6. 因式分解技巧-二元二次式的分解 -单墫

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

因式分解的十二种步骤1. 确定要分解的多项式的结构和类型，例如是否是一元多项式还是二元多项式。

2. 检查多项式中是否存在公因式，即是否可以将其中的一个常数或变量因子提取出来。

- 如果存在公因式，可以使用提取公因式的方法，将公因式提取出来，从而简化多项式。

- 如果没有公因式，继续进行下一步。

3. 观察多项式中是否有特殊的形式，例如完全平方差、差的平方、立方差等。

- 如果存在特殊形式，可以使用特殊产品公式或平方差公式来分解多项式。

- 如果没有特殊形式，继续进行下一步。

4. 列举多项式中的项和项之间的关系，并尝试找到它们之间的模式。

- 比较多项式中的项，观察是否有相同的项出现。

- 如果有相同的项，可以考虑将它们合并或分解，以简化多项式。

- 如果没有相同的项，继续进行下一步。

5. 使用分组法来分解多项式。

- 将多项式中的项进行分组，使每个组都有公因式。

- 继续对每个组进行因式分解，直到最简形式。

6. 使用二次方程的解公式分解二次多项式。

- 如果多项式为二次多项式，可以使用二次方程的解公式来进行分解。

- 将二次多项式写成二次方程的形式，使用解公式求出根，然后分解。

7. 通过试除法分解多项式。

- 如果多项式可以通过试除法进行分解，将试除法应用于多项式。

- 将多项式除以一个因子，然后将除法结果进行因式分解，重复此过程直到最简形式。

8. 尝试将多项式进行因子分解。

- 观察多项式的结构，尝试找出能够整除多项式的因子。

- 使用长除法或因式分解的方法，将多项式分解为因子和余数。

9. 循环应用已知的因式分解方法。

- 尝试将已经分解的因子进一步分解。

- 重复应用之前的因式分解方法，直到无法进一步分解。

10. 使用根与系数的关系进行分解。

- 观察多项式的系数和根的关系。

- 根据系数和根的关系，进行因式分解。

11. 使用综合方法来分解多项式。

- 如果以上的方法都无法分解多项式，可以使用综合方法。

- 综合考虑多种方法和技巧，以找出最佳的因式分解方法。

二元二次式因式分解的简便方法
针对二元二次式的因式分解有几种简便的方法：
一、通过对称性思想
1、首先，把给定的二元二次方程表示成相等两边之和，并且复制一份相同的表达式。

