2020年石嘴山市三中高三数学(文)高考三模试卷 附答案解析

2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：然后计算即可.详解：由题可得，故=，故选A.点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.2．已知是自然数集，设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求集合A，再根据交集定义求结果.【详解】因为=，所以，选B.【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．3．已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（）A．或2 B． C． D．或【答案】D【解析】双曲线离心率的计算公式为，对双曲线焦点在或者轴两种情况，分别根据双曲线的渐近线方程求得，进而求得离心率的值.【详解】当双曲线焦点在轴上时，依题意得，故双曲线离心率为.当双曲线焦点在轴上时，依题意得，即，故双曲线离心率为.故选D.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法.双曲线的离心率公式除了本身的外，还可以通过转化为.也即求得的比值，也可以求得离心率的值.在求解过程中要注意双曲线的焦点在不同坐标轴上时，渐近线方程的表达式是不一样的，要进行分类讨论.4．平面向量与的夹角，，，则（）A． B． C．-2 D．2【答案】C【解析】求得，将平方列方程求解即可. 【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，，即为,解得舍去），则，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）；（2）.5．执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，S的值，可得当S=时不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8，即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．故选：B．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：，故选B.【点睛】（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、分割法、补形法等方法进行求解.7．在中，，，分别是内角，，的对边，若，，，则的面积等于（）A． B． C． D．3【答案】C8．已知，，则函数为减函数的概率是（）A． B． C． D．【答案】C9．在数列中，满足，，为的前项和，若，则的值为（）A．126 B．256 C．255 D．254【答案】D10．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B11．双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆离心率为（）A． B． C． D．【答案】A12．设是定义在上的偶函数，且，当时，若在区间内，函数，恰有一个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D二、填空题13．已知角的终边经过点，则的值等于_____．【答案】【解析】因为角的终边经过点，过点P到原点的距离为，所以，所以，故填 .14．设，满足约束条件，则的最小值为_____．【答案】215．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时，_____．【答案】9【解析】由，，可得，，即可得出取最大值时，的值.【详解】，，，，∴前项和取最大值时的值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16．下列有关命题的说法正确的是___（请填写所有正确的命题序号）．①命题“若，则”的否命题为：“若，则”；②命题“若，则”的逆否命题为真命题；③条件，条件，则是的充分不必要条件；④已知时，，若是锐角三角形，则.【答案】②④【解析】①命题“若，则”的否命题是“若，则”，由此判断正误；②命题与它的逆否命题真假性相同，通过判定原命题的真假即可；③通过解不等式与解方程化简条件与，利用充要条件的有关定义即得结论；④根据题意，在上是增函数，由此判断锐角中，的正误．【详解】对于①，命题“若，则”的否命题是：“若，则”，故错误；对于②，命题“若，则”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故正确；对于③，条件：，即为或；条件：，即为；则是的充分不必要条件，故错误；对于④，时，，则在上是增函数；当是锐角三角形，，即，所以，则，故正确.故答案为②④.【点睛】本题考查了否命题与命题的否定问题，利用导数判断函数的增减性问题，命题与逆否命题的真假性问题，是综合性题目．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断，要判断一个命题是假命题，只需举出反例.三、解答题17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为5，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得，所以的最小正周期为．（2）由（1）得当时，．所以当时，的最小值为．所以，即．【详解】（1）由题意知：，所以的最小正周期为．（2）由（1）知：，当时，．所以当时，的最小值为．又∵的最小值为5，∴，即．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期，考查三角函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业（以下简称外卖甲，外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表：1日2日3日4日5日外卖甲日接单（百529811单）外卖乙日接单（百2.2 2.310515单）（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系.（ⅰ）请用相关系数加以说明：（若，则可认为与有较强的线性相关关系（值精确到0.001））（ⅱ）经计算求得与之间的回归方程为.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围：（值精确到0.01）（2）试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况.相关公式：相关系数，参考数据：.【答案】（1）可认为有较强的线性相关关系； 6030元；（2）从平均值看，甲的平均值大些，即甲的接单量多些；从方差看，甲的方差小些，即甲的接单量波动性小些．【解析】由题中数据，利用公式计算相关系数，与比较即可得出结论；由题意令解得的取值范围，计算的取值范围即可；根据表格中数据，直接利用平均数公式与方差公式计算平均数与方差，比较大小，由平均数与方差的实际意义即可得结论．【详解】由，，则相关系数；，可认为y与x有较强的线性相关关系；由题意y与x之间的回归方程为，由，解得，，外卖甲所获取的日纯利润大于或等于6030元；根据表格中数据，计算，，，，从平均值看，甲的平均值大些，即甲的接单量多些；从方差看，甲的方差小些，即甲的接单量波动性小些．19．已知抛物线，圆.（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.【答案】（I）（II）见解析【解析】试题分析：（1）首先求得焦点的坐标，由此求得抛物线的方程，然后联立抛物线与圆的方程求得，最后利用抛物线的定义求得的长；（2）设，由此设出直线切线的方程，然后根据求得与的关系式，从而求得关于的关系式，进而利用基本不等式求得其最小值，以及的值.试题解析：（1）由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y.解方程组，得y A＝－2，所以|AF|＝－1. …5分（2）设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，整理得x0x－py－py0＝0. …6分由|ON|＝1得|py0|＝＝，所以p＝且y－1＞0，…8分所以|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，当且仅当y0＝时等号成立，所以|MN|的最小值为2，此时p＝. …12分20．如图，在四棱锥中，底面梯形，，平面平面，是等边三角形，已知，，是上任意一点，且.（1）求证：平面平面；（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用线段，进而推得面平面平面．（2）利用三棱锥平面与三棱锥的体积比，三棱锥与三棱锥的体积比，推导出三棱锥与三棱锥的体积比，进而解出的值.试题解析：（1）证明：在中，由于，∴,故．又平面平面，平面平面，，∴，又，故平面平面．（2），∴，解得．21．已知函数.（1）若的图像过点，且在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；（2）当时，若函数恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）1 【详解】（1）函数过点可知，①，，∴，，②，联立①②可得，所以，函数的定义域为，可知，，，，可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由可知，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立.设，可设，在单调递增，且，，所以存在唯一的，使得且当时，，单调递增，当，，单调递减，所以当时，有极大值，也为最大值，且又，所以，∴，可知，所以的最小值为1.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线，以直角坐标系中的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过极点作直线交曲线于点，，若，求直线的极坐标方程.【答案】（1）（为参数）,（2）或.【解析】（1）直线的参数方程为（为参数）;化为，移项、两边平方，利用互化公式可得结果；（2）设直线的极坐标方程是，，根据代入极坐标方程解得或，从而可得结果.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数）.可化为，可得,∵，∴曲线的直角坐标方程是；（2）设直线的极坐标方程是，，根据，得：，解得：或，故直线的极坐标方程或.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，证明：.【答案】（1）（2）见证明【详解】（1）由，得，则或或，解得：，故不等式的解集为.（2）因为，所以，因为，所以，，当且仅当，即，时取等号，故.【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

石嘴山三中2019-2020学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷一、选择题1.设集合{}2|20M x x =-≤，则下列关系式正确的是（ ） A. 0M ⊆ B. 0M ∉C. 0M ∈D. 2M ∈【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可先化简集合M ，再研究四个选项，由元素与集合的关系的判断出正确选项． 【详解】解：由220x -Q … 解得22x剟所以{|22}M M x x ==-剟，考察四个选项，C 中0M ∈是正确的，B 错误，A 中⊆符号是集合之间关系符号，格式不对，D 选项2M ∈ 显然不成立 故选：C ．【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是化简集合及理解元素与集合关系的判断方法，要注意元素与集合关系的表示符号∈，∉．2.已知a 为实数，若复数()29(3)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 虚部为（ ）A. 3B. 6iC. 3±D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 为纯虚数，列方程求出a 的值，进而可得复数z 的虚部.【详解】解：由已知29030a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得3a =，故6z i =，其虚部为6，故选D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3.已知平面α与两条不重合的直线,a b ，则“a α⊥，且b α⊥”是“//a b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若,a b αα⊥⊥，则必有//a b ，但//a b 时，直线,a b 与平面α可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“,a b αα⊥⊥”是“//a b ”的充分不必要条件，故选A ． 4.数列{}n a 是等差数列，11a =，48a =，则5a =（ ） A. 16 B. -16C. 32D.313【答案】D 【解析】 【分析】依据条件求出公差，由通项公式即可求出． 【详解】因为48a =，所以138a d +=， 又因为11a =，所以73d =， 可得5a =14a d +=313，故选D. 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用．5.如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665，则图形Ω面积的估计值为（ ）A.13B.12C.14D.16【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式进行估计即可得到结论． 【详解】解：设图形Ω 的面积为S ，∵由电脑随机从正方形中抽取10000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665 ,∴333511,.11000033S S =≈∴≈ 故选A.【点睛】本题主要考查几何概型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础． 6.函数()2sin 2xf x x =-的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断()f x 的奇偶性，以及()f x 在(2上的函数值的符号，结合选项得出答案． 