为：，四，三．点评：本题每一个小题的条件和问题的单位“1”相同，直接用加减法求解即可．2.比多的数是（）A. B. C.【答案】B【解析】根据题意，要求比多的数是多少，用+即可．解：+=．答：比多的数是．故选：B．点评：求比一个数多几的数是多少，用这个数加上多的几即可．3.五一班的男生比五二班的男生多，则五一班的男生是五二班男生的（）A．B．C．D．不确定【答案】B【解析】把五二班的男生人数看成单位“1”，那么五一班的男生人数就是（1+），由此求解．解：1+=；答：五一班的男生是五二班男生的．故选：B．点评：关键是分析出单位“1”，本题的单位“1”都是五二班的男生人数，所以运用加法求解．4.把结果小于的算式后面的“☆”涂成你喜欢的颜色．☆☆☆☆☆☆☆☆【答案】=，=，=，=，=，【解析】异分母分数相加减，先通分，变成同分母的分数相加减，再计算，由此计算即可求解，再找出运算结果比小的即可．解：=，=，=，=，=，=，=，=，．点评：本题考查了分数加减法的计算方法，以及分数比较大小的方法．5.计算：（1）（2）（3）．【答案】5.36；1.5；1【解析】把分数化成小数或把小数化成分数，然后再进行计算．解：（1），=4.125+1.235，=5.36；（2），=1.75﹣0.25，=1.5；（3），=3﹣2，=1．点评：主要是先化成同一种数，然后再进行计算．6.看“分数墙”列式计算【答案】【解析】根据题意，从左向右是10个，即，从右向左是8个，即，然后再相加即可．解：+==．点评：同分母分数相加，分母不变，只把分子相加．7.口算．50×4+60= 30×5+9= 6×60+50= 10×3+80=90×3+15= 8×80+9= = == = = =【答案】260，159，410，110，285，649，，，，1，，【解析】乘加的混合运算，先算乘法，再算加法；同分母分数相加减，分母不变，分子相加减即可．解：50×4+60=260， 30×5+9=159， 6×60+50=410， 10×3+80=110，290×3+15=285， 8×80+9=649，=，=，=，=1，=，=．点评：一个算式里，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算．8.直接写出得数．+= 0.5+1.9= 7.3﹣3.6= 30×23=70×80= 460÷2= ﹣= 15÷3+15=380÷2= 0÷12= 24×50= 45﹣5×4=45×40= 67÷9= 8.7﹣7.8= 193×0+3=【答案】；2.4；3.7；690；5600；230；0；20；190；0；1200；25；1800；7…4；0.9；3【解析】根据整数、小数、分数四则运算的计算法则直接进行口算即可．解：直接写出得数．+=； 0.5+1.9=2.4； 7.3﹣3.6=3.7； 30×23=690；70×80=5600； 460÷2=230；﹣=0； 15÷3+15=20；380÷2=190； 0÷12=0； 24×50=1200； 45﹣5×4=25；45×40=1800；67÷9=7…4； 8.7﹣7.8=0.9； 193×0+3=3．点评：此题考查的目的是使学生牢固掌握整数、小数、分数四则运算的计算法则，并且能够正确迅速地进行口算，提高口算能力．9.直接写出得数．+= ﹣= 1﹣= += ﹣=+= ﹣= 2﹣= ++= 1﹣﹣=【答案】，，，，，，，1，，【解析】我们运用分数的加减法的计算法则进行计算即可，注意数的结果化成最简分数.解：+=，﹣=， 1﹣=，+=，﹣=，+=，﹣=， 2﹣=1，++=， 1﹣﹣=.点评：本题运用分数加减法的就是法则进行计算即可．10.口算．42+129= 45×0.8= 6.6﹣5= 3.14×100== = 43= 1÷0.5=【答案】171，36，1.6，314，，27，64，2【解析】我们运用整数，小数，分数，乘方的有关内容进行解答即可．解：42+129=171， 45×0.8=36， 6.6﹣5=1.6， 3.14×100=314，=，=27， 43=64， 1÷0.5=2.点评：考查了学生的计算能力及口算的技巧．11.直接写出得数.+= ﹣= 1﹣= 3﹣=﹣= 2﹣（﹣）= 1﹣﹣= +﹣=【答案】，，，2，﹣，1，0，【解析】根据分数加减法的计算方法进行计算即可；1﹣﹣=1﹣（+）．解：+=，﹣=， 1﹣=， 3﹣=2，﹣=﹣， 2﹣（﹣）=1， 1﹣﹣=0，+﹣=．点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步解答即可．12.口算：25×40= 42×3= 9.47﹣5.2= 2.9+1.5=50×20= 32×40= 90×20= 23×50=+= ﹣= 1﹣= ﹣=【答案】1000；126；4.27；4.4；1000；1280；1800；1150；1；0；；【解析】根据整数、小数四则运算的计算法则和同分母分数的加、减法的计算法则，进行口算．解：25×40=1000； 42×3=126； 9.47﹣5.2=4.27； 2.9+1.5=4.4；50×20=1000； 32×40=1280； 90×20=1800； 23×50=1150；+=1；﹣=0； 1﹣=；﹣=．点评：此题主要考查整数、小数、分数四则运算的口算，根据整数、小数、分数四则运算的计算法则，直接进行口算．13.直接写出得数：327+173= 623﹣239= 384×0= 49÷5= 305×2=803×9≈201×7≈ 1﹣﹣= += ﹣=【答案】500,384,0,9…4,610,7200,1400，，1，【解析】①按照整数加法计算法则计算；②按照整数减法法则计算；③0乘任何数都得0；④按照整数除法法则计算；⑤按照整数乘法法则计算；⑥将803看成800，再根据整数乘法法则计算；⑦将201看成200，再按照整数乘法法则计算⑧根据分数减法法则计算；⑨根据分数加法法则计算，将结果化成最简；⑩根据分数减法法则计算，将结果化成最简；据此解答即可．解：①327+173=500；②623﹣239=384；③384×0=0；④49÷5=9…4；⑤305×2=610；⑥803×9≈7200；⑦201×7≈1400；⑧1﹣﹣=；⑨+=1；⑩﹣=．点评：解决本题要细心计算．14.能简算的要简算．．【答案】1；；1；；2；；2；；；1【解析】（1）运用加法交换律简算；（2）（3）（6）根据减法的性质简算；（4）（8）按照从左到右的顺序计算；（5）（10）运用加法交换律和结合律简算；（7）先算小括号里面的减法，再算括号外的减法；（9）先去括号，再按照从左到右的顺序计算．解：（1），=++，=1+，=1；（2），=﹣﹣，=﹣，=；（3），=2﹣（+），=2﹣1，=1；（4），=﹣，=；（5），=（+）+（+），=1+1，=2；（6），=1﹣（+），=1﹣1，=；（7），=3﹣，=2；（8），=﹣，=；（9），=﹣+，=+，=；（10），=（+）+（﹣），=1+，=1．点评：本题考查了基本的分数的加减混合运算，要注意分析数据，选择合适的简算方法简算．15.口算．24×75%= 5.2÷1.3= =×= 3÷= 3.1﹣0.3=0.92= 4.2+÷0.5= ==【答案】18，4，，，4，2.8，0.81，5.2，1，【解析】根据小数和分数加减乘除的计算方法进行计算．、根据加法交换律进行简算．解：24×75%=18， 5.2÷1.3=4，=，×=， 3÷=4， 3.1﹣0.3=2.8，0.92=0.81， 4.2+÷0.5=5.2，=1，=．点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．16.﹣=．（判断对错）【答案】×【解析】计算﹣，先通分，再按照同分母分数减法的计算方法进行计算，然后再进一步解答．解：﹣，=﹣，=．故答案为：×．点评：异分母分数相减，先通分，化成同分母分数，然后再根据同分母分数减法的计算方法进行计算．17.×=×=×=+=﹣=1．【答案】，，2，，【解析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，分数的倒数，分子和分子交换位置；根据加减法之间的关系求出后面的两个空．解：的倒数是，的倒数是，2×=1，1﹣=，1+=；×=×=2×=+=﹣=1．故答案为：，，2，，．点评：本题主要考查了倒数的意义和加减法之间的关系．18.﹣=？属于分母减法，计算时，要先，把它们化成减法，再进行计算．【答案】异，通分，同分母【解析】﹣，被减数和减数的分母不同，属于异分母减法，由于分母不同，分数单位就不同，不能直接相减，所以在计算时，要先通分，把它们化成同分母减法，再进行计算．解：根据分析，可知﹣，属于异分母减法，计算时，要先通分，把它们化成同分母减法，再进行计算．故答案为：异，通分，同分母．点评：此题考查异分母分数加减法的计算法则，要注意：先通分转化成同分母加减法，再进行计算．19.分数加减法的意义和整数加减法的意义．【答案】相同【解析】根据分数加减法的意义与整数加减法的意义进行解答即可．解：分数加法的意义与整数加法的意义相同，都是把两个数或两个以上的数合成一个数的运算；分数减法的意义与整数减法的意义相同，都是已知两个数的和，和其中一个加数，求另一个加数的运算．所以，分数加减法的意义和整数加减法的意义相同．故答案为：相同．点评：本题主要考查分数加减法的意义与整数加减法的意义，然后再进一步解答即可．20.中含有个，再减去个，它的值是．【答案】13，9【解析】由于化为假分数为，所以1里面有13个；又=，所以再减去9个就是．解：由于1=，又1﹣=；所以中含有13个，再减去9个，它的值是．故答案为：13，9．点评：要想知道带分中含有几个分数单位，要先把这个带分数化为假分数．21.的是多少？【解析】要求的是多少，用乘法计算．解：×=；答：的是．点评：此题考查了“已知一个数，求它的几分之几是多少”的应用题，用乘法计算．22.直接写得数×60 × 1﹣××0 ×．【答案】×60=16 ×= 1﹣=×=1 ×0=0 ×=．【解析】①②④约分计算；③把1写成，再计算；⑤0乘任何数都得0；⑥分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母．点评：此题考查了约分计算、数字转化以及“0乘任何数都得0”这一知识点．23.