2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案

y =-y =-2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．（备用图）2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)(1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；(3)当902t <<时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．板块二、直角三角形3.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△P AE是直角三角形时，求点P的坐标．4.如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M 可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线上时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设04x≤≤（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．WQPNMFDBA板块三、相似三角形存在性 5. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+3+与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．FP WQN A B（备用图）三、测试提高1. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且01t <<．（1）填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．。

特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P.1②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．(，3－)．∴P2③当DP＝CD时，则DP 2＝CD 2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P(4，－1)．3综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一问题找点已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－. 联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋ (m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋ (m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋ (m2－6m＋10) ＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．。

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

2020中考专题17——存在性问题之特殊三角形姓名____________ . 【方法解读】特殊二和形存化件问题L婪足指寻找符介条件的点使之构成等腰二角形、江用三角形、全第一;角形等特殊二用形.解决此类问题的美犍在于恰当地分类4M避免M籽.【例题分析】例L如图，直线产3x-3交x轴例点A,交y轴J点B,过A, B两点的他物线交x例J另一点C(3, 0).(1)求点A,B的坐标.(2)求旭物线对应的函数表认式.(3)在附物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ皓笔腰三角形?若存在，求出符合条件的点Q的坐标: 若不存在.请说明毋山.例2.如凰tl知直线.kx 6与抛物线y』x'b乂，c相交十A, 3两点，口点A(l,⑷为抛物段的顶点, 点B 在x轴上.⑴求旭利线对应的函数及辽揖⑵任⑴中：次函数的第.拿限的图象上是否存在•点P,便△FOB与APOC全等?若存在，求出点P 的％标:若不存在,请说明理由.(3)若点Q是y轴上…点,HAABQ为直角三角形,求点Q的坐标.D.【巩固训练】1.（2019•止宾〉已刈抛物纹y = x'-l，j轴文于点A.。

宜纹/=代内为任总实数）出文于S , C两点.则下列结论不正确的是（）A.存在实数使得448C为等腰三角形民存在实数A ,使得&46C的内角中仃两角分别为3伊和60）C.任意实数A,伐得部为血角三角形D.存在实数4,使得M8c为等边三处形2. M图.在平行四边形ABCD中,AB 7 cm, BC 4 c0 NA-30' .点P从点A出发沿着AB边向燃B运劭, 速度为I cm/.连结印，若以运动时间为则当〔二 w时,AADP为等小」角形.3.（2019 •泰安）已知次函数】七公十）的图象。

反比例函数y =巴的图象大丁点T,与x他交丁x 点用 5.U）.若 08 二4 8, H.S^=y .（1）求反比例函数与一次函数的表达式，<2）苦点P为x粕上一点,是等股三角形.求点「的坐乐.1. （2D18・ F州）如图，池物线y = a/+bx-4经过,4（-3.0）.£（5.-4）两点, I j•地文于点C ,性接力&•4C. RC.（1）求抛物线的表达式，（2）求证，.48平分NO6（3）抛物线的对称轴卜.是否存在点M,使得M8W是以48为宜用边的汽角H角形，若存在，求山点M的坐标：苍不存在，请说刚理由.5.(2019•的卅)如图I.在平面直用坐标系中•点。

2020数学中考冲刺专项练习专题21函数中三角形存在问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．主要思路为：①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．解题策略可以从以下几方面进行分析：①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别相交于点A、B、C，其坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（-1，0），直线y=kx+d经过A、B两点，点D为抛物线的顶点.（1）求此抛物线的解析式;（2）在x 轴上是否存在点N 使△ADN 为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）是否存在点P,使以A,B,C,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交点为（0，3），故c=3， 又因为A （3，0），C （-1，0）， 代入抛物线y=ax 2+bx+c 有，309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ∴12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式y=-x 2+2x+3．（2）由抛物线解析式为y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4， 得D （1，4），ΘA （3，0）,点N 在x 轴上，显然∠DAN=90°不成立. ①∠DNA=90°，易得N 1（1，0）. ②∠ADN=90°设N （x ，0）.过D 作DE ⊥x 轴于E ，易证△ADE ∽△DNE ， 得DE 2=NE •EA,∴42=（1-x ）⨯2∴x=-7，∴N 2（-7 ，0）.（3）答：P 1（2 ，-3）,P 2（-4 ，3），P 3（4 ，3）.①当PC//AB 时，有两个点存在，可看作线段AB 向下平移三个单位，向左平移一个单位，或者看作线段AB 向左平移四个单位，即有P 1（2 ，-3）或P 2（-4 ，3）；②当CP 为对角线时，则BP//CA ，可以看作点B 向右平移四个单位，即（4 ，3）； 综上所述，点P 的坐标为（2 ，-3）、（-4 ，3）或（4 ，3）.【原创2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y＝﹣x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y＝﹣x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB＝MB′，∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BD M的周长最小，易得直线DB′的解析式为y＝x+3，当x＝0时，y＝x+3＝3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y＝3x+3，∴直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，把C（0，3）代入得b＝3，∴直线PC的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b＝0，解得b＝﹣，∴直线PC的解析式为y＝﹣x﹣，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题1】等腰三角形存在性问题如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)． (1)求点A ，B 的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．(3)①x ＝1 (1，a )②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 【解析】：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设Q(1，a)．①当AQ＝BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作BF⊥DQ于点F.由勾股定理，得BQ＝BF2＋QF2＝（1－0）2＋（3－a）2，AQ＝AD2＋QD2＝22＋a2，得（1－0）2＋（3－a）2＝22＋a2，解得a＝1，∴点Q的坐标为(1，1)．②当AB＝BQ时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a－3）2＝10，解得a＝0或6，当点Q的坐标为(1，6)时，其在直线AB上，A，B，Q三点共线，舍去，∴点Q的坐标是(1，0)．③当AQ＝AB时，如图③，由勾股定理，得22＋a2＝10，解得a＝±6，此时点Q的坐标是(1，6)或(1，－6)．综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)．【归纳】对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．【例题2】直角三角形、全等三角形存在性问题如图，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．【解析】(1)顶点点B待定系数(2)点A，B，Q解：(1)把(1，－4)代入y＝kx－6，得k＝2，∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－6.令y＝0，解得x＝3，∴点B的坐标是(3，0)．∵点A为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)2－4，把(3，0)代入，得4a－4＝0，解得a＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.(2)存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时OP平分第二象限，即直线PO对应的函数表达式为y＝－x.设P (m ，－m )，则－m ＝m 2－2m －3， 解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝1＋132＞0，舍去，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－132，13－12. (3)如图，①当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ 1DB ，即56＝DQ 13 5， ∴DQ 1＝52，∴OQ 1＝72，即点Q 1的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－72；②当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴OB OD ＝OQ 2OB ，即36＝OQ 23， ∴OQ 2＝32，即点Q 2的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32； ③当∠AQ 3B ＝90°时，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ， 则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴OB Q 3E ＝OQ 3AE ，即34－OQ 3＝OQ 31， ∴OQ 32－4OQ 3＋3＝0，∴OQ 3＝1或3， 即点Q 3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－72或⎝⎛⎭⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)． 【归纳】本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。

