讲3度量空间

Rudin数学分析中的度量空间与完备性度量空间是数学分析中的重要概念之一。

在Rudin的经典著作《数学分析原理》中，度量空间的概念以及完备性是其重要的内容之一。

本文将探讨Rudin数学分析中度量空间与完备性的相关理论。

I. 度量空间的概念度量空间是定义了度量的集合，其中度量是衡量距离的函数。

在Rudin的书中，度量空间的定义如下：设X是一个非空集合，如果存在一个函数d: X×X→R，满足以下条件：1. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)≥0，并且当且仅当x=y时取等号；2. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)=d(y,x)（对称性）；3. 对于任意的x，y，z∈X，d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)（三角不等式）；则称(X, d)为一个度量空间，其中d称为度量。

在Rudin的书中，度量空间的定义还包括了同时满足下面两个条件的性质：4. 对于任意的x，y∈X，如果d(x,y)=0，则x=y（分离性）；5. 对于任意的x，y，z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)（广义三角不等式）。

II. 完备性的概念在度量空间中，完备性是一个重要的概念。

直观上讲，一个完备的度量空间中任意一个Cauchy序列都收敛于该度量空间中的某个点。

在Rudin的书中，给出了度量空间的完备性的定义：设X是一个度量空间，如果对于X中的任意一个Cauchy序列{xn}，存在一个元素x∈X，使得当n趋向于无穷大时，有d(x,xn)趋向于零，那么称X是一个完备度量空间。

III. 度量空间与完备性的相关性质在Rudin的书中，给出了度量空间与完备性之间一些重要的性质和定理，如下所示：1. 空间的子空间：如果(X, d)是一个度量空间，A是X的一个子集，且令dA(x,y)=d(x,y)，那么(A, dA)也是一个度量空间。

2. 合乘性：如果(X, d)是一个度量空间，对任意的正实数h，令dh(x,y)=hd(x,y)，那么(X, dh)也是一个度量空间。

度量空间完备的定义1.引言在数学中，特别是在拓扑学和实分析中，度量空间是一个非常重要的概念。

它提供了一个衡量空间中两点之间距离的方法，从而可以量化地描述空间的结构和性质。

完备的度量空间在数学和物理中有广泛的应用，例如在黎曼几何、调和分析、微分方程等领域。

理解度量空间的完备性是深入理解许多数学概念和技巧的关键。

2.度量空间的定义首先，我们需要了解什么是度量空间。

一个度量空间是一个有序对(X, d)，其中 X 是一个集合，d 是 X 中的一种度量，也就是一个使得对于任意 x, y 属于 X 的函数 d(x, y) 非负、等于零当且仅当 x=y、以及 d(x, y)=d(y, x)（对称性）和 d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)（三角不等式）的函数。

在实数集上常用的欧几里得距离就是一种度量。

3.完备性的定义在度量空间中，完备性是一个重要的性质。

一个度量空间是完备的，如果它满足任何一个柯西序列（即，对于任意小的正数ε，存在一个正整数 N，使得对于所有的 n>N 和m>N，有d(xn, xm)<ε）都收敛于这个度量空间中的某个点。

