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即
X 1， 2 1 A1 cos 1 cos 2 dA2 dA1 A1 A2 r 2
2、代数分析法
利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过 求解代数方程而获得角系数的方法称为代数分析 法。 (1)三个非凹表面组成的封闭系统
图8-5
三个非凹表面组成的封闭系统
由角系数完整性
X 1, 2 X 1, 3 1 X 2 ,1 X 2 , 3 1 X 3 ,1 X 3 , 2 1
一. 角系数的定义 角系数是进行辐射换热计算时空间热组的 主要组成部分。 定义：把表面1发出的辐射能中落到表面2 上的百分数称为表面1对表面2的角系数， 记为X1,2。 同理，表面2发出的辐射能中落到表面1 上的百分数称为表面2对表面1的角系数， 记为X 2, 1
二.
角系数的性质
研究角系数的性质是用代数法（代数分析 法）求解角系数的前提：
（b） 空间辐射热阻
2、两灰表面组成的封闭腔的辐射换热
图8-9
两个物体组成的辐射换热系统
Eb1
J1
1 1 A1 1
1 A1, 2 X 1, 2
J2
1 2 A2 2
Eb 2
两表面封闭系统辐射换热等效网络图
利用上述两个单元格电路，可以容易 地画出组成封闭系统的两个灰体表面间辐 射换热的等效网络，如图所示。根据等效 网络，可以立即写出换热量计算式：
图8-7 黑体系统的辐射换热
二、两漫灰表面组成的封闭系统的辐 射换热计算
1、有效辐射 （1）投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的 总辐射能，记为G。 （2）有效辐射：单位时间内离开单位面积的总辐 射能为该表面的有效辐射，记为J。
自身射辐射E 有效辐射包括 投入辐射 G 被反射辐射的部分 G 表面的反射比，可表示成
由角系数相对性
A1 X 1, 2 A2 X 2 ,1 A1 X 1, 3 A3 X 3 ,1 A2 X 2 , 3 A3 X 3 , 2
上述方程解得： X 1, 2
X 1, 3
A1 A2 A3 2 A1
A1 A3 A2 2 A3 A2 A3 A1 2 A2
E 1 1 J q Eb ( 1)q
注意：式中的各个量均是对同一表面而 言的，而且以向外界的净放热量为正值。
§ 8-3
多表面系统辐射换热的计算
1.势差与热阻 据有效辐射的计算式
E 1 1 J q Eb ( 1)q
Eb J q 1
或
1 2 1 2
(8-4a)
1 cos1 cos2dA 1 1dA 2 X2,1 A A A A X d 2,d1dA2 2 A2 A2 r
1 2 1 2
(8-4b)
有限大小表面间角系数的相对性的表达式：
A 1X1,2 A 2 X2,1
2、角系数的完整性 对于由几个表面组成的封闭系统，据能量 守衡原理，从任何一个表面发射出的辐射能必 全部落到封闭系统的个表面上。因此，任何一 个表面对封闭腔各表面的角系数之间存在下列 关系：
§8-2 被透明介质隔开的 两固体表面间的辐射换热
一、两黑体表面组成的封闭腔间的辐射换热计算 如图8-7所示，黑表面1和2之间的辐射换热量为
1, 2 A1 E b1 X 1, 2 A2 E b 2 X 2 ,1 A1 X 1, 2 ( E b1 E b 2 ) 表面 1发出 的热辐射 到达表面 2的部分 表面 2发出 的热辐射 到达表面 1的部分
X 1， 2 0.5
图解法 《角系数手册》根据大量由积分法得出的角系数数据，整理出曲线， 供我们方便地使用。下面分别列出了相互平行两长方形表面间、相互 垂直两长方形表面间以及微元面对长方形表面的角系数。
例题8-2 ：求图中1、4两个表面之间的角系数 解： A(1 2) X (1 2)， 4 A 1 X 1,4 A2 X 2,4 X 1,4
(7) (8)
X 2 , 1 X 2 a ,1
角系数的上述特性可以用来求解许多情况下 两表面间的角系数值
三、角系数的计算方法 直接积分法 求解角系数的方法 代数分析法 几何分析法
1、直接积分法
按角系数的基本定义通过求解多重积分而获得角 系数的方法 如图所示的两个有限大小的面积，可以得到
假定：（1）所研究的表面是漫射的 （2）在所研究表面的不同地点上向 外发射的辐射热流密度是均匀的
1、角系数的相对性
一个微元表面到另一个微元表面的角系数