（ k 2 2020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题 04 二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】1． 2019 年盐城 27 题）如图所示，二次函数 y ＝ （x ﹣1） +2 的图象与一次函数 y ＝kx ﹣k +2 的图象交于 A 、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、y 轴交于 C 、D 两点， 其中 k ＜0．（1）求 A 、B 两点的横坐标；（△2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值；（3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E ，是否存在实数 k ，使得∠ODC ＝2∠BEC ， 若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．2．（2019 年连云港 26 题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 L 1：y ＝x 2+bx +c 过点 C （0，﹣3），与抛物线 L 2：y ＝﹣ x 2﹣ x +2 的一个交点为 A ，且点 A 的横坐标为 2，点 P 、Q 分别是抛物线 L 1、L 2 上的动点．（1）求抛物线 L 1 对应的函数表达式；（2）若以点 A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标；（3）设点 R 为抛物线 L 1 上另一个动点，且 CA 平分∠PCR ．若 OQ ∥PR ，求出点 Q 的 坐标．（3．（2019 年无锡 27 题）已知二次函数 y ＝ax 2﹣4ax +c （a ＜0）的图象与它的对称轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 C （0，﹣2），其对称轴与 x 轴相交于点 B（1）若直线 BC 与二次函数的图象的另一个交点 D 在第一象限内，且 BD ＝ ，求这个 二次函数的表达式；（2）已知 P 在 y 轴上，且△POA 为等腰三角形，若符合条件的点 P 恰好有 2 个，试直 接写出 a 的值．4．（2017 年淮安 28 题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝﹣ x 2+bx +c 的图象 与坐标轴交于 A ，B ，C 三点，其中点 A 的坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（4，0），连 接 AC ，BC ．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀 速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒．连接 PQ ．（1）填空：b ＝ ，c ＝ ；（2）在点 P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 △M ，使 PQM 是以点 P 为直角顶点 的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t ；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点 N 的坐标为（﹣ ，0），线段 PQ 的中点为 H ，连接 NH ，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q ′恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q ′的坐标．5． 2017 年宿迁 25 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝x 2﹣2x ﹣3 交 x 轴于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M ，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折后所得曲线记作 N ，曲线 N 交 y 轴于点C ，连接 AC 、BC ．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（△2）求ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．6．（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y＝﹣x2+b x的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B△'，当OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD＝2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．【专项突破】【题组一】1．（2020•张家港市模拟）如图，二次函效y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）点D为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（△2）若BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（△3）若BCD是锐角三角形，请写出点D的横坐标m的取值范围．2．2020•宝应县一模）如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，（使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接△OA，若OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠O AM＝90°，求a、h、m的值．3．（2019秋•邗江区校级期末）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接B C，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．4．（2019秋•亭湖区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+b x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0）．过点A作直线y＝x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y＝x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）．（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．4【题组二】5．（2019 秋•崇川区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（ ，﹣1）的抛物线交y 轴于 A 点，交 x 轴于 B ，C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切， 请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明．6．（2019•徐州一模）如图，已知二次函数 y ＝ax 2+b x +3 的图象与 x 轴交于点 A （﹣1，0）、B （4，0），与 y 的正半轴交于点C ．（1）求二次函数 y ＝ax 2+b x +3 的表达式．（2）点 Q （m ，0）是线段 OB 上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与 BC 交于点 M ，与抛 物线交于点 N ，连结 △CN ，将 CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 D ．探究：是否存在点 Q ， 使得四边形 MNDC 是菱形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点 E 在二次函数图象上，且以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切与点 F ，且 EF请直接写出点 E 的坐标．，7．（2019•亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx 2+b x +c 的图象与 y轴交于点 A （0，8），与 x 轴交于 B 、C 两点，其中点 C 的坐标为（4，0）．点 P （m ，n ） 为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点 D 的坐标为（0，4），连接 BD ．（1）求该二次函数的表达式及点 B 的坐标；（2）连接 OP ，过点 P 作 PQ ⊥x 轴于点 Q ，当以 O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBD 相 似时，求 m 的值；（ t （3）连接 BP ，以 BD 、BP 为邻边作 BDEP ，直线 PE 交 y 轴于点 T ．①当点 E 落在该二次函数图象上时，求点 E 的坐标；②在点 P 从点 A 到点 B 运动过程中（点 P 与点 A 不重合），直接写出点 T 运动的路径长．8． 2019 秋•灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A （﹣2，0），B （0，﹣2）， C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S ， 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值．（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使 得点 P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标．【题组三】9．（2019•清江浦区一模）如图，抛物线 y ＝ax 2+b x +4（a ≠0）与 x 轴交于点 B （﹣3，0）和C （4，0）与 y 轴交于点 A ．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 运动，同时，点 N 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向 C 运动，当点 M 到达 B 点时，两点停止运动． 为何值时，以 B 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形？（3）点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 BP 恰好平分∠ABC ，请直接写出此时点 P 的 坐标．10．（2019•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2+b x点 A （﹣1，0）、C （2，0），与 y 轴交于点 B ，其对称轴与 x 轴交于点 D的图象经过（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．11．（2019秋•沭阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+b x﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：①求点D、P、E的坐标；②求四边形POBE的面积．（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019秋•江都区期末）已知二次函数y b x+c（b、c为常数）的图象经过点（0，﹣1）和点A（4，1）．（1）求b、c的值；（2）如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x 轴的直线l平分∠AMC，求点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若△PEF的面积为2，请直接写出点P的坐标．（ （【题组四】13． 2019•宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ax 2+b x +c 与 x 轴交于 A （﹣1，0）、B （3，0）两点，且抛物线经过点 D （2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点 G 在 x 轴上．原抛物线上一点 M 平移 后的对应点为点 △N ，如果 AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形，求点 N 的坐标；（3）若点 P 为抛物线上第一象限内的动点，过点 B 作 BE ⊥OP ，垂足为 E ，点 Q 为 y 轴 上的一个动点，连接 QE 、QD ，试求 QE +QD 的最小值．14．（2019•江西模拟）已知抛物线 l 1：y 1＝ax 2﹣2 的顶点为 P ，交 x 轴于 A 、B 两点（A 点 在 B 点左侧），且 sin ∠ABP．（1）求抛物线 l 1 的函数解析式；（2）过点 A 的直线交抛物线于点 C ，交 y 轴于点 D ，若△ABC 的面积被 y 轴分为 1：4 两个部分，求直线 AC 的解析式；（3）在（2）的情况下，将抛物线 l 1 绕点 P 逆时针旋转 180°得到抛物线 l 2，点 M 为抛 物线 l 2 上一点，当点 M 的横坐标为何值时，△BDM 为直角三角形？15． 2019 秋•锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2+b x +2 的图象与 x 轴交于 A （﹣3，0），B （1，0）两点，与 y 轴交于点 C ．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当 x 满足什么值时 y ＜0？（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 △P ，使 ACP 面积最大？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019秋•徐州期末）如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y x2+b x+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，△DPQ的面积最小？②是否存在某一时刻△t，使DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2019秋•江都区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+4x．（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”．试求拋物线y＝﹣x2+4x的“方点”的坐标；（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点（A 在B左侧），与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点△Q，使QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．18．（2019秋•兴化市期末）如图，△Rt FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，0.6，则称△Rt FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+b x+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G 的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明理由．19．（2019秋•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．20．（2019•海陵区校级三模）如图①抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．（1）试用含k的代数式表示点Q、点B的坐标．（2）连接PC，若四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）只有4个横坐标、纵坐标均为整数的点，求k的取值范围．（3）如图②，四边形CDQP为平行四边形时，①求k的值；②E、F为线段DB上的点（含端点）横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EG∥y轴交，抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足tan∠EGF的点E有两个？若存在，求出n；若不存在说明理由．【题组六】21．（2019•泉山区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线对应函数的关系式，及A点坐标．（2）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．22．（2019•宿迁模拟）如图，抛物线y x2+b x+c与x轴交于A、B两点，直线y x 经过点A，与抛物线的另一个交点为点C（3，m），线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G．（1）求抛物线的解析式；（2）设四边形DEFG的面积为S，求S的最大值；（3）在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．23．（2019•东台市模拟）如图，抛物线y＝ax2+b x+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上x﹣1于点F，以EF为直方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．24．（2019•阜宁县一模）如图，已知抛物线y x2+b x+4与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）证明：以AC为直径的圆与抛物线的对称轴相离；（4）在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ的外心恰好在一条边上？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案【真题再现】1．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y ＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（△2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；（3）求出m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，即可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点△H，将AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（k）2，解得：m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，解得：k，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，2．（2019 年连云港 26 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L ：y ＝x 2+bx +c 过故 k ；②当点 B 在 x 轴下方时，同理可得：tan α解得：k或，k tan ∠BEC （k +2），此时 k +2＜0，k ＜﹣2，故舍去，故 k 的值为：或 ．1点 C （0，﹣3），与抛物线 L 2：yx 2x +2 的一个交点为 A ，且点 A 的横坐标为 2，点 P 、Q 分别是抛物线 L 1、L 2 上的动点． （1）求抛物线 L 1 对应的函数表达式；（2）若以点 A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标；（3）设点 R 为抛物线 L 1 上另一个动点，且 CA 平分∠PCR ．若 OQ ∥PR ，求出点 Q 的坐 标．【分析】（1）先求出 A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可； （2）设点 P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边， AC 为平行四边形的一条对角线，用 x 表示出 Q 点坐标，再把 Q 点坐标代入抛物线 L 2：y x 2x +2 中，列出方程求得解便可；（3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L 1 不存在点 R 使得 CA 平分∠PCR ，当点 P 在 y 轴 右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方，过点 P 、R 分别作 y 轴的垂线， 垂足分别为 S 、T ，过点 P 作 PH ⊥TR 于点 H ，设点 P 坐标为（x 1， ），点 R 坐标为（x 2， ），证明△PSC ∽△RTC ，由相似比得到 x 1+x 2＝4，进而得 tan∠PRH 的值，过点 Q 作 QK ⊥x 轴于点 K ，设点 Q 坐标为（m ，），由 tan∠QOK ＝tan ∠PRH ，移出 m 的方程，求得 m 便可．【解析】（1）将 x ＝2 代入 yx 2x +2，得 y ＝﹣3，故点 A 的坐标为（2，﹣3），将 A （2，﹣3），C （0，﹣3）代入 y ＝x 2+b x +c ，得，解得，∴抛物线 L 1：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图，设点 P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3）， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x+2）2（x+2）+2，解得x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入yy x2x+2，得x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x﹣2）2（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x，此时点P的坐标为（3，0）或（，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y x2x+2，得﹣x2+2x﹣3═（2﹣x）2（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴，设点P坐标为（x1，所以有整理得，x1+x2＝4，），点R坐标为（x2，，），在△Rt PRH中，tan∠PRH过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，），所以2m，解得，m，所以点Q坐标为（，﹣7）或（，﹣7）．3．（2019年无锡27题）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．【分析】（1）先求得对称轴方程，进而得B点坐标，过D作DH⊥x轴于点H，由B，C的坐标得∠OBC＝45°，进而求得DH，BH，便可得D点坐标，再由待定系数法求得解析式；（2）先求出A点的坐标，再分两种情况：A点在x轴上时，△OP A为等腰直角三角形，符合条件的点P恰好有2个；A点不在x轴上，∠AOB＝△30°，OP A为等边三角形或顶角为120°的等腰三角形，符合条件的点P恰好有2个．据此求得a．【解析】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c，∴对称轴为x，∴B（2，0），∵C（0，﹣2），∴OB＝OC＝2，∴∠OBC＝∠DBH＝45°，∵BH，∴BH＝DH＝1，∴OH＝OB+BH＝2+1＝3，∴D（3，1），把C（0，﹣2），D（3，1）代入y＝ax2﹣4ax+c中得，，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣2；（2）∵y＝ax2﹣4ax+c过C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∴y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a﹣2，∴A（2，﹣4a﹣2），∵P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，∴①当抛物线的顶点A在x轴上时，∠POA＝90°，则OP＝OA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，此时A（﹣2，0），∴﹣4a﹣2＝0，解得a；②当抛物线的顶点A不在x轴上时，∠AOB＝△30°时，则OP A为等边三角形或∠AOP ＝120°的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，∴AB＝OB•tan30°＝2，∴|﹣4a﹣2|∴，或．综上，a或或．4．（2017年淮安28题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y x2+b x+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点△M，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（ a （ y（4）如图② ，点 N 的坐标为（，0），线段 PQ 的中点为 H ，连接 NH ，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q ′恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q ′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为 y ＝a （x +3）（x ﹣4）．将 a代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出 b 、c 的值；（2）连结 QC ．先求得点 C 的坐标，则 PC ＝5﹣t ，依据勾股定理可求得 AC ＝5，CQ 2＝ t 2+16，接下来，依据 CQ 2﹣CP 2＝AQ 2﹣AP 2 列方程求解即可；（3）过点 P 作 DE ∥x 轴，分别过点 M 、Q 作 MD ⊥DE 、QE ⊥DE ，垂足分别为 D 、E ， MD 交 x 轴与点 F ，过点 P 作 PG ⊥x 轴，垂足为点 G ，首先证明△P AG ∽△ACO ，依据相似三角形的性质可得到 PGt ，AG t ，然后可求得 PE 、DF 的长，然后再证明△MDP ≌PEQ ，从而得到 PD ＝EQt ，MD ＝PE ＝3t ，然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP ，取 OP 的中点 R ，连结 RH ，NR ，延长 NR 交线段 BC 与点 Q ′．首先依据三角形的中位线定理得到 RHQO t ，RH ∥OQ ，NR AP t ，则 RH ＝NR ，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明 NH 是∠QNQ ′的平分线，然后求 得直线 NR 和 BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标即可．【解析】 1）设抛物线的解析式为 y ＝ （x +3） x ﹣4）．将 a∴b，c ＝4．（2）在点 P 、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．理由如下：连结 QC ．代入得： x 2 x +4，∵在点 P 、Q 运动过程中，∠P AQ 、∠PQA 始终为锐角， ∴当△APQ 是直角三角形时，则∠APQ ＝90°．将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵AP＝OQ＝t，∴PC＝5﹣t，∵在△Rt AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2＝t2+16，在△Rt CPQ中依据勾股定理可知：PQ2＝CQ2﹣CP2，在△Rt APQ中，AQ2﹣AP2＝PQ2，∴CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2＝t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t＝4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E＝∠D＝90°．∵PG∥y轴，∴△P AG∽△ACO，∴∴PG t，AG ，即t，，∴PE＝GQ＝GO+OQ＝AO﹣AG+OQ＝3t+t＝3t，DF＝GP t．∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，∴∠DMP+∠DPM＝∠EPQ+∠DPM＝90°，∴∠DMP＝∠EPQ．又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，∴△MDP≌△PEQ，∴PD＝EQ t，MD＝PE＝3t，∴FM＝MD﹣DF＝3t t＝3t，OF＝FG+GO＝PD+OA﹣AG＝3t t＝3t，∴M（﹣3t，﹣3t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3t（﹣3t）2（﹣3t）+4，解得：t．∵0≤t≤4，∴t．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴RH QO t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR AP t，∴RH＝NR，∴∠RNH＝∠RHN．∵RH∥OQ，∴∠RHN＝∠HNO，∴∠RNH＝∠HNO，即NH是∠QN Q′的平分线．设直线AC的解析式为y＝mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：，解得：m，n＝4，∴直线AC的表示为y x+4．同理可得直线BC的表达式为y＝﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y x+s，将点N的坐标代入得：（）+s＝0，解得：s ＝2，∴直线NR的表述表达式为y x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：，解得：x，y，∴Q′（，）．5．（2017年宿迁25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（△2）求ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段B C与AB的垂直平分线的交点，即直线y＝x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ＝PC，从而可用x 表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．【解析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0可得y＝﹣3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，∴C（0，3），设曲线N的解析式为y＝ax2+b x+c，把A、B、C的坐标代入可得，解得，∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（△2）设ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，又线段AB的垂直平分线为曲线N的对称轴，即x＝1，∴M（1，1），∴MB，即△ABC外接圆的半径为；（3）设Q（t，0），则BQ＝|t﹣3|①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，∴P点纵坐标为3，x即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1或x＝1，∴PC＝1当x＝1或PC1，时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝1，解得t＝4，当x＝1时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ＝3﹣t，∴3﹣t1，解得t＝4，∴Q点坐标为（4，0）或（4，0）；当点P在曲线N上时，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，∴PC＝2，此时Q点在B点的右侧，则BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝2，解得t＝5，∴Q点坐标为（5，0）；②当BC为平行四边形的对角线时，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的中点为（，），设P（x，y），∴x+t＝3，y+0＝3，解得x＝3﹣t，y＝3，∴P（3﹣t，3），当点P在曲线M上时，则有3＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2或t＝2，∴Q点坐标为（2，0）或（2，0）；当点P在曲线N上时，则有3＝﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t＝3（Q、B重合，舍去）或t＝1，∴Q点坐标为（1，0）；综上可知Q点的坐标为（4，0）或（4，0）或（5，0）或（2，0）或（2，0）或（1，0）．6．（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y x2+b x的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B△'，当OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD＝2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．。

