2016全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题
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全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题
海床情况进行求解。
=
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210
当逐渐增大，锚链受到的竖直向下方向的合力与支持力之差先逐渐接近于0，
再等于0，直至小于0。当合力小于0时，锚链以海床接触，此时海床提供向上的支持
力，其大小与′ 相等。因此可将小于0 的值都作零处理，故锚链接触海床时，
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36/直接代入问题一的模型中，
得出此条件下的吃水深度为0.723，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068
、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414，
游动区域半径为18.80。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被
计与应用对海上科学发展有重要意义。
1.2 问题的提出
已知某近浅海传输节点(如图1所示)，将浮标视作底面直径2为、高为2、质量
为1000的圆柱体，锚的质量为600，钢管共4节，每节长度为1，直径为50，
每节钢管的质量为10。水声通讯系统安装在一个长为1、外径为30的密封圆
柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100。
Step1: 遍历求解
令吃水深度ℎ的初始值为0.1，以0.0005为单位逐步增加至2。( 浮标高度为2，
完全浸没时吃水深度ℎ则为2 )，记录对应的数据，选取水下物体竖直方向高度和
与海域水深最接近的组别，进一步进行计算，结果如下表所示(具体程序见附录)：
表 1: 不同风速的相关结果表
以风速24/的情况为例，绘制游动区域图：
题意的变量临界值。以水深16、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小
于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型
=
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210
当逐渐增大，锚链受到的竖直向下方向的合力与支持力之差先逐渐接近于0，
再等于0，直至小于0。当合力小于0时，锚链以海床接触，此时海床提供向上的支持
力，其大小与′ 相等。因此可将小于0 的值都作零处理，故锚链接触海床时，
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36/直接代入问题一的模型中，
得出此条件下的吃水深度为0.723，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068
、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414，
游动区域半径为18.80。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被
计与应用对海上科学发展有重要意义。
1.2 问题的提出
已知某近浅海传输节点(如图1所示)，将浮标视作底面直径2为、高为2、质量
为1000的圆柱体，锚的质量为600，钢管共4节，每节长度为1，直径为50，
每节钢管的质量为10。水声通讯系统安装在一个长为1、外径为30的密封圆
柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100。
Step1: 遍历求解
令吃水深度ℎ的初始值为0.1，以0.0005为单位逐步增加至2。( 浮标高度为2，
完全浸没时吃水深度ℎ则为2 )，记录对应的数据，选取水下物体竖直方向高度和
与海域水深最接近的组别，进一步进行计算，结果如下表所示(具体程序见附录)：
表 1: 不同风速的相关结果表
以风速24/的情况为例，绘制游动区域图：
题意的变量临界值。以水深16、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小
于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型
全国大学生数学建模优秀论文(A题) 国家一等奖
地下储油罐的变位分析与罐容表标定摘要加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。
本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。
首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。
在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。
将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在3.5%以内。
纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。
通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。
把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球冠体分别求解。
中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为三种情况。
在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。
根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系：测量的油位高度0h 实际的油位高度h 计算体积所需的高度H于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
再利用附表2中的数据列方程组寻找α与β最准确的取值。
αβ一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
2016国赛A题国家一等奖论文
x0 , y0
T1 Ti i
D l0
§6 模型的建立与求解
5.1 问题一的分析与求解 5.1.1. 模型的分析 问题一要求我们在给定的一些参数下，假设海水静止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶、各节钢管、锚链等的一些指标。首先，我们对整个系泊系统建立直角 坐标系，然后对整个系统做受力分析。设计算法流程，先初始化参数 x0 , y0 ，然后计 算每个物体的 Ti ,i 和 xi , yi ，在通过与海水深度比较，不断修正 y0 和相应的 xn ，使整 体达到最优[3]。 5.1.2. 模型的建立与求解 （1）构建整体坐标系 以锚垂直于海平面向上为 y 轴的正方向，以海面风向为 x 轴，建立二维平面直角坐 标系 xoy 。根据假设条件，浮标系统整体如图 2 所示
图 3 浮标受力分析图
由浮标质量得出，得出其所受重力 G1 m1 g ；浮标所受的浮力（当浮标的吃水深度 D 不断变化时排开水体积用积分表示） ： F1 g ( ) 2 h ；由近海风荷载的近似公式可得 2 2 浮标所受的风力： Fw 0.625D(h0 h)vw ；考虑到浮标最终处于静力平衡状态，由静力 学平衡方程有： F1 G1 T1 sin 1