直接写出得数（最后4题为估算）：×= 1﹣+= 0.6×= 5.2÷（1+0.3）=87×22≈724÷31≈816+991≈7.18×5.89≈【答案】，，0.2，4，1800，24，1800，42．【解析】×直接约分计算；1﹣+按照从左到右的顺序计算；0.6×直接用0.6和3约分求解；5.2÷（1+0.3）先算小括号里面的加法，再算括号外的除法；87×22≈90×20，由此计算；724÷31≈720÷30，由此计算；816+991≈800+1000，由此计算；7.18×5.89≈7×6，由此计算．解：×=， 1﹣+=， 0.6×=0.2， 5.2÷（1+0.3）=4，87×22≈1800，724÷31≈24，816+991≈1800，7.18×5.89≈42．点评：在估算时是把数字看成和它接近的整数，或者整十、整百、整千的数，然后再计算；注意除法的估算的原则是没有余数．24.直接写出得数．×40= ﹣= ×= 2×= 24×=×22= 18×= ×= ×= ×=【答案】①×40=36；②﹣=；③×=；④2×=；⑤24×=8；⑥×22=4；⑦18×=3；⑧×=；⑨×=；⑩×=．【解析】①③⑤⑥⑦⑧⑨⑩注意约分计算；②通分计算；④用整数与分子相乘的积做分子，分母不变．点评：此题考查了通过约分、通分等进行分数计算的能力．25.直接写得数×39= ×= 0.25×= （）2=1+= ﹣×= 7.69﹣2.6= 3﹣=【答案】×39=12；×=； 0.25×=0.15；（）2=；1+=；﹣×=； 7.69﹣2.6=5.09； 3﹣=1.5．【解析】根据分数四则混合运算的顺序和分数四则运算的计算法则直接进行口算即可．点评：此题考查的目的是牢固掌握分数四则混合运算顺序和分数四则运算的计算法则，并且能够正确迅速地进行口算．提高口算能力．26.直接写出得数．87﹣26= ×8= 1×32= 500÷25÷4= 0.2+0.83=×= 100×10%= 24÷= 12×（﹣）= ++=：（求比值）=【答案】87﹣26=61；×8=5； 1×32=9； 500÷25÷4=5； 0.2+0.83=1.03；×=； 100×10%=10； 24÷=64； 12×（﹣）=4；++=；：（求比值）=．【解析】根据整数、分数四则运算的计算法则直接进行口算，其中500÷25÷4，根据除法的运算性质进行简算；12×（﹣），运用乘法分配律进行简算；点评：此题考查的目的是牢固掌握整数、分数四则混合运算的顺序和它们的计算法则，能够灵活运用运算定律、运算性质进行简便计算．27.口算．44×= 3﹣= 2.1+3.4= 3.5÷1000= 136万+3.4万=÷= ﹣= 91÷×= 9π≈63.2÷8.1≈【答案】44×=8； 3﹣=2； 2.1+3.4=5.5； 3.5÷1000=0.0035； 136万+3.4万=139.4万；÷=；﹣=； 91÷×=91；9π≈28；63.2÷8.1≈78．【解析】①约分计算；②把3化成分母为3的分数，再计算；③小数点对齐；④把3.5的小数点向左移动三位；⑤小数点对齐，同时注意不要忘记带单位名称；⑥把除法改为乘法，约分计算；⑦通分计算；⑧按运算顺序从左往右依次运算；⑨取π=3.14，计算后用四舍五入法保留整数；⑩计算后用四舍五入法保留整数．点评：此题考查了多方面的知识，根据题目特点，灵活解答．28.．【答案】13．【解析】把29改写成30﹣1，进而运用乘法分配律计算得解．解：，=×（30﹣1），=×，=14﹣，=13．点评：关键是把29改写成30﹣1，从而利用乘法分配律巧算得解．29.用你喜欢的方法计算．136× 2001×3.14+200.1×31.4+20.01×314﹣[（+）×] 333×334+999×2221.25×17.6+36.1÷0.8+2.63×12.5 ÷（+2.5×）【答案】（1）136×=（135+1）×，=135×+1×，=2+，=2；（2）2001×3.14+200.1×31.4+20.01×314=2001×3.14+2001×3.14+2001×3.14，=2001×3.14×3，=（2000+1）×9.42，=2000×9.42+1×9.42，=18840+9.42，=18849.42；（3）﹣[（+）×]=﹣[×]，=﹣，=；（4）333×334+999×222=333×334+333×（3×222），=333×334+333×666，=333×（334+666），=333×1000，=333000．（5）1.25×17.6+36.1÷0.8+2.63×12.5=1.25×17.6+36.1×1.25+26.3×1.25，=（17.6+36.1+26.3）×1.25，=80×1.25，=100；（6）÷（+2.5×）=1÷（+2），=÷，=．【解析】（1）可将136拆分为135+1后，根据乘法分配律计算；（2）可根据乘法算式的性质将题目中的乘法变为具有相同因数2001与3.14的算式后，再将2001拆分为2000+1进行计算；（3）（6）根据四则混合运算的运算顺序计算即可，先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里面的；（4）可将999拆分为333×3后再根据乘法结合律、分配律计算；（5）可将36.1÷0.8变为36.1×1.25后，将2.63×12.5变化26.3×1.25后再根据乘法分配律计算．点评：完成本题要细心分析题目中数据的特点及内在联系，然后运用合适的方法进行计算．30.（2010•儋州模拟）直接写出得数：2.2+3.5= 0.4×30= 8÷1.6=8.2十1.8= 4.43+5.57= 8.4÷0.6=3.5﹣1.5= 1.25×5×8= ==【答案】5.7，12，5，10，10，14，2，50，1，．【解析】根据小数、分数的加减乘除计算的方法进行计算，能简算的要简算．解：2.2+3.5=5.7， 0.4×30=12， 8÷1.6=5，8.2十1.8=10， 4.43+5.57=10， 8.4÷0.6=14，3.5﹣1.5=2， 1.25×5×8=50，=1，=．点评：计算时，要灵活运用所学的知识，快速准确的进行计算．31. 16××=【答案】12．【解析】本题运用乘法交换率、结合律进行简算即可．解：16××，=（16×）×（×9），=2×6，=12；点评：运算定律是常用的简算的方法，要记住所学运算定律的形式，并能灵活运用．32.因为×3和3×的计算结果相同，所以它们表示的意义也相同．．（判断对错）【答案】×．【解析】×3属于分数乘整数，表示求3个是多少；而3×属于一个数乘分数，表示求3的是多少；所以它们虽然计算结果相同，但是它们表示的意义却不相同．解：×3表示求3个是多少；3×表示求3的是多少；所以它们虽然计算结果相同，但是它们表示的意义却不相同．点评：此题考查分数乘整数的意义与一个数乘分数的意义不同，但计算方法相同，要注意区分，不能混淆．33.比4米多米是米，比4米多是米．【答案】4，5．【解析】求一个数比另一个数多多少用加法计算．求比比4米多是多少，就是4米的1+是多少．据此解答．解：4+=4（米），4×（1+）=5（米），点评：本题主要考查了学生根据加法的意义和分数乘法的意义列式解答问题的能力．34. 2米的和 4米的一样长．．（判断对错）【答案】√．【解析】首先分别求出2米的和4米的是多少，都用乘法；然后比较积的大小，即可得解．解：2×=1（米），4×=1（米），所以2米的和4米的一样长；点评：明白求一个数的几分之几是多少用乘法是解决此题的关键．35.一盒牛奶重千克，4盒牛奶重千克．【答案】．【解析】一盒牛奶重千克，要求4盒牛奶重多少千克，就是求4个是多少，列式为×4，计算即可．解：×4=（千克）；点评：此题考查了分数乘整数的意义，即求几个几分之几是多少．36.最小质数的是．．【答案】错误【解析】首先应知道最小的质数是2，因此2的是2×=，据此作出判断．解：2×=；点评：原题错误的原因在于认为1是最小的质数．37.两个数相乘，积不一定大于因数．．【答案】正确【解析】假设其中的一个因数为1，那么积就等于另一个因数；假设一个因数为0，那么积就是0；假设一个因数比1小，那么积就比另一个因数小．解：例如 1×2=2，0×3=0，0.2×4=0.8；点评：做此题时，应认真分析出可能出现的几种情况，然后与题目进行对比，得出结论．38. 1× 6×+6．【答案】＞，＜．【解析】可以通过比较1与1的大小作出判断；先计算左边式子的结果，再比较大小．解：因为1＞1，所以1×＞；因为6×+，=5+，=5，5＜6，所以6×+＜6．点评：根据题目中乘数或除数与1相比较的大小进行分析判断是完成本题的关键．39.已知线段AB=16cm，C点在直线AB上，AC=3BC，则BC的长为．【答案】4厘米或8厘米．【解析】根据题意，①把线段AB平均分成4份，AC占AB的，BC占AB的；②把线段AB平均分成2份，BC占AB的．再根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．解：①如图：16×=4（厘米）；②如图：16×=8（厘米），答：BC的长为4厘米或8厘米．点评：此题属于开放型题目，解答关键是把线段AB的长度看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义解答．40.任何数除以0都得0．．【答案】错误．【解析】判断此题根据除法是乘法的逆运算，分两种情况进行分析判断．解：根据0乘任何数都得0，当被除数=0时，0÷0=任何数，商是不确定的；当被除数≠0时，因为任何数乘以0都不可能等于一个不为0的数，所以商不存在，所以0做除数没有意义．点评：解答此题根据除法是乘法的逆运算进行判断0做除数无意义．41.×=（b、d都不等于0）．．【答案】√【解析】此题属于分数乘法运算，根据分数乘分数的法则即可判断．两个分数相乘，分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母．解：分数乘分数，分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母．因此×=（b、d都不等于0）是正确的．点评：正确掌握分数乘分数的法则是解答此题的关键．42.两个数相乘的积一定大于一个因数．．【答案】错误．【解析】当一个数乘1或0时，积就等于原数或0；积就会等于或小于被乘数．解：这种说法是错误的．当一个数乘1时，积就是原数；当一个数乘0时，积就为0．这两种情况说明，有些情况下积会等于或小于其中的一个因数．