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题20二次函数与特殊三角形存在型问题【方法指导】解决二次函数中动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.对于直角三角形的动点和存在性问题，通常采用“两线一圆法”，常用的解决方案有：（1）与函数结合，常利用互相垂直的两直线的倾斜率的乘积为﹣1，求得一次函数的解析式再与二次函数联立方程组；（2）利用两点间的坐标公式以及勾股定理，得到一个一元二次或一元一次方程；（3）利用30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（4）将点的坐标转化为线段的长，利用全等或相似的知识来求解.对于等腰三角形的动点和存在性问题，通常采用“两圆一线法”常用的步骤有：先确定顶点，讨论底边和腰； 寻找点的存在性，顶点在底边的线段垂直平分线上，底边两点的寻找可以利用画圆；求点的坐标，可以利用两点间的坐标公式以及勾股定理或全等三角形知识解决.【题型剖析】【类型1】二次函数与等腰三角形问题【例1】如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC AQ =、AC CQ =、CQ AQ =三种情况，分别求解即可；（3）由2211sin 44)33PN PQ PQN m m m =∠=-+++-即可求解． 【解析】解：（1）由二次函数交点式表达式得：22(3)(4)(12)12y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，即：124a -=，解得：13a =-， 则抛物线的表达式为211433y x x =-++； （2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)-、(4,0)、(0,4)，则5AC =，7AB =，42BC =45OBC OCB ∠=∠=︒，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y kx b =+并解得：4y x =-+⋯①，同理可得直线AC 的表达式为：443y x =+， 设直线AC 的中点为3(2K -，2)，过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34-， 同理可得过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为：3748y x =-+⋯②， ①当AC AQ =时，如图1，则5AC AQ ==，设：QM MB n ==，则7AM n =-，由勾股定理得：22(7)25n n -+=，解得：3n =或4（舍去4)，故点(1,3)Q ；②当AC CQ =时，如图1，5CQ =，则25BQ BC CQ =-=， 则852QM MB -= 故点52(2Q ，8522-； ③当CQ AQ =时，联立①②并解得：252x =（舍去）； 故点Q 的坐标为：(1,3)Q 或52(852-； （3）设点211(,4)33P m m m -++，则点(,4)Q m m -+， OB OC =，45ABC OCB PQN ∴∠=∠=︒=∠，22211222sin 44)2)33PN PQ PQN m m m m =∠=-+++-=-+， 20-<，PN ∴有最大值， 当2m =时，PN 22． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【变式训练】如图，直线4y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值； （3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当PDM ∆是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）求直线4y x =-+与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B 、C 坐标求得45OBC ∠=︒，又PE x ⊥轴于点E ，得到PEB ∆是等腰直角三角形，由2PB t =求得BE PE t ==，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据//MP CN 可证MPQ NCQ ∆∆∽，故有12MP MQ NC NQ ==，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰PDM ∆的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD MP =，则45MDP MPD ∠=∠=︒，故有90DMP ∠=︒，不合题意；②若DM DP =，则45DMP MPD ∠=∠=︒，进而得AE ME =，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP DP =，则PMD PDM ∠=∠，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得CFD PMD PDM CDF ∠=∠=∠=∠进而得CF CD =．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角CDG ∆，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF CD =，解方程即得到t 的值． 【解析】解：（1）直线4y x =-+中，当0x =时，4y =(0,4)C ∴当40y x =-+=时，解得：4x =(4,0)B ∴抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为234y x x =-++（2）(4,0)B ，(0,4)C ，90BOC ∠=︒OB OC ∴=45OBC OCB ∴∠=∠=︒ME x ⊥轴于点E ，2PB t =90BEP ∴∠=︒Rt BEP ∴∆中，2sin 2PE PBE PB ∠== 2BE PE t ∴=== 4M P x x OE OB BE t ∴===-=-，P y PE t ==点M 在抛物线上22(4)3(4)45M y t t t t ∴=--+-+=-+24M P MP y y t t ∴=-=-+PN y ⊥轴于点N90PNO NOE PEO ∴∠=∠=∠=︒∴四边形ONPE 是矩形ON PE t ∴==4NC OC ON t ∴=-=-//MP CNMPQ NCQ ∴∆∆∽ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=- 解得：112t =，24t =（点P 不与点C 重合，故舍去） t ∴的值为12（3）90PEB ∠=︒，BE PE =45BPE PBE ∴∠=∠=︒45MPD BPE ∴∠=∠=︒①若MD MP =，则45MDP MPD ∠=∠=︒90DMP ∴∠=︒，即//DM x 轴，与题意矛盾②若DM DP =，则45DMP MPD ∠=∠=︒90AEM ∠=︒AE ME ∴=2340y x x =-++=时，解得：11x =-，24x =(1,0)A ∴-由（2）得，4M x t =-，25M ME y t t ==-+4(1)5AE t t ∴=---=-255t t t ∴-=-+解得：11t =，25(04t t =<<，舍去）③若MP DP =，则PMD PDM ∠=∠如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG y ⊥轴于点GCFD PMD PDM CDF ∴∠=∠=∠=∠CF CD ∴=(1,0)A -，2(4,5)M t t t --+，设直线AM 解析式为y ax m =+∴20(4)5a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a t m t =⎧⎨=⎩∴直线:AM y tx t =+(0,)F t ∴4CF OC OF t ∴=-=-4tx t x +=-+，解得：41t x t -=+ 41D t DG x t -∴==+ 90CGD ∠=︒，45DCG ∠=︒2(4)2t CD DG -∴= 2(4)4t t -∴-= 解得：21t =-综上所述，当PDM ∆是等腰三角形时，1t =或21t =-．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．【类型2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线24y ax bx =+-经过(3,0)A -，(5,4)B -两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO ∠；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将(3,0)A -，(5,4)B -代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取(2,0)D ，则AD AC =，连接BD ，接下来，证明BC BD =，然后依据SSS 可证明ABC ABD ∆≅∆，接下来，依据全等三角形的性质可得到CAB BAD ∠=∠；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM AB '⊥，作BM AB ⊥，分别交抛物线的对称轴与M '、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到1tan 2BAE ∠=，从而可得到tan 2M AE ∠'=或tan 2MBF ∠=，从而可得到FM 和M E '的长，故此可得到点M '和点M 的坐标．【解析】解：（1）将(3,0)A -，(5,4)B -代入得：934025544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得：16a =，56b =-． ∴抛物线的解析式为215466y x x =--． （2）3AO =，4OC =，5AC ∴=．取(2,0)D ，则5AD AC ==．由两点间的距离公式可知22(52)(40)5BD =-+--．(0,4)C -，(5,4)B -，5BC ∴=．BD BC ∴=．在ABC ∆和ABD ∆中，AD AC =，AB AB =，BD BC =，ABC ABD ∴∆≅∆，CAB BAD ∴∠=∠，AB ∴平分CAO ∠；（3）如图所示：抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为52x =，则112AE =． (3,0)A -，(5,4)B -，1tan 2EAB ∴∠=． 90M AB ∠'=︒．tan 2M AE ∴∠'=．211M E AE ∴'==，5(2M ∴'，11)． 同理：tan 2MBF ∠=． 又52BF =， 5FM ∴=，5(2M ∴，9)-． ∴点M 的坐标为5(2，11)或5(2，9)-． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M E '的长是解题的关键．4．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C ．（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标．【分析】（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y mx n =+，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小．把1x =-代入直线3y x =+得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设(1,)P t -，又因为(3,0)B -，(0,3)C ，所以可得218BC =，2222(13)4PB t t =-++=+，2222(1)(3)610PC t t t =-+-=-+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．【解析】解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解之得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =--+对称轴为1x =-，且抛物线经过(1,0)A ，∴把(3,0)B -、(0,3)C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+；（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小． 把1x =-代入直线3y x =+得，2y =， (1,2)M ∴-，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(1,2)-； （3）设(1,)P t -， 又(3,0)B -，(0,3)C ，218BC ∴=，2222(13)4PB t t =-++=+，2222(1)(3)610PC t t t =-+-=-+，①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=即：22184610t t t ++=-+解之得：2t =-； ②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=即：22186104t t t +-+=+解之得：4t =， ③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=即：22461018t t t ++-+=解之得：1317t +=，2317t -=； 综上所述P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)+- 或317(1,)--．【类型3】二次函数与等腰直角三角形问题【例3】已知：如图，抛物线23y ax bx =++与坐标轴分别交于点A ，(3,0)B -，(1,0)C ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，PAB ∆的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作//PE x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使PDE ∆为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．（2）设点P 横坐标为t ，过点P 作//PF y 轴交AB 于点F ，求直线AB 解析式，即能用t 表示点F 坐标，进而表示PF 的长．把PAB ∆分成PAF ∆与PBF ∆求面积和，即得到PAB ∆面积与t 的函数关系，配方即得到t 为何值时，PAB ∆面积最大，进而求得此时点P 坐标．（3）设点P 横坐标为t ，即能用t 表示PD 的长．根据对称性可知点P 、E 关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用t 表示点E 横坐标，进而用t 表示PE 的长（注意点P 、E 左右位置不确定，需分类讨论）．由于PDE ∆要成为等腰直角三角形，90DPE ∠=︒，所以PD PE =，把含t 的式子代入求值即得到点P 坐标． 【解析】解：（1）抛物线23y ax bx =++过点(3,0)B -，(1,0)C ∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为223y x x =--+（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交AB 于点F 0x =时，2233y x x =--+=(0,3)A ∴∴直线AB 解析式为3y x =+点P 在线段AB 上方抛物线上∴设(P t ，223)(30)t t t --+-<<(,3)F t t ∴+2223(3)3PF t t t t t ∴=--+-+=-- 2211133327(3)()2222228PAB PAF PBF S S S PF OH PF BH PF OB t t t ∆∆∆∴=+=+==--=-++∴点P 运动到坐标为3(2-，15)4，PAB ∆面积最大 （3）存在点P 使PDE ∆为等腰直角三角形 设(P t ，223)(30)t t t --+-<<，则(,3)D t t +2223(3)3PD t t t t t ∴=--+-+=-- 抛物线2223(1)4y x x x =--+=-++∴对称轴为直线1x =-//PE x 轴交抛物线于点EE P y y ∴=，即点E 、P 关于对称轴对称∴12E Px x +=- 22E P x x t ∴=--=-- |||22|E P PE x x t ∴=-=--PDE ∆为等腰直角三角形，90DPE ∠=︒ PD PE ∴=①当31t -<-时，22PE t =-- 2322t t t ∴--=--解得：11t =（舍去），22t =- (2,3)P ∴-②当10t -<<时，22PE t =+ 2322t t t ∴--=+解得：1517t -+=2517t --= 517(P -+∴5317)-+ 综上所述，点P 坐标为(2,3)-或517(-+5317-+时使PDE ∆为等腰直角三角形．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式，一元二次方程的解法．分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去． 6．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ． （1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0)-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值． （3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：22(3)(1)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=+-=+-，即32a -=，即可求解； （2）APO CPO ODC ADCP S S S S ∆∆∆=+-四边形，即可求解；（3）分点N 在x 轴上方、点N 在x 轴下方两种情况，分别求解．【解析】解：（1）抛物线的表达式为：22(3)(1)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=+-=+-， 即32a -=，解得：23a =-，故抛物线的表达式为：224233y x x =--+，则点(0,2)C ，函数的对称轴为：1x =-； （2）连接OP ，设点224(,2)33P x x x --+，则111222APO CPO ODC P P ADCP S S S S S AO y OC x CO OD ∆∆∆==+-=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯四边形22124113(2)2()213223322x x x x x =⨯⨯--++⨯⨯--⨯⨯=--+， 10-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为174；（3）存在，理由：MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角时，点N 的位置如下图所示：①当点N 在x 轴上方时，点N 的位置为1N 、2N ， 1N 的情况(△11):M N O设点1N 的坐标为224(,2)33x x x --+，则11M E x =+，过点1N 作x 轴的垂线交x 轴于点F ，过点1M 作x 轴的平行线交1N F 于点E ， 11190FN O M N E ∠+∠=︒，111190M N E EM N ∠+∠=︒，111EM N FN O ∴∠=∠， 11190M EN N FO ∠=∠=︒，111ON M N =，∴△11M N E ≅△1()N OF AAS ，11M E N F ∴=，即：2241233x x x +=--+，解得：773x -±=（舍去负值），则点1773(N -+，373)-+； 2N 的情况(△22):M N O同理可得：点2173(N --，373)-+； ②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为3N 、4N ， 同理可得：点3N 、4N 的坐标分别为：773(--，373)--、173(-+，373)--； 综上，点N 的坐标为：773(-+，373)-+或173(--，373)-+或773(--，373)--或173(-+，373)--． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【达标检测】1．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式．【分析】（1）根据待定系数法，把点(2,5)A -，(1,0)B -，(3,0)C 的坐标代入2y ax bx c =++得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为(1,0)，2BH =，由翻折得4C B CB '==，求出C H '的长，可得60C BH ∠'=︒，求出DH 的长，则D 坐标可求；（3）由题意可知△C CB '为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C P '．证出BCQ ∆≅△C CP '，可得BP 垂直平分CC '，则D 点在直线BP 上，可求出直线BP 的解析式，②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．同理可求出另一直线解析式． 【解析】解：（1）由题意得：425,0930,a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线的函数表达式为223y x x =--．