2020年四川省德阳市三校联考高考数学模拟试卷(理科)

四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，并设：，至少有3个实根；当时，方程有9个实根；当时，方程有5个实根。

则下列命题为真命题的是（）A .B .C . 仅有rD .2. （2分） (2019高一上·湖北期中) 已知集合，，，则集合的大小关系是（）A . Ü ÜB . CÜ ÜC . ÜD . AÜ Ü3. （2分） (2017高二下·蚌埠期中) 已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为（）A .B .C . ﹣D . ﹣4. （2分） (2020高二下·唐山期中) 定义在R上的偶函数满足，且在[－1，0]上单调递减，设，，，则a、b，c大小关系是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·攀枝花月考) 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A . 1：3B . 1：4C . 1：5D . 1：66. （2分）已知O为△ABC内一点，且有+2+3=，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1 ，S2 ， S3 ，则S1：S2：S3等于（）A . 3：2：1B . 3：1：2C . 6：1：2D . 6：2：17. （2分）程序框图如图所示,其输出的结果是（）A . 64B . 65C . 66D . 678. （2分）(2016·海南模拟) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（）A . 7﹣4B . 2﹣C . ﹣1D . 4﹣29. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 函数有极值点，则的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）函数的最小正周期是（）A .B .C . 2D . 411. （2分）甲乙丙三明同学中有一个人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 不能确定12. （2分） (2017高一上·孝感期末) 设全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则（∁UA）∪B=（）A . {3}B . {2，3}C . {1，2，3}D . {0，1，2，3}二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．14. （2分）(2020·湖州模拟) 二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．15. （1分）(2019·恩施模拟) 将4位女生和4位男生分为两组参加不同的两个兴趣小组，一组3个男生1个女生，余下的组成另外一组，则不同的选法共有________种（用数字填写答案）．16. （1分） (2016高二下·大庆期末) 函数f（x）=cos（x﹣）﹣log5x的零点个数是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2018高三上·信阳期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+ cosA=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c= b．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）18. （10分）一批产品成箱包装，每箱6件．一用户在购买这批产品前先取出2箱，再从取出的每箱中抽取2件检验．设取出的第一、二箱中二等品分别装有1件、n件，其余均为一等品．（1）若n=2，求取到的4件产品中恰好有2件二等品的概率；（2）若取到的4件产品中含二等品的概率大于0.80，用户拒绝购买，求该批产品能被用户买走的n的值．19. （10分） (2019高一下·邢台月考) 在如图所示的几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．20. （5分）已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点（4，0），其中双曲线的一条渐近线方程为y=x，求三条曲线的标准方程．21. （15分） (2020高二下·成都期末) 已知函数 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，函数的图像与的图像关于直线对称.若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.22. （10分）已知直线l的参数方程是为参数），曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A、B零点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的参数方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，角l于点A，求|PA|的最大值与最小值．23. （5分）设函数f（x）=a|x﹣1|+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞6﹣|x+2|的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交形成的劣弧不超过圆周长的．求正数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、略考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：第21 页共21 页。

四川省德阳市第三中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有的值为( )A .-1 B. -2 C. 2 D. 1参考答案：A略2. 已知函数的图像有且只有一个公共点，此时a的取值是（）（其中e=2.718……）A．3 B． C．e D．参考答案：D略3. 在中，，，则的最大值为（）A．B．C．D ．参考答案：D有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.4. 设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A6. 已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于x=对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数参考答案：C【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，由三角函数的图象和性质，逐个选项验证可得．【解答】解：f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可得T==π，选项A正确；由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，故当k=0时，可得函数一条对称轴为x=，选项B正确；g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x﹣）﹣1的图象，而不是f（x）=2sin（2x﹣）﹣1的图象，选项C错误；由kπ﹣≤2x﹣≤kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调递增区间为[kπ﹣， kπ+]，显然f（x）在区间[0，]上是增函数，选项D正确．故选：C．7. 某三棱锥的三视图如上右图所示，该三棱锥的体积是（）A. B.C. D.参考答案：B由三视图知：该几何体的为三棱锥，其中该三棱锥的底面面积为，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为。

四川省德阳市2019-2020学年高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·聊城期中) 已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一上·高州月考) 方程组的解集是（）A .B .C .D .3. （2分）若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时，点P的坐标是（）A . (0,0)B . (1,1)C . (2,2)D .4. （2分）(2017·平谷模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A . 9B . 16C . 25D . 275. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在等比数列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4= ，则该数列的前10项和为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知实数满足，则的最小值是（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .8. （2分）位于坐标原点的一个质点P，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）定义行列式运算，将函数的图象向左平移t（）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A .C .D .10. （2分）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得（）A . 当n=6时该命题不成立B . 当n=6时该命题成立C . 当n=8时该命题不成立D . 当n=8时该命题成立11. （2分） (2017高一下·杭州期末) 如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1 ， P4 ， P6 ， P2是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3 ，则• （i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）A . 7B . 5C . 3D . 112. （2分） (2019高一上·丹东月考) 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（）A .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知数列{an}的前n项和，则其通项公式为________．14. （1分）如果曲线y=x2与y=﹣x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0的值为________．15. （1分） (2017高一下·定州期末) 若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·宁波期中) 如图，F1 ， F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2018·河南模拟) 的内角，，的对边分别为，，，面积为，已知 .（1）求角；（2）若，，求角 .18. （15分）(2017·池州模拟) 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．（1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.400.250.150.100.050.025k0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．19. （10分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，E，F分别为AB，SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值．20. （10分）(2017·泸州模拟) 已知椭圆C：的一个焦点与的焦点重合，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（﹣1，0），若，求k的值．21. （10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）．（1）当a=8，b=﹣6，求f（x）的零点的个数；（2）设a＞0，且x=1是f（x）的极小值点，试比较lna与﹣2b的大小．22. （5分） (2017高二下·仙桃期末) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ．（Ⅰ）将曲线C1 ， C2分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；（Ⅱ）设F（1，0），曲线C1与曲线C2相交于不同的两点A，B，求|AF|+|BF|的值．23. （10分）(2020·丽江模拟) 设函数 .（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

四川省德阳市2020届高三三诊考试理数试题数学试卷（理工农医类） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|60,B |0A x x x x x =+-<=<，则R A C B =I （ ）A ．{}|02x x ≤<B ．{}|32x x -<<C ．{}|60x x -<<D ．{}|0x x ≥ 2.已知,a b R ∈，且()120,a b i i -++=为虚数单位，则复数()2a bi +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2sin sin cos 2a A B b A a +=是2b a =的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.在 5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）A ．20B ．-10C ．-10，10D ．105.已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．403 B ．203C ．40D ．20 7.若函数()()3sin 3f x x x x R ωω=-∈的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则正数ω的最小值为（ ）A ．32 B ．23 C ．43 D ．138.若ABC ∆5O 的内接三角形，3450OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，则OC AB u u u v u u u v g 为（ ）A ．1B ．-1C ．6D ．-6 9.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点)3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．32 B ．43 C ．45 D ．2310.已知函数()2f x x x a x =-+，若存在[]3,3α∈-，使关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则t 的取值范围为（ ） A ．95,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．251,24⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上11.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，则2211log 83-⎛⎫⎛⎫⊗= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的2倍，若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为___________．13.我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，事件A 发生的概率为__________．（结果用数值表示）14.若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则实数a 的取值范围是__________．15.已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥L ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++L L ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合151522⎧-+-⎪⎨⎪⎪⎩⎭，是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12a a N ∈，则{}12,a a 不可能是“复活集” ；④若*i a N ∈，则“复合集”A 有且只有一个，且3n =．其中正确的结论是___________．（填上你认为正确的所有结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分12分）已知数列{}n a的前n项和是n S，且()*22n nS a n N+=∈．