2、把复制的表达式改成一边加上一个相反数，用此给定方程找出两边的对称性，进行因式分解。

3、使用平方和公式，把给定的二元二次方程转换成形如a²+2ab+b²=k 的形式，以便分解因式。

4、把给定的二元二次方程变成(a+b)²的形式，以便分解因式。

二、借助整式分解法
1、将给定的二元二次方程转化为形如f(x) = qx+px²+k的形式，再带入解一元二次方程f(x)=0，找出一元二次方程的根。

2、根据求根公式，把一元二次方程的解表示成其本质不变形，即(x-
a)(x-b)的形式，以便因式分解。

3、使用牛顿迭代的思想，根据给定的方程找出它的上一步的方程，并
且将这两个方程因式分解。

4、以极限的精度，将给定的方程变成（x+a）（x+b）这种形式，以便
分解因式。

三、借助因子定理
1、把给定的二元二次方程先求出它的一阶导数，通过解一元一次方程，求出它的最高次方项的系数。

2、将给定的二元二次方程，断定为形如ax²+2abx+b²的形式，以便利
用因子定理进行因式分解。

3、利用因式分解的手腕，把给定的方程拆开，找出方程的因式为(x-a)、(x-b)的形式，完成因式分解。

4、结合对称轴原理及因子定理，把给定的方程变成(x+a)(x+b)的形式，进行因式分解。

数学篇解题指南因式分解是指将一个多项式分解成两个或者多个整式乘积的形式.它不仅可用于代数式的化简、求值以及解方程和不等式等代数问题中，而且在判定三角形或四边形的形状等几何问题中也扮演着重要角色.所以，掌握因式分解的方法和技巧是很重要的.因式分解的常用方法有公式法、提公因式法、分组分解法等.除了这些方法以外，我们还应掌握一些特殊技巧，如拆（添）项法、换元法、主元法等.同学们应根据多项式的具体结构特征，灵活选用不同的方法和技巧.一、拆、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算，在进行多项式乘法运算时，通过对多项式的各项进行整理和化简，将几个同类项合并为一项，或者将两个仅符号相反的同类项相互抵消后，就会造成多项式的“缺项”.对这一类多项式进行因式分解时，就要先恢复那些被合并或者被抵消的项，即将多项式的某一个项拆成两项或者多项，或者在多项式当中添加两个仅符号相反的项.前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是在对多项式进行因式分解时，方便运用提公因式法或分组分解法.例1分解因式：x 3-3x 2+4.分析：这个多项式无法直接提取公因式，也不能运用公式法.由于多项式当中缺少一次项，所以可以灵活运用拆项法来解题.解法1：将常数4拆分为1和3.原式=(x 3+1)-(3x 2-3)=(x 3+1)-3(x 2-1)=(x +1)(x 2-x +1)-3(x +1)(x -1)=(x +1)[(x 2-x +1)-3(x -1)]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.解法2：将-3x 2拆分成-4x 2和x 2.原式=x 3+x 2-4x 2+4=x 2(x +1)-4(x 2-1)=x 2(x +1)-4(x +1)(x -1)=(x +1)[x 2-4(x -1)]=(x +1)(x -2)2.解法3：将x 3拆分成4x 3-3x 3.原式=4x 3-3x 3-3x 2+4=4x 3+4-3x 2(x +1)=4(x 3+1)-3x 2(x +1)=4(x +1)(x 2-x +1)-3x 2(x +1)=(x +1)[4(x 2-x +1)-3x 2]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.点评：从以上三种解法可以看出，使用拆项法进行因式分解，并没有严格规定要拆分哪一项，因此，同学们在做题的时候要仔细观察多项式中每一项的特点，通过灵活的变化来化繁为简，解答疑难问题.例2分解因式：a 4+a 2b 2+b 4.分析：观察式子的形式，和完全平方式的展开式看起来较为相似，所以在进行因式分解的时候可以进行联想，通过添项后利用平方差公式来完成因式分解.解：原式=a 4+a 2b 2+b 4+a 2b 2-a 2b 2=(a 4+2a 2b 2+b 4)-a 2b 2=(a 2+b 2)2-(ab )2=(a 2+b 2+ab )⋅(a 2+b 2-ab ).例3分解因式：bc (b +c )+ca (c -a )-ab (a +b ).分析：遇到这类题目时，要仔细分析各项的特点，并根据b +c =c -a +a +b 考虑添项.解：原式=bc (b +c +a -a )+ca (c -a )-ab (a +b )=bc [(c -a )+(a +b )]+ca (c -a )-ab (a +b )=bc (c -a )+bc (a +b )+ca (c -a )-ab (a +b )=c (c -a )(b +a )+b (a +b )(c -a )=(a +b )(c -a )(c +b ).点评：使用添项法分解因式时，关键是要根据多项式的特点进行恰当的添项，让添项后的多项式可以更好地用提取公因式法、公式法等其他常用方法来进行分解.因式分解的三个技巧江苏省靖江市滨江学校徐星19数学篇解题指南二、换元法对于比较复杂的多项式进行因式分解，可以考虑运用换元法，将其中某一部分看作一个整体，然后用一个新的辅助元来代替.将含有新元的多项式进行因式分解之后，再将新元所替换的部分代入因式分解后的多项式，就能得到原多项式因式分解的结果.