【详解】解：∵()f x 的定义域为{|2}x x ≠，关于原点对称， 又∵()()2sin 2xf x f x x --==--，即函数()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点对称，排除A 、D ， 当02x <sin 0x >，220x -<，∴()2sin 02xf x x =<-，排除B ， 故选C ．【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．7.已知双曲线2221x y a-=（a ＞05则a =6 B. 4C. 2D.12【答案】D 【解析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】 ∵双曲线的离心率5ce a== ，21c a =+ ， ∴215a += ，解得12a = ， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，11A C 的中点，则EF 与侧棱1C C 所成的角的余弦值是( )A.5 B.25C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F ，取AC 的中点G ，连接FG ，EG ，∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角，在直角三角形EFG 中求出此角即可． 【详解】解：取AC 的中点G ，连接FG ，EG 根据题意可知FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ； 而EG ∥BC ，EG 12=BC ； ∴∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角， 在Rt △EFG ，cos ∠EFG 25=【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A.32B.92C. 1D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体是四棱锥，由棱锥体积公式计算．【详解】由三视图知原四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱PC 与底面垂直，尺寸见三视图，11(12)2332V x =⨯+⨯⨯=，解得3x =．故选：D.【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积，解题关键是由三视图还原出原几何体． 10.已知1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln3b =，13c e =，则（ ）A a b c >> B. c a b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】本题采用中间值比较法，对三个数进行比较大小，利用指数函数和对数函数的单调性，指数式和1进行比较，对数式和零进行比较，最后得出答案. 【详解】1201()13103a ⎛⎫<= ⎪<⎭=⎝，1ln ln103b =<=，0131c e e >==，所以本题选B. 【点睛】本题综合考查了对数式、指数式的比较大小.解决本题的关键是掌握指数函数、对数函数的单调性以及一些特殊点的特征.本题采用了中间值的比较方法.11.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A. 3(0,2B. 3(0,]4C. 32D. 3[,1)4【答案】A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以03c <≤302c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义． 【此处有视频，请去附件查看】12.圆心在曲线1(1)1y x x =>-+上，与直线x+y+1=0相切，且面积最小的圆的方程为（ ） A. x 2+（y-1）2=2B. x 2+（y+1）2=2C. （x-1）2+y 2=2D. （x+1）2+y 2=2【答案】A 【解析】 【分析】设与直线x +y +1＝0平行与曲线1(1)1y x x =>-+相切的直线方程为x +y +m ＝0，切点为P （x 0，y 0），x 0＞﹣1，解得x 0,可得切点P 即圆心，利用点到直线的距离公式可得半径r ,求解即可． 【详解】设与直线x +y +1＝0平行与曲线1(1)1y x x =>-+相切的直线方程为x +y +m ＝0， 切点为P （x 0，y 0）．x 0＞0． y ′＝﹣()211x +，∴﹣()2011x +＝﹣1，x 0＞﹣1，解得x 0＝0．可得切点P （0，1）,两条平行线之间的距离为面积最小的圆的半径；∴半径r 0112++2 ．∴圆心在曲线1(1)1y x x =>-+上，且与直线x +y +1＝0相切的面积最小的圆的方程为：x 2+（y ﹣1）2＝2． 故选A ．【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，考查圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13.已知向量()2,2a =r，()8,6b =-r ，则cos ,a b <>=r r ___________________.【答案】210- 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标运算计算．【详解】由题意22222cos ,22(8)6a b <>==+⋅-+r r． 故答案为：210-． 【点睛】本题考查向量夹角的坐标运算，由坐标运算的公式计算即可．14.已知x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_____．【答案】94【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】解：作出x，y满足约束条件33040x yx yx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的对应的平面区域如图：由2z x y=+得2y x z=-+，平移直线2y x z=-+，由图象可知当直线2y x z=-+经过点A时，直线的纵截距最小，此时z最小，由330x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得33,44A⎛⎫⎪⎝⎭，此时3392444z=⨯+=，故答案为94．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b ＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于．【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c ﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得，∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算． 【此处有视频，请去附件查看】16.已知函数()sin23cos2f x x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 的最小正周期是π；②函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数；③函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到；其中正确结论是_________________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断． 【详解】由题意()2sin(2)3f x x π=+．22T ππ==，①正确； 当[,]63x ππ∈-时，2[0,]6x ππ+∈，()f x 在此区间上不单调，②错误；()2sin(2)0333f πππ=⨯+=，(,0)3π是对称中心，③正确； 函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到图象解析式是22sin 2()2sin(2)33y x x ππ=+=+，④错，所以正确的有①③． 故答案为：①③．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解．三、解答题17.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.18.本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率.【答案】（1）平均数60，中位数4557（2）①详见解析；②35. 【解析】 【分析】（1）利用每组中点值作为代表，分别乘以频率然后相加，求得样本的平均数.根据面积之和为0.5列方程，解方程求得m 的值.（2）根据比例求得分层抽样每组应抽取的人数.利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】解：（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=.设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.0350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55.57）. （2）每组应各抽取人数如下表： 年龄 [25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]抽取人数 123743根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c .共15种情况.设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ，所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ， 12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c 共9种情况.则93()155P A ==. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图估计平均数和中位数，考查分层抽样，考查列举法求古典概型，属于基础题.19.在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【答案】(1) 27cos DAC ∠=87AC =(2) 3 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ．【详解】（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：222164222277AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-=⎪⎝⎭， 解得87AC =187127272cos 27AC DAC AD ∴∠===； （2）设DAC DCA α∠==∠， 由（1）可得：2721cos sin 7αα==， ()sin sin 120BAC α︒∴∠=-3271212321==，()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=- 272143sin 22α===在BAC V 中，由正弦定理可得：sin sin BC ACBAC B=∠，87321714343BC ∴==. 【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．20.已知函数()x f x e ax b =++的图像在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=. （1）求()f x 的表达式；（2）当0x >时，2()1f x x mx ≥++恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()xf x e x =+；（2）(,e 1]m ∈-∞-. 【解析】 【分析】(1)根据题干和导数的几何意义得到()012f a ='+=，解得1a =，()011f b =+=，解得0b =，从而得到解析式；（2）原式等价于e 11x m x x x ≤--+，令()e 11x h x x x x=--+，对函数求导得到函数的单调性，进而得到最值.【详解】（1）()e xf x a '=+，()012f a ='+=，解得1a =，()011f b =+=，解得0b =，所以()xf x e x =+.（2）当0x >时，21x e x x mx +≥++，即e 11x m x x x≤--+.令()e 11(0)x h x x x x x=--+>，则()()22e 11x x x h x x'--+=()()21e 1x x x x ---=.令()e 1(0)xx x x ϕ=-->，()e 10xx ϕ='->， 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=， 则当()0,1x ∈时，即()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，即()0h x '>，所以()h x 单调递增， 综上，()()min 11h x h e ==-，所以(],e 1m ∈-∞-.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．21.已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点()2,0B 为直径两端点的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-uu u r uuu r，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程. 【答案】（1）2；（2）直线l 的方程为1x =或3x =. 【解析】试题分析：（1）写出圆的方程，代入x=1，建立关于M,N 点纵坐标的韦达定理，M N MN y y =-，可求解．（2）设()11P x ,y ，()22Q x ,y 由OP OQ 3⋅=-u u u r u u u r ，得1212x x y y 3+=-，则()21212y y y y 316+=-，设直线消x ，可解．