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设()()*31log1n nb S n N+=-∈，求12231111n nb b b b b b++++L．17.（本题满分12分）某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，假设参赛者甲答对每一个题的概率都是23，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望．18.（本题满分12分）已知向量)33sin,1,sin,2m x x n x⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数()f x n m=g．（1）求函数()f x的最小正周期T及单调递增区间；（2）已知,,a b c分别为ABC∆内角,,A B C的对边，3,4a c==，且()f A是函数()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC∆的面积S．19.（本题满分12分）如图，已知边长为6的菱形0,120,ABCD ABC AC∠=与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC 折起，使32BD =．（1）若M 是BC 的中点，求证：在三棱锥D ABC -中，直线OM 与平面ABD 平行； （2）求二面角A BD O --的余弦值；（3）在三棱锥D ABC -中，设点N 是BD 上的一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =20.（本题满分13分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点到直线220x y -+=的距离为3，且过点61,⎛- ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）设椭圆E 的左顶点是A ，直线:0l x my t --=与椭圆E 相交于不同的两点,(,M N M N 均与A 不重合），且以MN 为直径的圆过点A ，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标． 21.（本题满分14分） 已知函数()22xxa f x e x e =-． （1）求()f x 在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：当1a ≥时()1f x x ≤+；（3）对于在()0,1中的任一个实数a ，试探究是否存在0x >，使得()1f x x >+成立？如果存在，请求出符合条件的一个x ；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBDDAABCD二、填空题11. -3 12. 216x y = 13. 11214. 42a -<< 15. ①③④ 三、解答题16.解：（1）当1n =时，11a S = ，由1122S a += 得：123a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故()1*2112333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭g g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由11123n n n S a ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()13131log 1log 13n n n b S n ++⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭故()()111111212n n b b n n n n +==-++++， 因此122311111111111123341222n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．．．．．．．．．．．．．．12分17.解：（1）设平均成绩的估计值为X ，则：()200.001400.004600.009800.0201000.0131200.0021400.0012080X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记甲在初赛中的答题个数为随机变量ξ，则ξ的可能值为3，4，5()()332221332213133322222210411133333327P P C C ξξ⎛⎫⎛⎫==+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222442222228511133333327P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（或()11085132727P ξ==--=）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 则ξ的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以ξ的数学期望11081073453272727E ξ=⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解：（1）()23sin cos 2f x n m x x x ==+g1cos 2322212cos 222sin 226x x x x x π-=++=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为2ω=，所以22T ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故所求单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知，()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52666x πππ-≤-≤， 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值3，由()3f A =得：3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-， 可得：211216242b b =+-⨯⨯，∴2b =，从而11sin 24sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点， 又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB ， 因为OM ⊄平面,ABD AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）解：由题意可知，3OB OD ==，因为BD =090,BOD OB OD ∠=⊥， 又因为菱形ABCD ，所以,OB AC OD AC ⊥⊥，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则()()()33,0,0,0,3,0,0,0,3A D B，所以()()33,0,3,33,3,0AB AD=-=-u u u v u u u v．设平面ABD的法向量为(),,n x y z=，则有AB nAD n⎧=⎨=⎩u u u vgu u u vg，即33303330x zx y⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x=，则3,3y z==(3,3n=．因为,AC OB AC OD⊥⊥，所以AC⊥平面BOD，平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的一个法向量为()1,0,0n=，7cos17n nn nn n===⨯gg因为二面角A BD O--的平面角是锐角所以二面角A BD O--的余弦值为77．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）解：设()111,,N x y z，因为N是线段BD上的一个动点，设BN BDλ=u u u v u u u v，即()()111,,30,3,3x y zλ-=-，所以1110,3,33x y zλλ===-，则()()0,3,33,33,3,33N CNλλλλ-=-u u u v，由42CN=()222793342λλ++-=，即29920λλ-+=，解得：1233λλ==或 所以N 点的坐标为()()0,1,20,2,1或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）设右焦点为(),0c3=，∴c =222a b =+，将点1,⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程可得：2222232b a a b +=， ∴222,4b a ==，故椭圆E 的方程为22142x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由0x my t --=，得：x my t =+，把它代入椭圆E 的方程得：()2222240m y mty t +++-=，()()22224424m t m t ∆=-+-，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122224,22mt t y y y y m m -+=-=++，故()12122422tx x m y y t m +=++=+，()()()2222121212122242t m x x my t my t m y y tm y y t m -=++=+++=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM AN ⊥，所以()()11222,2,AM AN x y x y =++u u u u v u u u vg g()()()12121222222222224244424222384223202x x x x y y t m t t m m m t t m t t m =++++--=+⨯+++++++=+++==+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为,M N 均与A 不重合，所以2t ≠-，所以23t =-， 故直线l 的方程是203x my -+=，直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于点T 在椭圆内部， 所以满足判别式大于0，所以直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 21．解：（1）∵[)0,x ∈+∞，∴()212x a f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()212x a f x e x ax ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭， 由题意()0f x '≥在[)0,+∞上恒成立，当0a =时，()0xf x e '=>恒成立，即满足条件 ， 当0a ≠时，要使()0f x '≥，而0x e >恒成立， 故只需2102a x ax --+≥在[)0,+∞上恒成立，即20200102a a a ⎧->⎪⎪⎨⎪--+≥⎪⎩g g ， 解得：0a <，综上，a 的取值范围为0a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当0x ≥时，要证明212x xa e x e x -≤+成立， 只需证212x x a e x e x ≤++，即证2112x a x x e +≤+，① 令()212x a x g x x e +=+，得()()()211x x x x e x e x g x ax ax e e -+'=+=-g ， 整理得：()1x g x x a e ⎛⎫'=-⎪⎝⎭， ∵0x ≥时，11xe ≤，结合1a ≥，得()0g x '≥， ∴()g x 在[)0,+∞上是增函数，故()()01g x g ≥=，从而①式得证，在0x ≤时，要使212x xa e x e x -≤+成立， 只需证212x x a e x e x -≤++，即证()22112x x a x e x e --≤++，② 令()()2212x x ax m x e x e --=++，得()21x x m xe e a x -'⎡⎤=-+-⎣⎦， 而()()1x x e a x ϕ=+-在0x ≤时为增函数，故()()010x a ϕϕ≤=-≤，从而()0m x '≤，∴()m x 在0x ≤时为减函数，则()()01m x m ≥=，从而②式得证， 综上所述，原不等式212x x a e x e x -≤+，即()1f x x ≤+在1a ≥时恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （3）要使()1f x x >+成立，即212x xa e x e x ->+，③ 要找一个0x >使③式成立，只需找到函数()2112x ax x t x e+=+-的最小值，满足()min 0t x <即可．∵()1xt x x a e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 令()0t x '=得：1x e a=，则ln x a =-， 在0ln x a <<-时，()0t x '<，在ln x a >-时，()0t x '>即()t x 在()0,ln a -上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数，∴当ln x a =-时，()t x 取得最小值()()()2ln ln ln 112a t a a a a -=+-+-， 下面只需证明：()2ln ln 102a a a a a -+-<在01a <<时恒成立即可． 令()()2ln ln 12a p a a a a a =-+- 则()()21ln 02p a a '=≥，从而()p a 在()0,1上是增函数， 则()()10p a p <=，从而()2ln ln 102a a a a a -+-<，得证， 于是()t x 的最小值()ln 0t a -<，因此可找到一个实数()ln 01x a a =-<<，使得③式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i3．（5分）在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．105．（5分）设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）7．（5分）若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）8．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC ＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣110．（5分）已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．11．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（5分）已知函数f（x）＝ae2x﹣2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜e+e+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣1n2，+∞）D．[﹣5，+∞）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a＝．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．15．（5分）某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为万元．16．（5分）已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B 两点，且AM恰与抛物线C相切，那么线段AB的中点坐标为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．18．（12分）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B ＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若∠BAD＝，AA1＝A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）．21．（12分）已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解：因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，M＝{﹣8，0，1}，所以M∩N＝{0，1}．故选：B．2．（5分）如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i【分析】由已知求得z，代入z+，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，得z＝1﹣i，则z+＝1﹣i+＝1﹣i+＝3+i．故选：A．3．（5分）在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出阴影部分的面积，作商即可．解：连结AC和BD交与点O，如图示：由对称性可得，S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△AOB；故所求概率为：1﹣＝，故选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．