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实变函数课程主要内容提要《实变函数》---- 课程主要内容提要学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。
学习永远是自己的大事，任何人无法代替。
但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！内容重要程度:*** > ** > * * 第一章集合论* 1. 集合族之交、并、补、差的运算；*** 2. 集合的分解；集合列的极限运算；特征函数；** 3. 集合的基数与可数、不可数集；* 4. 极限点(聚点)、孤立点、导集的性质；** 5. 闭集、闭包、开集、内点的概念以及闭集、开集的性质；** 6.Gδ集、Fσ集、σ-代数、Borel集、稠密集；*** 7. Cantor三分集的概念及其性质；* 8. 点集间距离的概念。
** 第二章 Lebesgue可测集与Lebesgue测度*** 1. Lebesgue外测度的概念及其性质:单调性、次可加性、距离外测度性质、可测分离可加性；** 2. Lebesgue可测集的概念及其性质：交、并、补、差的运算性质；*** 3. Lebesgue测度的基本性质：可数可加性；测度与极限运算的交换性；** 4. Lebesgue可测集与Borel集的关系；等测包与等测核的存在性；* 5. 不可测集的存在性。
*** 第三章可测函数*** 1. 可测函数的基本概念及其运算性质；** 2. 简单函数的概念；简单函数逼近定理；*** 3. 可测函数列处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛和依测度收敛的概念及其相互关系：Egoroff定理；Lebesgue定理；Riesz定理；* 4. 依测度Cauchy列的概念；*** 5. 可测函数与连续函数的关系：卢津(Lusin)定理及其推论；*** 第四章 Lebesgue积分* 1. 非负简单可测函数的Lebesgue积分：基本概念；积分与极限的交换性；** 2. 非负可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；*** 3. 三大基本定理：Levi定理、Lebesgue基本定理和Fatou引理；对积分域的可数可加性；Chebyshev(契比雪夫)不等式；** 4. 一般可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；积分的绝对连续性；*** 5. 控制收敛定理: Lebesgue控制收敛定理, 有界收敛定理，依测度型控制收敛定理；L1-收敛；** 6. 可积函数与连续函数的关系；积分的平均连续性；*** 7. Lebesgue积分与Riemann积分的关系；** 8. Fubini定理以及Lebesgue积分的几何意义；卷积与分布函数的概念。
实变函数论华章实变函数论是数学分析的一个分支，研究实数域上的实变函数。
实变函数论是数学分析中的重要内容之一，也是微积分和函数论的基础。
本文将介绍实变函数论的基本概念和性质，以及一些常见的实变函数的特点。
一、实变函数的基本概念实变函数是自变量和因变量都是实数的函数。
在实变函数论中，我们主要研究函数的定义域、值域、连续性、可导性等性质。
定义域是指函数自变量的取值范围，也就是函数所能接受的实数集合。
对于实变函数而言，定义域通常是实数集合的一个子集。
值域是函数所有可能取到的值的集合。
对于实变函数而言，值域是实数集合的一个子集。
连续性是指函数在定义域内的任意一点都存在极限，并且函数的极限等于函数在该点的函数值。
连续性是实变函数的重要性质之一，它决定了函数的很多性质。
可导性是指函数在某一点处存在切线的斜率，也就是导数。
可导性是实变函数的另一个重要性质，它决定了函数的变化率和极值点的存在性。
二、实变函数的特点在实变函数论中，有一些常见的实变函数具有特殊的性质。
1. 多项式函数：多项式函数是实变函数中最简单的一类函数。
它们具有良好的代数性质，可导性和连续性都成立。
2. 幂函数：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a是任意实数。
幂函数的性质与指数的性质密切相关，可导性和连续性也与指数的奇偶性有关。
3. 指数函数：指数函数是指形如y=a^x的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
指数函数的定义域是整个实数集，它具有良好的连续性和可导性。
4. 对数函数：对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集，它具有良好的连续性和可导性。
5. 三角函数：三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数等函数。
它们具有周期性和奇偶性等特点，具有良好的连续性和可导性。
三、实变函数的应用实变函数在数学和物理学等领域有广泛的应用。
1. 在微积分中，实变函数论是微积分的基础。
通过研究实变函数的连续性和可导性，可以得到函数的导数和积分等重要结果。
实变函数论实变函数论是数学分析领域中非常重要的一个分支。
它主要研究实数域上的函数，涉及到微积分、拓扑、测度论等多个数学分支，具有广泛的应用和深刻的理论意义。