（2）抛物线与x 轴交于(1,0)B -，(3,0)C ， 4BC ∴=，抛物线的对称轴为直线1x =，如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为(1,0)，2BH =， 由翻折得4C B CB '==，在Rt BHC ∆'中，由勾股定理，得22224223C H C B BH '='-=-=∴点C '的坐标为(1，23)，23tan 3C H C BH BH '∠'===60C BH ∴∠'=︒，由翻折得1302DBH C BH ∠=∠'=︒，在Rt BHD ∆中，23tan 2tan30DH BH DBH =∠=︒=， ∴点D 的坐标为23． （3）解：取（2）中的点C '，D ，连接CC '， BC BC '=，60C BC ∠'=︒，∴△C CB '为等边三角形．分类讨论如下：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C P '． PCQ ∆，△C CB '为等边三角形，CQ CP ∴=，BC C C ='，60PCQ C CB ∠=∠'=︒， BCQ C CP ∴∠=∠'， BCQ ∴∆≅△()C CP SAS '， BQ C P ∴='．点Q 在抛物线的对称轴上， BQ CQ ∴=， C P CQ CP ∴'==，又BC BC '=，BP ∴垂直平分CC '，由翻折可知BD 垂直平分CC '，∴点D 在直线BP 上，设直线BP 的函数表达式为y kx b =+， 则023k b k b =-+⎧=+，解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BP 的函数表达式为33y =+． ②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．PCQ ∆，△C CB '为等边三角形，CP CQ ∴=，BC CC ='，60CC B QCP C CB ∠'=∠=∠'=︒． BCP C CQ ∴∠=∠'， BCP ∴∆≅△()C CQ SAS '，CBP CC Q ∴∠=∠'， BC CC '='，C H BC '⊥，∴1302CC Q CC B ∠'=∠'=︒． 30CBP ∴∠=︒，设BP 与y 轴相交于点E ，在Rt BOE ∆中，33tan tan301OE OB CBP OB =∠=︒=⨯=∴点E 的坐标为3(0,． 设直线BP 的函数表达式为y mx n =+， 则03m n n =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得33m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BP 的函数表达式为33y x =． 综上所述，直线BP 的函数表达式为33y =或33y x =． 【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．2．如图1，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线交y 轴于点(0,2)E ． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点A 作BE 的平行线交抛物线于另一点D ，点P 是抛物线上位于线段AD 下方的一个动点，连结PA ，EA ，ED ，PD ，求四边形EAPD 面积的最大值；（3）如图3，连结AC ，将AOC ∆绕点O 逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A OC ''，在旋转过程中，直线OC '与直线BE 交于点Q ，若BOQ ∆为等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为ADE ∆的面积为定值，所以APD ∆的面积最大时，四边形EAPD 面积的最大，过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，当PG 的值最大时，APD ∆的面积最大，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题； （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【解析】解：（1）(1,0)A -，(4,0)B 在抛物线22y ax bx =+-上，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =--． （2）过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，(4,0)B ，(0,2)E ，∴直线BE 的解析式为122y x =-+，//AD BE ，设直线AD 的解析式为12y x b =-+，代入(1,0)A -，可得12b =-，∴直线AD 的解析式为1122y x =--， 设11(,)22G m m --，则213(,2)22P m m m --，则2211131()(2)(1)222222PG m m m m =-----=--+，∴当1x =时，PG 的值最大，最大值为2，由2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=-⎩，(3,2)D ∴-，1124422D A ADP S PG x x ∆∴=⨯⨯-=⨯⨯=最大值，15252ADB S ∆=⨯⨯=，//AD BE ， 5ADE ADB S S ∆∆∴==，459ADB APDE ADP S S S ∆∆∴=+=+=四边形最大最大．（3）①如图31-中，当OQ OB =时，作OT BE ⊥于T ．4OB =，2OE =， 25BE ∴=，4525OE OB OT BE ===， 85BT TQ ∴==， 1655BQ ∴=， 可得12(5Q -，16)5； ②如图3中，当1BO BQ =时，185(4Q -，45)，当22OQ BQ =时，2(2,1)Q ， 当3BO BQ =时，385(4Q +，45)-， 综上所述，满足条件点点Q 坐标为12(5-，16)5或85(4-，45)或(2,1)或85(4+，45)-；【点评】本题考查二次函数综合题、四边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(4,0)B ，(0,4)C -三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使POC ∆是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆面积最大，求出此时P 点坐标和PBC ∆的最大面积．【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P 在线段OC 的垂直平分线上，则可求得P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标；（3）过P 作PE x ⊥轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出PBC ∆的面积，利用二次函数的性质可求得PBC ∆面积的最大值及P 点的坐标． 【解析】解：（1）设抛物线解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 三点坐标代入可得016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得134a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为234y x x =--；（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，PO PC ∴=，此时P 点即为满足条件的点，(0,4)C -， (0,2)D ∴-，P ∴点纵坐标为2-，代入抛物线解析式可得2342x x --=-，解得317x -=（小于0，舍去）或317x +=， ∴存在满足条件的P 点，其坐标为317(+，2)-； （3）点P 在抛物线上，∴可设2(,34)P t t t --，过P 作PE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，(4,0)B ，(0,4)C -，∴直线BC 解析式为4y x =-，(,4)F t t ∴-，22(4)(34)4PF t t t t t ∴=----=-+，2211111()(4)42(2)822222PBC PFC PFB S S S PF OE PF BE PF OE BE PF OB t t t ∆∆∆∴=+=+=+==-+⨯=--+，∴当2t =时，PBC S ∆最大值为8，此时2346t t --=-，∴当P 点坐标为(2,6)-时，PBC ∆的最大面积为8．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P 点的位置是解题的关键，在（3）中用P 点坐标表示出PBC ∆的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 4．如图，已知两直线1l ，2l 分别经过点(1,0)A ，点(3,0)B -，且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C ，当点C 的坐标为(0,3)时，恰好有12l l ⊥，经过点A 、B 、C 的抛物线的对称轴与1l 、2l 、x 轴分别交于点G 、E 、F ，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG 与DE 的数量关系？并说明理由；（3）若直线2l 绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当MCG ∆为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++．将点A 、B 、C 的坐标代入，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程求出a 、b 、c 的值，进而得到抛物线的解析式；（2）利用待定系数法分别求出直线1l 、直线2l 的解析式，再求出G 、D 、E 的坐标，计算得出23DG DE == （3）当MCG ∆为等腰三角形时，分三种情况：①GM GC =；②CM CG =；③MC MG =． 【解析】解：（1）设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++． 点(1,0)A ，点(3,0)B -，点3)C 在抛物线上， ∴09303a b c a b c c ⎧++=⎪-+=⎨⎪=⎩，解得3233a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的函数解析式为23233y x =+ （2）DG DE =．理由如下：设直线1l 的解析式为11y k x b =+，将(1,0)A ，3)C 代入，解得33y x =- 设直线2l 的解析式为22y k x b =+，将(3,0)B -，3)C 代入，解得33y =；抛物线与x 轴的交点为(1,0)A ，(3,0)B -，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，又点G 、D 、E 均在对称轴上， (1G ∴-，23)，43(D -，23(E -， 432323DG ∴==，432323DE = DG DE ∴=；（3）若直线2l 绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当MCG ∆为等腰三角形时，分三种情况： ①以G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点1M 、C ，点1M 与C 关于抛物线的对称轴对称，则1M 的坐标为(3)-；②以C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点2M 、3M ，点2M 与点A 重合，点A 、C 、G 在一条直线上，不能构成三角形，3M 与1M 重合；③作线段GC 的垂直平分线，交抛物线于点4M 、5M ，点4M 与点D 重合，点D 的坐标为43(-，5M 与1M 重合；综上所述，满足条件的点M 只有两个，其坐标分别为(3)-，43(-． 【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，有一定难度．利用数形结合、方程思想与分类讨论是解题的关键． 5．如图，抛物线212y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =--经过点A ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点M ，设点P 的横坐标为m ． ①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②作点B 关于点C 的对称点B '，则平面内存在直线l ，使点M ，B ，B '到该直线的距离都相等．当点P 在y 轴右侧的抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线:l y kx b =+的解析式．(k ，b 可用含m 的式子表示）【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，C 的坐标，根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM x ⊥轴可得出90PMC ∠≠︒，分90MPC ∠=︒及90PCM ∠=︒两种情况考虑：()i 当90MPC ∠=︒时，//PC x 轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；()ii 当90PCM ∠=︒时，设PC 与x 轴交于点D ，易证AOC COD ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P 的坐标．综上，此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B ，M 的坐标，结合点C 的坐标可得出点B '的坐标，根据点M ，B ，B '的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM ，B M '和BB '的解析式，利用平行线的性质可求出直线l 的解析式． 【解析】解：（1）当0x =时，1222y x =--=-，∴点C 的坐标为(0,2)-；当0y =时，1202x --=，解得：4x =-，∴点A 的坐标为(4,0)-．将(4,0)A -，(0,2)C -代入212y ax x c =++，得：16202a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为211242y x x =+-． （2）①PM x ⊥轴，90PMC ∴∠≠︒，∴分两种情况考虑，如图1所示．()i 当90MPC ∠=︒时，//PC x 轴，∴点P 的纵坐标为2-．当2y =-时，2112242x x +-=-，解得：12x =-，20x =，∴点P 的坐标为(2,2)--；()ii 当90PCM ∠=︒时，设PC 与x 轴交于点D ． 90OAC OCA ∠+∠=︒，90OCA OCD ∠+∠=︒， OAC OCD ∴∠=∠．又90AOC COD ∠=∠=︒， AOC COD ∴∆∆∽，∴OD OCOC OA=，即224OD =， 1OD ∴=，∴点D 的坐标为(1,0)．设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠， 将(0,2)C -，(1,0)D 代入y kx b =+，得： 20b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为22y x =-．联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组，得：22211242y x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩， 解得：1102x y =⎧⎨=-⎩，22610x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为(6,10)．综上所述：当PCM ∆是直角三角形时，点P 的坐标为(2,2)--或(6,10)． ②当0y =时，2112042x x +-=，解得：14x =-，22x =，∴点B 的坐标为(2,0)．点C 的坐标为(0,2)-，点B ，B '关于点C 对称，∴点B '的坐标为(2,4)--．点P 的横坐标为(0m m >且2)m ≠，∴点M 的坐标为1(,2)2m m --．利用待定系数法可求出：直线BM 的解析式为44242m m y x m m ++=-+--，直线B M '的解析式为454242m m y x m m -++=-++，直线BB '的解析式为2y x =-． 分三种情况考虑，如图2所示：当直线//l BM 且过点C 时，直线l 的解析式为4224m y x m +=---； 当直线//l B M '且过点C 时，直线l 的解析式为4224m y x m -+=-+； 当直线//l BB '且过线段CM 的中点1(2N m ，12)4m --时，直线l 的解析式为324y x m =--．综上所述：直线l 的解析式为4224m y x m +=---，4224m y x m -+=-+或324y x m =--．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分90MPC ∠=︒及90PCM ∠=︒两种情况求出点P 的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l 的解析式．6．如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0,8)，点C 的坐标为(6,0)．抛物线249y x bx c=-++经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ CP =，连接PQ ，设CP m =，CPQ ∆的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上，若存在点F ，使DFQ ∆为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线249y x bx c =-++，即可求得抛物线的解析式；（2）①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数； ②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写． 【解析】解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得 8436609c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得：438b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为244893y x x =-++；（2）①8OA =，6OC =，2210AC OA OC ∴=+，过点Q 作QE BC ⊥与E 点，则3sin 5QE AB ACB QC AC ∠===，∴3105QE m =-， 3(10)5QE m ∴=-， 21133(10)322510S CP QE m m m m ∴==⨯-=-+； ②221133315(10)3(5)22510102S CP QE m m m m m ==⨯-=-+=--+， ∴当5m =时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使FDQ ∆为直角三角形，抛物线的解析式为244893y x x =-++的对称轴为32x =， D 的坐标为(3,8)，(3,4)Q ，当90FDQ ∠=︒时，13(2F ，8)， 当90FQD ∠=︒时，则23(2F ，4)， 当90DFQ ∠=︒时，设3(2F ，)n ， 则222FD FQ DQ +=，即2299(8)(4)1644n n +-++-=， 解得：76n =±， 33(2F ∴，76)+，43(2F ，76)-， 满足条件的点F 共有四个，坐标分别为13(2F ，8)，23(2F ，4)，33(2F ，76)+，43(2F ，76)-．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．7．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴分别交于(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断BCD ∆的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移(0)t t >个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当AMN ∆为直角三角形时，求t 的值．【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由222BC BD CD +=可证出BCD ∆为直角三角形；（3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出2AM 、2AN 、2MN 的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【解析】解：（1）将(1,0)A 、(3,0)B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为(2,1)-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为(0,3)．点B 的坐标为(3,0)，22(30)(03)32BC ∴=-+-=22(23)(10)2BD -+--22(20)(13)25CD -+--。