10【分析】根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7＝a4a6q＝（a5）2q＝45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有＝＝q（1+q），计算即可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，若a5＝3，a4a7＝45，则a4a7＝a7a6q＝（a5）2q＝45，则q＝5，故选：A．5．（5分）设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．解：∵+＝（m，﹣3），＝（3，1），（+）⊥，∴3m﹣3＝0，可得m＝5，可得+＝（1，﹣3），∴＝（3，﹣4），∴设、的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．故选：D．6．（5分）若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）【分析】求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立，然后求出实数a 的取值范围．解：因为f（x）＝e x（sin x+a），所以f′（x）＝e x（sin x+a+cos x）．要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立．所以a≥﹣sin x﹣cos x，所以﹣≤﹣sin x﹣cos x≤，故选：A．7．（5分）若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）【分析】直接利用函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f（）＝±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．解：由于函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象函数y＝f（x）的周期T，满足，所以ω＝4．整理得φ＝kπ+（k∈Z），解得φ＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．8．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC ＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD【分析】由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．解：△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣1【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S＝+++…++的值，用裂项法即可得解．解：模拟执行程序框图，可得N＝10，S＝0，k＝1满足条件k＜10，k＝2，S＝+，…不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．10．（5分）已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．【分析】设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可．解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线方程为：y＝k（x+2），可得kx﹣y+2k＝0，圆x2+y2﹣5x+3＝0的圆心（，0），半径为：，不妨取切线方程y＝（x+2）代入圆的方程可得：（1+）x2﹣5x+x+4+＝0，解得x＝2，解得a＝b＝，故选：C．11．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，根据定义逐一判断即可得出结论．解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；（3）根据（2）得（3）错误；（5）正三角形的边长为7，则三角形对应的扇形面积为＝，则一个弓形面积S′＝﹣，而圆的面积为π＝，不相等，故错误．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝ae2x﹣2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜e+e+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣1n2，+∞）D．[﹣5，+∞）【分析】令e x＝m，问题可化为f（m1）+f（m2）＜m1+m2+t恒成立，设h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，根据函数的单调性求出其最大值，确定t的范围即可．解：令e x＝m，则f（m）＝am2﹣2m+lnm，显然m＞0，不等式f（x8）+f（x2）＜e+e+t恒成立，由f（m）＝am2﹣2m+lnm，f′（m）＝（m＞0），所以方程2am2﹣2m+1＝0在（0，+∞）上有两个不相等的正实数根，因为f（m1）+f（m6）﹣（m1+m2）＝a[（m1+m2）3﹣2m1m2]﹣3（m1+m3）+ln（m1m2）设h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，故h（a）在（0，）上单调递增，所以t≥﹣5，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a＝﹣1．【分析】由已知列式求得n，写出二项展开式的通项，再由x的指数为0求得r值，由常数项为20求解a值．解：∵二项式（x﹣）n的二项式系数之和为64，∴2n＝64，即n＝6．由＝．∴，即a＝﹣8．故答案为：﹣1．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．．【分析】通过数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简的表达式，然后求和即可．解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，S n＝n+＝n2，可得数列{}的前n项和为1+3+3+…+n＝．故答案为：．15．（5分）某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为5万元．【分析】由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z，则目标函数z＝2x+y，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值．解：由题意可知，设该车间每天的利润为z，则z＝2x+y，由图可知，当目标函数过点A时，取得最大值，所以z的最大值为5×2+1＝5，故答案为：5．16．（5分）已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B 两点，且AM恰与抛物线C相切，那么线段AB的中点坐标为（，）．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x1，x2，求得直线l的斜率．然后求解中点坐标．解：抛物线C的焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x6，y2），直线AB的方程为y ＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，由y＝，求导y′＝x，直线AM的斜率k＝＝＝x3，整理得x12﹣3x4﹣4＝0，所以或，即k＝，AB的中点坐标为（，）．故答案为：（，）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）由频率分布直方图求出第四、五组的频率，乘以800得答案；（2）由（1）知，第一小组共有3人，其中2男1女；第五小组有4人，其中1男3女，可得ξ的所有取值为：1，2，3．利用古典概型求概率，可得ξ的分布列，再由期望公式求期望．解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为（0.032+0.008）×10＝0.2，故根据样本数据可估计出该校本次数学模拟考试中成绩优秀人数为800×0.4＝320人；则ξ的所有取值为：1，2，7．P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ163P期望E（ξ）＝＝．18．（12分）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式解得a＝2，由已知可求b sin C＝，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得sin（A+）＝1，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求解A的值．解：（1）∵b cos C+c cos B＝2，∴由余弦定理可得：b•+c•＝8，∵b sin C＝a＝，（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，因为：A∈（0，π），可得：A+＝，可得A＝．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若∠BAD＝，AA1＝A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）连接BO1、PO1，易证得PO1∥BB1∥DD1，即P、B、O1、D四点共面；由四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等，可推出四边形PBO1D为平行四边形，故PB∥O1D；再由线面平行的判定定理即可得证．（2）以O1为原点，O1A1、O1B1、O1P所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设O1B1＝1，依次写出O1、A、B、P、C的坐标，根据法向量的性质求出平面ABO1和平面PBC的法向量为与，再由cos＜，＞＝即可得解．【解答】（1）证明：连接BO1、PO1，由题知，PO1⊥平面A1B3C1D1且四棱柱ABCD﹣A1B1C1D7的侧棱与底面垂直，∵四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等，∴四边形PBO1D为平行四边形，又O1D⊂平面ADO7，PB⊄平面ADO1，∴以O1为原点，O1A1、O1B1、O8P所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴O1（0，0，2），A（，0，2），B（0，1，2），P（0，0，4），C（，0，7），设平面ABO1的法向量为＝（x，y，z），则，即，同理可得，平面PBC的法向量＝（﹣2，，）．故平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值为．20．（12分）巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）．【分析】（1）求导得f'（x）＝，定义域为（0，+∞），再分a≤0和a＞0两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性，从而求极值；（2）问题转化为g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）⇔f（xe x）≥2lna﹣2ln2，求出函数的最小值，证明结论即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，∴f'（x）＝a﹣＝，定义域为（5，+∞），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；∴极小值为f（）＝2（lna﹣ln2），无极大值．当a≤0时，函数f（x）无极值；（3）证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）⇔axe x﹣4lne x﹣2lnx﹣2≥2lna﹣2ln2⇔f（xe x）≥2lna﹣7ln2，即f（x）≥2lna﹣2ln2恒成立，故f（xe x）≥2lna﹣2ln2，即原不等式得证．21．（12分）已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．【分析】（1）设Q（x，y），由题意列式，化简得答案；（2）（i）证明AB的斜率为0时，H恰为线段MN的中点．当AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN中点的纵坐标，即可验证H恰为线段MN的中点；（ii）当AB的斜率不为0时，求出以MN为直径的圆的方程，取y＝0可得圆过定点（1，0）或（7，0），验证AB的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G（1，0）或（7，0），使得以MN为直径的圆过G．【解答】（1）解：设Q（x，y），由题意得：，化简可得动点Q的轨迹方程为：；直线PB：y＝﹣，得N（5，﹣3）．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），H（4，）．∴，．同理可得N（4，）．∴线段MN的中点坐标为（3，），即为H点．（ii）解：当直线AB的斜率不等于0时，|MN|＝||＝||．若存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G，由对称性可知，G一定在x轴上．则＝解得x＝1或x＝7．当直线AB的斜率等于0时，M（4，3），N（2，﹣3），H（4，0），综上，存在定点G（1，0）或（7，6），使得以MN为直径的圆过G．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把直线的普通方程转换为极坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果，最后求出点A和B的极坐标．解：（1）已知直线l：x＝4，转换为极坐标方程为ρcosθ＝4．圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．整理得ρ2＝4ρsinθ，根据转换为直角坐标方程为x2+y2﹣3y＝0．得到A（4sinα，α），B（），若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，当时，|MN|min＝2，即最小值为7．所以点A（2），B（4）．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由参数分离和绝对值不等式的性质，即可得到所求范围；（2）可令3a+b＝s，a+2b＝t，用s，t表示a，b，结合乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值．解：（1）f（x）＝+﹣m＝|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0⇔m≤|x+1|+|x﹣5|恒成立，因为|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|＝6，当且仅当﹣1≤≤3时取得等号．（2）由（1）可得n＝3，即+＝4，（a ＞7，b＞0），即有+＝4，所以7a+4b＝+＝2s+t当且仅当s ＝t，即b＝2a ＝时取得等号．所以7a+4b的最小值为．。

四川省德阳市高中2020级第三次诊断性考试数学（理）试题说明：1．本试卷分第I 卷和第II 卷，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回。

2．本试卷满分150分，120分钟完卷。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．若集合{|2},{||12}M x x N x x =<=-<，则M N I =（ ） A ．{|12}x x -<< B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|13}x x -<< 2．若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于点（0，0）对称，则圆C 的方程为（ ）A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．22(2)(1)1x y -++=C ．22(1)(2)1x y -++=D ．22(1)(2)1x y ++-=3．复数21i i -的虚部为（ ） A ．i B ．-i C ．1 D ．-14．已知:0,:||||p a b q a b a b ⋅=+=-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在同一坐标系中，函数()g x 的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，函数()()f xg x 与的图象关于y 轴对称，若()1,f m =-则m 的值是（ ） A ．-e B ．1e - C ．e D ．1e -- 6．若二项式53()y x +的展开式中第三项为10，则y 关于x 的函数的大致图象是 （ ）7．若17cos(),sin(2)446ππαα=-则=（ ） A ．3132 B ．3132- C ．78 D ．78- 8．在北纬60︒圆上，有甲、乙两地，它们在纬度圆上的弧上等于2R π（R 为地球半径），则甲、乙两地间的球面距离为（ ）A ．13R π B ．22R π C ．2R π D ．32R π 9．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()f f x =是导函数'()f x的图象如图所示，若两正数a 、b 满足2(2)1,2b f a b a ++<+则的取值范围为（ ） A ．11(,)32B ．(,)2π-∞C ．1(,3)2D ．1((,)(3,)2-∞+∞U 10．如图是一个正方体纸盒的展开图，1、2、3、4、5、6全部随机填入标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F 的小正方形内，再折成正方体，则所得正方体恰有一个相对面的两个数之和为7的概率为 （ ）A ．25B ．815C ．115D ．12011．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，212PF F F ⊥原点到直线PF 1的距离为11||3OF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 BC ．2 D12．在平面直角坐标系中，定义11n n n n n nx y x y y x ++=-⎧⎨=+⎩（n 为正整数）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的一个变换，将之称为点变换，已知1222111(0,1),(,),,(,)n n n P P x y P x y +++L …是经过点变换得到的一列点，并记1n n n a +为点P 与P 间的距离，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则limn n n S a →∞的值为（ ）AB．2C．1D．2 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