关键词：系泊系统，动力系统，多目标优化，GA 算法
1
§1 问题的重述
1.1 研究问题的背景是什么？ 1.1.1 总背景介绍 伴随着世界经济的快速发展， 人们更是逐步加强对海洋领域的探索。为收集海洋环 境的数据资料，人们开始应用浮标系统，同时在开发利用时，都离不开观测设备，如海 底观测站，水下探测器等[1][2]。然而这些设备无一例外的需要系泊系统定位。近浅海观 测网的传输节点由浮标系统、 系泊系统和水声通讯系统组成，简化的某型号输节点的系 泊系统可以如图 1 所示。传统的浮标系统都是由简单的锚—锚链—浮标构成。而这里， 我们研究的浮标系统在锚与浮标之间有一个钢桶（用于安装水声通讯系统） 。钢桶与电 焊锚链链接处悬挂了重物球，是为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶的倾斜角度越大，设备 的工作效果较差。 而且钢桶与浮标之间是通过四节相同的钢管连接的。钢管与钢管之间 的连接是可以有偏转角度的。
2016年全国大学生数学建模竞赛获奖论文
1.2 要解决的问题
针对题目所提出的要求，本文主要关注以下问题： 首先，针对“请选取合适的评价指标体系，用以评价小区开放对周边道路通 行的影响”问题，如何挑选出若干个有效的相关指标，作为道路通行情况的不同 属性， 采用可行的赋权方法为这些指标分别赋予权重，最后将这些指标加权汇总 为一个综合指标， 从而产生一个完整的评价指标体系，用以评价小区开放与否对 周边道路通行情况产生的影响。 其次， 如何尽量模拟真实交通环境， 充分考虑各种影响道路通车情况的因素，
设计通行能力是固定的，则高峰时段实际单位时 间内交通量越大道路越拥堵。一般在 0.5-0.7 比较合
起点与终点固定后，人类心理趋向是选择实际行 驶道路长度最短的路径，而当道路拥堵时，人们则会 绕路行驶，选择车流量较少的路径，则路网非直线系 数增大。所以路网非直线系数越大道路越拥堵。
M4
路网密度 M 5
M1
直观反映道路通行能力以及道路的实时路况，当 交通量超过某一数值时，则认为发生拥堵
M2
行驶总距离一定时，行程车速与行驶总时间成反 比关系，行驶总时间包括无障碍行驶时间、路阻时间
7
（km/h）
和交叉路口延误时间。所以当道路拥堵时，路阻时间 和交叉口延误时间增长，则行程车速降低。
饱和度 M 3 适。 路网非直线系数
M6
交通运行指数
交通状况越拥堵行程车速越小，拥堵里程比例越 大，则交通运行指数越大，得到拥堵等级越高。
sumc
h1 suml h2
mjl mjs
m n
1
T
4
xn
MSA 算法中 n 次循环后各个路段 分配的流量集合
d1
交叉口平均延误时间
四、模型的建立与分析 4.1 问题一综合评价指标体系的建立
2016年全国大学生数学建模竞赛获奖论文
5
图 3 第一小问求解思路图
5.1.1.1 多项式函数与高斯函数拟合对比 运用 MATLAB 工具箱对在电流强度为 20A 的数据进行多项式函数和高斯函数的拟 合，得到两个拟合图像如图 4 所示：
多项式函数拟合的图像
高斯函数拟合的图像
图 4 两种函数的拟合图像
根据观察 20A 电流情况下两种拟合函数的放电图像， 发现两种函数的放电图像无明 显差别，无法看出哪种函数的拟合效果好，所以本文用两种函数拟合的拟合精度进行比 较，见表 2：
3
第二小问首先利用 EXCEL 筛选出 231 个电压样本点，采取相对误差是绝对误差与 实际数据的比值的方法，求出 231 个相对误差，取平均即为 MRE . 第三小问是建立在第一小问的基础上， 将数值 9.8V 带入初等函数模型， 求出在 30A， 40A，50A，60A，70A 的电流强度下电池的剩余放电时间. 2.2.2 问题二的分析 问题二要建立适用于任一电流强度在任一时刻的的放电时间，但题中所给数据只有 几个特殊的电流强度，因此利用这些数据来建立任意时刻的模型，就是要建立起任意时 刻都能找到与已有数据的关系，文中引进比例分电压点来建立起这个联系，较好的解决 了不能实现任意时刻的放电时间的计算， 并且与现有数据始终相关， 拟合数据偏差较小. 2.2.3 问题三的分析 对于问题三直接使用衰减状态 3 的数据会导致拟合效果不达要求， 由于新电池状态、 衰减 1 状态和衰减 2 状态使用二次函数拟合效果较好，题目所给是同一电池，因此衰减 状态三应也是与前三个状态变化相似，所以利用前三个状态的与衰减状态 3 现有数据来 作差，进行拟合，补全缺失数据的差值，将补全的差值进行还原，得到衰减状态 3 的缺 失数据，并用 MATLAB 进行四种状态的拟合，结果发现效果较好,
【免费阅读】2016全国大学生数学建模竞赛A题题目及参考答案
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？分分工会舒服的规划法规f x c f 是否撒的发生的发生fx c f 是否撒的发生的发生f x c f 是否撒的发生的发生fx c f 是否撒的发生的发生fx c f 是否撒的发生的发生f x c f 是否撒的发生的阿斯顿发斯蒂芬斯蒂芬题 目 A 题 城市表层土壤重金属污染分析摘 要：本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。
数学建模优秀优秀论文A题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则•我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：_________________________________ 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：_______________________________________ 所属学校（请填写完整的全名）：________________________________________________________ 参赛队员（打印并签名）：1. _______________________________________________2. ____________________________________________3. ____________________________________________指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：____________________________日期：—年—月—日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析摘要本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各种重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各金属元素进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。
2016年数学建模竞赛A题优秀论文
2016年数学建模竞赛A题优秀论文基于力学分析的系泊系统设计摘要关于系泊系统的设计问题，需要对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立力学分析模型来求解问题。
针对问题1，先对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立满足受力平衡和力矩平衡的力学模型。
再以浮标的吃水深度为搜索变量，采用二分法，计算海水深度为18m时所对应的吃水深度和各物体的倾角。
利用MATLAB软件求解可得，风速为12m/s时，钢桶与竖直方向的夹角为1.2319°，钢管与竖直方向的夹角依次为1.2064°,1.2064°,1.2148°,1.2233°。
浮标的吃水深度和游动半径分别为0.6715m,14.6552m。