简单来说，一个完备的度量空间意味着所有的柯西序列都有极限。

4.度量空间完备性的判定在实际应用中，我们需要判断一个给定的度量空间是否完备。

一个常用的方法是使用柯西序列的极限性质。

如果对于任意的柯西序列，都存在一个唯一的点x，使得该序列收敛于x，那么这个度量空间就是完备的。

此外，还可以通过其他一些性质来判断一个度量空间的完备性，例如闭性和完备性的等价性等。

5.完备度量空间的性质在数学分析中，我们常常用到一些性质来描述完备的度量空间。

这些性质包括：完备的度量空间是闭的；完备的度量空间是紧致的；完备的度量空间是连通的；完备的度量空间具有有限的可数稠密性等。

这些性质对于理解和应用度量空间的完备性非常有帮助。

6.完备度量空间的应用在许多数学分支和应用领域中，都涉及到度量空间的完备性。

度量空间与完备度量空间的基本性质度量空间是数学中一种常见且重要的概念，它为我们研究空间中的距离和收敛性提供了数学工具。

在度量空间的基础上，还衍生出了完备度量空间这一概念，它具有更强的完备性质。

本文将介绍度量空间与完备度量空间的基本性质，并探讨它们在数学分析中的应用。

一、度量空间的基本性质度量空间是一种集合，其中每个元素都与其他元素之间存在一种（非负）距离关系。

设X为非空集合，d为X上的度量（距离）函数，若满足以下四个条件，即称(X,d)为一个度量空间：1. 非负性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，有d(x,y) = 0；2. 同一性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) = d(y,x)；3. 对称性：对于任意x, y, z∈X，有d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)（三角不等式）；4. 三角不等式：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)。

基于以上性质，我们可以推导出诸多重要结论，例如嵌套定理、开覆盖定理等，这些定理在实际问题的分析和求解中具有重要应用。

二、完备度量空间的基本性质在度量空间的基础上，完备度量空间引入了“序列收敛性”的概念。

设(X,d)为一个度量空间，如果X中的任意柯西序列都在X中收敛，则称(X,d)为一个完备度量空间。

柯西序列是指对于任意ε > 0，存在自然数N，使得当m, n > N时，有d(xm, xn) < ε。

它反映了序列中元素之间逐渐趋近的特性。

若在柯西序列的度量空间中存在极限元素，即序列中的所有项无限接近该极限元素，则说明该度量空间是完备的。

完备度量空间的重要性质有：1. 完备度量空间是闭集：对于给定的完备度量空间(X,d)，如果一个集合是某个闭集的子集，则该集合也是完备度量空间。

2. 内积空间和赋范空间是完备度量空间的特例：内积空间和赋范空间是更加特殊的度量空间，它们都是完备度量空间。

度量空间与完备性的概念在数学中，度量空间是一种常见的数学结构，它具有一种度量函数，用于测量集合中的元素之间的距离。

而完备性是度量空间中的一个重要性质，它表明该空间中任意柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。

本文将介绍度量空间与完备性的概念，探讨其特性和应用。

一、度量空间的定义度量空间是一个集合X，其中带有一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1. 非负性：对任意x,y∈X，都有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2. 对称性：对任意x,y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3. 三角不等式：对任意x,y,z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。

二、完备性的定义在度量空间中，如果对于任何柯西序列{xn}⊆X，都存在一个元素x∈X，使得当n趋向于无穷时，d(x,xn)趋向于0，则称这个度量空间是完备的。

三、完备性的性质1. 完备性的等价定义：度量空间X是完备的，当且仅当每个柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。

在度量空间中，柯西序列是指一个序列{xn}，对任意ε>0，存在一个正整数N，当n,m>N时，有d(xn,xm)<ε。

2. 完备性的保持：完备性是度量空间的一个重要性质，而一个完备度量空间的闭子集也是完备的。

即如果度量空间X是完备的，Y是X的闭子集，则Y也是完备的。

3. 完备度量空间的例子：实数集R是一个完备的度量空间，而有理数集Q不是完备的度量空间。

四、完备性的应用1. 定义一致收敛：在函数分析中，完备性的概念常常用于定义一致收敛。

如果在度量空间X上有一列函数{fn}，对于任意ε>0，存在一个正整数N，当n>N时，对所有的x∈X，都有d(f(x),fn(x))<ε，则称该列函数在X上一致收敛。