例如：10×1=10（等于），10×0=0（小于）点评：整数乘法的综合应用．43.（2011•广州模拟）1kg的铁块的比2kg的棉花的重．．【答案】×【解析】根据分数乘法的意义求出结果，即可比较出大小．解：1×=（千克），2×=（千克），这两样东西应该是一样重的，所以，原题的说法是错误的．点评：本题主要考查学生对于分数乘法的意义的理解，注意重量相等但体积不相等．44.比12吨少是吨，比吨多吨是12吨．【答案】9，11．【解析】（1）求比12吨少是多少吨，是把12吨看作单位“1”，也就是求12吨的1﹣是多少，根据分数乘法的意义，用12×（1﹣）计算得解；（2）求比多少吨多吨是12吨，也就是求比12吨少吨是多少，用减法计算．解：（1）12×（1﹣），=12×，=9（吨）；答：比12吨少是9吨．（2）12﹣=11（吨）；答：比 11吨多吨是12吨．点评：解决此题要明确两个的区别：第一个是分率，不能直接与具体的数量相加减；第二个吨是具体的数量，能直接与具体的数量相加减．45.（2011•兴化市模拟）7千克的铁的与1千克的海绵的，比较质量（）A．海绵重B．铁重C．一样重D．无法比较【答案】C．【解析】7千克的，是把7千克看成单位“1”，用乘法求出它的是多少千克；1千克的，是把1千克看成单位“1”，用乘法求出它的是多少千克；然后比较两个得数即可．解：7×=（千克），1×=（千克），所以7千克的铁的与1千克的海绵的一样重．点评：本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘法．46. 5个是，的是．【答案】、．【解析】根据乘法的意义可知，5个是×5；根据分数乘法的意义，的是×．解：×5=；×=．5个是，的是．点评：完成本题要注意整数乘分数与分数乘整数的意义是不同的．47. 3个是，9个是．【答案】，．【解析】要求3个、9个是多少，用乘法计算．解：×3=；×9=；答：3个是，9个是．点评：此题求的是几个几分之几是多少，用乘法计算．48. a÷=b÷，那么a一定小于b．．【答案】错误【解析】举特例a=0，b=0，即可作出判断．解：当a=b=0时，a÷=b÷=0．故答案为：错误．点评：考查了分数除法和分数大小的比较，本题举特殊数字0，即可求解．49.直接写得数．0.16+0.64=3﹣0.7=0.15×4=1.2÷0.3=1÷0.1=+=﹣=×=÷=12÷16=【答案】0.8，2.3，0.6，4，10，，，，，．【解析】根据小数和分数的四则混合运算的顺序来解答，本题较简单用口算即可．解：0.16+0.64=0.8，3﹣0.7=2.3，0.15×4=0.6，1.2÷0.3=4，1÷0.1=10，+=，﹣=，×=，÷=，12÷16=．点评：此题考查了按小数和分数的四则混合运算的顺序来计算．50.直接写出得数．0.4×0.02= 377÷2.9= 6.2+3.08=÷12= += 3÷1%=【答案】0.008，130，9.28，，，300【解析】（1）根据小数乘法的法则算出积即可；（2）根据小数除法的法则算出商即可；（3）根据小数加法的法则算出和即可；（4）、（6）根据分数除法的法则算出商即可；（5）根据分数加法的法则算出和即可解：（1）0.4×0.02=0.008，（2）377÷2.9=130，（3）6.2+3.08=9.28，（4）÷12=，（5）+=，（6）3÷1%=300．点评：本题是基本的计算题目，计算时要细心，注意运算符号和数的特点．51.直接写得数÷= ×= ﹣= ×1.4=12×= 24×= += 0÷=【答案】，，，，42，27，，0．【解析】本题根据分数加法、乘法、除法的运算法则计算即可．解：÷=，×=，﹣=，×1.4=，12×=42， 24×=27，+=， 0÷=0．点评：完成本题要细心，注意通分约分，结果化为最简分数．52.直接写出得数．×= 1÷0.9= ÷0.8= ×9÷×9=5.6÷= ×= 0÷= ×=【答案】；1；；81；7.2；；0；．【解析】根据小数、分数四则混合运算的顺序，按照分数加、减、乘、除法的计算法则，直接进行口算即可．解：直接写出得数．×=； 1÷0.9=1；÷0.8=；×9÷×9=81；5.6÷=7.2；×=； 0÷=0；×=．点评：此题考查的目的是理解掌握小数、分数四则混合运算的顺序以及它们的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力．53.直接写得数=====【答案】、、、、．【解析】（1）与（2）先把分母化为同分母的分数，再分母不变，分子相加减即可；（2）先约分，再分子和分子相乘做分子，分母和分母相乘做分母；（3）与（4）除以一个数等于乘这个数的倒数．解：=，=，==，=，故答案为：、、、、．点评：本题主要考查了分数的加减、乘除的计算方法．54. 1.8+0.5= 2.5﹣0.1= 4.8﹣0.2= 74+71=48+10= 24÷12= 68÷0.68= 94.7÷0.1=61.8÷0.6= 0.8×6.7= 3÷8= 0.12×3=32= 8.2﹣2.8= 3.5÷0.7= == = 5.3+0.5= 46+18=8.5﹣1.5= 69+10= 28.8+0.4= 40.5÷0.5=92.7÷0.3= 0.5×1.3= 16×0.5= 4.4+0.1=6.1﹣0.1= 3.3+0.6= 33.2÷0.4= 1÷0.25=1.5×4= 6.5+1.35= 1.3﹣1.2= == = 5.7﹣1.7= 0.35+0.75=0.2×1.1= 1.6÷0.4= 10÷4= 3.4÷0.2=52÷13= 57÷19= 3.7﹣0.8= 29+92=8.2+0.7= 6.5﹣5.6= 4.8÷0.3= 33=1.25×8= = = =2.1÷0.3=3.2×3= 2.8﹣1.8= 0.9×6.2=【答案】2.3，2.4，4.6，145，58，2，100，947，103，5.36，0.375，0.36，9，5.4，5，，，，5.6，64，7，79，29.2，81，309，0.65，8，4.5，6，3.9，83，4，6，7.85，0.1，，，，4，1.1，0.22，4，2.5，17，4，3，2.9，121，8.9，0.9，16，27，10，，，，7，9.6，1，5.58【解析】根据整数、分数、小数的加减乘除计算的方法进行计算，能简算的要简算．解：1.8+0.5=2.3， 2.5﹣0.1=2.4， 4.8﹣0.2=4.6， 74+71=145，48+10=58， 24÷12=2， 68÷0.68=100， 94.7÷0.1=947，61.8÷0.6=103， 0.8×6.7=5.36， 3÷8=0.375， 0.12×3=0.36，32=9， 8.2﹣2.8=5.4 3.5÷0.7=5，=，=，=， 5.3+0.5=5.8， 46+18=64，8.5﹣1.5=7， 69+10=79， 28.8+0.4=29.2， 40.5÷0.5=81，92.7÷0.3=309， 0.5×1.3=0.65， 16×0.5=8， 4.4+0.1=4.5，6.1﹣0.1=6， 3.3+0.6=3.9， 33.2÷0.4=83， 1÷0.25=4，1.5×4=6， 6.5+1.35=7.85， 1.3﹣1.2=0.1，=，=，=， 5.7﹣1.7=4， 0.35+0.75=1.1，0.2×1.1=0.22， 1.6÷0.4=4， 10÷4=2.5， 3.4÷0.2=17，52÷13=4， 57÷19=3， 3.7﹣0.8=2.9， 29+92=121，8.2+0.7=8.9， 6.5﹣5.6=0.9， 4.8÷0.3=16， 33=27，1.25×8=10，=，=，=，2.1÷0.3=7，3.2×3=9.6， 2.8﹣1.8=1， 0.9×6.2=5.58．故答案为：2.3，2.4，4.6，145，58，2，100，947，103，5.36，0.375，0.36，9，5.4，5，，，，5.6，64，7，79，29.2，81，309，0.65，8，4.5，6，3.9，83，4，6，7.85，0.1，，，，4，1.1，0.22，4，2.5，17，4，3，2.9，121，8.9，0.9，16，27，10，，，，7，9.6，1，5.58．点评：计算时，要灵活运用所学的知识，快速准确的进行计算．55.直接写出得数．= 3﹣= = 0.12÷20%= 0×=0.56×0.1= ÷26= = 15﹣﹣= ×4÷×4=【答案】，2，，0.6，0，0.056，，，14，16．【解析】分数除法：除以一个数等于乘这个数的倒数；15﹣﹣根据减法的性质简算；×4÷×4先把除法变成乘法，再运用乘法结合律简算．解：=， 3﹣=2，=， 0.12÷20%=0.6， 0×=0，0.56×0.1=0.056，÷26=，=， 15﹣﹣=14，×4÷×4=16．点评：口算题目，要求快速准确，能用简便方法的要用简便方法．56.直接写得数：÷4= 1÷= ÷3= 14÷=÷0.4= ÷= ×= ×=75%+0.25= 1÷×1÷=【答案】，，，30，1，5，，，1，．【解析】÷0.4先把分数化成小数，然后再计算；75%+0.25把百分数化成小数，再计算；1÷×1÷按照从左到右的顺序的顺序计算；其它题目根据运算法则直接求解．解：÷4=， 1÷=，÷3=， 14÷=30，÷0.4=1，÷=5，×=，×=，75%+0.25=1， 1÷×1÷=．点评：本题考查了学生通过约分对分数四则混合运题目进行简算的能力．57.口算．×= ÷5= 1÷= 15×= 1.25×=×4= ÷= 1.8﹣40%= 12×（+）= ×6+4×=【答案】，，，4，，，，1.4，19，4．【解析】①④约分计算；②③⑦把除法改为乘法，再计算；⑤把小数化为分数，再计算；⑥用分子与整数相乘的积做分子，分母不变；⑧把百分数化为小时，再计算；⑨⑩运用乘法分配律简算．解：×=；÷5=； 1÷=； 15×=4； 1.25×=；×4=；÷=； 1.8﹣40%=1.4； 12×（+）=19；×6+4×=4．故答案为：，，，4，，，，1.4，19，4．点评：此题考查了约分计算、乘除法的转化以及运算定律的运用，根据题目特点灵活解答．58.用递等式计算．．【答案】；；．【解析】（1）按照先算乘法，再算加法的顺序计算；（2）按照先算除法，再算减法的顺序计算；（3）把÷改写成×，进而先约分再计算．解：（1），=+，=；（2），=4×，=，=；（3），=××，=．