试题解析：（Ⅰ）设200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C 方程为()()200204y x x y y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，令1x =，得2200104y y y y -+-=，∴0M N y y y +=，2014M N y y y =-，()2220044124M N M N M N y MN y y y y y y y ⎛⎫=-=+-=--= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设直线l 的方程为x my n =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则 由2,{4,x my n y x =+=消去x ，得2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，∵3OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴12123x x y y +=-，则()21212316y y y y +=-，∴2430n n -+=，解得1n =或3n =，当1n =或3n =时，当()2,0B 到直线l 的距离21d m=+，∵圆心C 到直线l 的距离等于直线1x =的距离，∴20281y m =+ 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时，200240y m y -==，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的2cos 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>（l ）设t 为参数，若212y t =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，求实数a 的值.【答案】（1）221x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；（2）1【解析】 【分析】（1）由直线l 2cos 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得1x y -=，进而由212y =-+，代入上式得3x =，得到直线的参数方程； （2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得222x y ax +=，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解. 【详解】（1）直线l 2cos 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t 为参数，若21y =-，代入上式得2x =， 所以直线l 的参数方程为2212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）（2）由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a >将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立， 得)22110t a t ++=.（*）则)22140a ⎤∆=+->⎦且)1221t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=.则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-.因为0a >，所以1a =【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.（1）解不等式：136x x -++>；（2）若0a >，0b >，2a b +=，证明：2244119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）()(),42,-∞-+∞U ；（2）见解析 【解析】 【分析】(1) 利用绝对值的几何意义，分段解不等式，将所得的结果并起来，得到绝对值不等式的解集； (2)利用反证法结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）不等式：136x x -++>3226x x ≤-⎧⇔⎨-->⎩或3146x -<≤⎧⎨>⎩或1226x x >⎧⎨+>⎩4x <-或x ∈∅或2x >解集为()(),42,-∞-⋃+∞.（2）假设：2244119a b ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则 ()()22222244119922a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫----<⇔< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()4291ab a b ab ab +++⇔，0,0,2a b a b >>+=Q ，212a b ab +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭故假设与已知矛盾！故假设不成立，原结论成立. 法1证明：22442222111111a b a a b b Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2a b +=Q ，22221111a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 222255?9a b a b b a b a=++≥+=， “=”号成立当且仅当“1a b ==” 法2证明：()22222222221644416441111a b a b a b a ba b -+⎛⎫⎛⎫--=--+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q()22216481a b aba b-++=+，2a b +=Q ，()2221648811a b aba b ab-++∴+=+， 0,0,22a b a b ab >>=+≥Q ，1ab ∴≤，819ab+≥， “=”号成立当且仅当“1a b ==”【点睛】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2020年宁夏石嘴山三中高考数学三模试卷（文科）1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()A. {1}B. {1,4}C. {1,2}D. {0,1,2}2.1+i91−i=()A. iB. −iC. 1D. −13.设a=313，b=log132，c=(13)12，则()A. b<a<cB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b4.“0<x<1”是“sinx2<sinx”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是()A. 3√34πB. 3√32πC. 12πD. 14π6.如图所示的程序框图，运行后输出的结果为()A. 4B. 8C. 16D. 327.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为()A. 83+4πB. 83+8πC. 8+8πD. 8+4π8. 已知cos(π4−α)=35，α∈(π2,π)，则sinα−cosα=( )A. 725B. −725C. 4√25D. −4√259. 已知数列{a n }是公差为d(d ≠0)的等差数列，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则a1d =( )A. 4B. 3C. 2D. 110. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，b =4，则△ABC的面积的最大值为( )A. 4√3B. 2√3C. 2D. √311. 偶函数f(x)定义域为(−π2,π2)，其导函数是f′(x).当0<x <π2时，有f′(x)cosx +f(x)sinx <0，则关于x 的不等式f(x)<√2f(π4)cosx 的解集为( )A. (π4,π2)B. (−π2,−π4)∪(π4,π2) C. (−π4,0)∪(0,π4)D. (−π4,0)∪(π4,π2)12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆交于A ，B 两点，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率=( )A. √33B. √32C. √22D. √2313. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，a ⃗ =(1,−1)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +2b ⃗ |=______． 14. 已知点F 为抛物线y 2=8x 的焦点，则点F 坐标为 (1) ；若双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一个焦点与点F 重合，则该双曲线的渐近线方程是 (2) ．15. 要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m 3，侧面造价是10元/m 3，则该容器的最低总造价是______元．16. 已知函数f(x)={x 2+2x −3,x ≤12x ,x >1，则函数y =f(f(x))图象与直线y =4的交点个数为______．17. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2n −1，等差数列{b n }满足b 3=3，b 6−b 4=2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18. 如表为2015年至2018年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x =年份−2014．(1)已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2,a ̂=y −−b ̂x −．∑x i 4i=1y i =2355，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n =a +b +c +d19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD为直角，AB//CD，AD=CD=AP=2AB=2，E、F分别为PC、CD的中点．(Ⅰ)证明：平面APD//平面BEF；(Ⅱ)求三棱锥P−BED的体积．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|⋅|NF|的最小值．21. 已知函数f(x)=e x (ax 3−3x +6)(a ∈R)(e 为自然对数的底数)(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x =1处的切线与直线x +y =0垂直，求a 的值； (Ⅱ)对x ∈(0,4]总有f(x)≥0成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：{x =m +√22t y =√22t(t 是参数)．(1)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 值． (2)设M(x,y)为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +1|，记不等式f(x)<4的解集为M ．(1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16}，∴A∩B={1,4}．故选：B．先分别求出集合A与B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.【答案】A【解析】解：1+i 91−i =1+i2×4+11−i=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：因为a=313>30=1，b=log132<log131=0，0<c=(13)12<1，所以b<c<a，故选A．4.【答案】A【解析】解：“0<x <1”⇒0<x 2<x <1⇒sinx 2<sinx ，反之不成立．例如：x =2，sin4<0<sin2． 故选：A ．由“0<x <1”，可得0<x 2<x <1，进而得出sinx 2<sinx ，反之不成立．可以举例说明．本题考查了正弦函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：如图所示，设圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，圆内接正六边形的边长为R ，面积为6×12×R 2×sin π3=3√3R 22； 则所求的概率为P =3√3R 22πR 2=3√32π． 故选：B ．根据题意画出图形，结合图形求出圆的面积与圆内接正六边形的面积，计算面积比即可． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：第一次循环：当n =1，1<4，则b =2b =20=1， 第二次循环：n =2时，2<4，则b =2b =21=2， 第三次循环：n =3时，3<4，则b =2b =22=4， 第四次循环：n =4时，4=4，则b =2b =24=16， 第五次循环：当n =5时，5>4，不满足，则输出b =16， 故选C ．根据程序框图进行模拟运算分别求b 和n 的值，判断n 是否满足n ≤4即可．本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的b，n的值是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图，该几何体由一个三棱锥体和半个圆锥体构成的几何体．如图所示：则：V=12×2×4×2+12×π×22×2=8+4π．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.