2. 构造完备空间：通过将某个度量空间中的柯西序列等价类引入，可以构造一个完备空间。

例如，利用有理数集Q上的柯西序列等价类，可以构造实数集R，而实数集就是一个完备空间。

度量空间是数学分析中的一个重要概念，它是一种通过度量来定义距离的空间结构。

度量空间是一个集合，其中每个元素都与其他元素有一个非负实数的关联。

这个非负实数被称为度量，它描述了两个元素之间的距离。

拓扑空间是另一种常见的数学结构，它通过拓扑性质来描述元素的相对位置。

拓扑性质是一种关于集合的性质，它仅考虑集合元素之间的关系而不关心具体的度量。

度量和拓扑是数学中的两个重要的概念，它们在不同的数学领域中都有广泛的应用。

度量空间通常用来描述物理空间中的距离和几何概念，如欧氏空间和几何空间。

拓扑空间通常用来描述不同形状和结构的空间，如拓扑学中的流形和曲线。

在度量空间中，我们可以定义一些距离的性质，例如距离的对称性、三角不等式和非负性。

这些性质使得我们能够进行数学分析和推理。

在度量空间中，我们可以定义开集和闭集，并且可以通过距离的度量来定义集合的极限和连续性。

因此，度量空间为我们提供了一个在距离和几何上进行分析的框架。

拓扑空间则关注于集合元素之间的相对位置。

在拓扑空间中，我们可以定义开集和闭集，但是我们并不依赖于具体的度量来定义它们。

开集和闭集的定义通过集合的子集来确定，而不是通过具体的度量来确定。

这使得拓扑空间更加抽象和灵活，因为我们可以在不同的度量下定义相同的拓扑。

度量空间和拓扑空间有许多共同点，它们都是用来描述空间结构的数学概念。

度量空间和拓扑空间都可以定义开集和闭集，并且都可以定义集合的极限和连续性。

然而，它们之间也有一些区别。

度量空间依赖于具体的度量，而拓扑空间是基于集合的拓扑性质。

度量空间更加具体和精确，而拓扑空间更加抽象和灵活。

总结起来，数学中的度量空间和拓扑空间是两个重要的数学概念。

度量空间通过度量来描述元素之间的距离，而拓扑空间通过拓扑性质来描述元素的相对位置。

度量空间和拓扑空间都具有广泛的应用领域，并且在数学分析和几何学中有着重要的地位。

同时，度量空间和拓扑空间也有许多相似之处，它们都可以定义集合的极限和连续性，为我们提供一个进行数学推理和分析的框架。

度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明 由定理知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义 1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =)，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，1,2,.k =现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =，当k K >时，对于1,2,,i n =，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)pn x x x x l ∀=∈，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如10=2⨯=取1；⨯=取0；⨯=取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上(即1/2)，第二位为1则加上(1/4)，第三位为1则加上(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑，例如 2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=．因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）． 定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+，那么对任意的,m n ，均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗 例 1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d 下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时 当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-×√p 次幂可和的数列空间pl11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√ √p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√ √由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃． 如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤．0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =，因此1n n x B ∞=∈．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)．注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明 取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□。

在数学领域中，拓扑学是一门非常重要的学科。

它专门研究空间结构以及它们之间的变换，成为数学中一个重要的分支。

其中，欧几里得空间和度量空间是拓扑学中的两个基础概念，它们之间有着很大的联系和区别。

本文将详细介绍欧几里得空间和度量空间的特性比较。

一、欧几里得空间欧几里得空间一般指的是一个n维空间，具有一些特定的性质，例如：1.线性空间结构：欧几里得空间的点可以视为具有一定的线性结构，即可以通过线性变换进行移动、旋转和缩放等操作。

2.度量结构：欧几里得空间中的点之间还有一定的距离度量规律，也就是我们常说的欧几里得距离公式。

通过这个公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而形成了完整的度量结构。

3.坐标表示：欧几里得空间可以用数值来表示，因为我们可以给每个点都对应一个唯一的坐标。

这个坐标可以用来描述点的位置和坐标之间的距离。

欧几里得空间在很多方面都有着广泛的应用。

例如，在几何学和物理学中，欧几里得空间被使用来描述实际的空间结构。

在计算机图形学和机器学习中，欧几里得空间的线性结构和度量结构被广泛应用于特征提取和分类等领域。

二、度量空间度量空间一般指的是一个集合S，其中对于任意两个元素x和y，都定义了一个非负实数d(x,y)来表示它们之间的距离，同时满足下列条件：1.对称性：d(x,y)=d(y,x)2.三角形不等式：d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)3.非负性：d(x,y)>=04.同一性：d(x,y)=0，当且仅当x=y度量空间的基本概念和欧几里得空间有着很大的不同，主要在于度量空间中的距离是任意定义的，而且没有坐标和线性结构。