点评：此题是考查分数四则混合运算，在没有括号的算式里，要先算乘除法，再算加减法．59.①= ②= ③=④=⑤=⑥= ⑦= ⑧=⑨=⑩=．【答案】，，22，1，2.3，，，10，1，0.6【解析】此题分为三个类型：（1）分数的加法减法，先通分，化为同分母的分数，分母不变，分子相加、减；（2）分数的乘法，分子和分子相乘做分子，分母和分母相乘做分母，能够约分的要先约分；（3）分数除法，除以一个数对应乘这个数的倒数．解：①=②=③=22 ④=1⑤=2.3 ⑥=⑦=⑧="10"⑨=1⑩=0.6．点评：此题主要考查了分数的加法和减法的计算方法及分数乘法和除法的计算方法，注意结果要化为最简分数．60.直接写出得数0.24÷0.06= 14÷35= 12.5×8= ×=÷= ﹣= 7.2÷0.6= 9+=【答案】4；；100；；；；12；9．【解析】0.24÷0.06，7.2÷0.6先根据商不变规律把除数变成整数再计算；÷先根据除以一个数等于乘这个数的倒数求解；﹣先通分再相减；其它题目根据运算法则直接求解．解：0.24÷0.06=4， 14÷35=， 12.5×8=100，×=，÷=，﹣=， 7.2÷0.6=12， 9+=9．故答案为：4；；100；；；；12；9．点评：本题考查了基本的运算，计算时要细心，注意小数点的位置．61.直接写出得数1÷=1×=2×8=6+=5﹣1﹣1.6=218×0=0﹣=÷=1 1.5+2.35= 3.85（+）×12=14．【答案】1；2；6；；2；0；；1；3.85；14．【解析】根据分数、小数四则运算的计算法则直接进行口算，其中5﹣1﹣1.6，根据减法的运算性质进行简算，（）×12，运用乘法分配律进行简算．解：直接写出得数1÷=1；×=2；×8=6；+=； 5﹣1﹣1.6=2；18×0=0；﹣=÷=1； 1.5+2.35=3.85；（+）×12=14．故答案为：1；2；6；；2；0；；1；3.85；14．点评：此题考查的目的是使学生牢固掌握分数、小数四则混合运算的运算顺序和它们的计算法则，并且能够灵活选择简便方法进行口算．62. 45比50少，30比24多．【答案】，【解析】（1）先求出45比50少几，然后用少的数量除以50即可；（2）先求出30比24多几，然后用多的数量除以24即可．解：（1）（50﹣45）÷50，=5÷50，=；（2）（30﹣24）÷24，=6÷24，=．故答案为：，．点评：本题是求一个数是另一个数的几分之几，关键是看把谁当成了单位“1”，单位“1”的量为除数．63.一个数除以真分数，所得的商比原数要大．．（判断对错）【答案】×【解析】根据除法的意义，一个不为零的数除以一个小于1的数，商就比原数大．由于真分数小于1，则一个不为零的数除以真分数，所得的商比原数要大．但是如果这个数为0，则商为0即和原数相等．解：由于真分数小于1，则一个不为零的数除以真分数，所得的商比原数要大．但是如果这个数为0，则商为0即和原数相等．故答案为：×．点评：完成本题要注意考虑到0这一特殊情况．64.小强小时走了千米，1小时走千米，若他走1千米需要小时．【答案】，．【解析】（1）根据速度=路程÷时间，小强走的路程是千米，用的时间是小时，由此可求出速度．（2）根据时间=路程÷速度，小强走的路程是1千米，速度是每小时千米，由此可求出时间．解：（1）（千米），（2）（小时）．故答案为：，．点评：考查路程、速度、时间三者之间的关系．65.是50米的； 4 5千克是的； 20米的%是15米．【答案】37.5米，7.2千克，75．【解析】（1）把50米看成单位“1”，用乘法求出单位“1”的是多少即可；（2）把要求的数看成单位“1”，它的对应的数量是4.5千克，用除法即可求出单位“1”的量；（3）本题可以看成是求15米是20米的百分之几，用15米除以20米即可．解：（1）50×=37.5（米）；（2）4.5=7.2（千克）；（3）15÷20=75%．故答案为：37.5米，7.2千克，75．点评：解决这类问题关键是找出单位“1”，然后再根据基本的数量关系求解．66.直接写出得数：= = = == = = == =【答案】1；；；0；2；6；5；；1；【解析】按分数四则混合运算的运算顺序和计算法则依次计算即可．解：=1；=；=；=0；=2；=6；=5；=；=1；=．点评：此题考查学生的计算能力，计算时要细心，同时注意简算陷阱．67.在分数除法中，当除数是假分数时，商一定小于被除数．．（判断对错）【答案】×【解析】如果这个假分数分子和分母相同，值是1，那么商就等于被除数，据此即可判断．解：如果假分数的分子和分母相同，如等，所得的商就等于被除数；故答案为：×．点评：本题主要是考查了假分数中特殊的情况，假分数可以是分子大于分母的分数，也可以是分子等于分母的分数．68.一台碾米机小时可以碾米吨，1小时碾米吨，碾1吨米要小时．【答案】、．【解析】用碾米的吨数除以需要的时间，即可得解；用需要的时间除以碾米的吨数，即可得解．解：=（吨）；=（小时）；故答案为：、．点评：此题主要依据工作量、工作时间和工作效率之间的关系，解决问题．69.一堆煤重20吨，21天烧完，平均每天烧吨，每天烧这堆煤的几分之几？．【答案】，【解析】用这堆煤的总质量除以烧的天数，就是平均每天少多少吨；把总质量看成单位“1”，因为21天烧完，所以每天烧这堆煤的．解：20÷21=（吨）；1÷21=；答：平均每天烧吨，每天烧这堆煤的．故答案为：，．点评：本题注意每份的重量与每份是总重的几分之几的区别：前者是一个具体的数量，用除法的意义求解；后者是一个分率，根据分数的意义求解．70.小伟：这周我得了6朵小红花．小芳：这周我得了7朵小红花．（1）小伟是小芳的（2）小伟比小芳少（3）小芳比小伟多（4）小伟是两人和的（5）小芳和小伟朵数的比是．【答案】，，，，7：6．【解析】（1）用小伟的数量除以小芳的数量即可；（2）先求出小伟比小芳少的数量，再除以小芳的数量；（3）先求出小芳比小伟多的数量，再除以小伟的数量；（4）先求出两人共有的数量，再用小伟的数量除以两人的和；（5）直接用小芳的数量：小伟的数量即可．解：（1）6÷7=；（2）（7﹣1）÷7=；（3）（7﹣1）÷6=，（4）6÷（6+7）=；（5）小芳的朵数：小伟的朵数=7：6．故答案为：，，，，7：6．点评：本题是基本的分数除法应用题，求一个数是另一个数的几分之几用除法解答．71.看图分析：甲数：乙数：甲数相当于乙数的，甲数相当于甲、乙两数和的．【答案】，．【解析】根据题意，把甲数看作3份，乙数看作5份，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答．解：甲数相当于乙数的：3÷5，=；甲数相当于甲、乙两数和的：3÷（3+5），=3÷8，=；答：甲相当于乙数的，甲数相当于甲、乙两数和的．故答案为：，．点评：此题属于分数除法应用题的基本类型，求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答．72.某学习小组有6名男生，4名女生，女生是男生的，女生是全组人数的．【答案】，．。

分式的四则运算知识总结归纳：1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd ⋅=；a b c d a b d c ad bc÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则：a c b c a b c±=±。

（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算例1：计算x x x x x x x x 22222662----÷+-+-的结果是（ ） A. x x --13B. x x +-19C. x x 2219-- D. x x 2213++ 分析：原式 22(2)(1)(2)(1)(1)(1)1(3)(2)(3)(2)(3)(3)9x x x x x x x x x x x x x x -++-+--=⋅==-++-+-- 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

*例2：已知abc =1，求a ab a b bc b c ac c ++++++++111的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.5分式的混合运算大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•柯桥区月考）化简（1）﹣x （3xy ﹣6x 2y 2）÷（3x 2）；（2）2a−1a 2−4÷(1−3−a a+2)．【分析】（1）先从左到右依次计算即可；（2）先通分算括号内的，再把除化为乘，分解因式约分．【解答】解：（1）原式＝（﹣3x 2y +6x 3y 2）÷（3x 2）＝﹣y +2xy 2；（2）原式=2a−1(a+2)(a−2)÷a+2−3+a a+2 =2a−1(a+2)(a−2)•a+22a−1=1a−2．2．（2021春•九龙坡区校级月考）计算：（1）（x ﹣2y ）（x +2y ）﹣x （x ﹣2y ）；（2）(3a+1+a −3)÷a 2−4a+4a+1． 【分析】（1）整式的运算法则即可求出答案．（2）分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝x 2﹣4y 2﹣x 2+2xy＝2xy ﹣4y 2．（2）原式=a 2−2a a+1•a+1(a−2)2=a(a−2)(a−2)2 =a a−2．3．（2020春•江干区期末）化简：（x−1x −x−2x+1）÷2x 2−x x 2+2x+1 【分析】先算括号的，然后算乘除法．【解答】解：（x−1x −x−2x+1）÷2x 2−x x 2+2x+1 =[(x−1)(x+1)x(x+1)−x(x−2)x(x+1)]÷x(2x−1)(x+1)2 =[x 2−1x(x+1)−x 2−2x x(x+1)]⋅(x+1)2x(2x−1)=−1+2x x(x+1)⋅(x+1)2x(2x−1) =x+1x 24．（2021春•永嘉县校级期末）计算：（1）（x ﹣y ）2+x （x +2y ）；（2）（1−a a+2）÷a 2−4a 2+4a+4． 【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；（2）括号内先通分，然后根据分式的减法法则和除法法则计算即可．