风速为24m/s时，钢桶夹角为4.6763°，钢管夹角依次为4.5360°,4.5836°,4.6141°,4.6450°；浮标的吃水深度和游动半径分别为0.6857m，17.7614m。
针对问题2，可利用问题1中建立的数学模型，利用MATLAB进行求解，可得风速为36m/s时，钢桶夹角9.6592°；钢管夹角依次为9.4814°，9.4814°，9.5399°，9.5992°；浮标的吃水深度和游动半径分别为0.7086m，18.4906m；最后一节锚链与水平面的夹角为20.9997°故以钢桶夹角小于5°和锚链夹角小于16°为约束条件，逐步增加重物球的质量，采用二分法向水深18m进行逼近。
当重物球的质量为2280kg时，浮标的吃水深度为0.9848m；钢桶夹角为4.4737°；锚链夹角为15.9748°；为使通讯设备的工作效果增强，重物球的质量可以在2280kg的基础上进行适当增加。
针对问题3，可在问题1的受力分析时加入水流力的作用，以最大风速36m/s，最大水流速度1.5m/s为设计指标，通过控制单一变量的方式可确定链条的型号为Ⅴ型的电焊锚链。
2016年数学建模国赛A题一等奖论文
系泊系统的设计
摘要
近海系泊系统作为气象监控、海洋探测的主要载体工具，对工程的实际应用 有一定的积极作用[1]，研究系泊系统在不同环境状况下的内在关系，进而给出适 应不同情况的设计方案，并编写相应的应用软件，有着不能忽视的现实意义[2]。
针对问题一，在整个系泊系统处于最终平衡状态下，从系统的上部钢管开始 受力分析计算，建立不同方向上力的平衡方程和以下部链结点为取距中心的力矩 平衡方程，求得钢管倾斜角度以及下部单元间相互作用拉力，进而计算出钢管的 相对位置改变量。继续分析下部单元的受力情况，建立相同的平衡方程组并求解， 通过反复迭代计算，建立以浮标吃水深度为自变量的迭代代数模型，可求得河道 底部的链环倾斜角度以及整个系泊系统的垂悬高度。进而利用粒子群算法优化上 部浮标的吃水深度，并经过多次迭代优化，最终得到水深 18 米并且风速为 12m/s 和 24m/s 时，浮标吃水深度分别为 0.7348 米和 0.7489 米，同时算出各节钢管的 倾斜角度和各单元的位置坐标（附录及支撑材料），以及浮标游动区域半径 14.2005 米和 17.3203 米。结合理想状态下的锚链悬链线方程拟合位置坐标数据 得出良好的锚链形状曲线方程（式 1.16-1.17），并利用 CAD 软件绘制了所得结 果下的系泊系统 3-维立体分布示意图（图 10）。
在系泊系统中，锚的质量为600kg ，锚链选用无档普通链环。锚与锚链末端 链接，要求链接处的切线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致 使节点移位丢失。钢管共 4 节，每节长度 1m ，直径为 50mm ，每节钢管的质量 为10kg。钢桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的 工作效果最佳，钢桶的倾斜角度超过 5 度时，设备的工作效果较差。为了控制钢 球桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链接处可悬挂重物球。
摘要
近海系泊系统作为气象监控、海洋探测的主要载体工具，对工程的实际应用 有一定的积极作用[1]，研究系泊系统在不同环境状况下的内在关系，进而给出适 应不同情况的设计方案，并编写相应的应用软件，有着不能忽视的现实意义[2]。
针对问题一，在整个系泊系统处于最终平衡状态下，从系统的上部钢管开始 受力分析计算，建立不同方向上力的平衡方程和以下部链结点为取距中心的力矩 平衡方程，求得钢管倾斜角度以及下部单元间相互作用拉力，进而计算出钢管的 相对位置改变量。继续分析下部单元的受力情况，建立相同的平衡方程组并求解， 通过反复迭代计算，建立以浮标吃水深度为自变量的迭代代数模型，可求得河道 底部的链环倾斜角度以及整个系泊系统的垂悬高度。进而利用粒子群算法优化上 部浮标的吃水深度，并经过多次迭代优化，最终得到水深 18 米并且风速为 12m/s 和 24m/s 时，浮标吃水深度分别为 0.7348 米和 0.7489 米，同时算出各节钢管的 倾斜角度和各单元的位置坐标（附录及支撑材料），以及浮标游动区域半径 14.2005 米和 17.3203 米。结合理想状态下的锚链悬链线方程拟合位置坐标数据 得出良好的锚链形状曲线方程（式 1.16-1.17），并利用 CAD 软件绘制了所得结 果下的系泊系统 3-维立体分布示意图（图 10）。
在系泊系统中，锚的质量为600kg ，锚链选用无档普通链环。锚与锚链末端 链接，要求链接处的切线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致 使节点移位丢失。钢管共 4 节，每节长度 1m ，直径为 50mm ，每节钢管的质量 为10kg。钢桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的 工作效果最佳，钢桶的倾斜角度超过 5 度时，设备的工作效果较差。为了控制钢 球桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链接处可悬挂重物球。
2016年数学建模竞赛A题优秀论文
1.某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为 1200kg。 现将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海 域。在海水静止时，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
将(1)式代入得：
dy mg T1 sin 1
dx
T1 cos1
(2)
对于锚链，m=σs ，其中 s 是 AB 锚链的长度，σ是锚链的线密度，即单位长
度锚链的质量[1]。代入(2)式得：
dy sg T1 sin 1
(3)
dx
T1 cos1
根据勾股定理可以得到弧长公式：
ds
1
dy dx
dp dx
T1
cos1
g
1 p2
然后对 x 和 p 分离变量并对两端进行积分得到：
dp
1 p2
T1
g cos 1
dx
即：sinh 1
p
g T1
x
C1
(4)
其中 C1 可以由 x=0,y=0 时的值确定，原点 A 处 p y ' tan 1 ，可得 C1 为：
当海面风速一定且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮 标的吃水深度和游动区域，与锚链线的方程、系泊系统各部分之间的受力平衡和 力矩平衡的约束密切相关。由于传输节点各部分相互影响，根据力学相关知识， 可以按照锚链→钢桶和重物球→钢管→浮标的顺序依次进行受力分析，从而得到 各部分受力平衡时的定量解析式，通过这些表达式可以确定钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状。由于吃水深度与浮标受力直接相关，还可以确定浮标的吃水 深度。对于浮标的游动区域，可以由稳定后系泊系统各个部分在水平方向投影的 总长度来计算游动区域的最大半径。
将(1)式代入得：
dy mg T1 sin 1
dx
T1 cos1
(2)
对于锚链，m=σs ，其中 s 是 AB 锚链的长度，σ是锚链的线密度，即单位长
度锚链的质量[1]。代入(2)式得：
dy sg T1 sin 1
(3)
dx
T1 cos1
根据勾股定理可以得到弧长公式：
ds
1
dy dx
dp dx
T1
cos1
g
1 p2
然后对 x 和 p 分离变量并对两端进行积分得到：
dp
1 p2
T1
g cos 1
dx
即：sinh 1
p
g T1
x
C1
(4)
其中 C1 可以由 x=0,y=0 时的值确定，原点 A 处 p y ' tan 1 ，可得 C1 为：