【答案】C【解析】解：∵α∈(π2,π)，∴(π4−α)∈(−3π4,−π4)，又∵cos(π4−α)=35>0，∴角(π4−α)是第四象限角，∴sin(π4−α)=−45，∴sinα=sin[π4−(π4−α)]=sinπ4cos(π4−α)−cosπ4sin(π4−α)=7√210，cosα=cos[π4−(π4−α)]=cosπ4cos(π4−α)+sinπ4sin(π4−α)=−√210，∴sinα−cosα=4√25，故选：C．由α∈(π2,π)，所以(π4−α)∈(−3π4,−π4)，又因为cos(π4−α)=35>0，所以角(π4−α)是第四象限角，所以sin(π4−α)=−45，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果． 本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，是基础题．9.【答案】A【解析】解：由数列{a n }是公差为d(d ≠0)的等差数列，且a 1，a 3，a 6成等比数列得a 32=a 1⋅a 6，即(a 1+2d)2=a 1(a 1+5d).化为4d 2=a 1d ，又d ≠0，解得a1d =4．故选：A ．运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，化简方程可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】 【分析】本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属于基础题．由已知式子和正弦定理可得B =π3，再由余弦定理可得ac ≤16，由三角形的面积公式可得．【解答】解：∵在△ABC 中，2a−c b =cosC cosB，∴(2a −c)cosB =bcosC ，∴(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ，∴2sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC=sin(B +C)=sinA ，，约掉sinA 可得cosB =12，即B =π3， 由余弦定理可得：16=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac≥2ac−ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=12acsinB=√34ac≤4√3．故选A．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数g(x)=f(x)cosx，并分析其单调性．根据题意，设g(x)=f(x)cosx ，结合题意求导分析可得函数g(x)在(0,π2)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数g(x)为偶函数，进而将不等式f(x)<√2f(π4)cosx转化为g(x)<g(π4)，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得|x|>π4，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设g(x)=f(x)cosx ，其导数为g′(x)=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x，又由0<x<π2时，有f′(x)cosx+f(x)sinx<0，则有g′(x)<0，则函数g(x)在(0,π2)上为减函数，又由f(x)为定义域为(−π2,π2)的偶函数，则g(−x)=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx=g(x)，则函数g(x)为偶函数，∴f(x)<√2f(π4)cosx，∴f(x)cosx<√2f(π4)，∴f(x)cosx<f(π4)cosπ4，即g(x)<g(π4)，又由g(x)为偶函数且在(0,π2)上为减函数，且其定义域为(−π2,π2)，则有|x|>π4，解得−π2<x<−π4或π4<x<π2，即不等式的解集为(−π2,−π4)∪(π4,π2)．故选：B．12.【答案】D【解析】解：椭圆x 2a2+y 2b 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1(−c,0)且斜率为1，为1的直线y =x +c ，交椭圆于A ，B ，代入椭圆方程， 化简可得(a 2+b 2)y 2+2cb 2y +c 2b 2−a 2b 2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2cb 2a 2+b2，y 1y 2=c 2b 2−a 2b 2a 2+b 2，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 2=−2y 1， −y 1=−2cb 2a 2+b2，−2y 12=c 2b 2−a 2b 2a 2+b 2，可得，−2(2cb 2a 2+b 2)2=c 2b 2−a 2b 2a 2+b 2，可得9c 2=2a 2，e =c a=√23． 故选：D ．利用椭圆焦点坐标，求解直线方程，利用且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化求解椭圆的离心率即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】√10【解析】解：∵a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，且|a ⃗ |=√2，|b ⃗ |=1；∴(a ⃗ +2b ⃗ )2=a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=2+4+4=10；∴|a ⃗ +2b ⃗ |=√10． 故答案为：√10．根据a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为45°，|b ⃗ |=1，并求得|a ⃗ |=√2，从而可求出(a ⃗ +2b ⃗ )2的值，进而得出|a ⃗ +2b ⃗ |的值．考查向量数量积的运算及计算公式，根据向量坐标可求向量长度．14.【答案】(2,0)y =±x【解析】【试题解析】解：点F为抛物线y2=8x的焦点，2p=8，即p=4，由焦点坐标(p2,0)，即有F(2,0)，双曲线x2a2−y22=1(a>0)的一个焦点与点F(2,0)重合，可得a2+2=4，可得a=√2，即有双曲线的方程为x2−y2=2，可得渐近线方程为y=±x．故答案为：(2,0)，y=±x．由开口向右的抛物线的焦点坐标可得所求焦点F；由题意可得a=√2，由焦点在x轴上的渐近线方程可得所求方程．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】160【解析】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，∴y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80≥20×2√ab+80=160，∴当且仅当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160．设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求解．本题考查棱柱体积的求法，训练了利用基本不等式求最值，由实际问题向数学问题转化是关键，是基础题．16.【答案】3【解析】解：令t=f(x)，由f(t)=4可得，当t≤1时，t2+2t−3=4，解得t=−2√2−1；当t>1时，2t=4，解得t=2；因为当x>1时，2x>2由f(x)=−2√2−1<2可得，x≤1，x2+2x−3=−2√2−1，即x2+2x−2+2√2=0△>0，设g(x)=x2+2x−2−2√2，对称轴为x=−1g(1)=1+2√2>0，所以g(x)=0有两个小于1的根；由f(x)=2可得，x≤1，x2+2x−3=2，即x2+2x−5=0解得x=−1−√6综上，函数y=f(f(x))图象与直线y=4的交点个数为3．故答案为：3根据两函数图象的交点个数与方程的根的个数的关系即可求出．本题主要考查两函数图象的交点个数与方程的根的个数的关系应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的首项为a1，且S n=2n−1，①．则S n−1=2n−1−1，②．①−②，得a n=2n−1，当n=1时，a1=21−1=21−1=1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n−1．=1，设等差数列{b n}的公差为d，则d=b6−b42又b3=3，所以b n=b3+(n−3)d=3+(n−3)×1=n．∴数列{b n}的通项公式为b n=n．(2)由(1)知，a n b n=n⋅2n−1，则T n=1+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1，①．2T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，②．由①−②，得−T n=1+2+22+23+⋯+2n−1−n⋅2n=2n−1−n⋅2n，所以T n=(n−1)2n+1．【解析】(1)根据S n与a n的关系求得数列{a n}的通项公式，根据等差数列的通项公式列方程组求得公差，进而求得数列{b n}的通项公式；(2)通过错位相减法求得数列{a n b n}的前n项和T n．本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)由题可得：x −=2.5，y −=200，∑x i 24i=1=30，又∑x i 4i=1y i =2355， ∴b ̂=∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4x−2=2355−4×2.5×20030−4×2.52=3555=71，a ̂=y −−b ̂x −=200−71×2.5=22.5，y 关于x 的线性回归方程为y ̂=71x +22.5．由于2019−2014=5，∴当x =5时，y ̂=71×5+22.5=377.5， ∴预测2019年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元； (2)由题可得2×2列联表如下：故K 2的观测值k =105×(10×30−45×20)255×50×30×75≈6.109，由于6.109>5.024，∴可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．【解析】(1)由已知求得b ̂与a ̂的值，则线性回归方程可求，取x =5求得y 值即可； (2)列出2×2列联表，求得K 2，与临界值表比较得结论．本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验的应用，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵E 、F 分别为PC 、CD 的中点，∴EF//PD ，又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF//平面PAD ．∵AB//CD ，CD =2AB ，F 为CD 的中点， ∴四边形ABFD 为平行四边形，∴AD//BF ， 又BF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BF//平面PAD ．∵EF ∩BF =F ，EF 、BF ⊂平面BEF ，∴平面APD//平面BEF ． (Ⅱ)∵∠BAD 为直角，AB//CD ， ∴底面ABCD 是直角梯形．∵PA ⊥底面ABCD ，AD =CD =AP =2AB =2， ∴V P−ABCD =13×12×(1+2)×2×2=2，V P−ABD =13×12×2×1×2=23．∵E 为PC 的中点，设E 到底面ABCD 的距离为ℎ， 则ℎ=12AP =1，∴V E−BCD =13×12×2×2×1=23，∴V P−BED =V P−ABCD −V P−ABD −V E−BCD =2−23−23=23．【解析】本题考查面面平行的判定，考查三棱锥的体积的求法，考查线面平行的判定，是中档题．(Ⅰ)推导出EF//PD ，AD//BF ，根据线面平行的判定定理得EF//平面PAD ，BF//平面PAD ，又EF ∩BF =F ，结合面面平行的判定定理即可证明平面APD//平面BEF ． (Ⅱ)根据V P−BED =V P−ABCD −V P−ABD −V E−BCD 即可求出三棱锥P −BED 的体积．20.【答案】解：(1)因为抛物线C 上的点到准线的最小距离为2，所以p2=2，解得p =4，故抛物线C 的方程为：y 2=8x ； (2)由(1)可知焦点为F(2,0)，由已知可得AB ⊥CD ，所以两直线AB ，CD 的斜率都存在且均不为0， 设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为−1k ， 故直线AB 的方程为y =k(x −2)，联立方程{y 2=8xy =k(x −2)，消去x 得：ky 2−8y −16k =0，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=8k ，因为M(x M ,y M )为弦AB 的中点，所以y M =12(y 1+y 2)=4k ， 由y M =k(x M −2)，得x M =y M k+2=4k 2+2，故点M(4k2+2,4k)，同理可得：N(4k2+2,−4k)，故|NF|=√(4k2+2−2)2+(−4k)2=4√k2(1+k2)，|MF|=√16k4+16k2=4√1+k2k2，所以|MF|⋅|NF|=4√1+k2k2×4√k2(1+k2)=16×1+k2|k|=16(|k|+1|k|)≥16×2√|k|⋅1|k|=32，当且仅当|k|=1|k|，即k=±1时，等号成立，所以|MF|⋅|NF|的最小值为32．【解析】(1)由题意可知p2=2，所以p=4，从而得到抛物线C的方程；(2)显然直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为−1k，所以直线AB的方程为y=k(x−2)，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到点M的坐标，同理可得点N的坐标，进而求出|NF|，|MF|，再利用基本不等式即可求出|MF|⋅|NF|的最小值．