四川省德阳市2020届高考数学三诊试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={−1,0，1}，N ={x|x 2≤x}，则M ∩N =A. {0}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1,0，1}2. 如图，若向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z ，则复数z +4z 为( )A. 3+iB. −3−iC. 3−iD. 1+3i3. 在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为( )A. π16B. π12C.4−π4D. 144. 已知等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45，则a 7−a 9a 6−a 7的值为( )A. 30B. 25C. 15D. 10 5. 设向量a ⃗ =(−2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(m,−3)，c ⃗ =(3,1)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥c ⃗ ，设a ⃗ 、b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=( ) A. −35 B. 35 C. √55D. −2√556. 若函数f(x)=e x (sinx +a)在区间R 上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A. [√2,+∞)B. (1,+∞)C. [−1,+∞)D. (√2,+∞)7. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)，已知函数y =|f(x)|的图象如图，则( )A. f(x)=2sin(4x +π3) B. f(x)=2sin(4x −π3) C. f(x)=2sin(43x −8π9)D. f(x)=2sin(43x +8π9)8. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，在△BCD 中∠BCD =90°且BC =3.将△ABC 沿BC 边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若AM =32，那么( )A. 平面ABD ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面ABDC. AB ⊥CDD. AC ⊥BD9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是10，那么输出的S是( )A. 2B. √10−1C. √11−1D. 2√3−110. 已知双曲线x 2a2−y 2b2=1与圆x 2+y 2−5x +4=0交于点P ，圆在点P 处的切线恰好过双曲线的左焦点(−2,0)，则双曲线的离心率为( )A. √14+√2B. √14+√23C. √2D. 2√3+√2311. 将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形)，下列关于曲线Γ的描述中，正确的有( ) (1)曲线Γ不是等宽曲线；(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； (3)曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； (4)在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 已知函数f(x)=ax 2−2x +lnx 有两个极值点x 1，x 2，若不等式f(x 1)+f(x 2)<x 1+x 2+t 恒成立，那么t 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. [−2−2ln2,+∞)C. [−3−ln2,+∞)D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−x −3x +3,x <1−lg(11x 2+1),x ≥1，则f[f(3)]=______．}的前n项和为______．14.设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=2n−1，则数列{S nn15.某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为______万元．,−1)，直线l过抛物线C：x2=4y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛16.已知点M(32物线C相切，那么直线l的斜率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100,110)，第二组[110,120)，…，第五组[140,150]，得到频率分布直方图．(1)若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；(2)若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生．现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率．18.在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2，bsinC=√3a.2(1)求△ABC的面积；(2)若b：c=√3：1，求A．19.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P−ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P−ABCD和四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高相等．(1)证明：PB//平面ADO1；(2)若AB=BD=BB1=2，求几何体P−AB1C1的体积．20.巳知函数f(x)=ax−2lnx−2，g(x)=axe x−4x．(1)求函数f(x)的极值；(2)当a=2时，证明：g(x)+f(x)≥0．21.已知动点Q到点F(1,0)的距离和到直线l：x=4的距离之比为1．2(1)求动点Q的轨迹方程C；)，过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x=4于(2)已知点P(1,32M、N、H．(i)证明：H恰为线段MN的中点；(ii)是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x=4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；(2)射线OP：θ=α(α∈(0,π2))交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．23.已知函数f(x)=√x2+2x+1+√x2−6x+9−m≥0恒成立．(1)求m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0，1}，所以M∩N={0,1}．故选B．求出集合N，然后直接求解M∩N即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.答案：A解析：解：由题意，得z=1−i，则z+4z =1−i+41−i=1−i+4(1+i)(1−i)(1+i)=1−i+2+2i=3+i．故选：A．由已知求得z，代入z+4z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：由对称性可得，阴影部分的面积等于△AOB的面积；而△AOB的面积占整个正方形面积的14；故所求概率为：14．故选：D．根据对称性得到阴影部分的面积等于△AOB的面积；再结合面积比即可求解结论．本题主要考查几何概型的应用，属于基础题目．4.答案：A解析：解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，若a5=3，a4a7=45，则a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，则q=5，则a7−a9a6−a7=q−q31−q=q(1+q)=30；故选：A．根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有a7−a9a6−a7=q−q31−q=q(1+q)，计算即可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．5.答案：D解析：解：∵a⃗+b⃗ =(m,−3)，c⃗=(3,1)，(a⃗+b⃗ )⊥c⃗，∴3m−3=0，可得m=1，可得a⃗+b⃗ =(1,−3)，∵a⃗=(−2,1)，∴b⃗ =(3,−4)，可得|a⃗|=√5，|b⃗ |=5，∴a⃗⋅b⃗ =−6−4=−10，∴设a⃗、b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=√5×5=−2√55．故选：D．由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查了转化思想，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为f(x)=e x(sinx+a)，所以f′(x)=e x(sinx+a+cosx)．要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立．即sinx+a+cosx≥0恒成立．所以a≥−sinx−cosx，因为−sinx−cosx=−√2sin(x+π4)所以−√2≤−sinx−cosx≤√2，所以a≥√2．故选：A．求函数的导数，要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立，然后求出实数a的取值范围．本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．7.答案：A解析：解：由于函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，根据函数的图象函数y=f(x)的周期T，满足34T=2π3−7π24=9π24，解得T=8π，所以ω=4．当x=7π24时，f(7π24)=±2，整理得4×7π24+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ−2π3(k∈Z)，当k=1时，φ=π3．故选：A．直接利用函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f(7π24)=±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质，函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，BC=3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM=32，由AM=12BC，可得M为BC的中点，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，又CD⊥BC，AM，BC为相交直线，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．本题考查线面垂直的判定和垂直，考查推理能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=√2+1，满足条件k<10，k=2，S=√2+1+√3+√2，满足条件k<10，k=3，S=√2+1+√3+√2+√4+√3，…满足条件k<10，k=10，S=1√2+1+1√3+√2+1√4+√3+⋯+1√10+√9+1√11+√10=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√11=√11−1，不满足条件k<10，退出循环，输出S的值为√11−1．故选：C．。

四川省德阳市2020届高三三诊考试数学理试题数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|60,B |0A x x x x x =+-<=<，则R A C B =I （ ）A ．{}|02x x ≤<B ．{}|32x x -<<C ．{}|60x x -<<D ．{}|0x x ≥ 2.已知,a b R ∈，且()120,a b i i -++=为虚数单位，则复数()2a bi +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2sin sin cos 2a A B b A a +=是2b a =的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.在 5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）A ．20B ．-10C ．-10，10D ．105.已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．403 B ．203C ．40D ．20 7.若函数()()3sin 3cos f x x x x R ωω=-∈的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则正数ω的最小值为（ ） A ．32 B ．23 C ．43D ．138.若ABC ∆5O 的内接三角形，3450OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，则OC AB u u u v u u u vg 为（ ）A ．1B ．-1C ．6D ．-6 9.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点)3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．32 B ．43 C ．45 D ．2310.已知函数()2f x x x a x =-+，若存在[]3,3α∈-，使关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则t 的取值范围为（ ） A ．95,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．251,24⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上11.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，则2211log83-⎛⎫⎛⎫⊗=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12.已知双曲线()22122:10,0x yC a ba b-=>>的焦距是实轴长的2倍，若抛物线()22:20C x py p=>的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为___________．13.我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，事件A发生的概率为__________．（结果用数值表示）14.若,x y满足约束条件1122x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y=+仅在点()1,0处取得最小值，则实数a的取值范围是__________．15.