由dA1发出的落到dA2上的辐射能 I b1 d A1 cos 1 d X dA1 ,dA2 由dA1发出的辐射能 Eb1 d A1
交叉线之和 不交叉线之和 2 表面A1的断面长度
上述方法又被称为交叉线法。注意：这里所 谓的交叉线和不交叉线都是指虚拟面断面的线， 或者说是辅助线。
例题8-1，求下列图形中的角系数
解：
A1 X 1， 2 A2 X 2， 1
A2 X 1， X 2， 2 1 A1
X 1， 2
X 2， 1 1
从表面2上发出而落到表面1上的辐射能，等于 从表面2的各部分发出而落到表面1上的辐射能之 和，于是有
A2 E b 2 X 2 ,1 A2 E b 2 X 2 a ,1 A2 E b 2 X 2b ,1
A2 X 2 ,1 A2 a X 2 a ,1 A2b X 2b ,1
A2 a A2 b X 2 b ,1 A2 A2
X d 1，d 2 cos 1 cos 2 dA2 r 2
微元面积dA 1对 A 2 的角系数为
X d 1， 2
cos 1 cos 2 dA2 2 A2 r
上式积分可得
A1 X 1， 2 cos 1 cos 2 dA2 dA1 2 A1 A2 r
Eb J 1 A
（8-18）
又据两个表面的净换热量为
1,2 A1 J 1 X 1,2 A2 J 2 X 2,1 A1 X 1,2 ( J 1 J 2 )
由此得到
1,2 ( J1 J 2 ) 1 A1 X 1,2
（8-19）
将式（8-18）、（8-19）与电学中的欧 姆定律相比可见：换热量 相当于电流强 度； Eb J 或 而
2R 3 2 R 4 1
4 3
A2 R2 X 2， 1 解：X 1， 2 1 X 1， 2 2 A1 2 R X 1， 2 1 2
A2 1 1 X 1， X 2， 解： 2 1 X 1， 2 A1 4 2 1 X 1， 2 8
解：
1 A
( J1 J 2 )
相当于电势差；
及
1 A1 X 1,2
则相当于电阻，分别称为
J
辐射换热表面的表面辐射热阻及空间辐射热 阻。 Eb 相当于电源电势，而 示： 则相当于节 点电压。则两个辐射热阻的等效电路如图所
E b
J
J1
1， 2
J2
1 A
（a） 表面辐射热阻
1 A1 X1, 2
X 1 ,1 X 1 , 2 X 1 , 3 X 1 , n 1
n
X
i 1
1, i
1
(5)
图8-3 角系数的完整性
上式称为角系数的完整性。 注：若表面1为非凹表面时，X1,1 = 0；若 表面1为凹表面， X1， 1 0
3、角系数的可加性 如图8-4所示从表面1上发出而落到表面2 上的总能量，等于落到表面2上各部分的辐射 能之和，于是有
A2
(8-3a)
微元面dA2对面A1的角系数则为
X d 2 ,1
(3) 面对面的角系数
A
1
X d 2,d 1
(8-3b)
面A1对面A2的角系数X1,2以及面A2对面A1的角系数X2,1分别 为
1 cos1 cos2dA 1 1dA 2 A A Xd1,d 2dA X1,2 A A 1 2 A A r 1 1
A(1 2) X (1 2), （3 4） A(3 4) X （3 4） ,(1 2)
A(1 2) X (1 2),3 A3 X 3,(1 2)
A2 X 2,(3 4) A(3 4) X (3 4),2
A2 X 2,3 A3 X 3,2
注：利用这样的分析方法，扩大线图的使用，可以得出很多几何结构简单的角系数
图8-6
两个非凹表面及假想面组成的 封闭系统
根据角系数的完整性：
X ab，cd 1 X ab，ac X ab，bd
X ab，ac ab ac bc 2ab
X ab，bd
ab bd ad 2ab
X ab ,cd
(bc ad ) (ac bd ) 2ab
1 1
图8-8 有效辐射示意图
考察表面温度均匀、表面辐射特性为常数的表面
1（如图8-8所示）。根据有效辐射的定义，表面1的 有效辐射有如下表达式：
J1 E1 1G1 1 Eb1 (1 1 )G1
在表面外能感受到的表面辐射就是有效辐射， 它也是用辐射探测仪能测量到的单位表面积上的辐 射功率 W / m 2。
X d 2, d 1 dA1 cos 1 cos 2 r2
类似地有
(8-2b)
(2)
微元面对面的角系数 图8-2 两微 元面间的辐射
由角系数的定义可知，微元面dA1对面 A2的角系数为
X d 1, 2
A2
d 1,d 2 d1
d 1,d 2 d1
A2
X d 1,d 2