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x(ax3−3x+6)+e x(3ax2−3)=e x(ax3+3ax2−3x+ 3)…(2分)∴f′(1)=e(a+3a)=4ea…(3分)∵函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+y=0垂直∴4ea=1⇒a=14e…(5分)(Ⅱ)x∈(0，4]时，f(x)=e x(ax3−3x+6)≥0⇔ax3−3x+6≥0⇔a≥3x−6x3…(7分)设g(x)=3x−6x3，x∈(0,4]，g′(x)=3x3−(3x−6)×3x2x6=−6x+18x4.…(9分)令g′(x)>0得x<3；令g′(x)<0得x>3∴x∈(0,3)时，g(x)为增函数，x∈(3,4]时，g(x)为减函数，…(11分)∴g(x)≤g(3)=9−68=38，∴a ≥38…(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过函数f(x)的图象在x =1处的切线与直线x +y =0垂直，列出方程即可求a 的值；(Ⅱ)对x ∈(0,4]总有f(x)≥0成立，构造函数，利用函数的导数求解函数的最值，列出不等式即可求实数a 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程是：x 2+y 2=4x ， 即(x −2)2+y 2=4；直线l 的直角坐标方程为：y =x −m ， ∴圆心(2,0)到直线l 的距离(弦心距)为 d =(√142)=√22， 圆心(2,0)到直线y =x −m 的距离为： 即√2=√22， ∴|m −2|=1，解得m =1或m =3； …(5分)(2)曲线C 的方程可化为(x −2)2+y 2=4， 其参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)； 又M(x,y)为曲线C 上任意一点，∴x +y =2+2cosθ+2sinθ=2+2√2sin(θ+π4)，∴x +y 的取值范围是[2−2√2,2+2√2].…(10分)【解析】(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出m 的值；(2)把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x +y 的取值范围．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，是中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1； 当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12； 当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12； 则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0， 由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1， 可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0， 可得(|a|−1)(|b|−1)>0， 故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．【解析】(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M ； (2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．。

2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．设3i1iz +=-，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．3D ．22．设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =≤，则()A B =R I ð（ ） A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{1,2}D ．{1,2,3}3．已知22log 5log 5x =-，5log 3y =，125z -=，则下列关系正确的是（ ） A ．z y x << B ．z x y << C ．x y z <<D ．y z x <<4．定义：10000100010010abcde a b c d e =++++，当五位数abcde 满足a b c <<，且c d e >>时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ） A ．16B ．110C ．112 D ．1205．函数||2()2x f x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．将参加体检的36名学生，编号为1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为9的样本，已知样本中含有编号为33的学生，则下面十名学生编号中被抽到的是（ ） A ．13B ．14C ．23D ．247．若cos57m ︒=，则cos213︒=（ ） A ．21m m--B ．2211m m--+ C ．21m --D ．m -8．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-9．执行下面的程序框图，如果输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．5n <B ．5n ≤C ．6n <D ．6n ≤10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点(2,0)F 到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．2311．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos a B b A c C +=，sin sin sin 0a A c C b A -+=，则ba=（ ） A ．53B ．73 C ．72D ．5212．抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l 交C 于A 、B ，则||AB =（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。

宁夏石嘴山市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B 【解析】 试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=故选B ． 考点：正态分布2．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3 B ．2 C ． 3或－3 D ． 2和－2【答案】C 【解析】 【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果． 【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±3． 故选C ． 【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．3．52mx x ⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()r rrr rr r TC x mx m C x---+==，令55522r -=，得3r =， 则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 4．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.5．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合，则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．6．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值. 【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=，即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n mm n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题. 7．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．8．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r，则a =r （ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．213313,1313⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D ．213313,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】设(),a x y =r ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a r的坐标.【详解】设(),a x y =r，且()4,6m =u r ，()5,1b =-r ，由//a m r u r得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=r r ，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--r .故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的； 在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%3%⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%⨯=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B 【解析】 【分析】先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57. 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 11．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ） A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π【答案】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=--⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题． 12．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m mm -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m ≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

石嘴山市三中2020届高三年级第四次高考适应性考试数学（文）能力测试一、选择题：（本大题共12小题）1.已知复数34z i =+，则5z 的虚部是（ ） A. 45-B. 45C. -4D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用复数运算法则及虚部定义求解即可 【详解】由34z i =+，得()()()53455343434345i i z i i i --===++-，所以虚部为45-. 故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，复数的虚部，考查运算求解能力.2.设集合()A {x |y lg x 3}==-，x B {y |y 2,x R}==∈，则A B ⋃等于( ) A. ∅ B. RC. {}x x 1D. {}x x 0【答案】D 【解析】 【分析】求定义域得集合A ，求值域得集合B ，根据并集的定义写出A B ⋃． 详解】集合(){}{}A {x |y lg x 3}x x 30x x 3==-=-=，{}x B {y |y 2,x R}y y 0==∈=，则{}A B x x 0⋃=． 故选D ．【点睛】本题考查了并集的运算问题，涉及函数的定义域和值域的求解问题，是基础题．3.某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（） A 008号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C【解析】 【分析】根据已知条件可知，1000人抽取100人，那么分成100组，每组10人，那么组距就是10，根据条件可知编号的末尾都是6，即可得到答案. 【详解】解析：由题意得抽样间隔为100010100=，因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，选C . 【点睛】本题考查了系统抽样，属于简单题型.4.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知A. A x ＜B x ，2A s ＜2B s B. A x ＞B x ，2A s ＜2B s C. A x ＜B x ，2A s ＞2B sD. A x ＞B x ，2A s ＞2B s【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，从而可得结果.【详解】A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，故>A B x x ；相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，故22A B s s <，故选B.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了 随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.5.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过x 年可增长到原来的y 倍，则函数()y f x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】求得y 关于x 的表达式，由此判断出正确的图像.