非线性回归分析常见曲线及方程

判断多元非线性回归经验公式的精读什么是多元非线性回归分析多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。

对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。

有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。

属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。

多元非线性回归分析方程如果自变数与依变数Y皆具非线性关系，或者有的为非线性有的为线性，则选用多元非线性回归方程是恰当的。

例如，二元二次多项式回归方程为：令,及于是上式化为五元一次线性回归方程：这样以来，便可按多元线性回归分析的方法，计算各偏回归系数，建立二元二次多项式回归方程。

多元非线性回归分析模型一、常见的内蕴多元性回归模型只要对模型中的变量进行数学变换，比如自然对数变换等，就可以将其转化具有标准形式特征的多元线性回归模型。

1.多重弹性模型是一组对的样本观察资料，则称存在下列关系的非线性回归模型为多重弹性模型(1)上述模型中的各解释变量的幂，能够说明解释变量的相对变化对被解释变量产生的相对影响，我们正式从这一角度说它是多重弹性模型的。

2.Cobb-Dauglas生产函数模型(2)其中，yi表示产出总量，Ki为资本要素，Li为劳动力要素，A、α、β为参数。

比较式(1)和(2)，不难看出C-D生产函数模型实际是多重弹性模型的简化或特殊形式。

3.总成本函数模型用yi表示总成本，xi表示产出规模，则称具有如下关系的回归模型为总成本函数模型,i=1,2,…,n(3) 总成本函数是多项式函数的特殊形式，更为一般的情况就是多项式回归模型：,i=1,2,…,n(4) 多项式回归模型从宽松的角度讲，可以不把它看成是非线性回归模型，在这里主要是用来说明一下问题，把它看成内蕴的线性回归模型也无妨。

二、内蕴的非线性回归模型内蕴非线性回归模型的形式有很多种，大部分难以根据经济含义进行称呼，下面，列出几个以帮助大家增加认识。

非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。

非线性回归方程公式详解一、非线性回归的定义和方程1、非线性回归非线性回归是回归函数关于未知回归系数具有非线性结构的回归。

常用的处理方法有回归函数的线性迭代法、分段回归法、迭代等。

非线性回归分析的主要内容与线性回归分析相似。

2、回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

其基本步骤是：（1）画散点图；（2）求回归直线方程；（3）用回归直线方程作预报。

3、回归直线如果具有相关关系的两个变量的一组数据(x1,y1)(x1,y1)，(x2,y2)(x2,y2)，⋯⋯，(xn,yn)(xn,yn)大致分布在一条直线附近，那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系，这条直线就是回归直线，记为yˆ=bˆx+aˆy^=b^x+a^。

4、回归直线方程的求法——最小二乘法设具有线性相关关系的两个变量xx，yy的一组观察值为(xi,yi)(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)(i=1,2,⋯,n)，则回归直线方程yˆ=bˆx+aˆy^=b^x+a^的系数为bˆ=b^=∑ni=1(xi−x¯¯¯)(yi−y¯¯¯)∑ni=1(xi−x¯¯¯)2=∑ni=1(xi−x¯)(yi−y¯)∑ni=1(xi−x¯)2=∑ni=1xiyi−nx¯¯¯y¯¯¯∑ni=1x2i−nx¯¯¯2∑ni=1xiyi−nx¯ y¯∑ni=1xi2−nx¯2，aˆ=y¯¯¯−bˆx¯¯¯a^=y¯−b^x¯，其中(xi,yi)(xi,yi)为样本数据，x¯¯¯=x¯=1n∑ni=1xi1n∑ni=1xi，y¯¯¯=y¯=1n∑ni=1yi1n∑ni=1yi为样本平均数。

非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。

此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。

通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic)对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1b a yx2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=ab/xe其中a>0，7.S型曲线(Logistic) y1 abex8.对数曲线y=a+blogx,x>0bx9.指数曲线y=ae其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程s?a btct2.t(s)1/302/303/304/305/306/307/30s(cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t(s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s(cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48解：b/x，建立M文件volum.m如下：e1.对将要拟合的非线性模型y=afunctionyhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];beta0=[82]';3．求回归系数：[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；beta2.y11.6036ex即得回归模型为：4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数b y＝ax c＝lnavlnx＝u＝ylnu＝cbvbx y＝ae c＝alnu＝ylnu＝cbvc＝alny＝a1bvxxeu＝ylnu＝cbvy＝abxvlnxln＝＝u＝abvuy。

非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。

这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。

一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。

与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。

在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。

二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。

多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。

2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。

指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。

3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。

对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。

4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。

S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。

三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。

在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。

1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。

2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。

3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。

常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。

四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。

例谈非线性回归方程的解法
作者：魏兰
来源：《高中生学习·高二版》2015年第12期
回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析.在现实社会经济生活中，很多现象之间的关系并不是线性关系，对这类现象的分析预测一般要应用非线性回归预测或曲线回归预测. 通常可以通过变量代换，将很多的非线性回归分析转化为线性回归分析. 因而，可以用线性回归方法解决非线性回归预测问题. 笔者根据高中数学学习实际，就该问题在高中阶段的应用进行粗浅归纳，通过对典型例题的分析，介绍两种解决这类问题的常用策略，以供大家参考.
反比例函数模型方程式为[y=a+b1x]，二次函数模型方程式为y=a+bx2，对数模型方程式为y=a+blnx，三角函数模型方程式为y=a+bsinx，这几类模型虽然包含有非线性变量，但因变量与待估计参数之间的关系是线性的，可以直接通过变量代换将其化为线性模型，换元过程和参数估计法如下表所示.。

多项式回归、非线性回归模型关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F 检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型一、回归方程的统计检验 1. 拟合优度检验1. 概念介绍SST 总离差平方和total SSR 回归平方和regression SSE 剩余平方和error∑∑∑∑====--=---=ni i ini i ini i ini i iy yy y y yyy R 121212122)()ˆ()()ˆ(12. 例题1存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。

2. 回归方程的显著性检验)2/()2/()ˆ()ˆ(1212-=---=∑∑==n SSE SSAn yyy yF ni i i ni i i例6（F 检验）在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：表5 X 射线照射次数与残留细菌数的方差分析表这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。

3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析二、一元多项式回归模型模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：0111a x a x a x a y n n n n ++++=--例1（多项式回归模型）为了分析X 射线的杀菌作用，用200千伏的X 射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。

照射次数记为t ，照射后的细菌数为y 见表1。

试求：（1）给出y 与t 的二次回归模型。

（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。

（3）预测16=t 时残留的细菌数。

（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？表1 X 射线照射次数与残留细菌数程序1 t=1:15;y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐标系中做出两个图形 legend('原始数据','二次函数') xlabel('t(照射次数)')%横坐标名 ylabel('y(残留细菌数)')%纵坐标名 t0=16;yc1=polyconf(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法1 yc2=polyval(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法2 即二次回归模型为：8967.3471394.519897.121+-=t t y图1 原始数据与拟合效果的散点图原始数据与拟合结果的散点图如图所示，从图形可知拟合效果较好。