高等代数复习题.doc

高等代数复习题参考答案一、选择题1. B 2．B 3. B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10. B 11． A 12． D 13．A 14. C 15．B 16．D 17．B 18．C 19．D 20．A二、 填空题21．2 22．3 23．-2 24．1233,0λλλ===25. 1t =- 26．1152⎛⎫⎪⎝⎭ 27．()0,1,1- 28．n 29．3- 30．231. 0 32．2 33．4- 34． 1230a a a ++= 35． 相 36．137. 201010002-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭38．相 39．1 40．n 41．1 42. t <43. 1001102211022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭44．()134E A - 45．1 46．4- 47．21t -<< 48．100020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题49. 解：（1）246123123T A B C ⎛⎫ ⎪==--- ⎪ ⎪⎝⎭()45162324486()818116224381162243T T A CB B C A ⎛⎫⎪===--- ⎪ ⎪⎝⎭（2）1121012001A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1144439X BA ---⎛⎫== ⎪--⎝⎭50. 解：由已知等式得到()2X A E B E -=+，若A E -可逆，得1(2)()X B E A E -=+-110120110,2210001002A E B E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11102211()022001A E -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1302231022002X ⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭51. 解：E B A X B A E BXA AXB BXB AXA =--⇒++=+)()( 21])[(--=⇒B A X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-100110111B A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--100110211)(1B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210521100110211100110211X52. 解：2()A E B A E -=- 因10,A E A E -=-≠∴-Q 可逆， 于是有()A E B E +=，90,A E A E +=≠∴+Q 可逆，故()121033100312033B A E -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭53．解：12312030112(,,,)~00100002r a b αααβ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭（1）2b ≠时，β不能由321ααα,,线性表示（2）当1,2a b ≠=时，β可由321ααα,,唯一线性表示，表示式为122βαα=-+当1,2a b ==时，β可由321ααα,,多种线性表示，表示式为123(32)(2),k k k k R βααα=-++-∈54．解：（1）证明：设112321233123()()()0k k k ααααααααα+++-++-++= 则有123112321233()()()0k k k k k k k k k ααα+-+-++++=123,,αααQ 是线性空间V 的一组基，线性无关12312312300k k k k k k k k k +-=⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得1230,0,0k k k === 因此123123123,,ααααααααα++-+-++也是V 的一组基（2）所求过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（3）所求坐标为111112222323333111022111111111022211111022y a a a a y a a a a y a a a a -⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭55．解：因方线性方程组Ax β=有二个不同的解，故齐次线性方程组0Ax =有非零解，所以()()2110A a a =-+=，得11a a ==-或当1a =时增广矩阵()111211120001~000111110000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βM ，可见()()R A R A ≠βM ，方程组无解，不合题意，舍去。

高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。

高等代数复习题高等代数重修复习一．填空题1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 .2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为。

4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 015.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .6．已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2，则2A 2A的特征值为2 17.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1 P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为8.设1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i 1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n则A在基1, 2, , n下的矩阵为，A的值域为，A的核为9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则, ，(A ,A )= .10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中，1 (__)，2 (5031)，则1, 2的夹角1, 2 为。

12.设线性变换A:V V在基1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为。

二．单选题1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（）(A)A B也是正交矩阵(B) kA也是正交矩阵(C)AB也是正交矩阵(D) PAP也是正交矩阵2. 设是三维向量空间R上的变换，下列不是线性变换的是（）2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1(C) ( 1, 2, 3) (0, 1,0) (D) ( 1, 2, 3) (2 1 2 3, 2 5 3, 1 3)3．设A是n阶实对称矩阵，则（）(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵(B)A的特征值的绝对值等于1(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵(D)A有n个不同的特征值4．和矩阵M ' 10 正交相似的矩阵是（）0 1(A) 01 1 1 11 01 (B) (C) (D) 10 1 1 00 105．两个n阶实对称矩阵相似的充要条件是（）(A)它们合同(B)它们的特征值都是实数1, 2, , n(C)它们都是正交矩阵(D)它们的特征值都是实数1, 2, , n，且两两不相等1 12 ，16．设P上的三维列向量空间V上的线性变换在基{e1,e2,e3}下的矩阵是20 12 1则在基{e3,e1,e2}下的矩阵是（）112 1 12 121 2 11 (B) 12 1 (C) 102 (D) 102 1(A)20 210 12 1 21 1 1217. A是n阶矩阵，则为正交矩阵A的充要条件是（）(A)A的特征值全为1或-1 (B)A的列向量组两两正交(C)A正交相似于单位矩阵(D)A的列向量组为标准正交向量组。