【解答】解：（1）（x ﹣y ）2+x （x +2y ）＝x 2﹣2xy +y 2+x 2+2xy＝2x 2+y 2；（2）（1−a a+2）÷a 2−4a 2+4a+4＝（a+2a+2−a a+2）⋅(a+2)2(a+2)(a−2) =a+2−a a+2⋅(a+2)2(a+2)(a−2)=2a+2⋅(a+2)2(a+2)(a−2) =2a−2． 5．（2021春•永嘉县校级期末）计算：（1）a （2a +3b ）+（a ﹣b ）2；（2）x 2−9x 2+2x+1÷（x +3−x 2x+1）． 【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；（2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：（1）原式＝2a 2+3ab +a 2﹣2ab +b 2＝3a 2+ab +b 2；（2）原式=(x+3)(x−3)(x+1)2÷（x 2+x x+1+3−x 2x+1）=(x+3)(x−3)(x+1)2÷x+3x+1 =(x+3)(x−3)(x+1)2•x+1x+3 =x−3x+1． 6．（2021春•奉化区校级期末）（1）分解因式：3x 2y ﹣6xy +3y ；（2）化简：(1x+1+1)÷x 2−4x+1． 【分析】（1）先题公因式，再用公式分解．（2）先算括号内，再算括号外．【解答】解：（1）原式＝3y （x 2﹣2x +1）＝3y （x ﹣1）2．（2）原式＝（1x+1+x+1x+1）×x+1(x−2)(x+2) =x+2x+1×x+1(x−2)(x+2) =1x−2． 7．（2019秋•路桥区期末）计算：（1）（x ﹣2）（x +2）；（2）(1+1a−1)÷2a a 2−2a+1． 【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝x 2﹣4；（2）原式=a−1+1a−1÷2a(a−1)2 =a a−1•(a−1)22a=a−12． 8．（2022秋•泰山区期末）化简：（1）a 2a−1−1a−1；（2）(m −3−7m+3)÷m 2−4m 2m+6．【分析】（1）根据分式的减法法则进行计算，再化成最简分式即可；（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式=a 2−1a−1=(a+1)(a−1)a−1＝a +1；（2）原式＝[(m−3)(m+3)m+3−7m+3]•2(m+3)m(m−4)=m 2−9−7m+3•2(m+3)m(m−4)=(m+4)(m−4)m+3•2(m+3)m(m−4) =2(m+4)m =2m+8m． 9．（2022•成武县开学）化简：（1）1−x+2x−1÷x+2x+1；（2）1a+1+1a 2−1•a 2+2a+1a+1．【分析】（1）先计算除法，后计算减法；（2）先计算乘法，后计算加法．【解答】解：（1）1−x+2x−1÷x+2x+1=1−x+2x−1×x+1x+2=1−x+1x−1=x−1x−1−x+1x−1=−2x−1；（2）原式=1a+1+1(a+1)(a−1)⋅(a+1)2a+1 =1a+1+1a−1=a−1(a+1)(a−1)+a+1(a+1)(a−1)=2a a 2−1． 10．（2022秋•张店区校级月考）分式的计算：（1）(1x−1−1x 2−1)÷x 2−x x 2−2x+1； （2）2x−6x−2÷(5x−2−x −2)．【分析】（1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．（2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=x+1−1(x−1)(x+1)•(x−1)2x(x−1)=x (x−1)(x+1)•x−1x=1x+1． （2）原式=2(x−3)x−2÷5−(x+2)(x−2)(x−2)=2(x−3)x−2•x−29−x 2=−2(x−3)(x+3)(x−3)=−2x+3． 11．（2022秋•江口县校级月考）计算：（1）y 2x 2−xy +x y−x ； （2）x 2−1x 2+4x+4÷（1﹣x ）•x+2x 2+x ．【分析】（1）根据分式的加减运算法则即可求出答案．（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=y 2x(x−y)−x 2x(x−y)=y 2−x 2x(x−y)=−(x−y)(x+y)x(x−y) =−x+y x． （2）原式=(x+1)(x−1)(x+2)2•11−x •x+2x(x+1) =−1x(x+2) =−1x 2+2x ． 12．（2022秋•周村区校级月考）计算（1）x 2x+2−x +2； （2）x−3x 2−1•x 2+2x+1x−3−（1x−1+1）．【分析】（1）根据分式的加减运算法则即可求出答案．（2）根据分式的乘除运算法则以及加减运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=x 2x+2−(x−2)(x+2)x+2 =x 2−x 2+4x+2=4x+2．（2）原式=x−3(x+1)(x−1)•(x+1)2x−3−1+x−1x−1=x+1x−1−x x−1=1x−1．13．（2022秋•和平区校级期末）计算：（1）(−4m 3n 3t )2÷n mt （2）x 2−4x 2−4x+4÷x+2x+1−x x−2【分析】（1）先计算乘方，再计算除法即可；（2）先按分式除法法则计算，再按分式减法法则计算即可．【解答】解：（1）原式=16m 6n 29t 2÷n mt =16m 6n 29t 2×mt n =16m 7n 9t ；（2）原式=(x+2)(x−2)(x−2)2−x+1x+2−x x−2 =x+1x−2−x x−2=1x−2． 14．（2021春•罗湖区校级期末）计算（1）3x (x−3)2−x 3−x （2）1x+1+1x−1−x 2+1x 2−1（3）（x+1x 2−1+x x−1）÷x+1x 2−2x+1【分析】（1）直接进行通分运算进而得出答案；（2）直接进行通分运算进而得出答案；（3）直接利用分式的性质化简，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）3x (x−3)2−x 3−x =3x (x−3)2+x(x−3)(x−3)2 =x 2(x−3)2；（2）1x+1+1x−1−x 2+1x 2−1=x−1x 2−1+x+1x 2−1−x 2+1x 2−1=−x 2+2x−1(x+1)(x−1)=−(x−1)2(x+1)(x−1) =−x−1x+1；（3）（x+1x 2−1+x x−1）÷x+1x 2−2x+1=1+x x−1•(x−1)2x+1＝x ﹣1．15．（2021春•南阳月考）化简：（1）（a ﹣1−4a−1a+1）÷a 2−8a+16a+1； （2）（x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4）÷x−4x ． 【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式=(a−1)(a+1)−(4a−1)a+1•a+1(a−4)2=a 2−1−4a+1a+1 =a 2−4a a+1•a+1(a−4)2=a(a−4)a+1•a+1(a−4)2=a a−4；（2）原式＝[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]•x x−4=(x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2•x x−4 =x 2−4−x 2+x x(x−2)2 =x−4x(x−2)2⋅x x−4 =1(x−2)2 =1x 2−4x+4． 16．（2020秋•和平区期末）计算：（1）6x+3yx 2−y 2−3x x 2−y 2； （2）（3a b ）2•1a−b −a b÷b 9．【分析】（1）利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；（2）根据分式的减法和乘除法可以解答本题．【解答】解：（1）原式=6x+3y−3x x 2−y 2 =3(x+y)(x+y)(x−y)=3x−y ．（2）原式=9a 2b 2⋅1a−b −a b ⋅9b =9a 2b 2(a−b)−9a b 2 =9a 2−9a(a−b)b 2(a−b) =9ab b 2(a−b) =9aab−b 2．17．（2021春•宜兴市期中）计算：（1）a 2a+1−1a+1； （2）x−3x ÷x 2−9x 2+3x． 【分析】（1）先根据同分母的分式相减法则进行计算，再化成最简分式即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．【解答】解：（1）原式=a 2−1a+1=(a+1)(a−1)a+1 ＝a ﹣1；（2）原式=x−3x •x(x+3)(x+3)(x−3) ＝1．18．（2022秋•青龙县期中）计算：（1）a 2a−b +b 2a−b −2ab a−b ； （2）（1−1a+1）÷a a 2+2a+1．【分析】（1）根据同分母分式加减法则进行计算；（2）先通分计算括号内的减法，再把除法转化为乘法，约分计算便可．【解答】解：（1）a 2a−b +b 2a−b −2ab a−b=a 2+b 2−2ab a−b=(a−b)2a−b ＝a ﹣b ；（2）（1−1a+1）÷aa 2+2a+1 =a a+1×(a+1)2a ＝a +1．19．（2021秋•化德县校级期末）计算：（1）（2x 3y ）2÷（4x 3y ）3； （2）2a a 2−4−1a−2； （3）a−1a 2−4a+4÷a 2−1a 2−4．【分析】（1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法进行计算；（2）先通分再计算；（3）将除法转化为乘法进行计算．【解答】解：（1）原式=4x 29y 2÷64x 327y 3 =4x 29y 2⋅27y 364x 3 =3y 16x； （2）原式=2a (a−2)(a+2)−a+2(a−2)(a+2) =2a−a−2(a−2)(a+2) =a−2(a−2)(a+2)=1a+2；（3）原式=a−1(a−2)2⋅(a−2)(a+2)(a−1)(a+1)=a+2(a−2)(a+1)=a+2a 2−a−2．