当海面风速一定且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮 标的吃水深度和游动区域，与锚链线的方程、系泊系统各部分之间的受力平衡和 力矩平衡的约束密切相关。由于传输节点各部分相互影响，根据力学相关知识， 可以按照锚链→钢桶和重物球→钢管→浮标的顺序依次进行受力分析，从而得到 各部分受力平衡时的定量解析式，通过这些表达式可以确定钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状。由于吃水深度与浮标受力直接相关，还可以确定浮标的吃水 深度。对于浮标的游动区域，可以由稳定后系泊系统各个部分在水平方向投影的 总长度来计算游动区域的最大半径。
2016年全国大学生数学建模竞赛获奖论文
3470.00 3468.00 3466.00 3464.00 3462.00 3460.00 3458.00 3456.00 3454.00 3452.00 3450.00 3448.00 3446.00 3444.00 3442.00 3440.00 3438.00 3436.00 3434.00 3432.00 3430.00 3428.00 3426.00 3424.00 3422.00 3420.00 3418.00 3416.00 3414.00 3412.00 3410.00 3408.00 3406.00 3404.00 3402.00 3400.00 3398.00 3396.00 3394.00 3392.00 3390.00 3388.00 3386.00
电池剩余放电时间预测模型
摘要
本文针对放电曲线预测问题，在不同情况下，建立出合理模型，并依据所给 条件，运用 Matlab、Lingo、Excel 等工具，得出了问题的相关结果。 对于问题一， 本文首先剔除放电初期的不稳定数据， 建立了二元抛物线模型 一： U ( I , T） a(Tmax ( I ) T )b U m ，通过固定电流强度 I ，利用非线性参数拟合， 得出放电曲线；再利用三样条插值，得出插值点，计算出对应 MRE 为（0.15%, 0.20%，0.20%，0.15%，0.13%，0.26%，0.24%，0.25%） ， U 9.8 下的剩余放电 时间为（937.96，608.06，440.50，333.37，280.54，261.65，237.75，212.82， 197.33 ） ；接着在模型一的基础上通过增加震荡函数，建立模型二：
其中 a, b 为系数。
（1）
4.1.2 模型一求解
2016全国大学生数学建模A题
2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。
某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。
系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。
锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。
钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。
要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度错误！未找到引用源。
，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。
水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。
钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。
钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。
若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。
钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。
为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。
现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。
若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。
请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。
问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。
2016国赛A题优秀论文
基于改进悬链线及多目标优化的系泊系统设计摘要本文运用系统分析的方法研究系泊系统，分析了系统参数（风速、水速、水深、构件的尺寸和质量）与系统状态变量（浮标吃水深度、游动区域和锚链形状、钢桶倾斜角度）的关系。
通过汇交力系的平衡方程分析了构件之间的作用力、构件和系统外部的作用力，再通过力矩平衡方程分析了构件的倾斜角度。
问题一是求解问题，在给定水深、风速和链长、球重等系统参数的条件下，求系统的平衡状态。
本文运用了系统整体分析和自底向上的局部隔离法分析。
首先，假设吃水深度为h，得到浮标浮力，对由锚链、钢桶、钢管和浮标组成的系统进行整体分析，根据总重力、总浮力、风对浮标的推力和锚对锚链下端的拉力这四种外力的均衡，得到锚对第一节链环的拉力；再将链环作为研究对象，根据改进的悬链线方程得到所有链环的拉力和倾斜角；接着，根据最后一节链环对钢桶的拉力，利用力平衡方程分析得到钢桶的拉力和倾斜角；然后，类似地依次向上计算4节钢管的拉力和倾斜角；最后，计算所有构件的竖直投影高度，加上浮标吃水深度，即为水深。
通过逐步求精找到满足水深条件的吃水深度，从而确定所有链环、钢桶、钢管的倾斜角度，计算构件水平投影长度，得到浮标游动半径，并利用线段模拟得到锚链的形状。
为了验证模型的误差大小，根据最上一节钢管的拉力分析浮标的受力情况，由浮标浮力得到浮标吃水深度，将其与前面所求吃水深度对比。
具体结果如下：风速(m/s)锚链与海床夹角未拉起锚链长度(m)钢桶倾斜角度浮标游动半径(m)浮标吃水深度(m)校验吃水深度(m)误差率120° 6.720.5272°14.259880.736880.730950.8%240°0.21 2.0475°17.263190.751030.745280.7%问题二是问题一的反问题，给定系统平衡状态满足的两个条件（钢桶倾斜角不超过5°，锚链与海床夹角不超过16°）求系统的参数——重物球的质量。
2016年全国大学生数学建模竞赛A题
2016年全国大学生数学建模竞赛A题2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 ,请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”,A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成(如图1所示)。
某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。
系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。
锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。
钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。
要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。
水声通讯系统安装在一个长1m、外00kg。
钢桶上接第4节钢径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为1 管，下接电焊锚链。
钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。
若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。
钢桶的倾斜角度(钢桶与竖直线的夹角)超过5度时，设备的工作效果较差。
为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
图1 传输节点示意图(仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例)系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。
现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。
若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。
请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。
问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。
2016年全国数学建模竞赛A题国家一等奖
针对问题一我们采用集中质量法将系统中的各个物体视为一个质点，对各个 物体建立静力平衡方程，在水深 18m 时给定浮标在海水中所受浮力，从而根据我 们建立的平衡方程求出各物体的倾斜角度，再根据几何关系求出海域的模拟深度， 通过不断修正浮标的浮力使得海域的模拟深度等于 18m，最终求得风速分别为
12m/s 和 24m/s 时浮标的吃水深度 h0 为 0.7397m 和 0.74883m，同时给出不同风
深度无法计算得出，需要给定浮力初始值 F0 ，从而得到T0 和1 。
钢管受力分析 将钢管看作一个质点，对每节钢管一一受力分析，如图 2 所示，由于每节钢
管规格一致，即质量、长度和直径相同，所有每节钢管重力和所受浮力相等。每
节钢管受到的力有钢管自身重力 Ggg 、浮力 Fgg 、上一节钢管拉力Ti,i1 和下一节钢
成负相关，即重物球质量越大， 和 越小，故在 5o, 16o, h0 2 条件下，
可以通过不断调节重物球的质量，找到重物球的最小质量和最大质量。 问题三的分析：
对问题三第一个子问题的分析： 系泊系统的设计问题就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮 标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 沿用问题一的算法，增加一个与风力方向相同的水流力，近海水水流力可以
速下钢桶和各节钢管的倾斜角度及浮标的最远位置（浮标的游动区域视为一个圆 面）。考虑到锚链由 210 节链环构成，通过对每节链环进行受力分析确定了每节 链环的位置，从而给出了链环的形状图像。在求解过程中由于拉力具有不确定性， 我们通过两次角度代换使得程序可以顺利地运行。
针对问题二我们沿用了问题一的算法，求得风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管
3.4 假设近浅海观测网的传输节点位于同一平面。 3.5 假设在海水流动情况下，仅考虑水流力对浮标、钢管和钢桶的影响，对 锚链和重物球的影响忽略不计。 3.6 假设在海水流动情况下，锚受到的水流力不影响锚链末端与锚的链接处 的切线方向与海床的夹角。 3.7 假设链环在拉力作用下形状不发生改变。
12m/s 和 24m/s 时浮标的吃水深度 h0 为 0.7397m 和 0.74883m，同时给出不同风
深度无法计算得出，需要给定浮力初始值 F0 ，从而得到T0 和1 。
钢管受力分析 将钢管看作一个质点，对每节钢管一一受力分析，如图 2 所示，由于每节钢
管规格一致，即质量、长度和直径相同，所有每节钢管重力和所受浮力相等。每
节钢管受到的力有钢管自身重力 Ggg 、浮力 Fgg 、上一节钢管拉力Ti,i1 和下一节钢
成负相关，即重物球质量越大， 和 越小，故在 5o, 16o, h0 2 条件下，
可以通过不断调节重物球的质量，找到重物球的最小质量和最大质量。 问题三的分析：
对问题三第一个子问题的分析： 系泊系统的设计问题就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮 标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 沿用问题一的算法，增加一个与风力方向相同的水流力，近海水水流力可以
速下钢桶和各节钢管的倾斜角度及浮标的最远位置（浮标的游动区域视为一个圆 面）。考虑到锚链由 210 节链环构成，通过对每节链环进行受力分析确定了每节 链环的位置，从而给出了链环的形状图像。在求解过程中由于拉力具有不确定性， 我们通过两次角度代换使得程序可以顺利地运行。
针对问题二我们沿用了问题一的算法，求得风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管
3.4 假设近浅海观测网的传输节点位于同一平面。 3.5 假设在海水流动情况下，仅考虑水流力对浮标、钢管和钢桶的影响，对 锚链和重物球的影响忽略不计。 3.6 假设在海水流动情况下，锚受到的水流力不影响锚链末端与锚的链接处 的切线方向与海床的夹角。 3.7 假设链环在拉力作用下形状不发生改变。
2016年全国大学生数学建模竞赛获奖论文
小区开放对道路通行的影响评价模型摘要本文针对小区开放对道路的影响进行了研究，建立了层次分析模型、通行能力评价模型，使用了MATLAB、EXCEL等软件，得出小区开放在不同条件下会对道路交通产生不同的影响。
首先运用层次分析法，分析得出整体一般情况下小区开放有利于周边道路交通的结论。
之后构建了不同类型的小区，并分析得出小区开放的效果与小区结构及周边道路结构、车流量有关，因此小区开放不能盲目采取，要因地制宜。
最后根据分析结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门提出了关于小区开放的合理化建议。
本文的突出特点是使用了层次分析法定量的比较了小区开放前后道路合理性，构建了对于研究该问题具有代表性的三种类型的小区，并建立了影响评估模型，客观的对不同小区结构及周边道路结构、车辆通行的影响进行评价。
针对问题一，首先查阅相关资料选取影响道路通行的指标，并对选取的指标进行筛选，然后运用各项指标进行层次分析，通过小区开放和小区封闭对道路交通和理性的判断来分析小区开放对道路通行的影响最后得出从整体看来，小区开放有利于道路通行。
针对问题二，通过查阅有关道路通行能力的相关资料建立了通行能力评价模型，首先根据模型求出道路基本通行能力的表达式，基本通行能力是理想状态下的通行能力，与实际情况分析对比存在差异。
因此基于差异，通过各实际因素对道路通行能力的影响进行修正，得到实际道路通行能力的数据。
最终计算出小区开放前后实际通行能力的相对系数。
针对问题三，构建了三种类型的小区，不同类型的小区具有不同的结构及不同的周边道路结构、车流量，应用问题二建立的模型分别对三种小区开放和封闭条件下周边道路的实际通行能力进行了计算，通过相对系数评价不同类型的小区开放对道路通行的影响，分析得出小区开放与地理位置、内部结构等因素有关，不能一概而论。
针对问题四，结合前述模型结果分析结果，从交通出行角度对城市规划部门和交通管理部门提出了合理化意见。
小区开放要合理的实施以体现小区开放的意义。
2016全国大学生数学建模竞赛A题论文
系泊系统的设计摘要本文为系泊系统的设计问题，根据题目要求建立了数学模型，计算出系泊系统在不同条件下的具体参数，并利用模型对系泊系统进行优化分析，使其能运用到更广的领域。
针对问题一，首先分析了锚链的形状，利用微积分原理求出锚链的静态方程，用Matlab 画出锚链形状，得出锚链的形状所符合悬链线方程。