2020届中考数学压轴题全揭秘专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，2CF AD =1. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+，D 的坐标为(1,4)-；（2）①12k =；②以A ，F ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似，F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)-；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC 32=DC 2=，AD 5=，可得ΔACD 为直角三角形，若1CF AD 2=，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值； ②由条件可判断DAC OBC ∠∠=，则OAF ACB ∠∠=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=或AOF CAB 45∠∠︒==时，可分别求出点F 的坐标． 【详解】(1)Q 抛物线2y ax bx 3=++过点A(3,0)-，B(1,0)，933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2y x 2x 3=--+；()22y x 2x 3x 14=--+=-++Q ， ∴顶点D 的坐标为(1,4)-；(2)①Q 在Rt ΔAOC 中，OA 3=，OC 3=，222AC OA OC 18∴=+=，()D 1,4-Q ，()C 0,3，()A 3,0-，222CD 112∴=+=， 222AD 2420∴=+=，222AC CD AD ∴+=，ΔACD ∴为直角三角形，且ACD 90∠︒=，1CF AD 2=Q ， ∴F 为AD 的中点，AF 1AD 2∴=， 1k 2∴=；②在Rt ΔACD 中，DC 21tan ACD AC 332∠===， 在Rt ΔOBC 中，OB 1tan OCB OC 3∠==， ACD OCB ∠∠∴=， OA OC =Q ，OAC OCA 45∠∠︒∴==，FAO ACB ∠∠∴=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOF ABC ∠∠=时，ΔAOF ΔCBA ∽，OF BC ∴P ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，03k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=3x+3-，∴直线OF 的解析式为y=3x -，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为y=2x 6+，263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩，解得：65185x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，618F ,55⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．当AOF CAB 45∠∠︒==时，ΔAOF ΔCAB ∽，CAB 45∠︒=Q ，OF AC ∴⊥，∴直线OF 的解析式为y=x -，26y x y x =-⎧∴⎨=+⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩， ()F 2,2∴-，综合以上可得F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．【变式1-1】如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与直线1y x =--交于A ，E 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()40Q ，或()04-，，理由见解析；（3）3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）将A 、C 的坐标代入2y 2ax x c =++求出a 、c 即可得到解析式；（2）先求出E 点坐标，然后作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q 、与A 、E ，Q'与A 、E 组成的三角形是以AE 为底边的等腰三角形，设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A 、E 坐标，求出AE 长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设()p 0m ，，由相似得到PB ABBC AE=或PB AEBC AB=，建立方程求解即可．【详解】（1）将(1,0)A -，(0,3)C 代入2y 2ax x c =++得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为2y 23=-++x x （2）存在，理由如下：联立y 1x =--和2y x 2x 3=-++，2y 123x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标为(4,-5)，如图，作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，此时Q 点与Q'点的坐标即为所求， 设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)， 由QA=QE ，Q'A= Q'E 得：()()()221405--=-++x x ()()()()2222010045++-=-++y y 解得4x =，4y =故Q 点坐标为()40，或()04-， （3）∵(1,0)A -，()45E -，∴()22145=52=--+AE当2230x x -++=时，解得1x =-或3 ∴B 点坐标为(3,0)， ∴3OB OC ==∴45ABC ∠=︒，4AB =，32BC =，由直线1y x =--可得AE 与y 轴的交点为(0,-1)，而A 点坐标为(-1,0) ∴∠BAE=45°设()p 0m ，则3m BP =-， ∵PBC ∆和ABE ∆相似 ∴PB AB BC AE =或PB AE BC AB =，即3252=或52432=解得35m =或92m =-， ∴3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】如图，已知抛物线1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使AH+CH 的值最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）211242y x x =-++；（2）点H 的坐标为（1，32）；（3）当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 【解析】 分析：（1）把点（2，2）代入1(2)()?(0)y x x m m m=-+->中，解出m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点A 、B 、C 的坐标，由题意可知，点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H ，根据B 、C 的坐标求出直线BC 的解析式即可求得点H 的坐标；（3）由解析式1(2)()?(0)y x x m m m=-+->可得点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，0）、（m ，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB 和∠ABM 是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA ，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解：（1）把点（2，2）代入抛物线， 得2=()()1222m m-+-. 解得m=4.∴抛物线的解析式为()()2111y x 2x 4x x 2442=-+-=-++. （2）令211y x x 2042=-++=，解得12x 2x 4=-=，. 则A （-2，0），B （4，0）.对称轴x=-121124=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. ∵ 211y x x 242=-++中当x=0时，y=2，∴点C 的坐标为（0，2）.∵点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与对称轴的交点即为点H ，此时AH+CH 的值最小， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （4，0），C （0，2）代入得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴直线BC 的解析式为y=1x 22-+. ∵当x=1时，y=1122-⨯+=32.∴点H 的坐标为（1，32）.（3）假设存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 如下图，连接AC ，BC ，AM ，BM ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB ∽△ABM 时，有AC AB =ABAM，即2AB AC?AM =. ∵A （-2，0），C （0，2），即OA=OC=2， ∴∠CAB=∠BAM=o 45.∵MN ⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°， ∴AN=MN.∴可设M 的坐标为：（x ，-x-2）（x ＞0）， 把点M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=()()1x 2x m m-+-. 化简整理得：x=2m ，∴点M 的坐标为：（2m ，-2m-2）. ∴()())222m 22m 222m 1++--=+.∵2AB AC?AM =，AC=22AB=m+2， ∴())2m 22222m 1+=+. 解得：m=222±. ∵m ＞0， ∴m=222+.②当△ACB ∽△MBA 时，有AB MA =CBBA，即2AB CB?MA =. ∵∠CBA=∠BAM ，∠ANM=∠BOC=o 90， ∴△ANM ∽△BOC ，∴MN AN =COBO. ∵BO=m ，设ON=x ， ∴2MN x +=2m ，即MN=2m（x+2）.令M （x ，()2x 2m-+）（x ＞0）， 把M 点的坐标代入抛物线的解析式，得()2x 2m -+=()()1x 2x m m-+-.解得x=m+2.即M （m+2，()2m 4m-+）.∵2AB CB?MA =，CB=2m 4AN m 4+=+，，MN=()2m 4m+， ∴()()()222224m 4m 2m 4?m 4m ++=+++. 化简整理，得16=0，显然不成立.综上所述，当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A 、B 是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA 这两种可能情况”是解答第3小题的关键. 【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，图象与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．()1求抛物线的解析式；()2设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求ACD V 的面积；()3点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E 使DEF V 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22(2)143y x x x =--=-+ ;(2)2;(3)见解析. 【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C 点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A 、B 坐标，利用待定系数法可求得直线BC 解析式，利用对称轴可求得D 点坐标，则可求得AD 2、AC 2和CD 2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积； （3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF ∥x 轴，则可求得E 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD 解析式，联立直线AC 和抛物线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线BC 可求得点E 的坐标． 【详解】解：()1∵抛物线的顶点坐标为()2,1-， ∴可设抛物线解析式为()2(2)10y a x a =--≠，把()0,3C 代入可得2(02)13a --=，解得1a =，∴抛物线解析式为22(2)143y x x x =--=-+；()2在243y x x =-+中，令0y =可得2430x x -+=，解得1x =或3x =，∴()1,0A ，()3,0B ，设直线BC 解析式为3y kx =+，把()3,0B 代入得：330k +=，解得1k =-， ∴直线BC 解析式为3y x =-+，由()1可知抛物线的对称轴为2x =，此时231y =-+=， ∴()2,1D ，∴22AD =，210AC =，28CD =， ∵222AD CD AC +=，∴ACD V 是以AC 为斜边的直角三角形， ∴11222222ACD S AD CD =⋅==V ； ()3由题意知//EF y 轴，则90FED OCB ∠=∠≠o ，∴DEF V 为直角三角形，分90DFE ∠=o 和90EDF ∠=o 两种情况， ①当90DFE ∠=o 时，即//DF x 轴，则D 、F 的纵坐标相同， ∴F 点纵坐标为1，∵点F 在抛物线上，∴2431x x -+=，解得22x =E 的横坐标为22 ∵点E 在直线BC 上，∴当22x =312y x =-+=-22x =-312y x =-+=+ ∴E 点坐标为(22,12或(22,12-； ②当90EDF ∠=o 时， ∵()1,0A ，()2,1D ， ∴直线AD 解析式为1y x =-， ∵直线BC 解析式为3y x =-+， ∴AD BC ⊥，∴直线AD 与抛物线的交点即为E 点，联立直线AD 与抛物线解析式有2431x x x -+=-，解得1x =或4x =， 当1x =时，32y x =-+=，当4x =时，31y x =-+=-， ∴E 点坐标为()1,2或()4,1-，综上可知存在满足条件的点E ，其坐标为(22,12或(22,12+或()1,2或()4,1-． 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式2-1】如图，经过x 轴上(10)(30)A B -，，，两点的抛物线2(1)4y m x m =--（0m <）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题：（1）用含m 的代数式表示出C D ，的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点Q ，使BDQ △为直角三角形？如能，求出Q 点的坐标，若不能，请说明理由。