【详解】依题意可知 1.104xy =，故当0x =时，1y =，排除B 、C 选项，由于函数为指数函数，图像为曲线，所以A 选项错误，D 选项正确. 故选D.【点睛】本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查函数图像的识别，属于基础题.6.已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>分别过点()2,0A 和()0,1B -，则该椭圆的焦距为（ ）A.3 B. 23 C.5 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得a 2＝4，b 2＝1，利用隐含条件求得c ，则2c 即为所求． 【详解】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1， 所以413c =-=223c =.故选B【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题．7.若cos 22sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ ） A 2 B. 12-C.122 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和差角公式可得22cos 2222sin sin cos 4απααα==⎛⎫-- ⎪⎝⎭,求解即可 【详解】由题,()2222cos 2222222sin sin cos sin cos 42222απααααα====-⎛⎫--- ⎪⎝⎭, 所以1sin cos 2αα+=, 故选：C【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查差角公式的应用,考查运算能力8.方程22123+=-+x y m m 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A. －3＜m ＜0B. －3＜m ＜2C. －3＜m ＜4D. －1＜m ＜3【答案】A 【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.9.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30°的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的离心率为（ ）A.625 23【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的左焦点，设出直线l 的方程为)3y x c =+，可得l 与y 3b =，结合222a c b =-计算即可．【详解】由题意设直线l 的方程为)3y x c =+， 令0x =，得3y =， 因为33c b =，所以22222232a c b b b b =-=-=， 所以22612b e a =+=.故选A【点睛】本题考查双曲线的离心率的问题，考查了基本量的关系，属于基础题．10.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B. b a c <<C. c b a <<D. c a b <<【答案】C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11.过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4=AF BF ，O 为坐标原点，则=AFOF （ ） A.54B.34C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】分别过,A B 作准线2py =-的垂线,垂足分别为11,A B ,过A 作1AM BB ⊥,垂足为M ,AM 交y 轴于N ,设||AF t =,根据抛物线的定义以及两个直角三角形相似可以求出58t p =,由此可求出结果. 【详解】如图: 分别过,A B 作准线2py =-的垂线,垂足分别为11,A B ,过A 作1AM BB ⊥,垂足为M ,AM 交y 轴于N ,设||AF t =,则||4BF t =,由抛物线的定义知:1||AA t =,1||4BB t =, 所以||43BM t t t =-=,1||||||||(||)222p p pFN OF ON OF AA t p t =-=--=-+=-,因为Rt ANF Rt AMB V :V ,所以||||||||FN AF BM AB =,所以34p t tt t t -=+, 所以58t p =,所以5||58||422pAF t p p OF ===. 故选:A【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题. 12.已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ）A. 22B. 2C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为4π，可得出122x x d -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值. 【详解】如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -=， 由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0， 此时，10122d -+==12max 222x x ∴-==，故选B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二、填空题：本大题共4小题．13.已知非零向量,a b r r 满足a b a b +=-r r r r ，则向量,a b rr 的夹角,a b =r r ________．【答案】2π【解析】 【分析】根据a b a b +=-r rr r 两边平方化简得到答案. 【详解】()()22a b a b a ba b +=-∴+=-r r rr r r r r 化简得到0a b ⋅=r r ，故向量夹角为2π故答案为2π 【点睛】本题考查了向量的夹角计算，属于基础题型.14.已知正项等比数列{}n a 中，234a a a ⋅=，若331S =，则n a =_____． 【答案】15n - 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式可得123111a q a q a q ⋅=,则11a =,由331S =可得5q =,进而求得n a 【详解】由234a a a ⋅=,得123111a q a q a q ⋅=,所以11a =,又因为312331S a a a =++=,即2131q q ++=,所以5q =或6q =-,因为正项等比数列,则5q =,所以15n n a -=故答案为：15n -【点睛】本题考查求等比数列通项公式,考查运算能力15.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________． 【答案】33π 【解析】 【分析】根据侧面展开图先计算圆锥的体积，再根据祖暅原理得到三棱锥的体积. 【详解】圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆则圆锥的底面半径满足：221r r ππ=∴= ，高22213h =-=，21333V r h ππ==根据祖暅原理三棱锥的体积为33π3π 【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，新知识的引入，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力. 16.下列共用四个命题.（1）命题“0x R ∃∈，20013x x +>”的否定是“x R ∀∈，213x x +<”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好； （3）,a b ∈R ，:p a b <，110b a<<，则p 是q 的充分不必要条件； （4）已知幂函数()()233mf x m m x =-+为偶函数，则()24f -=.其中正确的序号为_________．（写出所有正确命题的序号） 【答案】()()24 【解析】依据含一个量词的命题的否定可知：命题“0x R ∃∈，20013x x +>”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”，故命题（1）不正确；由回归分析的知识可知：相关指数越大，其模型的拟合效果越好，则命题（2）是正确的；取1,2a b ==，尽管a b <，但11b a>，故命题（3）不正确；由幂函数的定义可得2320m m -+=，则2,1m m ==（舍去），故2()(2)4f x x f =⇒-=，则命题（4）是正确的，应填答案()()24 ． 点睛：本题是一道选择填空题，求解时充分借助题设中提供的四个命题的条件和结论，综合运用所学知识从而对问题做出正确的推理和判断，从而选出正确的命题，排除错误的命题，进而使得问题获解．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+. （1）求()sin A C -的大小； （2）若ABC ∆的面积为33ABC ∆的周长.【答案】（1）1；（2）436【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知可求222b c a bc +-=-，由余弦定理可得cos A ，结合B ，可得所求．（2）利用ABC ∆的面积可求b=c=23a=b ，从而求得周长．【详解】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得： ()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒， ∴21sin120332b ︒=23bc ==由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为436.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 24 n [20,25)mp[25,30]20.05合计M1(1)求出表中M，p及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．【答案】见解析【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.考点：中位数、众数、平均数.19.如图，在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，点E是边AD上的一点，且2AE ED=，点H是BE的中点，将ABE∆沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC SD=.（1）证明：SH BCDE⊥平面.（2）求四棱锥S BCDE-的体积.【答案】（1）见解析；（2）423【解析】【分析】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，推导出SM CD⊥，HM CD⊥，由此能证明CD SHM⊥平面，可得CD SH⊥，结合SH BE⊥证得SH BCDE⊥平面.（2））由（1）结合垂直关系可计算四棱锥的高及底面的面积，能求出S BCDE-的体积．【详解】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得2AE AB==，∴2SE SB==，又点H是BE的中点，∴SH BE⊥. 因为SC SD=，点M是线段CD的中点，∴SM CD⊥.又因为//HM BC，∴HM CD⊥，从而CD⊥平面SHM，∴CD SH⊥，又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE.（2）由（1）知2sin452SH AH==⨯︒=113DE BC==，底面BCDE的面积为()131242S=⨯+⨯=，∴四棱锥S BCDE-的体积142423V=⨯=【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查了空间思维能力，是中档题．20.已知数列{}{},n n a b 满足11a =，1114n n a a +=-，221n n b a =-，其中n N +∈． (1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； (2)设41nn a c n =+，求数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ． 【答案】（Ⅰ）12n n a n+=; （Ⅱ）n T =463(1)(2)n n n +-++.【解析】试题分析：（Ⅰ）由1114n n a a +=-,2 21n n b a =-，,作差代入112222121n n n n b b a a ++-=-=--,再利用等差数列的通项公式即可得出n b ,进而得出n a .（Ⅱ）421n n a c n n ==+,可得222112,22n n c c n n n n +⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭.利用“裂项求和”可得:数列{}2n n c c +的前n 项和为n T =11121212n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭试题解析：（Ⅰ）证明：∵11222121n n n n b b a a ++-=---=222112114n na a --⎛⎫-- ⎪⎝⎭=4222121n n n a a a -=--，∴数列{}n b 是公差为2的等差数列，又112221b a ==-，∴()2122n b n n =+-⨯=，故∴2221n n a =-，解得12n n a n+=． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得14221n n n c n n+⨯==+，∴222112,22n n c c n n n n +⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭∴数列{}2n n c c +的前n 项和为1111111112132435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L=()()1114621321212n n n n n +⎡⎤+--=-⎢⎥++++⎣⎦. 