已知有限集{}()123,,,,2nA a a a a n=≥L，如果A中元素()1,2,3,,ia i n=L满足1212n na a a a a a=+++L L，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合1515⎧-+--⎪⎨⎪⎪⎩⎭，是“复活集”；②若12,a a R∈，且{}12,a a是“复活集”，则124a a>；③若*12a a N∈，则{}12,a a不可能是“复活集”；④若*ia N∈，则“复合集”A有且只有一个，且3n=．其中正确的结论是___________．（填上你认为正确的所有结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分12分）已知数列{}n a的前n项和是n S，且()*22n nS a n N+=∈．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设()()*31log1n nb S n N+=-∈，求12231111n nb b b b b b++++L．17.（本题满分12分）某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，假设参赛者甲答对每一个题的概率都是23，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望．18.（本题满分12分）已知向量)33sin,1,sin,2m x x n x⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数()f x n m=g．（1）求函数()f x的最小正周期T及单调递增区间；（2）已知,,a b c分别为ABC∆内角,,A B C的对边，23,4a c==，且()f A是函数()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC∆的面积S．19.（本题满分12分）如图，已知边长为6的菱形0,120,ABCD ABC AC ∠=与BD 相交于O ，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使32BD =．（1）若M 是BC 的中点，求证：在三棱锥D ABC -中，直线OM 与平面ABD 平行； （2）求二面角A BD O --的余弦值；（3）在三棱锥D ABC -中，设点N 是BD 上的一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =20.（本题满分13分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点到直线220x y -+=的距离为3，且过点61,⎛- ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）设椭圆E 的左顶点是A ，直线:0l x my t --=与椭圆E 相交于不同的两点,(,M N M N 均与A 不重合），且以MN 为直径的圆过点A ，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标． 21.（本题满分14分） 已知函数()22xxa f x e x e =-． （1）求()f x 在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：当1a ≥时()1f x x ≤+；（3）对于在()0,1中的任一个实数a ，试探究是否存在0x >，使得()1f x x >+成立？如果存在，请求出符合条件的一个x ；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题二、填空题11. -3 12. 216x y = 13. 11214. 42a -<< 15. ①③④ 三、解答题16.解：（1）当1n =时，11a S = ，由1122S a += 得：123a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故()1*2112333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭g g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由11123nn n S a ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()13131log 1log 13n n n b S n ++⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭故()()111111212n n b b n n n n +==-++++， 因此122311111111111123341222n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．．．．．．．．．．．．．．12分17.解：（1）设平均成绩的估计值为X ，则：()200.001400.004600.009800.0201000.0131200.0021400.0012080X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记甲在初赛中的答题个数为随机变量ξ，则ξ的可能值为3，4，5()()332221332213133322222210411133333327P P C C ξξ⎛⎫⎛⎫==+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222442222228511133333327P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（或()11085132727P ξ==--=）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则ξ的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以ξ的数学期望11081073453272727E ξ=⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）()23sin cos 2f x n m x x x ==++g 1cos 2322212cos 2222sin 226x x x x x π-=+=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为2ω=，所以22T ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故所求单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52666x πππ-≤-≤， 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值3，由()3f A =得：3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-， 可得：211216242b b =+-⨯⨯，∴2b =， 从而11sin 24sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O是AC的中点，又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC∆的中位线，//OM AB，因为OM⊄平面,ABD AB⊂平面ABD，所以//OM平面ABD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）解：由题意可知，3OB OD==，因为32BD=，所以090,BOD OB OD∠=⊥，又因为菱形ABCD，所以,OB AC OD AC⊥⊥，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则()()()33,0,0,0,3,0,0,0,3A D B，所以()()33,0,3,33,3,0AB AD=-=-u u u v u u u v．设平面ABD的法向量为(),,n x y z=，则有AB nAD n⎧=⎨=⎩u u u vgu u u vg，即33303330x zx y⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x=，则3,3y z==(3,3n=．因为,AC OB AC OD⊥⊥，所以AC⊥平面BOD，平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的一个法向量为()1,0,0n=，7cos17n nn nn n===⨯gg因为二面角A BD O--的平面角是锐角所以二面角A BD O --的余弦值为7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）解：设()111,,N x y z ，因为N 是线段BD 上的一个动点，设BN BD λ=u u u v u u u v，即()()111,,30,3,3x y z λ-=-， 所以1110,3,33x y z λλ===-，则()()0,3,33,,33N CN λλλλ-=-u u u v，由CN ==，即29920λλ-+=，解得：1233λλ==或 所以N 点的坐标为()()0,1,20,2,1或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）设右焦点为(),0c3=，∴c =222a b =+，将点1,2⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得：2222232b a a b +=， ∴222,4b a ==，故椭圆E 的方程为22142x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由0x my t --=，得：x my t =+，把它代入椭圆E 的方程得：()2222240m y mty t +++-=，()()22224424m t m t ∆=-+-，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122224,22mt t y y y y m m -+=-=++，故()12122422tx x m y y t m +=++=+，()()()2222121212122242t m x x my t my t m y y tm y y t m -=++=+++=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM AN ⊥，所以()()11222,2,AM AN x y x y =++u u u u v u u u v g g()()()12121222222222224244424222384223202x x x x y y t m t t m m m t t m t t m =++++--=+⨯+++++++=+++==+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为,M N 均与A 不重合，所以2t ≠-，所以23t =-， 故直线l 的方程是203x my -+=，直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于点T 在椭圆内部， 所以满足判别式大于0，所以直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 21．解：（1）∵[)0,x ∈+∞，∴()212x a f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()212x a f x e x ax ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭， 由题意()0f x '≥在[)0,+∞上恒成立，当0a =时，()0xf x e '=>恒成立，即满足条件 ， 当0a ≠时，要使()0f x '≥，而0x e >恒成立， 故只需2102a x ax --+≥在[)0,+∞上恒成立，即20200102a a a ⎧->⎪⎪⎨⎪--+≥⎪⎩g g ， 解得：0a <，综上，a 的取值范围为0a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当0x ≥时，要证明212x x a e x e x -≤+成立，只需证212x x a e x e x ≤++，即证2112x a x x e+≤+，① 令()212x a x g x x e +=+，得()()()211x x x x e x e x g x ax ax e e -+'=+=-g ， 整理得：()1x g x x a e ⎛⎫'=-⎪⎝⎭， ∵0x ≥时，11x e≤，结合1a ≥，得()0g x '≥， ∴()g x 在[)0,+∞上是增函数，故()()01g x g ≥=，从而①式得证，在0x ≤时，要使212x xa e x e x -≤+成立， 只需证212x x a e x e x -≤++，即证()22112x x a x e x e --≤++，② 令()()2212x x ax m x e x e --=++，得()21x x m xe e a x -'⎡⎤=-+-⎣⎦， 而()()1xx e a x ϕ=+-在0x ≤时为增函数， 故()()010x a ϕϕ≤=-≤，从而()0m x '≤，∴()m x 在0x ≤时为减函数，则()()01m x m ≥=，从而②式得证， 综上所述，原不等式212x x a e x e x -≤+，即()1f x x ≤+在1a ≥时恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （3）要使()1f x x >+成立，即212x xa e x e x ->+，③ 要找一个0x >使③式成立，只需找到函数()2112x ax x t x e+=+-的最小值，满足()min 0t x <即可．∵()1xt x x a e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 令()0t x '=得：1x e a=，则ln x a =-， 在0ln x a <<-时，()0t x '<，在ln x a >-时，()0t x '>即()t x 在()0,ln a -上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数，∴当ln x a =-时，()t x 取得最小值()()()2ln ln ln 112a t a a a a -=+-+-， 下面只需证明：()2ln ln 102a a a a a -+-<在01a <<时恒成立即可． 令()()2ln ln 12a p a a a a a =-+- 则()()21ln 02p a a '=≥，从而()p a 在()0,1上是增函数， 则()()10p a p <=，从而()2ln ln 102a a a a a -+-<，得证， 于是()t x 的最小值()ln 0t a -<，因此可找到一个实数()ln 01x a a =-<<，使得③式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。

四川省2020年高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·台州模拟) 若全集，集合，，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·湘潭模拟) 若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A .B .C . 1D .3. （2分）已知，则cos2α+sinα•cosα的值是（）A .B .C .D .4. （2分）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·内蒙古月考) 过点作一直线与圆相交于M、N两点，则的最小值为（）A .B . 2C . 4D . 66. （2分） (2017高二下·广州期中) 观察式子：1+ ＜，1+ + ＜，1+ + + ＜，…，则可归纳出式子为（）A . 1+B . 1+C . 1+D . 1+7. （2分） (2020高一下·无锡期中) 正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为，则的取值范围是（）A . 一定是锐角B . 一定是钝角C . 可能是直角D . 可能是锐角，钝角，但不是直角8. （2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·黑龙江模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·江西月考) 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是（）A .B .C .D .11. （2分）(2019·齐齐哈尔模拟) 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值，过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线，若﹣3＜m＜﹣2，则满足条件的切线条数是（）A . 1B . 2C . 3D . 1或2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·湖南理) 若，则常数T的值为________．14. （1分） (2016高二下·九江期末) 设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是________．15. （1分）(2017·大理模拟) 在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是________．