换元法可减少因式的项数或降低因式的次数，使多项式简化.在具体运用换元法时，可根据情况进行部分换元、整体换元或平均换元等.例4分解因式：(x 2-3x )2-2(x 2-3x )-8.分析：这道题涉及多项式的平方，如果正常展开后分解，数据的计算量很大.在经过仔细观察之后，可以将x 2-3x 这一项看作一个整体，从而简化因式分解的过程.解法1：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a -4)(a +2).将a =x 2-3x 代入上式得：原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).解法2：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a 2-2a +1)-9=(a -1)2-9=(a -1+3)(a -1-3)=(a +2)(a -4).将a =x 2-3x 代入上式则原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).例5分解因式(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy )分析：在对二元因式进行分解时直接去括号非常复杂，所以可以考虑运用换元法，分别将x 和y 的和与积视为整体来进行换元.解：设x +y =m ，xy =n ，则原式=(n -1)2+(m -2)(m -2n )=(m 2-2mn +n 2)-(2m -2n )+1=(m -n )2-2(m -n )+1=(m -n -1)2点评：整体替换可以让复杂的题目变得简单.但当遇到复杂的多项式，无法用一个辅助元完成整体换元时，可根据题目中多项式具备多元性的特征，用两个辅助元分别代换原多项式中的代数式，使因式分解简单化.三、主元法对含有多个字母的代数式进行因式分解是比较复杂的一种题型.这时可以考虑运用主元法，即选择一个字母作为主元，将其他字母都看作常数，然后将整个多项式按照以主元为主的方式进行升幂或者降幂排列，最后再尝试因式分解.运用主元法解题的关键就是选择合适的主元，一般选择次数较低的字母为主元，将多项式变成熟悉的形式，这样就能让分解因式的过程变得简单.例6分解因式：x 3-ax -2ax +a 2-1.分析：式子中有两个字母，可以考虑运用主元法，其中字母a 的次数更低，所以可以选择字母a 作为主元来进行因式分解.解：原式=a 2-(x 2+2x )a +x 3-1=a 2-(x 2+2x )a +[(x 3-x 2)+(x 2-1)]=a 2-(x 2+2x )a +x 2(x -1)+(x -1)(x +1)=a 2-[(x -1)+(x 2+x +1)]a +(x -1)(x 2+x +1)=[a -(x -1)]·[a -(x 2+x +1)]=(x -a -1)(x 2+x -a +1).例7分解因式：2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6分析：当两个字母最高同为2次幂的时候，可以随便选择一个字母作为主元，得到的结果是一样的.解：设原式中的b 为主元，则原式=2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6=(2a 2-3a -1)b 2+5(2a 2-3a -1)b +6(2a 2-3a -1)=(2a 2-3a -1)(b 2+5b +6)=(b +2)(b +3)(2a 2-3a -1).点评：以上两道题如果不使用主元法，很难进行因式分解.在选择主元时，一般选择次数更低的作为主元，这样可以达到降幂的效数学篇数苑纵横在解答几何问题时，作辅助线可以构造新的图形，形成新的关系，使分散的条件集中，并建立起已知与未知的“桥梁”.平行四边形具有两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质.结合上述性质添加辅助线，就是在平行四边形中作出平行或垂直的线段，构成三角形的全等或相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、矩形等问题来解答.一、平移对角线，把平行四边形转化为梯形平移是一种只改变图形的位置而不改变图形大小及形状的变换.在平行四边形中求线段的长度或证明线段的不等关系时，首先考虑将要求的线段与三角形结合起来，运用三角形三边的不等关系来解答.若要求解或证明的线段与已知线段不在同一个三角形内，则可通过平移将线段集中到同一个三角形内.平移对角线可以构造一个以两对角线为边的三角形，建立待求线段与已知线段之间的关系，从而找到解题的突破口，使问题得以顺利解答.例1如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12，BD ＝10，AB =m ，那么m 的取值范围是（）.A.1＜m ＜11B.2＜m ＜22C.10＜m ＜12D.5＜m ＜6图1图2解析：要求AB 的取值范围，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中.过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于点E ，形成梯形ADCE ，如图2，然后由图易知，四边形CDBE 为平行四边形.