20．（2021春•沈北新区期末）化简： （1）（x 2﹣4y 2）÷2y+xxy •1x(2y−x)；（2）2x x 2−4−1x−2．【分析】（1）先算小括号里面的，然后再算括号外面的； （2）先通分，然后按同分母分式加减法法则进行计算求解． 【解答】解：（1）原式＝（x +2y ）（x ﹣2y ）•xy2y+x ⋅1x(2y−x)＝﹣y ；（2）原式=2x(x+2)(x−2)−x+2(x+2)(x−2) =2x−x−2(x+2)(x−2) =1x+2．21．（2020秋•沂水县期末）化简： （1）x x−1+3x−11−x 2； （2）（2mm−1−mm+1）÷mm 2−1．【分析】（1）先通分，再根据同分母分式相加法则求出答案即可； （2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可． 【解答】解：（1）x x−1+3x−11−x 2=x(x+1)(x+1)(x−1)−3x−1(x+1)(x−1)=x 2+x−3x+1(x+1)(x−1) =x 2−2x+1(x+1)(x−1)=(x−1)2(x+1)(x−1)=x−1x+1；（2）（2mm−1−mm+1）÷mm2−1=2m(m+1)−m(m−1)(m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)m=m 2+3m(m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)m=m(m+3) (m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)m＝m+3．22．（2021•九龙坡区校级开学）分式化简：（1）16−x2x2+4x+4÷x2x+4⋅x+2x+4；（2）1a+1−3−aa2−6a+9÷a2+aa−3．【分析】（1）根据分式的乘除法可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．【解答】解：（1）16−x2x2+4x+4÷x2x+4⋅x+2x+4=(4+x)(4−x)(x+2)2⋅2(x+2)x⋅x+2x+4=2(4−x)x=8−2xx；（2）1a+1−3−aa2−6a+9÷a2+aa−3=1a+1−3−a(a−3)2⋅a−3 a(a+1)=1a+1+1a(a+1)=a+1a(a+1)=1a．23．（2022春•余杭区期末）化简：3x−1+x−31−x2．小明的解答如下：原式=3x−1−x−3x2−1=(x2−1)3x−1−(x2−1)x−3x2−1＝3（x+1）﹣（x﹣3）＝2x+6小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．【分析】根据分式的加减运算、乘除运算进行化简，然后进x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：不正确．原式=3x−1−x−3x2−1=3(x+1)x2−1−x−3 x2−1=3(x+1)−(x−3)x2−1=2x+6x2−1．24．（2022•东阳市模拟）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务．4a−1−2 a+1解：原式=4(a+1)(a−1)(a+1)−2(a−1)(a−1)(a+1)⋯⋯第一步＝4（a+1）﹣2（a﹣1）……第二步＝4a+4﹣2a+2……第三步＝2a+6……第四步任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是分式的基本性质．②小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误．任务二：请你写出正确的计算过程．【分析】（1）①由通分的根据即可得答案；②观察解答可知开始出错的步骤；（2）根据同分母分式相加减的法则计算即可．【解答】解：任务一：①求解过程中，第一步的依据是分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；②小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误，故答案为：二；任务二：原式=4(a+1)(a−1)(a+1)−2(a−1)(a−1)(a+1)=4a+4−2a+2(a−1)(a+1)=2a+6(a−1)(a+1)．25．（2022•临安区一模）以下是方方化简(a −1+1a+1)÷a 2+2aa+1的解答过程．解：原式=(a 2−1+1)⋅a+1a 2+2a=a 2×a+1a(a+2)=a 2+a a+2方方的解答过程是否有错误？如果有，请写出正确的解答过程． 【分析】根据分式运算法则作出判断，并写出正确解答． 【解答】解：方方的解答过程有错误，正确解答过程如下：原式=a 2−1+1a+1÷a(a+2)a+1=a 2a+1•a+1a(a+2)=aa+2．26．（2022春•普陀区期末）观察下面的等式：11×3=12（1−13），12×4=12（12−14），13×5=12（13−15）……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【分析】（1）观察已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）等式右边括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到结果，比较左边即可得证． 【解答】解：（1）根据题意得：1n(n+2)=12（1n−1n+2）；（2）等式右边=12[n+2n(n+2)−n n(n+2)]=12×2n(n+2) =1n(n+2)=左边，则1n(n+2)=12（1n−1n+2）．27．（2022春•上城区期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是 甲 ；（2）请你书写正确的化简过程，并在“﹣1，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【分析】（1）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；（2）利用异分母分式加减法法则先算括号里，再算括号外，然后把x 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是甲， 故答案为：甲； （2）（x 2−2x x+1−x +1）÷xx+1=x 2−2x−(x 2−1)x+1•x+1x =1−2x x+1•x+1x =1−2xx， ∵x +1≠0，x ≠0， ∴x ≠﹣1，x ≠0， ∴当x ＝1时，原式=1−2×11=−1． 28．（2022•舟山二模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 D A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁（2）请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，﹣2”中选择一个合适的数求值．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则逐步分析即可；（2）先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案． 【解答】解：（1）乙在计算时，把1﹣x 变换成x ﹣1没有添加符号，丁在计算时，正确的结果应该是2−x x，∴自己负责的一步出现错误的是乙和丙， 故选：D ；（2）正确的化简过程如下：x 2−2x x−1÷x 21−x=x 2−2x x−1•1−xx 2=−x 2−2x x−1•x−1x 2 =−x(x−2)x−1•x−1x 2=2−xx， 当x ＝2时，x 2−2x x−1÷x 21−x=2−x x =0． 29．（2021春•江干区期末）化简：xx−2÷（x x−2−xx+2）．江江的解答如下：x x−2÷（x x−2−x x+2）=xx−2÷xx−2−xx−2÷xx+2 ＝1−x x−2×x+2x ＝1−x+2x−2=x−2−x−2x−2 =−4x−2江江的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．【分析】根据江江的解答过程，可以判断江江解答不正确，然后根据式子的特点，先对小括号内的式子通分，然后按照同分母分式的减法计算，再根据分式的除法法则，先转化为乘法，再根据分式的乘法计算即可．【解答】解：江江的解答不正确，正确的解法如下：x x−2÷（xx−2−xx+2）=x x−2÷x(x+2)−x(x−2)(x+2)(x−2) =xx−2⋅(x+2)(x−2)x(x+2)−x(x−2) =x+2(x+2)−(x−2) =x+2x+2−x+2=x+24． 30．（2020春•东阳市期末）某校数学兴趣小组成员在研题时发现一个有趣的现象：x 、y 表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式yx、xy ．如果这两个正数的差等于它们的积，即x ﹣y ＝xy ，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即y x+x y=xy +2．（1）写出两组符合条件x ﹣y ＝xy 的正数x 、y 的值．（2）选（1）中的一组x 、y 的值，验证兴趣小组发现的结论yx +x y=xy +2．（3）在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论． 【分析】（1）根据条件取值即可；（2）根据x 、y 的值，求出yx+xy 与xy 的值即可判断；（3）求出y x+x y−xy 的值即可．【解答】解：（1）x ＝1，y =12或x =13，y =14； （2）当x ＝1，y =12时， x ﹣y ＝1−12=12=1×12=xy ， ∵y x +x y =12+2＝212，xy =12，∴yx +x y =xy +2，即y x+x y比xy 大2．（3）∵x ﹣y ＝xy ，∴yx +xy −xy =y 2+x 2−(xy)2xy =x 2+y 2−(x−y)2xy =2，y x +xy比xy大2．∴当x﹣y＝xy时，。