中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)写出点A 、B 、C 的坐标；(2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213222y x x =-++的图象相交于点D ，E ．①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值；①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式；(3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将BOD 在直线DB 上平移，平移后的三角形记为PMN ，直线MP 交抛物线于Q ，当1PQ =时，求点P 的坐标．6．如图，二次函数2142y x bx =+-的图象与x 轴相交于点()2,0A -，B ，其顶点是C ．(1)b =______；(2)若点D 是第三象限抛物线上的一点，连接BD ，且1tan 2OBD ∠=．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(),0k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．7．在平面直角坐标系中，抛物线212C y mx x =++：和222C y nx x =++：的开口都向下1C ，2C 与y 轴相交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与1C 相交于点B ，与2C 相交于点C ，点C 在线段AB 上（点C 不与点B 重合）．(1)点A 的坐标是________；(2)如图，抛物线1C 的顶点为P ，AC 的中点为Q ．若12m =-，45PQB ∠=︒求n 的值；(3)直线1x =与1C 相交于点D ，与2C 相交于点E ，当四边形CDBE 是轴对称图形时，求n 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．8．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于两点(10)A -，和(40)B ，，与y 轴交于点C ，连接AC BC ，．(1)求抛物线的解析式；(2)N 是抛物线对称轴上一点，当三角形BCN 为等腰三角形时，求N 点的坐标．(3)点D 是ABC 边上一点，连接OD ，将线段OD 以O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，得到线段OE ，若点E 落在抛物线上，求出此时点E 的坐标；(4)点M 在线段AB 上（与A ，B 不重合），点N 在线段BC 上（与B ，C 不重合），是否存在以C ，M ，N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线23y ax bx =++经过()2,0A -，()4,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y 轴上是否存在点M ，使ACM △为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点(),0P t 为线段AB 上一动点（不与,A B 重合），过P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC 围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式．10．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)连接AC ，BC ，求ACB ∠的正切值；(3)点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD △与CAB △相似时，求点P 的坐标．11．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG 的内心为I ，连接AI 、OI ，请直接写出AIO ∠的度数和CI 长度的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A 、B ，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．(1)顶点D 的坐标为 ；(2)过点C 作CF x ∥轴交抛物线于点F ，点P 在抛物线上PCF ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)点G 是一次函数y x =-图像上一点，点Q 是抛物线2=23y x x --上一点，BGQ 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q 的横坐标为 ．13．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0B ，与y 轴交于点C ，点E 在直线BC 上，过点E 作ED x ⊥轴于点()1,0D ，将BDE △沿DE 所在直线翻折，使点B 恰好落在抛物线上的点A 处．(1)求抛物线的解析式； (2)连接AC ，求ACE △的面积；(3)抛物线上是否存在一点P ，使CBA PAB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．综合与探究如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2338y x bx =-++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，点A 的坐标为()20-，，抛物线上有一动点P ，点P 在第一象限，过点P 作y 轴的平行线分别交x 轴和直线BC 于点D 和点E ．(1)求抛物线及直线BC 的函数关系式； (2)当点E 为线段DP 的中点时，求点E 的坐标；(3)如图2，作射线OP ，交直线BC 于点F ，当OBF 是等腰三角形时，求点F 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象经过点()()()104002A B C -，，，，，，点D 是点C 关于原点的对称点，连接BD ，点E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为()0m ，，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值； (3)是否存在点P ，使BDP △是不以BD 为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)，(1,0)-和()0,2 (2)①2912m =-；①存在，m 的值为4-，-2，-1或32．(1)22y x x =-++ (2)()1,2(3)存在，点Q 的坐标为1010,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或(1,1)3．(1)223y x x =--+ (2)BC 的函数表达式为3y x(3)()1,2M -(4)P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭4．(1)21262y x x =-++；(2)①2132PD m m =-+，①存在，最大值为272；(3)存在，()0,6P 或()4,6或321,321或 113,1135．(1)22y x x =-++ (2)()1,1或()1,1--或()3,3或()3,3--6．(1)1- (2)3k ≤-(3)53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．(1)()0,2 (2)1n =-(3)当直线CB 是对称轴时()210n m m =---<<；当直线DE 是对称轴时111212n m m ⎛⎫=--<<- ⎪+⎝⎭；当BFE ∠的平分线所在直线为对称轴时()110n m m=-<<8．(1)213222y x x =-++(2)符合条件的N 点的坐标为23255⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32552⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或302⎛⎫⎪⎝⎭，； (3)141212 00E ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()202E ，； (4)点N 的坐标为：(21)，或4855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或52 34⎛⎫⎪⎝⎭，．9．(1)233384y x x =-++(2)符合条件的点M 的坐标有：50,6⎛⎫⎪⎝⎭()0,313+ ()0,3- ()0,313-(3)22336(04)8336(20)4t t t S t t t ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--+-<<⎪⎩10．(1)243y x x =-+ ()2,1D - (2)12(3)(22)，或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)223y x x =-++(2)点P 坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()0,1或()0,3或70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PAM △为直角三角形(3)135AIO ∠=︒，CI 最小值为310322-12．(1)(1,4)-；(2)532(,)39P -或720(,)39-；(3)103(1,)22--或315(,)24-或103(1,)22+-．13．(1)2142y x x =-- (2)3(3)()6,8或()2,4-14．(1)抛物线解析式为233384y x x =-++；直线BC 的解析式为334y x =-+(2)点E 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，(3)41255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．(1)213222y x x =-++(2)2(3)()10-，或()818-，或()32，。