16. （1分） (2017高一上·黑龙江月考) 已知，且方程无实数根，下列命题：⑴方程一定有实数根；（2）若，则不等式对一切实数都成立；（3）若，则必存在实数，使；（4）若，则不等式对一切实数都成立．其中，正确命题的序号是________．（把你认为正确的命题的所有序号都填上）三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2020·金华模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知：a5＝2a2+3且a2 ，，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{bn}满足bn2Sn+1＝Sn+1+2，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．18. （10分） (2017高三上·汕头开学考) 如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．（1）证明：平面ACP⊥平面ABC；（2）若E为棱PB与P不重合的点，且AE⊥CE，求AE与平面ABC所成的角的正弦值．19. （10分）(2020·呼和浩特模拟) 检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，即将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，再对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 .（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点 .当时，根据和的期望值大小，讨论当取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数据：，，，，， .）20. （5分）设F1 ， F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21. （10分） (2018高二下·西安期末) 已知函数 .（1）当时，求的图像在处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.22. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷文) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（10分）（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．23. （10分）(2016·中山模拟) 选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020年德阳市高考数学模拟试卷(理科)(三)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={1}，则下列关系正确的是()A. 1∉(A∪B)B. 1∉(A∩B)C. 2∈(A∪B)D. 2⊈(A∩B)2.已知向量a⃗=(−1,4)，b⃗ =(x,2)，若a⃗//b⃗ ，则x=()A. −8B. −12C. 12D. 83.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，P(ξ≤4)=0.74，则P(0≤ξ≤2)=()A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.524.已知a，b∈R，则“b≥0”是“(a+1)2+b≥0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知α,β为两个不同的平面，l为直线，则以下说法正确的是()A. 若l//α，α//β，则l//βB. 若l//α，α⊥β，则l⊥βC. 若l⊥α，l//β，则α⊥βD. 若l⊥β，α⊥β，则l//α6.已知正实数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则5−8xyz的最小值是()A. 6B. 5C. 4D. 37.设复数x=2i1−i (i是虚数单位)，则C20191x+C20192x2+C20193x3+⋯+C20192019x2019=()A. iB. −iC. −1+iD. −1−i8.函数f(x)=3sinx+cosx的最大值为()A. 2√2B. 2C. √10D. 49.有黑、白、红三种颜色的小球各5个，都分别标有数字1，2，3，4，5，现取出5个，要求这5个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有()A. 120种B. 150种C. 240种D. 260种10.在△ABC中，A=π2，AB=2，AC=1.D是BC边上的动点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是()A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]11.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f′(x)⋅tanx>f(x)成立，则()A. √3f (π6)<f (π3) B. √3f (π6)>2cos1⋅f (1) C. √6f (π6)>2f (π4)D. √2f (π4)>f (π3)12. 已知F 1,F 2是双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. √13C.√132D. √3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若实数x ，y 满足约束条件{x −2y ≥0,x −y −1≤0,y ≥0,则目标函数z =2x +y 的最大值为________． 14. 设函数f(x)={e −x ,x ≤0,lnx,x >0,则f (f (13))=________．15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10,S 5≤15，则a 4的最大值为_______．16. 在三棱锥A −BCD 中，∠BAC =∠BDC =60∘，二面角A −BC −D 的余弦值为−13，当三棱锥A −BCD 的体积的最大值为√64时，其外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，BC =√7．(1)求角A 的大小； (2)求cos(B −C)的值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，AB=3CD=3，AD=2，E为AD的中点，△PCE为等边三角形，且平面PCE⊥平面ABCD．(1)求证：PE⊥BC．(2)求BE与平面PCD所成角的正弦值．x2−(a+1)x+alnx+1(a∈R)．19.已知函数f(x)=12(1)若函数f(x)在x=2处取得极值，求f(x)的极大值；(2)若f(x)≥1对∀x∈(0,+∞)成立，求实数a的取值范围．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x −√5y +12=0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A(−4,0)，过点R(3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x =163于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为k 1、k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21. 关于x 与y 有如下数据：有一个线性模型：y =7x +17。

四川省2020版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·运城期末) 已知集合A={x|（x﹣1）（3﹣x）＜0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A . [﹣2，1）B . （1，2]C . [﹣2，﹣1）D . （﹣1，2]2. （2分）(2017·武汉模拟) =（）A . 1+iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . ﹣1﹣i3. （2分）在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列{}的前n项和为Sn ，若S2n+1﹣Sn≤，∀n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是（）A . ①②④B . ①②③C . ①③④D . ①②③④5. （2分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④6. （2分）某电台现录制好10首曲目，其中美声唱法2首，民族唱法4首，通俗唱法4首.拟分两期播出，每期播放其中5首，要求三种唱法每期都有，通俗唱法曲目不得相邻，且第一期的最后一首曲目必须是美声唱法. 则不同的编排方法种数为（）A . 40320B . 80640C . 35712D . 714247. （2分） (2018高一上·台州期末) 下列函数中是奇函数的为（）A .B .C .D .8. （2分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A . π+24B . π+20C . 2π+24D . 2π+209. （2分）双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .10. （2分）函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移个长度单位11. （2分）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A . 3B . 4C . 18D . 4012. （2分） (2016高二上·浦东期中) 当m≠﹣1时，下列关于方程组的判断，正确的是（）A . 方程组有唯一解B . 方程组有唯一解或有无穷多解C . 方程组无解或有无穷多解D . 方程组有唯一解或无解二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·大连期末) 在二项式的展开式中，的系数为________．14. （1分）(2017·成安模拟) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc，，，则b+c的取值范围是________．15. （1分）已知sinθ=，θ∈（﹣，），则sin（π﹣θ）sin（π﹣θ）的值为________16. （1分）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式an=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2020高一上·长春期末)（1）计算的值；（2）已知，求和的值．18. （10分） (2017高二上·枣强期末) 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC=BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由．19. （10分） (2017高二上·孝感期末) 2016年12月1日，汉孝城际铁路正式通车运营．除始发站（汉口站）与终到站（孝感东站）外，目前沿途设有7个停靠站，其中，武汉市辖区内有4站（后湖站、金银潭站、天河机场站、天河街站），孝感市辖区内有3站（闵集站、毛陈站、槐荫站）．为了了解该线路运营状况，交通管理部门计划从这7个车站中任选3站调研．（1）求孝感市辖区内至少选中1个车站的概率；（2）若孝感市辖区内共选中了X个车站，求随机变量X的分布列与期望．20. （5分） (2018高二下·中山月考) 我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．21. （5分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．22. （5分）(2017·淮安模拟) 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t 为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．23. （10分） (2019高三上·西安月考) 已知函数 .（1）若，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、22-1、23-1、23-2、。

2020届四川省德阳市高三下学期三模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|20}A x x x =-=,集合{1,2,3}B =,则下列结论正确的是（ ）A. 2()A B ⊆⋂B. 2()A B ∈⋂C. A B φ⋂=D. A B B ⋃=【答案】B【解析】求出集合A ,集合B ,从而{}2A B ⋂=,{}0,1,2,3A B ⋃=．由此能求出结果． 【详解】解：集合{}{}2|200,2A x x x =-==,集合{1,2,3}B =,所以{}2A B ⋂=,{}0,1,2,3A B ⋃=2()A B ∴∈ 故A 、C 、D 均错误,B 正确．故选：B ．2. 设向量(1,1),(2,)a b x =-=,若//a b ,则x =（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】D【解析】根据向量,a b 的坐标以及//a b 即可得出20x +=,解出x 即可． 【详解】解：(1,1),(2,)a b x =-=,且//a b1(1)20x ∴--=,解得2x =-．故选：D ．3. 已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，,(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤（ ）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84 【答案】A【解析】由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=,选A.4. 若,a b ∈R ,则“220a b +≠”是“,a b 不全为零”（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件 【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案．【详解】①由“220a b +≠”可以推出“,a b 不全为零”．即“220a b +≠”是“,a b 不全为零”充分条件．②“,a b 不全为零”可以推出“220a b +≠”．即“220a b +≠”是“,a b 不全为零”必要条件．综上所述,“220a b +≠”是“,a b 不全为零”充要条件．故选：A ．5. 设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂（ ） A. 若l β⊥,则αβ⊥ B. 若αβ⊥,则l m ⊥ C. 若//l β,则//αβ D. 若//αβ,则//l m【答案】A 试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线,则两面垂直,可得。