一、实变函数的连续性和一致连续性实变函数中，连续性和一致连续性是非常基础的概念。
在实变函数论中，我们经常需要用到这两个概念来描述函数的性质。
连续性是指函数在某一点处的极限等于函数在该点处的函数值。
更准确地说，设$f(x)$为定义域上的一函数，$x_0$为定义域上的一点，则$f(x)$在$x_0$处连续等价于满足以下条件：$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$而一致连续性则更为强，它指的是函数在整个定义域上均满足某一性质，即在整个定义域上均具有连续性。
形式化地，设$f(x)$为定义域上的一函数，则$f(x)$在定义域上一致连续等价于满足以下条件：$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{s.t. }|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$连续性和一致连续性是实数域上函数的最基本的性质，是很多其他性质和定理的前提条件。
二、实变函数的导数和微分微积分中，导数和微分是非常基础的概念。
在实变函数中，我们同样需要研究函数的导数和微分。
导数描述的是函数在某一点处的变化率，它是一个极限。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的导数定义为：$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$微分是一个线性近似，用直线去接近曲线。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的微分为：$$df(x_0)=f'(x_0)dx$$在实变函数中，导数和微分的性质有很多，比如说链式法则、洛必达法则等，这些性质在高等数学中都会有所涉及。
三、实变函数的积分积分是微积分中非常重要的一个概念，是研究实变函数的重要手段。
《实变函数论》实变函数论是数学的一个重要分支，可以用来分析数学中各种基本实变函数的性质。
它主要是研究如何利用导数、积分、最值和定积分来研究实变函数的性质。
它是求解不可逆微分方程的基础。
它也是研究复变函数性质的基础，把复变函数看作一种特殊的实变函数。
实变函数论包括实值变量函数的微分、积分、最值等，还包括复变量函数的性质。
它是数学分析中的重要分支，与特殊函数论、复变函数论有着密切的关系。
实变函数论中最基础的概念是数量级和极限。
数量级指的是极限的概念，表示随着实变量的变化，函数值的变化程度。
极限是指当实变量接近某个数值时，函数值在某一点处的极限值。
而对极限的深入研究，就是实变函数论的重要内容。
实变函数论几乎可以关注任何一个实变函数的性质，从最基础的极限研究，到有关积分的性质，以及利用实变函数来求解某个特殊的微分方程。
因此，实变函数论的研究对解决各种数学问题都有重要的意义。
实变函数论的重要技术有微分、积分、微分不变性、莱布尼茨定理等等。
它们在极限和积分研究中发挥着重要作用，也是研究复变函数性质的基础。
实变函数论的重要应用在于各种不可逆微分方程的求解。
它可以通过求解它们的极限和积分来解决。
比如，必经微分方程，可以用它的极限和积分来解决；简单自变量微分方程，也可以用它的导数来解决。
由于实变函数论的应用十分广泛，它也与其他学科有着良好的交流和联系。
总之，实变函数论是数学分析中的重要分支，有着重要的研究和实际应用价值，其中涉及到复变函数、微分、积分、最值、极限和定积分等数学基础概念，也与其他学科有着密切的关系。
学习实变函数论不仅有利于研究基础数学，而且可以运用到工程学和其他许多科学中。
第一章集合
集合的运算（尤其集合列的交集与并集的运算；
集合列极限的计算；
基数（或势）的概念；
可数集的概念、性质及判别方法（会证明），常见的可数集；
不可数集（具有连续基数）的概念、性质，常见的具有连续基数的集合。
课后习题：7,9,10,11,12,13,15,17
第二章点集
◆集合间的距离；
◆几种特殊的点及其之间的关系、求法：聚点、内点、界
点、孤立点；
◆几种特殊的点集的概念、性质及计算：开核、边界、导
集、闭包；
◆开集、闭集、完备集的概念、性质，会证明一个集合是
开集或闭集；
◆直线上开集构造定理；
◆康托集（Cantor）的概念、性质；
◆课后习题：1,2,3,4,5,6,7,8,11
第三章测度论
●外测度的概念及性质；
●测度的概念及性质；
●常见的可测集类；
●可测集与开集、闭集、型集和型集的关系
●可测集相关理论的证明
●一些特殊可测集测度的计算
●课后习题：1,2,5,6,8
第四章可测函数
⏹可测函数的定义及性质
⏹常见的可测函数
⏹可测函数与简单函数、连续函数的关系
⏹三大收敛及其之间的关系
⏹可测函数相关理论的证明
⏹课后习题：1,4,6,7,8,9,10,11
第五章积分论
勒贝格积分的背景、定义方法
勒贝格积分的性质：注意条件和结论
勒贝格可积的条件
三大极限定理：Levi定理；Fatou引理；
Lebesgue控制收敛定理
三大极限定理的应用
Lebesgue积分的几何意义及Fubini定理
习题：2,3,5,6,7,11,12,20
计算题。
实变函数论主要知识点
第一章集合
1、 集合的并、交、差运算；余集和 De Morgan公式；上极限和下极限；
练习：①证明 A B C A BUC ；
1
②证明 E[f a] U E[f a -]；
n 1
n
2、 对等与基数的定义及性质；
练习：①证明（0,1） : ?；
②证明（0,1） : [0,1]；