广东省数学八年级下学期期末考试复习专题：08分式的四则运算姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共5题；共10分)1. （2分）(2019·东城模拟) 若a2+2a﹣3＝0，则代数式（a﹣）• 的值是（）A . 4B . 3C . ﹣3D . ﹣42. （2分）(2014·柳州) 下列计算正确的选项是（）A . ﹣1=B . （）2=5C . 2a﹣b=abD . =3. （2分）(2019·丽水模拟) 下列计算正确的是（）A . 2x+3y=5xyB .C .D . a10÷a5=a54. （2分） (2020八上·晋州期中) 计算的结果为（）A .B .C .D .5. （2分）(2010·希望杯竞赛) If m=2，then =（）A . -2B . -1C . 1D . 2二、计算题 (共4题；共25分)6. （5分） (2020八上·普宁期中) 计算：÷7. （5分）(2018·新疆) 计算：﹣2sin45°+（）﹣1﹣|2﹣ |．8. （5分）(2019·拉萨模拟) 先化简再求值，其中x=-3.9. （10分）计算。

（1）计算：•cos30°﹣2×（）﹣1+|﹣2|+（﹣1）0（2）化简：﹣．三、解答题 (共2题；共10分)10. （5分） (2019八下·九江期中) 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来11. （5分）（1）化简：﹣；（2）解不等式2（x+1）＞3x﹣1，并将解集在数轴上表示出来．四、综合题 (共1题；共6分)12. （6分） (2020七下·合肥月考) 分别计算下列各式的值：（1）填空：；；；…由此可得；（2）求的值；（3）根据以上结论，计算：．参考答案一、单选题 (共5题；共10分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：二、计算题 (共4题；共25分)答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、答案：9-2、考点：解析：三、解答题 (共2题；共10分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：四、综合题 (共1题；共6分)答案：12-1、答案：12-2、答案：12-3、考点：解析：。

2019-2020年七年级数学下册《分式》精选试卷 学校：__________一、选择题 1．(2分)“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？设原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ）A ．12012045x x-=+ B ．12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 2．(2分)下列各式中，字母a 不能取4的是（ ） A ．45a a --B ．4a a +C ．54a a --D ．4a a- 3．(2分)若把2a b ab +（a>0,b>0）中的a 、b 都缩小5倍，则分式的值（ ） A ．缩小5倍 B ．缩小10倍 C ．扩大5倍 D ．保持不变4．(2分)若分式242a a -+的值为零，则a 的值是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．05．(2分) 一组学生去春游，预计共需费用 120 元，后来又有 2 个同学参加进来，总费用不 变，于是每人可少分摊 3 元，原来这组学生的人数是（ ）A ．8 人B ．10人C ． 12人D ． 30 人 6．(2分)已知分式11x x -+的值为零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．1±7．(2分)某商店销售一批服装，每件售价 150 元，可获利 25%，求这种服装的成本价. 设这种服装的成本价为x 元，则得到方程（ ）A ．15025%x =⨯B ．25%150x ⋅=C ．15025%x x -=D ．15025%x -=8．(2分)若关于x 的方程2111x m x x ++=--会产生增根，则m 是（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．29．(2分)x （g ）盐溶解在 a （g ）水中，取这种盐水m （g ），含盐（ ）A ．mx a （g ）B ．am x （g ）C ．am x a +（g ）D ．mx x a+（g ） 10．(2分)当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A ．2xB ．21xC ．1||xD ．211x + 11．(2分)下列关于分式263x χ--的说法，正确的 （ ） A ． 当3x =时，分式有意义B ． 当3x ≠时，分式没有意义C ． 当3x =时，分式的值为零D ． 分式的值不可能为零 12．(2分)当2x =-时，分式11x +的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-213．(2分)用x -代替各式中的x ，分式的值不变的是（ ）A ．32xB ．3x -C ．21x x +D ．211x -+ 14．(2分)下列各式中，正确的是（ ）A ．4=B ．4C 3=-D 4=-二、填空题15．(2分)若4y －3x=0 ,则yy x += ． 16．(2分)某工厂库存原材料x 吨，原计划每天用a 吨，若现在每天少用b 吨，则可以多用 天．17．(2分)当x 时，分式12x x --有意义；当x= 时，12x x --的值为零.18．(2分)写出一个分子至少含有两项且能够约分的分式： ．19．(2分)某商店销售一批色拉油，若按每瓶 40 元出售，则相对于进价来说，每瓶可获利 25%，这种色拉油每瓶的进价是 元.20．(2分)若方程2111k x x=---有增根，则增根是x = ，k 的值是 ． 21．(2分)当x = 时，分式146x -与323x -的值相等. 22．(2分)若关于x 的方程2233x m x x -=+--无解，则m 的值为 ．23．(2分)已知2|24|(36)0x x -++=，则341x y -+的值是 .三、解答题24．(7分)化简：(1）249()77a a a a a a--⋅-+ (2)12()11b b b b b+÷---.25．(7分)请验证下列等式是否成立：33332333333333333232434352526262;3131414153536464++++++++====++++++++L ；；； (1)请你写出一个符合上面规律的一个式子(不能与上面的重复)；(2)探索其中的规律，再写出一个类似的等式，并用含m ，n 的等式表示这个规律(m ，n 为整数).26．(7分)设23111x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？27．(7分)a 为何值时，分式方程311a a x +=+无解？28．(7分)化简并求值：22222244x y x y x y x xy y --÷-+++，其中2x =2y =．29．(7分)某校有学生 2500 人，每个学生平均每天用水 a(kg)，在该校提倡“人人节水”之后，如果每个学生平均每天节约用水 1 kg，那么 A(kg)水可供全校用多少天？当A=7500000，a=4 时，可供全校用多少天？30．(7分)将分式10(2)(1)(2)(1)(1)x xx x x+++-+约分，再讨论x取哪些整数时，能使分式的值是正整数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B2．Ｃ3．Ｃ4．B5．A6．C7．C8．D9．D10．D11．D12．B13．D14．C二、填空题 15．37 16．)(b a a bx - 17．2≠ ，118．如：22a b a b +-等 19．3220．1，2 21．4322．123．15三、解答题24．(1)14；(2)1b- 25．(1)如：333373737474++=++ (2）3333()()m n m n m m n m m n ++=+-+- 26．当2x =时，A B =． 27．310-==a a 或．28．x x y -+，29．2500(1)A a -天，1000 天 30．101x -，当 x=2或3 或6或 11。