然后把钢管、钢桶看成一个整体，并忽略钢管和钢桶倾斜引起的锚链上端高度的变化，分析出锚链的长度和锚链末端与海平面的夹角对吃水深度的影响，又对钢桶、钢管和浮标进行了受力和力矩分析。
最后建立了数学模型，计算出风速为12m/s 和24m/s 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度(见表2)，浮标吃水深度分别为0.737m 、0.752m ，浮标的浮动区域（此浮动区域是以锚为圆心的圆）面积分别为、，锚链的形状如图(5-11)、(5-12)所示。
针对问题二，由问题一中建立的系泊系统的模型，计算风速为36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。
得到了钢桶和各节钢管的倾斜角度如(表3)，浮标吃水深度：0.787m ，以及游动区域面积：1229.39m 。
由于重物球的质量变化影响锚点与海床的夹角，可以通过调节重物球的质量控制锚点与海床的夹角。
分析得出当锚点与海床的夹角处于临界点（即16度）时，重物球的最小质量为1756.8kg ；当浮标刚好没入水中时，重物球的最大质量为5335.8kg 。
针对问题三，以钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域为目标函数，分析动态优化问题。
与问题一、二不同的是：此问题给定了水深、海水速度、风速的取值范围，属于模型动态变化问题。
所以对模型进行了动态分析，求得钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域的取值范围，进而分析水深、海水速度、风速对结果的影响，这有利于系泊系统的调整和应用。
本文所建立的模型对相关问题在理论上作了证明，虽然对部分模型进行了简化，但是实用性很强，而且易于推广，能够扩展到其他系泊系统。
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������������ ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������������ ���������′��� ������������������������ ������ ������′ ������ ������′ ������������ * 其余符号在文中详细说明
最后，对模型作出了客观的评价及推广。
关键词： 反演算法;多目标优化;遍历算法;递推公式;系泊系统。
1
一、问题的重述
1.1 问题的背景 为满足海上资源开发利用的需要，海上作业平台、浮游码头及海上浮桥的应用
日渐增加，这些海上漂浮结构物的海上定位需要锚泊系统的约束来实现。 锚泊系统在在海洋海岸工程中的形式多样，应用十分广泛。其中，近浅海观测
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36������/������直接代入问题一的模型中， 得出此条件下的吃水深度为0.723������，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068 、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414， 游动区域半径为18.80������。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被 拖行。随后考虑第二个子问题，对重物球重量进行调整，以钢桶倾斜角最小和吃水 深度最小为目标函数，以水深18������、系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为 约束条件，以重物球重量、吃水深度为决策变量，建立多目标优化模型，再将其转 化为单目标优化。之后，通过分层递进法求出达到要求角度的重物球重力临界值， 求得重物球重力最小为2011������������。最后对可能存在的缺失值通过代入法进行了添补。
此外，可得到：
⎧
⎪ ⎨
������������������������2
=
������������
+
������������1
− ������������ ������������
−
������������1
(6)
⎪ ⎩
������������1
=
������������1 ������
根据反三角关系，得：
������2 = ������������������������������������������2
(7)
由此可推导得
������
������
∑︁
∑︁
������������ + ������������������ − ������������ − ������������������
������������������������������+1 =
������������
=
������������������(︀ ������������ 2
)︀2ℎ
(2)
结合近海风荷载公式，得到风力������������
������������ = 0.625������������2 = 0.625(������ − ℎ)������������2
(3)
2
二、问题分析
2.1 问题一的分析 问题一要求计算不同海面风速时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标
的吃水深度和游动区域。要解决此问题，首先对题目中所给出的传输节点示意图建 立直角坐标系，对传输节点进行先整体后局部的受力分析，得出系泊系统各部分的 递推公式，建立递推-校正的反演模型，得到相关相关方程组。
意义 吃水深度 浮标所受浮力 浮标的质量 浮标的重力 浮标直径 浮标高度 锚所受的海床弹力 锚的重力
风力 钢管所受浮力 钢桶及以上各物的浮力和 锚链的浮力和 钢桶及以上各物的浮力和 锚链的重力和
锚链长度 链环长度 重球的重力
4
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解
5.1.1 问题一模型的建立
(1) 模型的准备
假设吃水深度已知，并令其为ℎ，浮标质量为������������ ，浮标直径为������������ ，浮标高度为������ ，
海水密度为������。
浮标重力������������
������������ = ������������������
(1)
浮标所受浮力������������
2.3 问题三的分析 问题三要求考虑海水速度，并给出不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形
状、浮标的吃水深度和游动区域。 以风速方向和水流速度方向相同时为例，为得出各变量与角度的关系，考虑采
用控制变量法对风速、海水深度、海水速度的变化分别对钢桶的倾斜角度和锚链末 端与锚链接处的切线方向与海床的夹角的影响进行分析，再进一步确定使角度满足 题意的变量临界值。以水深16������、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小 于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型 号和长度，设定重物球重力的范围，对所有吃水深度的可取值进行遍历，判断对应 的钢管倾斜角度、海水深度是否小于临界值，小于则取其作为可行情况，否则重新 设定锚链的型号和长度，继续运算。最终设计出几种可行的系泊系统方案，并对其 进行分析。再分析在风速与水流速度不在同一方向时的情况，对该模型进行优化。
基于反演算法的系泊系统设计探究
摘要
本文探究的是近浅海观测网的系泊系统设计问题。通过平衡条件，对系泊系统 的整体和各局部进行受力分析，得到系统各要素之间的递推公式。由此，本文采用 反演、多目标优化等方法分析和解决本问题。