在△ACE 中，AC =12，CE =BD =10，AE =2AB =2m ，说明：本题通过作辅助线，利用平行四边形的性质，将两条已知线段与未知线段集中到了一个三角形中.解题主要运用了三角形的三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．二、过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为直角三角形作垂线即过平行四边形一边的一个或两个端点向下底作高，将平行四边形分割成矩形和直角三角形.由于直角三角形的全等判定定理比较多，且可利用勾股定理得到边长间的数量关系，所以，作垂线段可为证明直角三角形全等创造条件，同时方便我们利用直角三角形相关性质定理解题.例2如图3，已知ABCD 为平行四边形，求证：2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2．图3图4证明：作AE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，如图4，则∠AEB ＝∠DFC ＝90°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCF ，在△ABE 和△DCF 中ìíîïï∠AEB =∠DFC ,∠ABE =∠DCF ,AB =DC ,∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE ＝DF ，BE ＝CF ．在Rt△ACE 和Rt△BDF 中，由勾股定理，得AC 2＝AE 2+EC 2＝AE 2+(BC -BE )2，BD 2＝DF 2+BF 2＝DF 2+(BC +CF )2=AE 2+(BC +BE )2，∴AC 2+BD 2＝2AE 2+2BC 2+2BE 2＝2(AE 2+22平行四边形中的辅助线的作法江西婺源兰萍数学篇数苑纵横∴AC 2+BD 2＝2(AB 2+BC 2)，∵ABCD 为平行四边形，且BC =AD ，即2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2.说明：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线将平行四边形转化为两个直角三角形，并证明两个三角形全等是解题的关键.三、延长顶点与对边上一点的连线，把平行四边形转化为相似三角形证明线段的等积式或求线段的比值，常常要根据题目条件和结论的特征，巧妙地构造相似三角形.平行四边形对角相等，对边平行，连接顶点与对边上一点的连线可以为我们创造内错角相等的条件，这样就有助于找到线段所涉及的两个三角形中相等的两对角，从而证明两个三角形相似，由此便可证明线段的等积式或求得线段的比值.例3如图5，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，BF 和DE 相交于点G ，且AB ＝kAD ，∠DAG ＝∠BAC ，求出DFBE的值（用含k 的式子表示）.图5图6解：延长AG 交DC 于M ，延长DE 交AB 的延长线于N ，如图6.设AD ＝a ，GM ＝b ，BE ＝x ，GA ＝mb ，则AB ＝ka ，CE ＝a -x ，∵∠DAG ＝∠BAC ，∠ADM ＝∠ABC ，∴△ADM ∽△ABC ，∴BC DM =AD AB =1k，即DM ＝a k ，∵DC ∥AB ，∴△FGD ∽△BGN ，△FGM ∽△BGA ，△DEC ∽△NEB ，∴FM ＝ka m，∴DF ＝a k -ka m =ma -k 2a km，∴BN ＝ma -k 2a k，∵△DEC ∽△NEB ，∴DC BN =CE BE ，即ka ma -k 2ak=a -x x ，解得，x ＝ma -k 2a m，∴DF BE =1k ．说明：求两条线段的比值就要考虑相似，因为相似三角形对应边的比相等，所以本题添加辅助线就将平行四边形中的两个线段转化到了两个相似三角形中.解题中巧妙添加辅助线，可以构造多个相等的角，这就为我们证明相似创造了条件.四、连接对角线交点与一边的中点，构造三角形中位线在涉及三角形及平行四边形的证明和计算题中，经常会用到中位线定理.若题目以线段相等或中点为条件，结合平行四边形的对角线互相平分，就可以尝试连接对角线交点与一边的中点，构造中位线.利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半来解题，使线段在位置上的平行关系和数量上的比例关系在推理论证中发挥作用.例4如图7，在平行四边形ABCD 中，AN =BN ，BE =13BC ，NE 交BD 于F ，求BF∶BD .图7解：连接AC 交BD 于点O ，连接ON ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OA =OC ，OB =OD =12BD ，因为AN =BN ，所以ON ∥BC 且ON =12BC ，所以BE ON =BF FO ,因为BE =13BC ，所以BF FO =23，所以BF BO =25，所以BF :BD =1:5.说明：平行四边形的性质比较多，其边、角、对角线等都存在一定的数量关系或位置关系.如果条件中给出的中点不止一个，解题时应有意识地寻找是否存在中位线；若条件中只有一个中点，可以利用对角线互相平分得到中点进而造中位线解题.22。