点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据11222121n n n n b b a a ++-=---=222112114nn a a --⎛⎫-- ⎪⎝⎭=4222121n n na a a -=--得到{}nb 是公差为2的等差数列;第二问中的通项由()1122n n n b n a n +==知，从而可得 14221nn n c n n+⨯==+，2112,2n n c c n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 利用“裂项求和”可得:数列{}2n n c c +的前n 项和为n T =11121212n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭. 21.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆的短轴为直径的圆与直线60x y -+=相切.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F 的弦为AB 、过原点的弦为CD ，若CD AB ∥，求证：2CD AB为定值.【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；(Ⅱ)证明见解析.【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得()226311b ==+-结合离心率计算公式有24a =.则椭圆E 的方程为22143x y +=.(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线AB 的斜率不存在时，24CD AB=.当直线AB 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立直线方程与椭圆方程有()22223484120k xk x k +-+-=，由弦长公式可得()2212134k AB k +=+.联立直线y kx =与椭圆方程，结合弦长公式有()2231434k CD k+=+计算可得24CD AB=.据此可得：24CD AB=为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，原点到直线60x y -+=的距离为b ，则有()226311b ==+-由2212a b a -=，得22443a b ==. ∴椭圆E 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）证明：（1）当直线AB 的斜率不存在时，易求3AB =，23CD =则24CD AB=.（2）当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠，则直线AB 的方程为()1y k x =-，直线CD 的方程为y kx =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=， 则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+， 2121AB k x =+-2222228412143434k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2212134k k +=+.由22143x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得221234x k =+，则3424334x x k -=+. ()22342311434k CD k x k +=+-=+∴()()2222248134434121k CD k ABk k++=⋅=++.综合（1）（2），24CD AB=为定值.22.设0a >，函数()222ln f x x ax a x =--．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点，试求a 的值．【答案】（1）()f x 的单调减区间是150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调增区间是15⎫++∞⎪⎪⎝⎭；（2）12. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入()f x 中可得()222ln f x x x x =--（0x >）,令()0f x '=,解得15x +=,进而求得单调区间；（2）令()0f x '=,解得2140a a a x -+=<（舍）,2240a a ax ++=>,可得函数()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增,则()()2min f x f x =,由于函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点,则()20f x =,整理即为2212ln 0x x --=,设()2ln 1g x x x =+-,可得()2ln 1g x x x =+-在()0,∞+是单调递增的,则()10g =,进而求得a【详解】（1）函数()222ln f x x ax a x =--,当1a =时,()222ln f x x x x =--（0x >）,∴()2222222x x f x x x x--'=--=,令()0f x '=,即210x x --=,解得152x +=或152x =（舍）, ∴150,2x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0f x '<；152x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0f x '>, ∴()f x 的单调减区间是15⎛+ ⎝⎭,单调增区间是15⎫++∞⎪⎪⎝⎭（2）()222ln f x x ax a x =--,则()2222222a x ax af x x a x x--'=--=, 令()0f x '=,得20x ax a --=, ∵0a >,∴240a a ∆=+>,∴方程的解为21402a a a x +=<（舍）,22402a a ax ++=>；∴函数()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增， ∴()()2min f x f x =,若函数()y f x =在区间()0,∞+上有唯一零点, 则()20f x =,而2x 满足222x ax a =+,∴()()222222222ln 122ln 0f x ax a ax a x a x x x =+--=+--=, 即2212ln 0x x --=, 设()2ln 1g x x x =+-,∵()2ln 1g x x x =+-在()0,∞+是单调递增的, ∴()g x 至多只有一个零点, 而()10g =,∴用21x =代入222x ax a =+,得10a a --=, 解得12a =【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查函数零点及不等式的应用问题。

绝密★启用前宁夏石嘴山市第三中学2020届高三毕业班下学期第五次高考模拟考试数学(文)试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{0,1,2,3,4}A =,{|(1)(4)0}B x x x =+-<,则集合A B ⋂中元素的个数为A.2B.3C.4D.5 2．若复数()21a i a R i -∈+为纯虚数,则3ai -=A B ．13 C ．10 D3．已知向量()5,m =a ,()2,2=-b ,若()-⊥a b b ,则实数m =A. 1-B. 1C. 2D. 2-4．5G 网络是一种先进的高频传输技术,我国的5G 技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机,现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月5．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为 A.2y x = B.22y x =± C.3y x = D.23y x =±6．已知等比数列{}n a 的各项都为正数,且3a ,512a ,4a 成等差数列,则4635a a a a ++的值是 A 15+ B 51- C 35 D 35+7.已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=,曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度,得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则θ的最小值是 A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为。

石嘴山三中2020届高三年级第三次模拟考试数学（文科）试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ）A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}2．91i 1i+=- （ ）A ．1-B ．i -C ．1D ．i3.设11231313,log 2,3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则( ) A. b c a << B. c b a << C. c a b << D.b a c <<4.“01x <<”是“2sin sin x x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是A. 33B. 33C.12π D. 14π6.如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．327.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．843π+B ．883π+C ．88π+D ．84π+8.已知()π3cos 45α-=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A. 725B. 725-C.425D. 425-9.已知数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 110.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ）3B. 2C.23D. 4311.已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45o 的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =u u u r u u u r，则椭圆的离心率=（ ）A. 3B.2C.2D.3二、填空题（本大题共5小题，共20分）13.平面向量a r 与b r 的夹角为45o，(1,1),1a b =-=r r ，则2a b +=r r ______．14.已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 坐标为______；若双曲线2221(0)2x y a a -=>的一个焦点与点F 重合，则该双曲线的渐近线方程是______． 15.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元3/m ，侧面造价是10元3/m ，则该容器的最低总造价是________元．16.已知函数223,1()2,1x x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩，则函数(())y f f x =图象与直线4y =的交点个数为__________．三、解答题（本大题共7小题，共70分） 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12-=nn S ，等差数列{}n b 满足2,3463=-=b b b ．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额单位：万元，其中年份代码2013-=年份x ．年份代码x 1 2 3 4 线下销售额y95165230310（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，，，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠BAD 为直角，AB ∥CD ， PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝4，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （1）证明：平面APD ∥平面BEF ； （2）求三棱锥P －BED 的体积．20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点到准线的最小距离为2.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，M 、N 分别为弦AB 、DE 的中点，求MF NF ⋅的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数3()(36)()x f x e ax x a R =-+∈（e 为自然对数的底数)．（1）若函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值； （2）对(0,4]x ∈总有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t m x 2222 （t 是参数）.（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =试求实数m 值. （2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.23. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>.参考答案第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.) 13. ______ 14. __________y x =±__15.___160 ___． 16. 