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={−1,0，1}，N ={x|x 2≤x}，则M ∩N =A. {0}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1,0，1}2. 如图，若向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z ，则复数z +4z 为( )A. 3+iB. −3−iC. 3−iD. 1+3i3. 在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为( )A. 16−π16B.12−π12C. π4 D. 344. 已知等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45，则a 7−a 9a 6−a 7的值为( )A. 30B. 25C. 15D. 105. 设向量a ⃗ =(−2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(m,−3)，c ⃗ =(3,1)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥c ⃗ ，设a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=( )A. −35B. 35C. √55 D. −2√556. 若函数f(x)=e x (sinx +a)在区间R 上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A. [√2,+∞)B. (1,+∞)C. [−1,+∞)D. (√2,+∞)7. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)，已知函数y =|f(x)|的图象如图，则( )A. f(x)=2sin(4x +π3) B. f(x)=2sin(4x −π3) C. f(x)=2sin(43x −8π9)D. f(x)=2sin(43x +8π9)8.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，在△BCD中∠BCD=90°且BC=3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM=32，那么()A. 平面ABD⊥平面BCDB. 平面ABC⊥平面ABDC. AB⊥CDD. AC⊥BD9.执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是()A. 2B. √10−1C. √11−1D. 2√3−110.已知双曲线x2a2−y2b2=1与圆x2+y2−5x+4=0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点(−2,0)，则双曲线的离心率为()A. √14+√2B. √14+√23C. √2 D. 2√3+√2311.将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形)，下列关于曲线Γ的描述中，正确的有()(1)曲线Γ不是等宽曲线；(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；(3)曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；(4)在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；(5)若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.已知函数f(x)=ae2x−2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f(x1)+f(x2)<e x1+e x2+t恒成立，那么t的取值范围是()A. [−1,+∞)B. [−2−2ln2,+∞)C. [−3−1n2,+∞)D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）)n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a=______．13.在二项式(x−ax}的前n项和为______．14.设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=2n−1，则数列{S nn15.某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为______万元．,−1)，直线l过抛物线C：x2=4y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛物线C 16.已知点M(32相切，那么线段AB的中点坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100,110)，第二组[110,120)，…第五组[140,150]，得到频率分布直方图．(1)若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；(2)若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．18.在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2，bsinC=√3a.2(1)求△ABC的面积；(2)若b：c=√3：1，求A．19.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P−ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P−ABCD和四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高相等．(1)证明：PB//平面ADO1；(2)若∠BAD=π，AA1=A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角3的余弦值．20.巳知函数f(x)=ax−2lnx−2，g(x)=axe x−4x．(1)求函数f(x)的极值；(2)当a>0时，证明：g(x)−2(lnx−x+1)≥2(lna−ln2)．21.已知动点Q到点F(1,0)的距离和到直线l：x=4的距离之比为1．2(1)求动点Q的轨迹方程C；)，过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x=4于M、(2)已知点P(1,32N、H．(i)证明：H恰为线段MN的中点；(ii)是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x=4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；))交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、(2)射线OP：θ=α(α∈(0,π2N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．23.已知函数f(x)=√x2+2x+1+√x2−6x+9−m≥0恒成立．(1)求m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0，1}，所以M∩N={0,1}．故选B．求出集合N，然后直接求解M∩N即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.【答案】A【解析】解：由题意，得z=1−i，则z+4z =1−i+41−i=1−i+4(1+i)(1−i)(1+i)=1−i+2+2i=3+i．故选：A．由已知求得z，代入z+4z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：连结AC和BD交与点O，如图示：由对称性可得，S阴影部分=S正方形ABCD−S△AOB；而△AOB的面积占整个正方形面积的14；故所求概率为：1−14=34，故选：D．求出阴影部分的面积，作商即可．本题考查了几何概型问题，考查转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，若a5=3，a4a7=45，则a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，则q=5，则a7−a9a6−a7=q−q31−q=q(1+q)=30；故选：A．根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有a7−a9a6−a7=q−q31−q=q(1+q)，计算即可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵a⃗+b⃗ =(m,−3)，c⃗=(3,1)，(a⃗+b⃗ )⊥c⃗，∴3m−3=0，可得m=1，可得a⃗+b⃗ =(1,−3)，∵a⃗=(−2,1)，∴b⃗ =(3,−4)，可得|a⃗|=√5，|b⃗ |=5，∴a⃗⋅b⃗ =−6−4=−10，∴设a⃗、b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=√5×5=−2√55．故选：D．由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为f(x)=e x(sinx+a)，所以f′(x)=e x(sinx+a+cosx)．要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立．即sinx+a+cosx≥0恒成立．所以a≥−sinx−cosx，因为−sinx−cosx=−√2sin(x+π4)所以−√2≤−sinx−cosx≤√2，所以a≥√2．故选：A．求函数的导数，要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立，然后求出实数a的取值范围．本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由于函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，根据函数的图象函数y=f(x)的周期T，满足34T=2π3−7π24=9π24，解得T=8π，所以ω=4．当x=7π24时，f(7π24)=±2，整理得4×7π24+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ−2π3(k∈Z)，当k=1时，φ=π3．故选：A．直接利用函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f(7π24)=±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质，函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，BC=3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM=32，由AM=12BC，可得M为BC的中点，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，又CD⊥BC，AM，BC为相交直线，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．本题考查线面垂直的判定和垂直，考查推理能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=√2+1，满足条件k<10，k=2，S=2+13+2，满足条件k<10，k=3，S=√2+1√3+√2+√4+√3，…满足条件k<10，k=10，S=√2+1+√3+√2√4+√3⋯+√10+√9√11+√10=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√11=√11−1，不满足条件k<10，退出循环，输出S的值为√11−1．故选：C．模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=√2+1√3+√2+√4+√3+⋯√10+√9√11+√10的值，用裂项法即可得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．10.【答案】C【解析】解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线方程为：y=k(x+2)，可得kx−y+2k=0，圆x2+y2−5x+4=0的圆心(52,0)，半径为：32，所以|52k+2k|√k2+1=32，解得k=±√24，不妨取切线方程y=√24(x+2)代入圆的方程可得：(1+18)x2−5x+12x+4+12=0，解得x=2，此时y=√2，所以P(2,√2)代入双曲线方程可得：4a2−2b2=1，并且4=a2+b2，解得a=b=√2，所以双曲线的离心率为：e=ca=√2．故选：C．设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】B【解析】解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为12， (1)根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误； (2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； (3)根据(2)得(3)错误；(4)曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确； (5)正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34，则一个弓形面积S′=π6−√34，则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32，而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误． 综上，正确的有2个． 故选：B ．若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为12，根据定义逐一判断即可得出结论． 本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键，属于中档题．12.【答案】D【解析】【试题解析】解：令e x =m ，则g(m)=f(x)=am 2−2m +lnm ，显然m >0， 不等式f(x 1)+f(x 2)<e x 1+e x 2+t 恒成立， 可化为g(m 1)+g(m 2)<m 1+m 2+t 恒成立， 由g(m)=am 2−2m +lnm ， 函数g(m)的定义域为(0,+∞)， g′(m)=2am 2−2m+1m(m >0)，设函数g(m)的两个极值点为m 1，m 2，所以方程2am 2−2m +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的正实数根，则{△=4−8a >0m 1+m 2=1a>0m 1m 2=12a >0，解得0<a <12， 因为g(m 1)+g(m 2)−(m 1+m 2)=am 12−2m 1+lnm 1+am 22−2m 2+lnm 2−m 1−m 2=a[(m 1+m 2)2−2m 1m 2]−3(m 1+m 2)+ln(m 1m 2)=−2a −1−ln(2a)，设ℎ(a)=−2a −1−ln(2a)， ℎ′(a)=2−a a 2，易知ℎ′(a)>0在(0,12)上恒成立，故ℎ(a)在(0,12)上单调递增， 故ℎ(a)<ℎ(12)=−5， 所以t ≥−5，所以t 的取值范围是[−5,+∞)． 故选：D ．令e x =m ，问题可化为g(m 1)+g(m 2)<m 1+m 2+t 恒成立，设ℎ(a)=−2a −1−ln2a ，根据函数的单调性求出其最大值，确定t 的范围即可．本题考查利用导数研究函数的极值及恒成立问题，考查降元思维及化简变形，运算求解能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：∵二项式(x −ax )n 的二项式系数之和为64， ∴2n =64，即n =6． 则(x −ax )n =(x −ax )6，由T r+1=C 6r ⋅x 6−r (−ax)r =(−a)r ⋅C 6r⋅x 6−2r ． 由6−2r =0，得r =3．∴(−a)3⋅C 63=20，即a =−1．故答案为：−1．由已知列式求得n ，写出二项展开式的通项，再由x 的指数为0求得r 值，由常数项为20求解a 值．本题考查二项式系数的性质，熟记二项展开式的通项是关键，是基础题．14.【答案】n 2+n2．【解析】解：∵数列{a n }的通项公式为a n =2n −1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2， S n =n +n(n−1)2×2=n 2，所以Snn=n ， 可得数列{S nn}的前n 项和为1+2+3+⋯+n =n 2+n 2．故答案为：n 2+n 2．通过数列{a n }的通项公式为a n =2n −1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简Snn 的表达式，然后求和即可．本题考查等差数列的判断与数列的求和，是基本知识的考查．15.【答案】5【解析】解：由题意可知{1≤x +y ≤3|x −y|≤1x ≥0y ≥0，设该车间每天的利润为z ，则z =2x +y ，画出可行域，如图所示：，由图可知，当目标函数过点A 时，取得最大值， 联立方程{x +y =3x −y =1，解得{x =2y =1，即A(2,1)，所以z 的最大值为2×2+1=5， 故答案为：5．由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z ，则目标函数z =2x +y ，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值．本题主要考查了函数的实际应用，以及简单的二元线性规划问题，是中档题．16.【答案】(32,178)【解析】 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及导数的几何意义，此题的实质是考查阿基米德三角形的性质，有兴趣的同学可以自己研究，在选择及填空中，可以起到事半功倍的效果，在解答题中，可以更快的理清思路．考查转化思想，计算能力，属于中档题．设直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x 1，x 2，求得直线l 的斜率．然后求解中点坐标． 【解答】解：抛物线C 的焦点为(0,1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =kx +1， 联立方程组{y =kx +1x 2=4y ，消去y ，整理得：x 2−4kx −4=0，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4， 由y =14x 2，求导y′=12x ，因为直线AM 与抛物线相切，所以直线AM 的斜率k =12x 1， 直线AM 的斜率k =y 1−(−1)x 1−32=x 124−(−1)x 1−32=12x 1，整理得x 12−3x 1−4=0， 解得x 1=4，或x 1=−1， 所以{x 1=4x 2=−1或{x 1=−1x 2=4，所以x 1+x 2=3， 即k =34，x 1+x 22=32，y 1+y 22=kx 1+1+kx 2+12=34×3+22=178．AB 的中点坐标为(32,178). 故答案为：(32,178).17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为(0.032+0.008)×10=0.4，故根据样本数据可估计出该校本次数学模拟考试中成绩优秀人数为800×0.4=320人；(2)由(1)知，第一小组共有3人，其中2男1女；第五小组有4人，其中1男3女， 则ξ的所有取值为：1，2，3． P(ξ=1)=C 11C 21C 32×C 10C 32C 42=13，P(ξ=2)=22C 10CC 32×C 10C 32C 42+C 11C 21C 32×C 11C 31C 42=12，P(ξ=3)=C 10C 22C 32×C 11C 31C 42=16．