高等代数（1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。

（ ）2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。

（ ）3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。

（ ）4、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。

（ ）5、排列()3211 -n n 为偶排列。

（ ）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。

（ ）7、若22B A =，则B A =或B A -=。

（ ）8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。

（ ）9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。

（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。

（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。

（ ）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。

（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。

（ ）14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。

（ ）15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。

（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。

（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。

（ ）18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。

（ ）19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。

（ ） 20、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。

（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。

（ ）22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。

（ ） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。

（ ）24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。

高等代数第六章单元复习题一、 选择题1. 下列集合中，是3R 的子空间的为（ ）A .{}1233(,,)0x x x x α=≥B .{}123123(,,)230x x x x x x α=++=C ．{}1233(,,)1x x x x α==D .{}123123(,,)231x x x x x x α=++=2. 设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且11212,,a ββαα==+3123βααα=++，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001011P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵。

A .312,,βββB .3,21,βββC ．132,,βββD .123,,βββ4. 设,,Q R C 分别为有理数域、实数域和复数域，按照通常数的加法和乘法，则下列结论正确的是（ ）A . Q 构成R 上的线性空间B . Q 构成C 上的线性空间C ．R 构成C 上的线性空间D . C 构成Q 上的线性空间5. 数域P 上n 维线性空间的基的个数有 ( )。

A .1；B .n ；C .!n ；D ．无穷多组6. 设12,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）。

A .11212()W W W W W +=B .1121()W W W W +=C ．11212()W W W W W +=+D .1122()W W W W +=7. 已知321,,ααα是AX = 0 的基础解系，则（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．133221,,αααααα+++线性相关．D ．133221,,αααααα+++不构成基础解系．二、填空题1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则=C dim _____，它的一个基为____。

2. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ____，它的一个基为_____。

3. 设12{,,}n ααα是向量空间V 的一个基，由该基到21{}n ααα，，， 的过渡矩阵为___________________。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nnA A A A A A A A A =( ) 。