3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集
合的基数；
练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
② 证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；
③ Q ______ ；
④ [0,1]中有理数集E的相关结论；
4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；
练习：①丽 ______________ ；
② P _________ （ P 为 Cantor 集）
；
占
八、、
1、度量空间，n
维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的 距离是可
定义的。
n
维欧氏空间
：
设v是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若v上定义着 正定对称双线
性型 g( g称为内积)，则v称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有 时仅当v是有限维时，才称
为欧几里德空间) 。具体来说，g是v上的二元实值函数，满足
如下关系：
(1) g(x,y)=g(y,x)；
(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
(3) g(kx,y)=kg(x,y)；
(4) g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法) ；开核，导集，闭包的概念、性质及判
定(求法)；
聚点:有点集E，若在复平面上的一点 z的任意邻域都有 E的无穷多个点，贝U 称z为E的 聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P) € E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;
4、 Cantor集的构造和性质；
o _
5、 练习：① P ________ , P _________ , P _________
1 1
② 1,-, L ,—丄= ；
2 n
第三章测度论
- 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性） ；
2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、 零测度集的例子和性质；
4、 可测集的例子和性质；
练习： ①mQ _________ ， mP _____ ；
② 零测度集的任何子集仍为零测度集；
③ 有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④ ［0,1］中有理数集E的相关结论；
5、 存在不可测集合；
第四章可测函数
1、 可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习：①第四章习题3 ；
2、 可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理） ；
3、 叶果洛夫定理及其逆定理；
练习：①第四章习题7 ；
4、 依测度收敛的定义、简单的证明；
5、 具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子;
第五章积分论
1非负简单函数L积分的定义；
练习： ①Direchlet函数在? 1上的L积分
2、 可测函数L积分的定义(积分确定；可积)；基本性质(§ 5.4定理1和定理2诸条)；
3、 Lebesgue控制收敛定理的内容和简单应用；
4、 L积分的绝对连续性和可数可加性(了解) ；
5、 Riemann可积的充要条件；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数不是R-可积的；
6、 Lebesgue可积的充要条件：若f是可测集合E上的有界函数，则f在E上L-可积
在E上可测；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数是L-可积的；
- x3,x
为无理数
②设f(x) 亠 ，则f(x)在0,1上是否R 可积，是否L 可积,
10,x
为有理数
若可积，求出积分值。
例1、求由曲线
2sin ,
解：两曲线的交点 上
2
-
2 ,6 ,
1 — 2
S 2 06 2 sin d
0
2
0
6
(1 cos2 )d
1 .
sin
2
2
cos2
1
cos2
2
所围图形公共部分的面积
cos2
1
si n2
2
例2.边长为a和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中，薄片长边a与液面平行位于深为 h处，而
薄片与液面成 角，已知液体的密度为 ，求薄片所受的压力
解：取x为积分变量，变化区间为［h,h+bsin ］从中取［x,x+dx］知道面积元素
dS
压力兀素
dP xa
h b sin
dx
P xa
h
sin
dx
-,
则
sin
1
h bsin
a - - xdx
sin
h
ab (h bsin )
2
dx
a
sin