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，2CF AD =1. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+，D 的坐标为(1,4)-；（2）①12k =；②以A ，F ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似，F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-．【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)-；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC 32=DC 2=，AD 5=，可得ΔACD 为直角三角形，若1CF AD 2=，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值； ②由条件可判断DAC OBC ∠∠=，则OAF ACB ∠∠=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=或AOF CAB 45∠∠︒==时，可分别求出点F 的坐标． 【详解】(1)Q 抛物线2y ax bx 3=++过点A(3,0)-，B(1,0)，933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2y x 2x 3=--+；()22y x 2x 3x 14=--+=-++Q ， ∴顶点D 的坐标为(1,4)-；(2)①Q 在Rt ΔAOC 中，OA 3=，OC 3=，222AC OA OC 18∴=+=，()D 1,4-Q ，()C 0,3，()A 3,0-，222CD 112∴=+=， 222AD 2420∴=+=，222AC CD AD ∴+=，ΔACD ∴为直角三角形，且ACD 90∠︒=，1CF AD 2=Q ， ∴F 为AD 的中点，AF 1AD 2∴=， 1k 2∴=；②在Rt ΔACD 中，DC 21tan ACD AC 332∠===， 在Rt ΔOBC 中，OB 1tan OCB OC 3∠==， ACD OCB ∠∠∴=， OA OC =Q ，OAC OCA 45∠∠︒∴==，FAO ACB ∠∠∴=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOF ABC ∠∠=时，ΔAOF ΔCBA ∽，OF BC ∴P ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，03k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=3x+3-，∴直线OF 的解析式为y=3x -，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为y=2x 6+，263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩，解得：65185x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，618F ,55⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．当AOF CAB 45∠∠︒==时，ΔAOF ΔCAB ∽，CAB 45∠︒=Q ，OF AC ∴⊥，∴直线OF 的解析式为y=x -，26y x y x =-⎧∴⎨=+⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩， ()F 2,2∴-，综合以上可得F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．【变式1-1】如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与直线1y x =--交于A ，E 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()40Q ，或()04-，，理由见解析；（3）3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）将A 、C 的坐标代入2y 2ax x c =++求出a 、c 即可得到解析式；（2）先求出E 点坐标，然后作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q 、与A 、E ，Q'与A 、E 组成的三角形是以AE 为底边的等腰三角形，设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A 、E 坐标，求出AE 长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设()p 0m ，，由相似得到PB ABBC AE=或PB AEBC AB=，建立方程求解即可．【详解】（1）将(1,0)A -，(0,3)C 代入2y 2ax x c =++得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为2y 23=-++x x （2）存在，理由如下：联立y 1x =--和2y x 2x 3=-++，2y 123x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标为(4,-5)，如图，作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，此时Q 点与Q'点的坐标即为所求， 设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)， 由QA=QE ，Q'A= Q'E 得：()()()221405--=-++x x ()()()()2222010045++-=-++y y 解得4x =，4y =故Q 点坐标为()40，或()04-， （3）∵(1,0)A -，()45E -，∴()22145=52=--+AE当2230x x -++=时，解得1x =-或3 ∴B 点坐标为(3,0)， ∴3OB OC ==∴45ABC ∠=︒，4AB =，32BC =，由直线1y x =--可得AE 与y 轴的交点为(0,-1)，而A 点坐标为(-1,0) ∴∠BAE=45°设()p 0m ，则3m BP =-， ∵PBC ∆和ABE ∆相似 ∴PB AB BC AE =或PB AE BC AB =，即3252=或52432=解得35m =或92m =-， ∴3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】如图，已知抛物线1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使AH+CH 的值最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）211242y x x =-++；（2）点H 的坐标为（1，32）；（3）当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 【解析】 分析：（1）把点（2，2）代入1(2)()?(0)y x x m m m=-+->中，解出m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点A 、B 、C 的坐标，由题意可知，点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H ，根据B 、C 的坐标求出直线BC 的解析式即可求得点H 的坐标；（3）由解析式1(2)()?(0)y x x m m m=-+->可得点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，0）、（m ，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB 和∠ABM 是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA ，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解：（1）把点（2，2）代入抛物线， 得2=()()1222m m-+-. 解得m=4.∴抛物线的解析式为()()2111y x 2x 4x x 2442=-+-=-++. （2）令211y x x 2042=-++=，解得12x 2x 4=-=，. 则A （-2，0），B （4，0）.对称轴x=-121124=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. ∵ 211y x x 242=-++中当x=0时，y=2，∴点C 的坐标为（0，2）.∵点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与对称轴的交点即为点H ，此时AH+CH 的值最小， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （4，0），C （0，2）代入得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴直线BC 的解析式为y=1x 22-+. ∵当x=1时，y=1122-⨯+=32.∴点H 的坐标为（1，32）.（3）假设存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 如下图，连接AC ，BC ，AM ，BM ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB ∽△ABM 时，有AC AB =ABAM，即2AB AC?AM =. ∵A （-2，0），C （0，2），即OA=OC=2， ∴∠CAB=∠BAM=o 45.∵MN ⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°， ∴AN=MN.∴可设M 的坐标为：（x ，-x-2）（x ＞0）， 把点M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=()()1x 2x m m-+-. 化简整理得：x=2m ，∴点M 的坐标为：（2m ，-2m-2）. ∴()())222m 22m 222m 1++--=+.∵2AB AC?AM =，AC=22AB=m+2， ∴())2m 22222m 1+=+. 解得：m=222±. ∵m ＞0， ∴m=222+.②当△ACB ∽△MBA 时，有AB MA =CBBA，即2AB CB?MA =. ∵∠CBA=∠BAM ，∠ANM=∠BOC=o 90， ∴△ANM ∽△BOC ，∴MN AN =COBO. ∵BO=m ，设ON=x ， ∴2MN x +=2m ，即MN=2m（x+2）.令M （x ，()2x 2m-+）（x ＞0）， 把M 点的坐标代入抛物线的解析式，得()2x 2m -+=()()1x 2x m m-+-.解得x=m+2.即M （m+2，()2m 4m-+）.∵2AB CB?MA =，CB=2m 4AN m 4+=+，，MN=()2m 4m+， ∴()()()222224m 4m 2m 4?m 4m ++=+++. 化简整理，得16=0，显然不成立.综上所述，当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A 、B 是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA 这两种可能情况”是解答第3小题的关键. 【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，图象与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．()1求抛物线的解析式；()2设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求ACD V 的面积；()3点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E 使DEF V 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22(2)143y x x x =--=-+ ;(2)2;(3)见解析. 【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C 点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A 、B 坐标，利用待定系数法可求得直线BC 解析式，利用对称轴可求得D 点坐标，则可求得AD 2、AC 2和CD 2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积； （3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF ∥x 轴，则可求得E 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD 解析式，联立直线AC 和抛物线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线BC 可求得点E 的坐标． 【详解】解：()1∵抛物线的顶点坐标为()2,1-， ∴可设抛物线解析式为()2(2)10y a x a =--≠，把()0,3C 代入可得2(02)13a --=，解得1a =，∴抛物线解析式为22(2)143y x x x =--=-+；()2在243y x x =-+中，令0y =可得2430x x -+=，解得1x =或3x =，∴()1,0A ，()3,0B ，设直线BC 解析式为3y kx =+，把()3,0B 代入得：330k +=，解得1k =-， ∴直线BC 解析式为3y x =-+，由()1可知抛物线的对称轴为2x =，此时231y =-+=， ∴()2,1D ，∴22AD =，210AC =，28CD =， ∵222AD CD AC +=，∴ACD V 是以AC 为斜边的直角三角形， ∴11222222ACD S AD CD =⋅==V ； ()3由题意知//EF y 轴，则90FED OCB ∠=∠≠o ，∴DEF V 为直角三角形，分90DFE ∠=o 和90EDF ∠=o 两种情况， ①当90DFE ∠=o 时，即//DF x 轴，则D 、F 的纵坐标相同， ∴F 点纵坐标为1，∵点F 在抛物线上，∴2431x x -+=，解得22x =E 的横坐标为22 ∵点E 在直线BC 上，∴当22x =312y x =-+=-22x =-312y x =-+=+ ∴E 点坐标为(22,12或(22,12-； ②当90EDF ∠=o 时， ∵()1,0A ，()2,1D ， ∴直线AD 解析式为1y x =-， ∵直线BC 解析式为3y x =-+， ∴AD BC ⊥，∴直线AD 与抛物线的交点即为E 点，联立直线AD 与抛物线解析式有2431x x x -+=-，解得1x =或4x =， 当1x =时，32y x =-+=，当4x =时，31y x =-+=-， ∴E 点坐标为()1,2或()4,1-，综上可知存在满足条件的点E ，其坐标为(22,12或(22,12+或()1,2或()4,1-． 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式2-1】如图，经过x 轴上(10)(30)A B -，，，两点的抛物线2(1)4y m x m =--（0m <）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题：（1）用含m 的代数式表示出C D ，的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点Q ，使BDQ △为直角三角形？如能，求出Q 点的坐标，若不能，请说明理由。

中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。

所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。

1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。

1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。

已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。

过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。

1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。

若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。

1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。

2020年中考数学重难点突破锐角三角函数专题（含答案）1.如图1,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos B的值是()图1A.35B.45C.34D.432.如图2,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=25,则此斜坡的水平距离AC为()图2A.75 mB.50 mC.30 mD.12 m3.满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为()A.AB=√41,BC=4,AC=5B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.cos A-12+tan B-√332=04.如图3,在△ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为()图3A.√102B.√153C.√64D.√1045.某简易房示意图如图4所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为()图4A.95sinα米B.95cosα米C.59sinα米D.59cosα米6.如图5,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点,当点D到弦OB的距离最大时,tan∠BOD的值是()图5A.2B.3C.4D.57.6tan230°-√3sin60°-2sin45°=.8.如图6,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5 m,则旗杆AB的高度约为m(精确到0.1 m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)图69.如图7,人字梯AB,AC的长都为2米,当α=50°时,人字梯顶端离地面的高度AD是米(结果精确到0.1 m,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19).图710.图8①是一辆在平地上滑行的滑板车,图②是其示意图,已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为 6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)图811.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图9,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛B位于它的北偏东30°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达C处,测得小岛B位于它的西北方向,求此时航母与小岛的距离BC的长.图912.如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:(1)线段BE的长;(2)∠ECB的正切值.图1013.如图11,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向楼房方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角为60°,已知坡面CD=10米,山坡的坡度i=1∶√3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:√3≈1.73,√2≈1.41)图1114.如图12,海中有两个小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上,且相距20√2n mile,该渔船自西向东航行一段时间到达点B处,此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上,且相距50 n mile,又测得点B与小岛D相距20√5n mile.(1)求sin∠ABD的值;(2)求小岛C,D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).图12【参考答案】1.A 在Rt △ABC 中,cos B=BC AB =35.2.A ∵∠BCA=90°,tan ∠BAC=25,BC=30 m,∴tan ∠BAC=25=BCAC =30AC,解得AC=75,故选A .3.C A .∵52+42=25+16=41=(√41)2,∴△ABC 是直角三角形;B .设AB=3x ,则BC=4x ,AC=5x.∵(3x )2+(4x )2=9x 2+16x 2=25x 2=(5x )2,∴△ABC 是直角三角形; C .∵∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5,∴∠C=53+4+5×180°=75°≠90°,∴△ABC 不是直角三角形;D .∵cos A -12+tan B -√332=0,∴cos A=12,tan B=√33,∴∠A=60°,∠B=30°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形.故选C.4.D 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,∵cos C=14,AC=4,∴CD=1,∴BD=3,AD=√42-12=√15.在Rt △ABD 中,AB=√(√15)2+32=2√6, ∴sin B=AD AB =√152√6=√104,故选D .5.B 如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为点D ,则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt △ABD 中,∠ADB=90°,cos B=BDAB ,所以AB=BDcosα=1.8cosα=95cosα.故选B .6.B 如图所示,当点D 到弦OB 的距离最大时,DE ⊥OB 于E 点,且D ,E ,P 三点共线.连接AB ,由题意可知AB 为☉P 的直径,∵A (8,0),∴OA=8,∵B (0,6),∴OB=6,∴OE=BE=12OB=3,在Rt △AOB 中,AB=√OA 2+OB 2=10,∴BP=12AB=12×10=5,在Rt △PEB 中,PE=√BP 2-BE 2=4,∴DE=EP+DP=4+5=9,∴tan∠DOB=DEOE =93=3,故选B.7.1 2−√2原式=6×√332-√3×√32-2×√22=12−√2.8.9.5由题可知BC=6 m,CD=1.5 m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE=BC=6 m,在Rt△ADE中,AE=DE·tan53°≈7.98(m),EB=CD=1.5 m,∴AB=AE+EB=9.48(m)≈9.5 m.9.1.5由三角函数的定义得:sinα=sin50°=ADAC =AD2≈0.77,所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5(米).10.解:过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB=92,∠B=70°,∴AD=AB sin B≈92×0.94=86.48,∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm).答:把手A离地面的高度约为92.5 cm.11.解:过点B作BD⊥AC于点D,由题意,得:∠BAD=60°,∠BCD=45°,AB=80,在Rt△ADB中,∠BAD=60°,∵sin60°=BDAB,∴BD=AB·sin60°=40√3.在Rt△BCD中,∠BCD=45°,∴tan45°=BDCD=1,∴BD=CD=40√3,∴BC=√BD2+CD2=40√6.答:此时航母与小岛的距离是40√6海里.12.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,∴∠A=∠B=45°,AB=√AC2+BC2=√32+32=3√2,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,=√2,∴AE=AD·cos45°=2×√22∴BE=AB-AE=3√2−√2=2√2,即线段BE的长为2√2.(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H,如图所示.∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,=2,∴EH=BH=BE·cos45°=2√2×√22∵BC=3,∴CH=1,=2,在Rt△CHE中,tan∠ECB=EHCH即∠ECB的正切值为2.13.解:过点D作DH⊥AB于点H,交AE于点F.作DG⊥BC于点G,则DG=BH,DH=GB.x米,设楼房AB的高为x米,则EB=√33∵坡度i=1∶√3,CD=10米,∴坡面CD的铅直高度DG为5米,坡面的水平宽度CG为5√3米,,在Rt△ADH中,tan∠ADH=AHDH∴DH=√3(x-5).x=√3(x-5),∴5√3+10+√33解得x=15+5√3≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.14.解:(1)过D作DE⊥AB于E,在Rt△AED中,AD=20√2,∠DAE=45°,∴DE=20√2×sin45°=20.在Rt△BED中,BD=20√5,∴sin∠ABD=EDBD =20√5=√55.(2)过D作DF⊥BC于F,在Rt△BED中,DE=20,BD=20√5,∴BE=√BD2-DE2=40.易知四边形BFDE是矩形,∴DF=EB=40,BF=DE=20,∴CF=BC-BF=30.在Rt△CDF中,CD=√DF2+CF2=50,∴小岛C,D之间的距离为50 n mile.。