3 三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.设等比数列的前n 项和为，且21nn S =-，等差数列{}n b 满足3643,2b b b =-=3643,2,b b b =-=．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】 （1）设等差数列的公差为d ，则，又，所以所以数列的通项公式为． （2）由知，，当时，n －1，所以数列的通项公式，也满足，故，则， ，由，得所以．18.下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额单位：万元，其中年份代码年份．年份代码x1234线下销售额y95165230310已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：，，，【答案】解：由题意得，，所以，所以y关于x的线性回归方程为；由于，所以当时，，所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为万元；由题可得列联表如下：持乐观态度持不乐观态度合计男顾客104555女顾客203050合计3075105计算的观测值，由于，所以可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD 为直角，AB∥CD，PA＝AD＝CD＝2AB＝4，E，F分别为PC，CD的中点．(1)证明：平面APD∥平面BEF；(2)求三棱锥P －BED 的体积．【答案】解 (1)证明：∵AB ∥CD ，且∠BAD 为直角，CD ＝2AB ，F 为CD 的中点，∴FD ＝AB ，故四边形ABFD 是矩形，∴AD ∥BF ，∴BF ∥平面APD, 又∵E ，F 分别为PC ，CD 的中点． ∴EF ∥PD ，∴EF ∥平面APD ， 3分 又∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，EF ∩BF ＝F ，所以平面APD ∥平面BEF . 5分 (2)解法一：如图所示， ∵E 为PC 的中点，∴V P －BED ＝V P －DBC －V E －DBC ＝13S △DBC ·12AP ， 9分 ∴V P －BED ＝16×4×12×4×4＝163. 12分解法二：过点A 作AG ⊥PD 交PD 于点G (图略)，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥AG ，又AG ⊥PD ，∴AG ⊥平面PDE ，又∵AB ∥平面PDE ， 8分∴V P －BED ＝V B －PDE ＝13·AG ·12S △PDC ＝16×22×12×4×42＝163. 12分20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点到准线的最小距离为2.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，M 、N 分别为弦AB 、DE 的中点，求MF NF ⋅的最小值.（1）因为抛物线C 上的点到准线的最小距离为2，所以22p=，解得4p =. 故抛物线C 的方程为28y x =； （2）由（1）知焦点为()2,0F .由已知可得AB DE ⊥，所以两直线AB 、DE 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k-， 故直线AB 的方程为()2y k x =-.联立方程组()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，整理得28160ky y k --=.设点()11,A x y 、()22,B x y ，则128y y k+=. 因为(),M M M x y 为弦AB 的中点，所以()12142M y y y k=+=. 由()2M M y k x =-，得2422M M y x k k =+=+，故点2442,M kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.同理，可得()242,4N k k +-.故()()()22222422441NF kk k k =+-+-=+，2422161641k MF k k k+=+=. 所以()2222241111411616||16232k k k MF NF k k k k k k k ⎛⎫++⋅=⋅+=⋅=+≥⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1k k=，即1k =±时，等号成立. 所以MF NF ⋅的最小值为32.21.已知函数3()(36)()xf x e ax x a R =-+∈（e 为自然对数的底数)．(1)若函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值；(2)对(0,4]x ∈总有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：Ⅰ， ，函数的图像在处的切线与直线垂直，；Ⅱ时，．设，，令得；令得， 时，为增函数，时，为减函数，，．请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是: 2{22x m t y t =+=（t 是参数）.（Ⅰ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14AB =,试求实数m 值. （Ⅱ）设为曲线上任意一点，求x y +的取值范围.详细分析：（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：圆心到直线l 的距离（弦心距）圆心()2,0到直线的距离为 ：或（2）曲线的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为： 22{2x cos y sin θθ=+= (θ为参数）(),M x y Q 为曲线上任意一点， ()2225sin x y θα+=++x y ∴+的取值范围是225,225⎡-+⎣24. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>. 【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解+析（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，由()4f x <，解得11x -<<， 故{}|11M x x =-<<.（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->，所以10ab a b --+>.。

宁夏石嘴山市2019-2020学年高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13BC ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =， 所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+， 所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得sin 3θ=（负值舍去），所以椭圆Г的离心率3e =．故选B ． 2．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|5==，得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-，∴z 的虚部为52-． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．53【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==所以115,23AP PC AC===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯ 所以126sin APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 262AP PC APC =⨯⨯⨯∠= 故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.4．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132 B ．3.137C ．3.142D ．3.147【答案】B 【解析】 【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可 【详解】如图，由几何概型公式可知：224513.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B 【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题5．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.6．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得AB =所以DF AB =.所以所求概率为24=13DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 8．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．A B =∅ID ．R R C A C B ⊆【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭；而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.9．已知函数1()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】化简()1sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。

宁夏石嘴山市2019-2020学年高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-【答案】D 【解析】 【分析】根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项. 【详解】因为2y =,所以当()12+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值； 当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值， 所以输入的x 的值为2- 或3， 故选：D. 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题. 2．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】设:p 1x <对应的集合是(,1)A =-∞，由12x x+<-解得0x <且1x ≠-:q 12x x+<-对应的集合是()(),11,0B =-∞--U ，所以B n A ，故1x <是12x x+<-的必要不充分条件，故选B 。

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设{}{}B A x x p x x q =∈=∈， ，如果A B ⊆，则p 是q 的充分条件；如果A n B 则p 是q 的充分不必要条件； 如果B A ⊆，则p 是q 的必要条件；如果B n A ，则p 是q 的必要不充分条件。

3．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论. 【详解】解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-， 根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称， 所以直线//AE y 轴．所以②正确．如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题． 4．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2C 3D 5【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 2212||(1)25z i z ∴=-+⇒=-+=故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.5．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =， 所以1141451014()7()772a a S a a +==+=，故选C ． 7．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 8．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C．2D【答案】A 【解析】 【分析】设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到20,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y pp==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2pF ， 设200(,),(,)2y P y M x y p， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM的斜率020022144OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v =-，所以13λ,μ44==-，即可求解，得到答案．【详解】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v13AB AD 44=-u u u v u u u v ，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-， 故选A ．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．11．已知函数13()sin 2f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】 化简()13sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。