对于问题一，首先对题目中所给出的传输节点示意图建立直角坐标系，进行 受力分析， 得出系统各部分的递推公式， 从而根据递推-验证的反演算法建立模 型。 再将未知量吃水深度ℎ设为已知量，以题目所给水深18������为约束条件，通过 遍历算法运算出结果。接着对异常数据进行作零处理，分析锚链与海床接触的情 况，推导得出钢管倾角、锚链形状等。最后通过系统是否受力平衡对结果进行检 验。结果显示风速为12������/������时吃水深度为0.6870������，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次 为1.120、1.127、1.135、1.142，钢桶倾斜角(度)为1.150，游动区域为半径14.34������的旋 转面，24������/������ 时吃水深度为0.7015������/������，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次为4.258、4.285、 4.313、4.341，钢桶倾斜角(度)为4.370，游动区域为半径17.46������的旋转面。
对于问题三，考虑到安全因素，将系统设定为处于较极端环境下，即水深、风 速、海水速度分别设为16������，36������/������，1.5������/������。在风速与水流速度同向的情况下，采 用控制变量法对钢桶倾斜角和锚链末端与锚链接处的切线方向与海床的夹角随风 速、海水深度、海水速度影响的变化规律进行分析。从而可以确定使角度满足题意 的变量临界值。然后，以钢桶倾斜角最小和吃水深度最小为目标函数，以水深16������、 系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为约束条件，以重物球重量、吃水深 度和锚链长度为决策变量，以风速36������/������、海水速度1.5������/������ 为初始条件，得出不同 锚链类型和长度的最优解。最后，选取4组可行解，并对所得系泊系统进行分析。
将其直接代入问题一的模型中，求得此条件下的吃水深度、各钢管倾斜角度、锚链 形状等。此时，发现钢桶倾斜角和锚与锚链链接处的切线方向与海床的夹角均不符 合题目要求，即水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被拖行，因此无法求解游动 区域。
之后，对于第二个子问题，考虑调整重物球的重量，以使倾斜角度满足题目要 求。首先分析重物球对各个角度的影响，发现重物球越重角度越小。据此设立重物 球重力范围，在满足系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小于5度的条件 下，将多目标优化模型转化为单目标优化模型。然后遍历所有吃水深度的可取值， 寻找可行的情况，再通过分层递进法求出恰好达到要求角度的重物球重力临界值。
(2) 钢管和钢桶的倾斜角度模型 ∙ 浮标的受力分析
图 2: 受力分析图
其中，������������1 为第一根钢管对浮标的拉力。
⎧
⎨ ������������ = ������������ + ������������1������������������������1
(4)
⎩ ������������ = ������������1������������������������1
其中，������������2 为第一根钢管对第二根钢管的拉力。 对受力分析图进行进一步地分析，建立如下函数关系式：
⎧ ⎨
������������1
=
������������������
′
=
������������
������(
������������ 2
)2ℎ������
(5)
⎩ ������������1 = ������������1������
图 1: 传输节点示意图
锚链与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖动。钢 桶竖直时，水声通讯的效果最佳。为了控制钢桶的倾斜角度，链接处可悬挂重物球。
要求通过数学建模来完成以下任务： (1) 某传输节点选用22.05������的II型锚链和1200������������的重物球，布于深18m、海床平 坦、密度为1.025×103������������/������3 的海域。若海水静止，计算海面风速为12������/������和24������/������ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 (2) 在问题1的假设下，计算海面风速为36������/������时钢桶和各节钢管的倾斜角度、 锚链形状和浮标的游动区域。调节重物球的质量，使钢桶的倾斜角不超过5度，锚链 在锚点与海床的夹角不超过16度。 (3) 因潮汐等影响，布放海域的水深实测在16������ ∼ 20������之间。布放点的海水速 度可达1.5������/������、风速可达36������/������。考虑风力、水流力和水深，请设计系泊系统，分析 不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
最后，对模型作出了客观的评价及推广。
关键词： 反演算法;多目标优化;遍历算法;递推公式;系泊系统。
1
一、问题的重述
1.1 问题的背景 为满足海上资源开发利用的需要，海上作业平台、浮游码头及海上浮桥的应用
日渐增加，这些海上漂浮结构物的海上定位需要锚泊系统的约束来实现。 锚泊系统在在海洋海岸工程中的形式多样，应用十分广泛。其中，近浅海观测
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36������/������直接代入问题一的模型中， 得出此条件下的吃水深度为0.723������，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068 、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414， 游动区域半径为18.80������。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被 拖行。随后考虑第二个子问题，对重物球重量进行调整，以钢桶倾斜角最小和吃水 深度最小为目标函数，以水深18������、系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为 约束条件，以重物球重量、吃水深度为决策变量，建立多目标优化模型，再将其转 化为单目标优化。之后，通过分层递进法求出达到要求角度的重物球重力临界值， 求得重物球重力最小为2011������������。最后对可能存在的缺失值通过代入法进行了添补。
此外，可得到：
⎧
⎪ ⎨
������������������������2
=
������������
+
������������1
− ������������ ������������
−
������������1
(6)
⎪ ⎩
������������1
=
������������1 ������
根据反三角关系，得：
������2 = ������������������������������������������2
(7)
由此可推导得
������
������
∑︁
∑︁
������������ + ������������������ − ������������ − ������������������
������������������������������+1 =
������������
=
������������������(︀ ������������ 2
)︀2ℎ
(2)
结合近海风荷载公式，得到风力������������
������������ = 0.625������������2 = 0.625(������ − ℎ)������������2