度量空间广泛应用于实际中，例如在概率统计中，度量空间中可以对样本进行度量，从而衡量它们之间的相似程度。

三、欧几里得空间与度量空间的比较欧几里得空间和度量空间之间有着许多的相似和不同之处。

下面我们来进行一些比较：1.空间结构：欧几里得空间有着完整的坐标和线性结构，而度量空间却没有。

三度空间，也称为三维空间，是指由长、宽、高三个维度所构成的立体空间。

在三维空间中，物体的位置可以通过这三个维度来确定，即通过长度（长）、宽度（宽）和高度（高）来描述物体在空间中的具体位置。

这个空间概念是相对于二维空间而言的，二维空间只有长度和宽度两个维度，而没有高度，因此是平面的。

三维空间则能够容纳二维空间，因为二维空间的任何物体都可以被视为三维空间中的一个平面切片。

此外，在日常生活中，人们所处的环境就是一个三维空间，可以在这个空间内自由地上下、前后、左右移动。

而在数学和物理学中，三维空间的概念也是基础且重要的，它不仅是描述物体位置和运动的工具，也是理解和研究更高维度空间的起点。

度 量 空 间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.关键词: 度量空间 导集 闭集正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,；(3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.2 度量空间的一些例子例2.1 离散的度量空间设X 是任意的非空集合，对X 中的任意两点()X y x ∈,，令()⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 当当01, 容易验证()y x d ,满足关于距离的定义中的条件.我们称()d X ,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点() ,,,,21n x εεε=及() ,,,,21n y ηηη=，令()ii ii i iy x d ηεηε-+-=∑∞=121,1， 易知()y x d ,满足距离条件0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =. (2.1)下验证()y x d ,满足距离条件),(,d ),(z y d z x y x d +≤）（对任意z 都成立. (2.2)为此我们首先证明对任意两个复数a 和b ，成立不等式.111bb aa ba b a +++≤+++事实上，考察[)∞,0上的函数()ttt f +=1 由于在[)∞,0上，()()0112'>+=t t f .所以()t f 在[)∞,0上单调增加，由不等式b a b a +≤+，我们得到bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++1111.11.令() ,,,,21n z ξξξ=，,,i i i i b a ηξξε-=-=则i i b a ηε-=+，代入上面不等式，得ii ii i i i i i i i i ηξηξξεξεηεηε-+-+-+-≤-+-111. 由此立即可知()y x d ,满足距离条件(2.2)，即S 按()y x d ,或一度量空间.例2.3 有界函数空间()A B设A 是一给定的集合，令()A B 表示A 上的有界实值（或复值）函数全体，对()A B 中任意两点y x ,，定义()()()t y t x y x d At -=∈sup ,.下面验证()y x d ,满足条件(2.1)和(2.2).()y x d ,显然是非负的.又()0,=y x d 等价于对一切A t ∈，成立()()t y t x =，所以y x =，即()y x d ,满足(2.1)，此外，对所有的A t ∈成立()()()()()()()()()()t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x At At -+-≤-+-≤-∈∈sup sup .所以()()()()()()t y t z t z t x t y t x At At At -+-≤-∈∈∈sup sup sup .即()y x d ,满足条件(2.2).特别地，当[]b a A ,=时，记()A B 为[]b a B ..例2.4 可测函数空间)(X M设)(X M 为X 上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m 为Lebesgue 测度，若 ∞<)(X m ，对任意两个可测函数 )(t f 及)(t g ，由于1)()(1)()(<-+-t g t f t g t f所以这是X 上的可积函数，令⎰-+-=Xdt t g t f t g t f g f d )()(1)()(),(如果把)(X M 中的两个几乎处处相等的函数视为)(X M 中的同一个元，那么利用不等式.111bb aa ba b a +++≤+++及积分性质很容易验证),(g f d 是距离. 因此)(X M 按上述距离),(g f d 成为度量间.例2.5 []b a C ,空间令[]b a C ,表示闭区间[]b a ,上的实值（或复值）连续函数全体，对[]b a C ,中任意两点,,y x 定义)()(max ),(t y t x y x d bt a -=≤≤容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.6 2l记{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<==∑∞=122k k k x x x l .设{}{}22,l y y l x x k k ∈=∈=定义2112)(),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∞=k k k x y y x d .则d 是2l 的距离。