1.已知抛物线过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点．一动点P从原点出发以1个单位/(2)当BQ＝AP时，求t的值；∵抛物线经过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，⎪⎩9a＋3b＋c＝0⎩c＝2∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.⎪22020中考数学三轮培优冲刺二次函数与特殊三角形问题（含答案）32秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒．(1)求该抛物线的解析式；12(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M△，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋b x＋c(a≠0)，32⎧4a－2b＋c＝0⎧a＝－3∴⎨c＝2，解得⎨b＝－1，3422133(2)如解图①，当t≤2时，点Q在点B下方，第1题解图①∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ＝∠BOP＝90°，∠P AQ＝∠PBO，∵BQ ＝ AP , ∴2－t ＝ (2＋t)，解得 t ＝ ； ∵BQ ＝ AP ，∴t －2＝ (2＋t)，解得 t ＝6. 综上，当 t ＝2或 6 时，BQ ＝1AP . ⎪⎩ y ＝－ x 2－ x ＋2 ⎪y ＝1 ⎪y ＝－3 ⎪ ⎪ ∵AO ＝BO ＝2，∴△AOQ ≌△BOP(ASA)，∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝BO －OQ ＝2－t ，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ，1 12 2 2 3如解图②，当 t ＞2 时，点 Q 在点 B 上方，第 1 题解图②同理可证△AOQ ≌△BOP ，∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝OQ －BO ＝t －2，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ，1 12 23 2 (3)存在，当 t ＝ 3－1 时，抛物线上存在点 M (1，1)，当 t ＝3＋3 3时，抛物线上存在点M (－3，－3)．【解法提示】由(2)知 OP ＝OQ △，∴ OPQ 是等腰直角三角形，∵△MPQ 是等边三角形，∴点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上，由于直线 PQ 的垂直平分线为直线 y ＝x ，又∵点 M 在抛物线上，∴联立抛物线与直线 y ＝x 可得,⎧y ＝x ⎧x ＝1 ⎧⎪x ＝－3 ⎨ 2 1 ，解得⎨ 或⎨ . 3 3∴M (1，1)或(－3，－3)．当 M (1，1)时，如解图③，过点 M 作 MD ⊥x 轴于点 D ，的第 1 题解图③则有 PD ＝|1－t|，MP 2＝1＋(1－t)2＝t 2－2t ＋2，PQ 2＝2t 2，∵△MPQ 是等边三角形，∴MP ＝PQ ，∴MP 2＝PQ 2 即 t 2－2t ＋2＝2t 2，解得 t 1＝ 3－1，t 2＝－ 3－1(舍去)；当 M (－3，－3)时，如解图④，过点 M 作 ME ⊥x 轴于点 E ，第 1 题解图④则有 PE ＝OE ＋OP ＝3＋t ，ME ＝3，PQ 2＝2t 2，∴MP 2＝(3＋t)2＋32＝t 2＋6t ＋18，∵△MPQ 是等边三角形，∴MP ＝PQ ，即 MP 2＝PQ 2，∴t 2＋6t ＋18＝2t 2，解得 t 1＝3 3＋3，t 2＝－3 3＋3(舍去)，综上所述，当 t ＝ 3－1 时，抛物线上存在点 M (1，1)，使得△ MPQ 是等边三角形；当 t ＝3 3＋3 时，抛物线上存在点 M (－3，－3)，使得△ MPQ 是等边三角形．2.如图，已知抛物线 y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0) 对称轴为直线 x ＝－1，且经过 A(1，0)，C(0， 3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线 y ＝mx ＋n 经过 B ，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x ＝－1 上找一点 M ，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x ＝－1 上的一个动点，求使△ BPC 为直角三角形的点 P 的坐 标．a＋b＋c＝0，解得⎨b＝－2，⎪⎪b⎩⎩⎪⎪⎩⎩第2题图⎧－2a＝－1⎧a＝－1解：(1)由题意得⎨⎪c＝3⎪c＝3∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．设BC的解析式y＝mx＋n，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得⎧－3m＋n＝0⎧m＝1⎨，解得⎨，⎪n＝3⎪n＝3∴直线BC的解析式为y＝x＋3；(2)如解图，连接MA，第2题解图∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC.∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t＝，t＝.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P(－1，－2)，P(－1，4)，P(－1，2)，P4(－1，⎪⎪⎩⎩∴M(－1，2);(3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即：3＋173－171221233＋173－1722)．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋b x＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P，使得△P AC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A、C两点坐标代入y＝x2＋b x＋c，⎧36＋6b＋c＝0⎧b＝－5得⎨，解得⎨，⎪c＝－6⎪c＝－6抛物线的解析式为y＝x2－5x－6；解得 x ＝－1，x ＝6(舍)， ∵k AC = 0 - (-6) = 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ (2)当 y ＝0 时，则有 x 2－5x －6＝0，(x ＋1)(x －6)＝0，1 2∴B(－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝[(－1)－6]2＝49，AC 2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，AB 2 ＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，∵AB 2＋BC 2>AC 2，∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点，使得△P AC 为等腰三角形理由：如解图，过线段 AC 的中点 M ，作 AC 的垂直平分线交抛物线于点 P ，直线 MP 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点 P ，第 3 题解图∵A(0，－6)，C(6，0)，∴点 M 的坐标为(3，－3)，6 - 0，∴k MP =-1， 设直线 MP 的解析式为 y =-x +m ，将 M （3，-3）代入得-3=-3+m ，即 m =0，即直线 MP 的解析式为 y ＝－x ，⎧ y ＝－x ⎧ x 1＝2－ 10 ⎧⎪ x 2＝2＋ 10 联立⎨ ，解得⎨ 或⎨ ， ⎪ y ＝x 2－5x －6 ⎪ y 1＝ 10－2 ⎪⎩ y 2＝－2－ 10∴点 P 的坐标为(2－ 10， 10－2)或(2＋ 10，－2－ 10)．⎪⎪⎩⎩4.如图，抛物线y＝x2＋b x＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．⎧32＋3b＋c＝0⎧b＝－4解：(1)由题意得⎨，解得⎨，⎪c＝3⎪c＝3∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第4题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°△，∴CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF△，∴GPE为等腰直角三角形，∴EF＝2CF＝(3－m),PE＝PG，则PE＝2PG＝2(－t＋3－t－m)＝2(－m－2t＋3)，(3－m)＋(－m－2t＋3)＝(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)1与∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，22222设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3),则G(t，－t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，222∴PE＋EF＝222222＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第4题解图②△当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD2，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD2，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．5.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；c=4⎪a=-⎩16a-8a+c=0∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；(2)由y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋可求得抛物线顶点坐标为N(1，)，(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，⎧⎧∴⎨，解得⎨⎪⎩c=412，1211992222如解图①，作点C关于x轴的对称点C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则点K即为所求，第5题解图①设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把C′、N两点坐标代入可得，⎧⎪k + b = 9 ⎧⎪ k = ⎩ ⎩ ∴点 K 的坐标为( ，0)； 令－1x 2＋x ＋4＝2，解得 x ＝1＋ 5，x ＝1－ 5. 由等腰三角形的性质得：OM ＝1OD ＝1，17 ⎨ 2 ，解得 ⎨ 2 ， ⎪ b = -4 ⎪ b = -4∴直线 C′N 的解析式为 y ＝ 17 2x －4， 令 y ＝0，解得 x ＝ 8 ， 178 17(3)存在．要使△ ODF 是等腰三角形，需分以下三种情况讨论： ①当 DO ＝DF 时，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2，在 △Rt AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°，∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°.此时，点 F 的坐标为(2，2)；21 2 此时，点 P 的坐标为(1＋ 5，2)或(1－ 5，2)；②当 FO ＝FD 时，如解图②，过点 F 作 FM ⊥x 轴于点 M .第 5 题解图②21令－ x 2＋x ＋4＝3，解得 x ＝1＋ 3，x ＝1－ 3. 6. 如图①，抛物线 y ＝－ x 2＋b x ＋8 与 x 轴交于点 A(－6，0)，点 B(点 A 在点 B 左侧)， ∴AM ＝3，∴在等腰直角△ AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)．21 2此时，点 P 的坐标为(1＋ 3，3)或(1－ 3，3)；③当 OD ＝OF 时，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝4 2，∴点 O 到 AC 的距离为 2 2.而 OF ＝OD ＝2<2 2，∴在 AC 上不存在点使得 OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形，所求点 P 的坐标为(1＋ 5，2) 或(1－ 5，2)或(1＋ 3，3)或(1－ 3，3)．1 3与 y 轴交于点 C ，点 P 为线段 AO 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l 与抛物线交于点 E ，连接 AE 、EC.(1)求抛物线的表达式及点 C 的坐标；(2)连接 AC 交直线 l 于点 D ，则在点 P 运动过程中，当点 D 为 EP 中点时，求S △ ADP ∶△S CDE ；(3)如图②，当 EC ∥x 轴时，点 P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点 G △，使 AEG 是以 AE 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵点 A(－6，0)在抛物线 y ＝－1x 2＋b x ＋8 上，∴0＝－ ×(－6)2＋(－6b )＋8，∴抛物线的表达式为 y ＝－ x 2－ x ＋8，(2)设点 E(t ，－ t 2－ t ＋8)，∴DP ＝DE ，D(t ，－ t 2－ t ＋4)，⎧ ∴直线 AC 的解析式为 y ＝ x ＋8，∵点 D 在直线 AC 上，∴ t ＋8＝－ t 2－ t ＋4，⎨-6k +d = 0 ⎪ k = 4⎩ d = 8 ，解得 ⎨ 3 ，， ⎩第 6 题图313解得 b ＝－2，3123 3令 x ＝0，得 y ＝8，∴C(0，8);123 3∴P(t ，0)，∵点 D 为 EP 的中点，116 3∵A(－6，0)，C(0，8)，设直线 AC 的解析式为 y ＝kx ＋d (k ≠0) 将其代入得，⎧⎪ d = 84341 13 6 3解得 t ＝－6(舍去)，t ＝－4，∴P(－4，0)，∴AP ＝2，OP ＝4，＝ ＝AP ＝1； 把 y ＝8 代入 y ＝－1x 2－2x ＋8， 则 8＝－1x 2－2x ＋8， 设点 G(m ，－1m 2－2m ＋8)，1 2 ∴ △S ADP △S CDE 1 2 1 OP22DPgAP DE g OP (3)存在．如解图①，连接 EG ， A G ，过点 G 作 GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为 M ，N ，第 6 题解图①∵EC ∥x 轴，∴EP ＝CO ＝8，3333解得 x ＝0(舍去)或 x ＝－2，∴P(－2，0)，∴AP ＝AO －PO ＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG ＝90°时，∵∠MEG ＋∠AEP ＝90°，∠AEP ＋∠EAP ＝90°，∴∠MEG ＝∠EAP ，又∵∠APE ＝∠EMG ＝90°，∴△EMG ∽△APE ， ∴EM ＝MG ， AP EP33则GN＝MP＝－1m2－2m＋8，∴EM＝EP－MP＝8－(－m2－m＋8)＝m2＋m，m2＋m2＋m3=∴＝，AP EP,∴m＝－2(舍去)或m＝，∴G(，)；设点G(n，－1n2－2n＋8)，∴GN＝1n2＋2n－8，n2+n-8,∴33=4AP EP∴n＝－6(舍去)或n＝，∴G(，－)，综上所述，符合条件的G点的坐标为(3，25)或(11，－23)．3312123333MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m，∵12EM MG3483325224(ⅱ)如解图②，当∠EAG＝90°时，第6题解图②∵∠NAG＋∠EAP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠NAG＝∠AEP，∵∠APE＝∠GNA＝90°，∴△GNA∽△APE，∴GN＝AN，AP EP3333∴AN＝AO＋ON＝6＋n，12GN AN∵＝6+n8，11112322424247. 如图，抛物线 y ＝－ x 2＋b x ＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)、B 两点，与 y 轴交于点 C(0，2)， 解：(1)将点 A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线 y ＝－1x 2＋b x ＋c 中得， ⎧ －1－b ＋c ＝0 ⎧ b ＝3 2， ⎨ ，解得⎨ ⎩ ⎩ ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x 2＋ x ＋2； (2)令 y ＝－ x 2＋ x ＋2＝0，解得 x 1＝－1（舍），x 2＝4，2 (3)存在，点 P 坐标为( ， )或( ，－ )或( ，4)． 【解法提示】由抛物线 y ＝－1x 2＋3x ＋2 得对称轴为直线 x ＝3， ∴点 D 的坐标为( ，0)．∴CD ＝ OC 2＋OD 2＝ 22＋（ ）2＝ . ∵点 P 在对称轴 x ＝ 上，且△ CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，1 2抛物线的对称轴交 x 轴于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求 sin ∠ABC 的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P △，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第 7 题图22⎪ c ＝2 ⎪ c ＝2 1 3 2 21 3 2∴点 B 的坐标为(4，0)，在 △Rt BOC 中，BC ＝ OC 2＋OB 2＝ 22＋42＝2 5，∴sin ∠ABC ＝sin ∠OBC =OC ＝ 2 ＝ 5； BC 2 5 53 5 3 5 3 2 2 2 2 22 2 23 23 5 2 2 3 2∴当D为顶点时，有DP＝CD＝，此时点P的坐标为(，)或(，－)；∴点P的坐标为(，4)．综上所述，存在点P△使PCD是以CD为腰的等腰三角形，P点的坐标为(，)或(，－)或(，4)．5235352222当点C为顶点时，连接CP，有CP＝CD，过点C作CG⊥DP于点G，如解图，则DG＝PG，第7题解图∵DG＝2，∴PG＝2，PD＝4，3235352222 328.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．⎧⎪ a ＝1 ，解得⎨ ， ⎪ ∴抛物线的表达式为 y ＝ x 2－3x －8； (2)∵y ＝ x 2－3x －8＝ (x －3)2－ ，∴抛物线的对称轴为直线 x ＝3， ∴直线 l 的函数表达式为 y ＝－ x ， ∴点 E 的横坐标为 3，纵坐标为－ ×3＝－4，即点 E 的坐标为(3，－4)； ⎩ ⎩ 第 8 题图解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx －8 经过点 A(－2，0)，D(6，－8)，将 A 、D 两点的坐标代入得，⎧ 4a －2b －8＝0 ⎨ 2 ⎪ 36a ＋6b －8＝－8 ⎪ b ＝－31 21 1 252 2 2又∵抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，点 A 的坐标为(－2，0)，∴点 B 的坐标为(8，0)．设直线 l 的函数表达式为 y ＝kx ，将点 D(6，－8)代入得 6k ＝－8，解得 k ＝－4， 34 3∵点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点，4 3(3)需分两种情况进行讨论：①当 OP ＝OQ △时， OPQ 是等腰三角形，如解图①，第 8 题解图①∵点 E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点 E 作直线 ME ∥PB ，交 y 轴于点 M ，交 x 轴于点 H ，设直线ME的函数表达式为y＝k x－5，∴3k1－5＝－4，解得k1＝，3∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，∴m＝－；∵当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，则OM＝OE，∴OM＝OE＝5，OP OQ∴点M的坐标为(0，－5)，1113令y＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又∵MH∥PB，∴OP＝OB，即－m＝8，OM OH51583②当QO＝QP△时，OPQ是等腰三角形，如解图②，第8题解图②12∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝32＋（8－4）2＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.设直线 CE 交 x 轴于点 N ，其函数表达式为 y ＝k x －8，∴3k 2－8＝－4，解得 k 2＝ ，3 ∴直线 CE 的函数表达式为 y ＝ x －8， 令 y ＝0，得4x －8＝0，∴x ＝6， ＝ ，解得 m ＝－32. 8 6 3244 33∴点 N 的坐标为(6，0)．∵CN ∥PB.∴OP ＝OB ， OC ON－m 8 ∴综上所述，当 m 的值为－8或－32△时， OPQ 是等腰三角形． 3 39.在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 与 x 轴交于 A ，B 两点(A 在 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 C ，顶点为 D.(1)请直接写出点 A ，C ，D 的坐标；(2)如图①，在 x 轴上找一点 E ，使得△ CDE 的周长最小，并求出点 E 的坐标；(3)如图②，F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P ，使得△ AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．第 9 题图解： (1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)；(2) 如解图①所示，作点 C 关于 x 轴对称的点 C ′，连接 C ′D 交 x 轴于点 E ，此时△ CDE 的 周长最小．∴当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为(－ ，0)；⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－3(舍去)，m ＝2，此时点 P 的坐标为(2，－5)；∵C(0，3)，∴C ′(0，－3)，设直线 C ′D 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，⎧b ＝－3 ⎧k ＝－7 则有⎨ ，解得⎨ ，⎪－k ＋b ＝4 ⎪b ＝－3∴直线 C ′D 的解析式为 y ＝－7x －3，当 y ＝－7x －3 中 y ＝0 时，x ＝－3，737(3)存在．设直线 AC 的解析式为 y ＝ax ＋c ，⎧c ＝3 ⎧a ＝1 则有⎨ ，解得⎨， ⎪－3a ＋c ＝0 ⎪c ＝3∴直线 AC 的解析式为 y ＝x ＋3，假设存在，设点 F(m ，m ＋3)，△ AFP 为等腰直角三角形分三种情况(如解图②所示)：第 9 题解图①当∠PAF ＝90°时，P(m ，－m －3)，∵点 P 在抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 上，∴－m －3＝－m 2－2m ＋3，1 2解得m＝－3(舍去)，m＝－1，此时点P的坐标为(1，0)；解得m＝－3(舍去)，m＝1，此时点P的坐标为(1，0)．10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋b x＋c的图象与坐标轴交于A，B，【解法提示】∵二次函数y＝－1x2＋b x＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，②当∠AFP＝90°时，P(2m＋3，0)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－(2m＋3)2－2(2m＋3)＋3，34③当∠APF＝90°时，P(m，0)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－m2－2m＋3，56综上所述，存在满足条件的点P△使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2，－5)或(1，0)．13C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M△，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第10题图备用图解：(1)1，4；33∴-+4b+c=0⎩⎩∵AP＝t,∴PQ＝t，由勾股定理得：AQ2＝AP2＋PQ2，即(t＋3)2＝t2＋(4t)2，解得t＝9或t＝－9(舍去)，⎧-3-3b+c=0⎪⎨16⎪3⎧1⎪b=，解得⎨3，⎪c=4(2)∵点P在AC上以每秒1个单位运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上每秒1个单位运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠P AQ<90°，∠PQA<90°，若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在△Rt AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，设PQ与y轴交于点D，如解图①，第10题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°∴∠DQO＝∠DCP，∴tan∠DQO＝AP＝tan∠DCP＝AO＝3，PQ CO443328根据题意，点Q在OB上，∴0≤t≤4，∴不存在这样的t值满足题意；∴△APQ不可能是直角三角形.(3)设存在点M△使得PMQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，⎨∠PNM = ∠PEQ ， ⎪MP = PQ ∴AE ＝ t ，PE ＝ t ，∴MN ＝ t ，EN ＝PN-PE =EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t － t － t ＝3－ t ，∴点 M 的坐标为(－ t －3， t －3)，∵点 M 在抛物线上，∴－ (－ t －3)2－ ·( t ＋3)＋4＝ t －3，解得 t ＝ 或 t ＝ (舍)，第 10 题解图②过 P 作 PE ⊥x 轴于 E ，过 M 作 MN ⊥PE 于 N ，∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°，∠MPN ＋∠QPE ＝90°，∴∠PMN ＝∠QPE ，△在 PMN △和 QPE 中，⎧∠PMN = ∠QPE ⎪ ⎩∴△PMN ≌△QPE(AAS)，∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos ∠CAO ＝AO ＝3，sin ∠CAO ＝OC ＝4， AC 5 AC 53 45 54 3 4 25 5 5 53 4 1∴x M ＝x E －MN ＝5t －3－5t ＝－5t －3，1 25 51 1 1 1 23 5 3 5 5整理得 t 2＋65t ＝225，－65＋5 205 －65－5 2052 2－65＋5 205综上，存在满足条件的点 M ，此时运动时间 t 为 秒．2故抛物线的表达式为 y ＝－1x 2＋4x ；∴ PE ＝AP ，即PE ＝AP ，∴PE ＝ AP ＝ t ，PB ＝8－t ，∴点 E 的坐标为(4＋ t ，8－t)．⎪ ⎪⎩ ⎩11. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)，抛物线 y ＝ax 2＋b x 过 A 、C 两点，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，过点 P 作 PE ⊥AB 交 AC 于点 E.(1)求出点 A 的坐标和抛物线的表达式；(2)过点 E 作 EF ⊥AD 于点 F ，交抛物线于点 G ，当 t 为何值时，线段 EG 最长？(3)连接 EQ ，在点 P 、Q 运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以 C 、E 、Q 为顶点的△CEQ 为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的 t 值；如果不存在，请说明理由．第 11 题图解：(1)∵点 B 的横坐标为 4，点 D 的纵坐标为 8，AD ∥x 轴，AB ∥y 轴，∴点 A 的坐标为(4，8)，将 A(4，8)、C(8，0)两点坐标分别代入 y ＝ax 2＋b x ，⎧16a ＋4b ＝8 ⎧a ＝－1 得⎨ ，解得⎨ 2，⎪64a ＋8b ＝0 ⎪b ＝42(2)∵PE ∥BC ，∴△APE ∽△ABC ，BC AB4 81 12 212∴点 G 的纵坐标为－ (4＋ t)2＋4(4＋ t)＝－ t 2＋8. ∴EG ＝－ t 2＋8－(8－t)＝－ t 2＋t ，∵－ <0，∴当 t ＝－＝4 时，线段 EG 最长为 2；t 1＝ ，t 2＝ ，t 3＝40－16 5.3【解法提示】∵Q(8，t)，E(4＋1t ，8－t)，C(8，0)，∴EQ 2＝( t －4)2＋(8－2t)2，EC 2＝(4＋ t －8)2＋(8－t)2，QC 2＝t 2.( t －4)2＋(8－2t)2＝t 2，解得 t ＝ 或 t ＝8(此时 E 、C 重合，不能构成三角形，舍去)； (4＋ t －8)2＋(8－t)2＝t 2， ( t －4)2＋(8－2t)2＝(4＋ t －8)2＋(8－t)2，解得 t ＝0(此时 Q 、C 重合，不能构成三角形，舍去)或 t ＝ .1 1 1 12 2 2 81 1 8 818(3)存在 t 使得以 C 、E 、Q 为顶点的△ CEQ 为等腰三角形，16 401321 12 2 △当 CEQ 为等腰三角形时，分三种情况：(Ⅰ)当 EQ ＝QC 时，1 2 整理得 13t 2－144t ＋320＝0，40 13(Ⅱ)当 EC ＝CQ 时，1 2 整理得 t 2－80t ＋320＝0，解得 t ＝40－16 5，t ＝40＋16 5>8(此时 Q 不在矩形的边上，舍去)；(Ⅲ)当 EQ ＝EC 时，1 12 216316 40综上所述，存在 t 1＝ 3 ，t 2＝13，t 3＝40－16 5，能够使得以 C 、E 、Q 为顶点的△ CEQ 为等腰三角形．12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴、y 轴相交于 A 、B 两点，点 C的坐标是(8，4)，连接 AC ，BC.(1)求过 O 、A 、C 三点的抛物线的解析式，并判断△ ABC 的形状；，⎩⎧a ＝1解得⎨5 ∴抛物线的解析式为 y ＝ x 2－ x ；(2)动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，P A ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 M ，使以 A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．第 12 题图解：(1)∵直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴、y 轴相交于 A 、B 两点，∴A(5，0)，B(0，10)，设过 O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx(a ≠0)⎧⎪25a ＋5b ＝0把点 A(5，0)和 C(8，4)代入可得⎨ ，⎪64a ＋8b ＝46⎩b ＝－6，1 56 6∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形；(2)如解图，连接 AP ，AQ ，当 P ，Q 运动 t 秒，即 OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，∴t ＝ ，∴当运动时间为 秒时，P A ＝QA ；5利用点的坐标可求得 AB 2＝102＋52＝125，MB 2＝( )2＋(b －10)2， MA 2＝( )2＋b 2， 5 5 19 5 5 19即点 M 的坐标为( ， )或( ，－ )； ⎩ )2＋b 2，解得 b ＝±第 122 题解图在 △Rt AOP 和 △Rt ACQ 中，⎧⎪AC ＝OA⎨， ⎪P A ＝QA∴△Rt AOP ≌△Rt ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，10 3∵OB ＝10，BC ＝10，∴t ≤5.10 3(3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为 x ＝5，2设点 M 的坐标为( 5，b )，225 2∵△MAB 是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当 AB ＝MA 时，即 125＝(5 5 19，2 22 2 2 25 5 19 5 5 19即点 M 的坐标为( ，10＋ )或( ，10－ )； ③当 MB ＝MA 时，即( )2＋(b －10)2＝( )2＋b 2，)或( ，－ )或( ，10＋ )或( ，10－ )．)2＋(b －10)2，解得 b ＝10±②当 AB ＝BM 时，即 125＝(5 5 19，2 22 2 2 25 52 2解得 b ＝5，此时点 A 、M 、B 共线，故这样的点 M 不存在．综上所述，存在点 M ，使以点 A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点 M 的坐标为(5，25 19 5 5 19 5 5 19 5 5 192 2 2 2 2 2 2。