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握:①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时,多项式的各项都要变号.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：—am+bm+cm=—m(a-b-c ）;a （x —y ）+b(y —x ）=a （x-y ）-b （x —y)=（x —y)(a-b ）。

因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。

1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。

二元二次多项式的因式分解因式分解是代数中的一种基本工具，用于将一个多项式分解为几个简单的、易于处理的因式之积。

对于二元二次多项式，我们可以使用各种方法进行因式分解。

首先，让我们考虑一个一般的二元二次多项式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f这里，a、b、c、d、e、f 是常数，且 a、b、c 不等于 0。

这个多项式可以表示为两个一次因式乘积的和。

一、使用对称性和二次公式1.将 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f 分解为两个一次因式的乘积。

为了简化，我们可以使用对称性和二次公式来达到这个目的。

2.二次公式是用来找到一个给定判别式（Delta）的二次方程的两个解的。

判别式等于 b^2 - 4ac。

这里，a、b、c 是二次方程的系数。

Delta = b^2 - 4ac当 Delta > 0 时，有两个不同的实数解。

当 Delta = 0 时，有一个实数解和一个复数解。

当 Delta < 0 时，没有实数解。

现在我们可以应用二次公式找到这两个解：如果 Delta > 0，那么 x = (-b ± sqrt(Delta)) / (2a)如果 Delta = 0，那么 x = -b / (2a)如果 Delta < 0，那么无法找到实数解请注意这里的“±”符号。

当我们有两个解时（Delta > 0），我们需要决定使用哪一个解。

通常，我们选择使判别式变小的解。

3. 将这两个解代入 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f 中，找到两个一次因式。

这两个一次因式的乘积应该等于原始的多项式。

二、使用图形1.另一种方法是使用图形的直观性来找到二元二次多项式的因式。

如果我们将二元二次多项式的 y 坐标设为 0，我们得到一个一元二次多项式。

这个一元二次多项式的因式分解相对简单。

2.对于一元二次多项式，我们可以使用相同的二次公式来进行因式分解。

<公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的因式分解公式：\*例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)·=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设，原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．.求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．\若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有;f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，]所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2：=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．\双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为)即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：>(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：￥(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．-(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方;对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数分段成3,,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.!第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义，有《根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)、≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字:任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，a n a n-1...a1a0称为q 进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下(2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如…2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字. /(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：(10)= (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)(8)=001 010 101 011(2)/然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形(n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形{正方形正五边形正六边形正n边形图形{S],a R】Rar】或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.[三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.）代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．.分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．（例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：;即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y 与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy(3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．~u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有"所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即(mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。

文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组在数学学科中，因式分解法是一种常见的解决二元二次不等式组的方法。

通过将不等式组中的二次项进行因式分解，可以得到更简洁的表达形式，进而分析不等式的解集。

本文将详细介绍如何利用因式分解法来解决二元二次不等式组的问题。

一、因式分解法简介因式分解法是一种将多项式分解成两个或多个较简单的因子乘积的方法。

在解决二元二次不等式组时，我们需要将其中的二次项分解为两个一次项的乘积，并通过比较各项系数来确定不等式的解集。

二、解决二元二次不等式组的具体步骤以下是解决二元二次不等式组的具体步骤：步骤一：观察等号右边的不等式组是否可以因式分解。

只有在能够因式分解的情况下，我们才能使用因式分解法解决不等式组。

步骤二：对二次项进行因式分解。

将二次项分解为两个一次项的乘积，并且注意保持不等号的方向不变。

例如，对于不等式组x^2 + y^2 < 9和xy < 0，我们可以将第一个不等式进行因式分解得到(x+3)(x-3)+y^2 < 0，而第二个不等式无法进行因式分解。

步骤三：比较各项系数。

根据因式分解后得到的形式，比较各项系数并进行分类讨论。

例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以依次比较x^2，x，y^2的系数，并进行分类讨论。

步骤四：确定不等式的解集。

根据比较各项系数的结果，确定不等式的解集。

例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以通过研究x^2的系数得知x的取值范围，通过研究y^2的系数得知y的取值范围，进而确定不等式组的解集。

三、实例分析为了更好地理解因式分解法解决二元二次不等式组的过程，我们来看一个具体的实例。

例题：解决不等式组x^2 + y^2 - 4xy < 0和x - y < 0。

解法：首先，我们对第一个不等式进行因式分解，得到(x-y)^2 +2xy - 4xy < 0。