2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错11分式的四则运算易错【典型例题】1．（2021·湖北荆州市·八年级期末）计算：（1）222221538x yy x⎛⎫⋅⎪⎝⎭．（2）2222324424x x xx x x x⎛⎫-+-÷⎪-+--⎝⎭．【答案】（1）原式224241598x yy x=⋅256y=；（2）()()()()22322222x x xx x xx⎡⎤-+=-÷⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦31222xx x x⎛⎫=-÷⎪---⎝⎭()3232xx xx-=⨯-=--【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.【专题训练】一、解答题1．（2020·江苏苏州市·八年级期中）若5(1)(1)11x A B x x x x -=++-+-，求A 、B 的值． 【答案】解：∵5(1)(1)(1)(1)(1)(1)x A x B x x x x x --++=+-+-， ∵x -5=(A +B )x +(-A +B )，∵15A B A B +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：32A B =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型．2．（2020·江苏苏州市·八年级期中）计算：（1）221111x x x x x ÷--+-； （2）11a a a ---． 【答案】（1）原式=21(1)(1)11x x x x x x ÷-+-+- =2(1)(1)x x x +-·(x +1)-1x x - =211x x x x --- =1x x -；（2）原式=2111a a a a ---- =211a a a -++-． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．3．（2021·山东青岛市·九年级一模）化简：（2221244x x x x x x ---+++）4x x-÷； 【答案】解：（1）（2221244x x x x x x ---+++）4x x-÷ ()()()221242x x x x x x x ⎡⎤--=-⎢⎥+--+⎢⎥⎣⎦ ()()()()()222142x x x x x x x x -+--=--+ ()()2442x x x x x -=--+ ()212x =-+2144x x =-++； 【点睛】本题考查的是分式的化简，，掌握以上运算是解题的关键．4．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）化简：212(1)11a a a a a +-+÷++．【答案】212(1)11a a a a a +-+÷++ (1)(1)111(2)a a a a a a +-++=⋅++ 211(2)a a a a a +=⋅++ 2a a =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2021·四川绵阳市·八年级期末）计算：22111221x x x x x x ⎛⎫+-÷-- ⎪-+⎝⎭． 【答案】 解：原式2222111(1)x x x x x ---=÷--21111x x x -=÷-- 2111x x x =--- 1(1)(1)(1)(1)x x x x x x +=-+-+- 221111x x =-=--．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．6．（2021·湖北武汉市·八年级期末）分式的运算：（1）3223322a b a c cd d a ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）22221244a b a b a b a ab b---÷+++ 【答案】解：（1）3223322a b a c cd d a ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 633239224a b d c c d a a =- 3368a b cd =-（2）22221244a b a b a b a ab b ---÷+++ ()()()2212a b a b a b a b a b +-=-++- 21a b a b +=-+ 2a b a b a b a b++=-++ b a b=-+ 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键．7．（2021·山东潍坊市·八年级期末）化简：221111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭【答案】 解：221111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭， 2211111x x x x x +⎛⎫=÷- ⎪-++⎝⎭， 221·1x x x x+=-， ()()21·11x x x x x +=+-， 21x =-；【点睛】本题考查了分式的运算和分式化简，解题关键是熟练运用分式的运算法则和运算顺序解题．8．（2020·浙江杭州市·七年级期末）若345x y z ==，求22223232x xy z x xy z -++-的值；【答案】 解：设345x y z k ===， ∵x =3k ，y =4k ，z =5k ，∵22223232x xy z x xy z -++-=()()()()2222333425332345k k k k k k k k -⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=22222293650272425k k k k k k -++-=2326； 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则．9．（2020·浙江杭州市·七年级期末）计算：222111x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭ 【答案】 解：222111x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭=()()()11221111x x x x x x x x -+⎡⎤-+÷⎢⎥⎦-+++⎣ =()21221111x x x x x x x ⎛⎫--++⨯ ⎪++⎝-⎭ =()()21111x x x x x ⨯-+-+ =1x x-； 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算方法．10．（2021·山东聊城市·八年级期末）化简下列分式（1）3265224a y ab a b y by ⎛⎫⎛⎫--⋅÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭． 【答案】 解：（1）3265224a y ab a b y by ⎛⎫⎛⎫--⋅÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63235648a y ab by b y a =⋅⋅2a b=． （2）2211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭ ()()()211111x x x x x +-=⋅+-+ 21x =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握有关运算法则，以及注意分子、分母的因式分解，通分、约分．11．（2020·浙江杭州市·七年级期末）计算：22122()121x x x x x x x x ----÷+++ 【答案】 解：原式2(1)(1)(2)(1)(1)(21)x x x x x x x x x -+--+=⋅+- 221(1)(1)(21)x x x x x x -+=⋅+- 21x x+=． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．12．（2021·山东泰安市·九年级期末）计算：2244x y xy y x x x ⎛⎫ ⎪⎝---⎭÷ 【答案】解：原式22244x y x xy y x x --+=÷()222x y x x x y -=⋅- 12x y =-； 【点睛】本题主要考查分式的混合运算以及分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．13．（2021·江苏九年级专题练习）计算：2121122a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭【答案】 解：2121122a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭=212(1)(1)a a a a --⋅- =2a 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．14．（2021·山东威海市·八年级期末）计算：（1）222111a a a a ++---； （2）2224222x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭【答案】解：（1）222111a a a a++---， =()()221111a a a a a ++++--， =()()()()()()22111111a a a a a a ++++-+-， =()()()()221111a a a a ++++-，=()()()()1311a a a a +++-， =31a a +-； （2）2224222x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭=()22244222x x x x x x x ⎛⎫---÷- ⎪+++⎝⎭=()22222x x x x x x --÷++，=()()22·22x x x x x x -++--， =21x -【点睛】本题考查了分式的混合运算及分式的化简，正确运用分式的运算法则进行运算是解题的关键．15．（2021·四川成都市·九年级期末）化简代数式22421(1)39x x x x -+-÷+-．【答案】 解：22421(1)39x x x x -+-÷+- ()()()23334331x x x x x x +-+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭- ()()()233131x x x x x +--=+- 3=.1x x -- 【点睛】本题考查的是分式的化简，掌握分式的加减乘除混合运算是解题的关键．16．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）计算：2214111212x x x x x -⎛⎫-÷+ ⎪--++⎝⎭ 【答案】 原式=()()()21211222x x x x x x --⋅+-+-+=1122x x x -+++=2x x +． 【点睛】 本题考查二次根式的计算和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和分式的运算法则．。