故ξ的分布列为：期望E(ξ)=1×13+2×12+3×16=116．【解析】(1)由频率分布直方图求出第四、五组的频率，乘以800得答案；(2)由(1)知，第一小组共有3人，其中2男1女；第五小组有4人，其中1男3女，可得ξ的所有取值为：1，2，3.利用古典概型求概率，可得ξ的分布列，再由期望公式求期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型及其概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．18.【答案】解：(1)∵bcosC +ccosB =2，∴由余弦定理可得：b ⋅a 2+b 2−c 22ab+c ⋅a 2+c 2−b 22ac=2，∴2a 22a=2，解得a =2，∵bsinC =√32a =√3，∴S △ABC =12absinC =12×2×√3=√3．(2)由(1)及条件和余弦定理可得：{b =√3cb 2+c 2−2bccosA =412bcsinA =√3，化简可得：{c 2sinA =2c 2(2−√3cosA)=2，消去c ，可得：sinA +√3cosA =2，即sin(A +π3)=1，因为：A ∈(0,π)，可得：A +π3=π2，可得A =π6．【解析】(1)由余弦定理化简已知等式解得a =2，由已知可求bsinC =√3，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．(2)由(1)及条件和余弦定理可得：{b =√3cb 2+c 2−2bccosA =412bcsinA =√3，化简可得sin(A +π3)=1，结合A 的范围，利用正弦函数的性质即可求解A 的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】(1)证明：连接BO 1、PO 1，由题知，PO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1且四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧棱与底面垂直， ∴PO 1//BB 1//DD 1，即P 、B 、O 1、D 四点共面． ∵四棱锥P −ABCD 和四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的高相等，∴在四边形PBO 1D 中，PO 1与BD 的交点O 为BD 的中点，也是PO 1的中点， ∴四边形PBO 1D 为平行四边形， ∴PB//O 1D ，又O 1D ⊂平面ADO 1，PB ⊄平面ADO 1， ∴PB//平面ADO 1．(2)解：由题意知，O 1A 1、O 1B 1、O 1P 三直线两两垂直，∴以O 1为原点，O 1A 1、O 1B 1、O 1P 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设O 1B 1=1，则O 1A 1=√3，AA 1=2，∴O 1(0,0，0)，A(√3,0，2)，B(0,1，2)，P(0,0，4)，C(−√3,0，2)， ∴O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，2)，O 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，设平面ABO1的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅O1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅O1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3x+2z=0y+2z=0，令z=√3，则x=−2，y=−2√3，∴m⃗⃗⃗ =(−2,−2√3,√3).同理可得，平面PBC的法向量n⃗=(−2,2√3,√3).∴cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=(√4+12+3)2=−519．故平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值为519．【解析】(1)连接BO1、PO1，易证得PO1//BB1//DD1，即P、B、O1、D四点共面；由四棱锥P−ABCD和四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高相等，可推出四边形PBO1D为平行四边形，故PB//O1D；再由线面平行的判定定理即可得证．(2)以O1为原点，O1A1、O1B1、O1P所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设O1B1=1，依次写出O1、A、B、P、C的坐标，根据法向量的性质求出平面ABO1和平面PBC的法向量为m⃗⃗⃗ 与n⃗，再由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |即可得解．本题考查空间中线与面的平行关系、二面角的求法，熟练掌握空间中线面平行的判定定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：∵f(x)=ax−2lnx−2，∴f′(x)=a−2x =ax−2x，定义域为(0,+∞)，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，无极值；当a>0时，令f′(x)=0，得x=2a ，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增，∴极小值为f(2a)=2(lna−ln2)，无极大值．综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)的极小值为2(lna−ln2)，无极大值．(2)证明：g(x)−2(lnx−x+1)≥2(lna−ln2)⇔axe x−2x−2lnx−2≥2lna−2ln2⇔axe x−2lne x−2lnx−2≥2lna−2ln2⇔axe x−2ln(xe x)−2≥2lna−2ln2⇔f(xe x)≥2lna−2ln2，由(1)知当a>0时，f(x)min=f(x)极小值=f(2a)=2lna−2ln2，即f(x)≥2lna−2ln2恒成立，故f(xe x )≥2lna −2ln2，即原不等式得证．【解析】(1)求导得f′(x)=ax−2x，定义域为(0,+∞)，再分a ≤0和a >0两类讨论f′(x)与0的大小关系，即可得f(x)的单调性，从而求极值；(2)问题转化为g(x)−2(lnx −x +1)≥2(lna −ln2)⇔f(xe x )≥2lna −2ln2，求出函数的最小值，证明结论即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．21.【答案】(1)解：设Q(x,y)，由题意得：√(x−1)2+(y−0)2|x−4|=12， 化简可得动点Q 的轨迹方程为：x 24+y 23=1；(2)(i)证明：当直线AB 的斜率为0时，直线PA ：y =12(x +2)，得M(4,3)．直线PB ：y =−32(x −2)，得N(4,−3)． AB 为x 轴，故H (4,0)恰为线段MN 的中点．当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x =ty +1(t ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，H(4,3t ).由{x =ty +1x 24+y 23=1，得(3t 2+4)y 2+6ty −9=0．∴y 1+y 2=−6t 3t 2+4，y 1y 2=−93t 2+4． 直线PA 的方程为y −32=y 1−32x1−1(x −1)，得M(4,−92ty 1+3t +32)， 同理可得N(4,−92ty 2+3t +32). ∵−92ty 1+3t+32−92ty 2+3t+32=6t +3−92t⋅y 1+y 2y 1y 2=6t+3−92t⋅−6t 3t 2+4−93t 2+4=6t，∴线段MN 的中点坐标为(4,3t )，即为H 点． 综上，H 恰为线段MN 的中点；(ii)解：当直线AB 的斜率不等于0时，|MN|=|92ty 1−92ty 2|=|92t (1y 1−1y 2)|.故以MN 为直径的圆的方程为(x −4)2+(y −3t )2=8116t 2(1y 1−1y 2)2．若存在定点G ，使得以MN 为直径的圆过点G ，由对称性可知，G 一定在x 轴上．故令y =0，代入圆的方程得：(x −4)2+9t =8116t ⋅(y 1−y 2y 1y 2)2． 则(x −4)2=−9t 2+8116t 2⋅(y 1+y 2)2−4y 1y 2(y 1y 2)2=−9t 2+8116t 2⋅(−6t 3t 2+4)2+363t 2+4(−93t 2+4)2=−9t +8116t ⋅144(t 2+1)81=9．解得x =1或x =7．故以MN 为直径的圆过定点G ，其坐标为(1,0)或(7,0)． 当直线AB 的斜率等于0时，M(4,3)，N(4,−3)，H(4,0)， 以MN 为直径的圆为(x −4)2+y 2=9，也过(1,0)和(7,0)． 综上，存在定点G(1,0)或(7,0)，使得以MN 为直径的圆过G ．【解析】(1)设Q(x,y)，由题意列式，化简得答案；(2)(i)证明AB 的斜率为0时，H 恰为线段MN 的中点．当AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x =ty +1(t ≠0)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN 中点的纵坐标，即可验证H 恰为线段MN 的中点；(ii)当AB 的斜率不为0时，求出以MN 为直径的圆的方程，取y =0可得圆过定点(1,0)或(7,0)，验证AB 的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G(1,0)或(7,0)，使得以MN 为直径的圆过G ．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.【答案】解：(1)已知直线l ：x =4，转换为极坐标方程为ρcosθ=4．圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ.整理得ρ2=4ρsinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0．(2)射线OP ：θ=α(α∈(0,π2))交圆C 于O 、A ，得到A(4sinα,α)，B(4cosα,α)，若A ，B 两点在x 轴上投影分别为M 、N ， 所以|MN|=|(4cosα−4sinα)cosα|=|4−4sinαcosα|=|4−2sin2α|，α∈(0,π2)， 当α=π4时，|MN|min =2，即最小值为2． 由于α=π4，所以点A(2√2,π4)，B(4√2,π4).【解析】(1)直接利用转换关系，把直线的普通方程转换为极坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．(2)利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果，最后求出点A和B的极坐标．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)=√x2+2x+1+√x2−6x+9−m=|x+1|+|x−3|−m≥0⇔m≤|x+1|+ |x−3|恒成立，因为|x+1|+|x−3|≥|x+1−x+3|=4，当且仅当−1≤≤3时取得等号．所以m≤4，即m的取值范围是(−∞,4]；(2)由(1)可得n=4，即23a+b +1a+2b=4，(a>0,b>0)，可令3a+b=s，a+2b=t，①即有2s +1t=4，由①解得a=2s−t5，b=3t−s5，所以7a+4b=7(2s−t)5+4(3t−s)5=2s+t=14(2s+1t)(2s+t)=14(4+1+2st+2ts)≥14(5+2√2st⋅2ts)=94，当且仅当s=t，即b=2a=310时取得等号．所以7a+4b的最小值为94．【解析】(1)由参数分离和绝对值不等式的性质，即可得到所求范围；(2)可令3a+b=s，a+2b=t，用s，t表示a，b，结合乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查函数恒成立问题解法，以及基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和换元法、化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

四川省2020年高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合,则集合（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·永州模拟) 设为虚部单位，复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分）执行右面的程序框图，那么输出S的值为（）A . 9B . 10C . 45D . 554. （2分）(2017·绵阳模拟) 若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（）A . 19B . 27C . 28D . 375. （2分） (2019高二下·玉林月考) 下列命题不正确的是（）A . 由样本数据得到的回归方程必过样本点中心B . 相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好C . 归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论D . 演绎推理是由一般到特殊的推理6. （2分） 4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有（）A . 36种B . 72种C . 81种D . 144种7. （2分） (2016高一下·成都开学考) 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（）A .B .C . y=﹣tanxD . y=﹣x38. （2分） (2018高二上·万州期中) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A .B .C .D . 39. （2分）(2017·芜湖模拟) 已知点在双曲线的一条浙近线上，则a=（）A .B . 3C . 2D .10. （2分）矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=x﹣y的最大值是（）A . ﹣1B . ﹣2C . 1D . 212. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A . 2B . 4C . 5D . 8二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2018·浙江模拟) 若的展开式中，的系数为6，则，________，常数项的值为________．14. （1分） (2018高三上·丰台期末) 已知单位向量的夹角为120°，则 ________．15. （1分） (2016高一下·邯郸期中) 若tanα=2，则 =________．16. （1分） (2016高二上·灌云期中) 40是数列{3n+1}中的第________项．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2017高一上·白山期末) 已知：tan（α+ ）=﹣，（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求的值．18. （5分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．19. （5分）(2020·茂名模拟) 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数得分1617181920（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：（ⅰ）预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.（结果四舍五入到整数）（ⅱ）若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.附：若随机变量服从正态分布，，则，，20. （10分） (2018高二上·大连期末) 已知过抛物线的焦点F，斜率为的直线交抛物线于两点，且 .（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点.21. （10分） (2018高三上·哈尔滨期中) 已知函数 .（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，直线L的参数方程是（t为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=12，且直线与曲线C交于P，Q 两点（1）求曲线C的普通方程及直线L恒过的定点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若|AP||AQ|=6，求直线L的普通方程．23. （10分）(2018·郑州模拟) 设函数， .（1）解不等式；（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。