(3)
2
二、问题分析
2.1 问题一的分析 问题一要求计算不同海面风速时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标
的吃水深度和游动区域。要解决此问题，首先对题目中所给出的传输节点示意图建 立直角坐标系，对传输节点进行先整体后局部的受力分析，得出系泊系统各部分的 递推公式，建立递推-校正的反演模型，得到相关相关方程组。
意义 吃水深度 浮标所受浮力 浮标的质量 浮标的重力 浮标直径 浮标高度 锚所受的海床弹力 锚的重力
风力 钢管所受浮力 钢桶及以上各物的浮力和 锚链的浮力和 钢桶及以上各物的浮力和 锚链的重力和
锚链长度 链环长度 重球的重力
4
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解
5.1.1 问题一模型的建立
(1) 模型的准备
假设吃水深度已知，并令其为ℎ，浮标质量为������������ ，浮标直径为������������ ，浮标高度为������ ，
海水密度为������。
浮标重力������������
������������ = ������������������
(1)
浮标所受浮力������������
2.3 问题三的分析 问题三要求考虑海水速度，并给出不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形
状、浮标的吃水深度和游动区域。 以风速方向和水流速度方向相同时为例，为得出各变量与角度的关系，考虑采
用控制变量法对风速、海水深度、海水速度的变化分别对钢桶的倾斜角度和锚链末 端与锚链接处的切线方向与海床的夹角的影响进行分析，再进一步确定使角度满足 题意的变量临界值。以水深16������、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小 于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型 号和长度，设定重物球重力的范围，对所有吃水深度的可取值进行遍历，判断对应 的钢管倾斜角度、海水深度是否小于临界值，小于则取其作为可行情况，否则重新 设定锚链的型号和长度，继续运算。最终设计出几种可行的系泊系统方案，并对其 进行分析。再分析在风速与水流速度不在同一方向时的情况，对该模型进行优化。
基于反演算法的系泊系统设计探究
摘要
本文探究的是近浅海观测网的系泊系统设计问题。通过平衡条件，对系泊系统 的整体和各局部进行受力分析，得到系统各要素之间的递推公式。由此，本文采用 反演、多目标优化等方法分析和解决本问题。
对于问题一，首先对题目中所给出的传输节点示意图建立直角坐标系，进行 受力分析， 得出系统各部分的递推公式， 从而根据递推-验证的反演算法建立模 型。 再将未知量吃水深度ℎ设为已知量，以题目所给水深18������为约束条件，通过 遍历算法运算出结果。接着对异常数据进行作零处理，分析锚链与海床接触的情 况，推导得出钢管倾角、锚链形状等。最后通过系统是否受力平衡对结果进行检 验。结果显示风速为12������/������时吃水深度为0.6870������，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次 为1.120、1.127、1.135、1.142，钢桶倾斜角(度)为1.150，游动区域为半径14.34������的旋 转面，24������/������ 时吃水深度为0.7015������/������，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次为4.258、4.285、 4.313、4.341，钢桶倾斜角(度)为4.370，游动区域为半径17.46������的旋转面。
对于问题三，考虑到安全因素，将系统设定为处于较极端环境下，即水深、风 速、海水速度分别设为16������，36������/������，1.5������/������。在风速与水流速度同向的情况下，采 用控制变量法对钢桶倾斜角和锚链末端与锚链接处的切线方向与海床的夹角随风 速、海水深度、海水速度影响的变化规律进行分析。从而可以确定使角度满足题意 的变量临界值。然后，以钢桶倾斜角最小和吃水深度最小为目标函数，以水深16������、 系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为约束条件，以重物球重量、吃水深 度和锚链长度为决策变量，以风速36������/������、海水速度1.5������/������ 为初始条件，得出不同 锚链类型和长度的最优解。最后，选取4组可行解，并对所得系泊系统进行分析。
将其直接代入问题一的模型中，求得此条件下的吃水深度、各钢管倾斜角度、锚链 形状等。此时，发现钢桶倾斜角和锚与锚链链接处的切线方向与海床的夹角均不符 合题目要求，即水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被拖行，因此无法求解游动 区域。
之后，对于第二个子问题，考虑调整重物球的重量，以使倾斜角度满足题目要 求。首先分析重物球对各个角度的影响，发现重物球越重角度越小。据此设立重物 球重力范围，在满足系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小于5度的条件 下，将多目标优化模型转化为单目标优化模型。然后遍历所有吃水深度的可取值， 寻找可行的情况，再通过分层递进法求出恰好达到要求角度的重物球重力临界值。
(2) 钢管和钢桶的倾斜角度模型 ∙ 浮标的受力分析
图 2: 受力分析图
其中，������������1 为第一根钢管对浮标的拉力。
⎧
⎨ ������������ = ������������ + ������������1������������������������1
(4)
⎩ ������������ = ������������1������������������������1
其中，������������2 为第一根钢管对第二根钢管的拉力。 对受力分析图进行进一步地分析，建立如下函数关系式：
⎧ ⎨
������������1
=
������������������
′
=
������������
������(
������������ 2
)2ℎ������
(5)
⎩ ������������1 = ������������1������
图 1: 传输节点示意图
锚链与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖动。钢 桶竖直时，水声通讯的效果最佳。为了控制钢桶的倾斜角度，链接处可悬挂重物球。
要求通过数学建模来完成以下任务： (1) 某传输节点选用22.05������的II型锚链和1200������������的重物球，布于深18m、海床平 坦、密度为1.025×103������������/������3 的海域。若海水静止，计算海面风速为12������/������和24������/������ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 (2) 在问题1的假设下，计算海面风速为36������/������时钢桶和各节钢管的倾斜角度、 锚链形状和浮标的游动区域。调节重物球的质量，使钢桶的倾斜角不超过5度，锚链 在锚点与海床的夹角不超过16度。 (3) 因潮汐等影响，布放海域的水深实测在16������ ∼ 20������之间。布放点的海水速 度可达1.5������/������、风速可达36������/������。考虑风力、水流力和水深，请设计系泊系统，分析 不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。