（完整word版）高等代数复习题精选.doc第一章多项式自测题一、填空题1. 设 g (x) f (x) ，则 f (x)与g( x)的一个最大公因式为．2. f ( x) a n x n a n 1x n 1 a1x a0 P[ x] ,若 x | f (x) ,则 a0 ; 若x 1是 f ( x) 的根,则a0 a1 a2 a n .3.若( f (x), f ( x)) x 1 ,则是 f (x) 的重根 .4. x4 4 在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为, , .二、选择题 (以下所涉及的多项式 ,都是数域 P 上的多项式 )1.设( x) | f ( x), ( x) | g( x),且 ( x) 0, g( x)与 f ( x) 不全为0,则下列命题为假的是 ( ).A. ( x) | (u(x) f ( x) v(x)g( x))B. deg( ( x)) min{deg f ( x),deg( g( x))}（ deg 意思为次数）C.若存在u(x), v( x) ,使u(x) f ( x) v( x)g ( x) ( x), 则 ( f ( x), g(x)) ( x)D.若x a | (x), 则 f ( a) g (a) 02.若( f (x), g( x)) 1 ,则以下命题为假的是( ).A. ( f2( x), g3(x)) 1B. ( f (x), f ( x) g( x)) 1C. g( x) | f ( x)h( x)必有g( x) | h( x)D. 以上都不对3.下列命题为假的是 ( ).A.在有理数域上存在任意次不可约多项式B.在实数域上 3 次多项式一定可约C.在复数域上次数大于 0 的多项式都可约D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根4.下列命题为真的是 ( ).A.若p2( x) f (x) ,则p( x)是f (x)二重因式B.若p(x)是f ( x), f ( x), f (x) 的公因式,则 p( x) 的根是 f ( x) 的三重根C. f ( x)有重根 f (x), f ( x) 有一次因式D.若f (x)有重根 ,则f ( x)有重因式 ,反之亦然三、判断题1. 设 f ( x), g ( x), h( x) P[ x] , 若 g( x) 不能整除 h(x) ,则 g( x) 不整除( f ( x ) h (x )( ) 2.零多项式能被任意多项式所整除 ,也能整除任意多项式 . () 3. 若 f ( x) g (x)q( x)r ( x), 则 ( f ( x), g( x))(g (x), r ( x)).()4.如果 p( x) 是数域 P 上的不可约多项式 ,那么对于任意的 c P, 且c 0, cp (x)也是 P 上的不可约多项式 .( )5.若一个整系数多项式在有理数域上可约 , 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积 .第二章行列式自测题一、填空题1.六级行列式 a ij 6中的项a13a 32a 46a 51a25的符号为.2.设aij nd ,则 ka ij n.a 2 0 x3.已知行列式 0y 2中元素 a 与 b 的代数余子式分别为 -6 和 8 则0 0 2 1b0 0 3x y.x 1 x 2 ax 3 1如果方程组x 1 ax 2 x 3 a 有唯一的解 ,那么 a 满足的条件是.4.ax 1x 2 x 3 a 2a 11a 12 a 13a21a 31 a 11 5.设 a 2123 d ,则 a 22a 32 a12 .a31a 32a33a23a33a13二、选择题a 1 a 2 a 3a 1 2a 1b 1c 11.设 b 1 b 2 b 3 3,则 a 22a 1 b 2 c 2 ( ).c 1 c 2 c 3a 32a 3 b 3 c 3A.3B.-3C.6a b c行列式de f 中,元素 f 的代数余子式为 ( ).2.g h kA.d e B.d e a b a b g hg hC. -hD.hg g3a 1 6b 1 3c 1 a 1 b 1 c 1 3. a 22b 2 c 22, 则 a 2 b 2 c 2 ( ).a 33b 3 c 3a 3b 3c 3A.2B.2C. 113324.下列等式成立的是 ().A.a1c 1 a 2 c 2 a 1 a 2 c 1 c 2b 1 d 1 b 2 d 2 b 1 b 2 d 1 d 2 B.aijn naij nnC. a ij b ijn na ij n nb ij n na 11 a 12 a 13 a 21a22a23D.a 21a 23a 312a11a322a 12 a 332a13a 31 a 32 a 33a 11a 12a 135.下列命题为真的是 ( ).A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不变B. 若aij n 中 a ij 的代数余子式为 A ij (i , j 1,2,3, , n) 则na ij n n a i 1A k1 a i 2 A k 2a in A kn (1 k n)C.行列式为 0 的充分必要条件是其两列对应成比例D.系数行列式不为 0 的线性方程组的有且仅有一解三、判断题1、奇数次对换改变排列的奇偶性。

高等代数复习题一、选择题1. 设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC= 。

(A) ACB ； (B) BCA ； (C) CBA ； （D ）CAB2．设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则必有（ ）A ． A +B 可逆 B ．AB 可逆C ．A-B 可逆D ．AB+ BA 可逆 3. 设A , B 为n 阶可逆阵，则必有(A) A+B 可逆； (B) A 经初等变换可变为B ； (C) A |=|B |； (D) 存在可逆阵P ，使得B AP P =-1 4．设,,A B C 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ）若20A =，则A =0； （B ）若,0AB AC A =≠，则B=C ； （C ）()kk k AB A B =； （D ）若20A A E --=，则A 可逆。

5．设A,B,C,D 都是n 阶矩阵，如果A 与B 相似，C 与D 相似，则 (A) AC 与BD 相似； (B) AC 与DB 相似 ； (C) A m 与B m 相似 ； (D) A +C 与B+D 相似6．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值s 21λλλ,,,Λ，而秩s ,,,i ,r n )A E (i i Λ21=-=-λ,如果A 与对角阵相似，则（A ） n r si i =∑=1；（B ）n r si i ≠∑=1；（C ）n r si i ≤∑=1；（D ）n r si i ≥∑=1；7．设A 是m n ⨯矩阵，C 与n 阶单位阵等价，B=AC ，1,rankA r rankB r ==，则 (A) 1r r =； (B) 1r r <； (C) 1r r >； (D) 1r r 与的关系不能确定8．已知3阶矩阵A 的特征值为0，±1，则下列命题不正确的是（ ） （A ）A 不可逆 ； (B) A 的主对角元素之和为0 ； (C) 1和-1所对应的特征向量正交 ；(D) 0=Ax 的基础解系仅有一个解向量。

数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。

；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。