2018届淮北一模理科数学试卷答案 (1)

A．4
B．8
C．
D．
12． （5 分）若存在实数 x 使得关于 x 的不等式（ex﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤ 成立， 则实数 a 的取值范围是（ A．{ } B．{ } ） C．[ ，+∞） D．[ ，+∞）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13． （5 分）已知等差数列{an}前 15 项的和 S15＝30，则 a2+a9+a13＝ 14． （5 分）若 ．
的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该 ．
展开式中常数项的值为
15． （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，其导函数 f′（x）的图象如图所示， 则对于任意 x1，x2∈R（x1≠x2） ，下列结论正确的序号是
第 3 页（共 23 页）
①f（x）＜0 恒成立； ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0； ③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0； ④f（ ⑤f（ ）＞ ）＜
B．c＞a＞b
10． （5 分） 已知函数 f （x） ＝asinx﹣2
cosx 的一条对称轴为 x＝﹣ ） D．
•f（x2）＝﹣16，则|x1+x2|的最小值为（ A． B． C．
11． （5 分）对于向量 a，b，定义 a×b 为向量 a，b 的向量积，其运算结果为一 个向量，且规定 a×b 的模|a×b|＝|a||b|sinθ（其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角） ，a ×b 的方向与向量 a， b 的方向都垂直， 且使得 a， b， a×b 依次构成右手系． 如 图，在平行六面体 ABCD﹣EFGH 中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB ＝AD＝AE＝2，则 ＝（ ）

安徽省淮北市2018届高三第二次（4月）模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1．设集合{A x y ==，集合(){}lg 8B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{}2x x ≤B ．{}2x x <C ．{}3x x ≤D ．{}3x x < 2．复数23ii+的共轭复数是(),a bi a b +∈R ，i 是虚数单位，则ab 的值是（ ） A ．6 B ．5 C ．-1 D ．-63．命题p ：若向量0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角；命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则()sin 0αβ+=.下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．p q ∧D ．p q ∨ 4．已知等比数列{}n a 中，52a =，688a a =，则2018201620142012a a a a -=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入91m =，56n =，则输出m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．7D ．146．设不等式组0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩M，函数y =x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ）A ．π4 B ．π8 C ．π16 D ．2π7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5 8．把函数πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()f x 的图象，已知函数()()211π,1213π321,12f x x ag x x x a x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩，则当函数()g x 有4个零点时a 的取值集合为（ ） A ．5π1π7π13π,,1,123121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭U U B ．5π1π7π13π,,1,123121212⎡⎫⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭U U C ．5π17π13π,,1231212⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U D ．5π1π,,112312⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 9．若直线()00x ky k +=≠与函数()()()22112sin 21xxx f x --=+图象交于不同的两点,A B ，且点()9,3C ，若点(),D m n 满足DA DB CD +=uu u r uu u r uu u r，则m n +=（ ）A ．kB ．2C ．4D ．610．在平面四边形ABCD 中，2AD AB ==，CD CB ==，且A D A B ⊥，现将ABD∆沿着对角线BD 翻折成A BD '∆，则在A BD '∆折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A C '与平面BCD 所成角最大时的正弦值为（ ） ABC ．12 D．211．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以11A B 为直径的圆C 过点()2,3M -，则圆C 的方程为（ ） A ．()()22122x y ++-= B ．()()221117x y +++= C ．()()22115x y ++-= D ．()()221226x y +++=12．已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++，实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x ∈R 恒成立，则cos p r q +的值为（ ） A ．-1009 B ．0 C ．1009 D ．2018第Ⅱ卷二、填空题13．在ABC ∆中，三顶点的坐标分别为()3,A t ，(),1B t -，()3,1C --，ABC ∆为以B 为直角顶点的直角三角形，则t = ．14．已知随机变量X 的分布列如下表，又随机变量23Y X =+，则Y 的均值是 ．15．已知π2π2cos d a x x -=⎰，则二项式6x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是 ．16．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的2,,,n n n n a S a +∈N 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()2ln nnnx b a=，若对任意的实数(]1,e x ∈（e 是自然对数的底）和任意正整数n ，总有()n T r r +<∈N ．则r 的最小值为 ． 三、解答题17． 如图，在ABC ∆中，2AB =，23sin 2cos 20B B --=，且点D 在线段BC 上．（Ⅰ）若3π4ADC ∠=，求AD 长；（Ⅱ）若2BD DC =，sin sin BADCAD∠=∠ABD ∆的面积．18． 在多面体ABCDEF 中，AF AD ⊥，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，2AD AF CD ===，4AB =. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C AF D --的余弦值．19． 大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史。

2018-2018学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x）}，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．设f（log2x）=2x（x＞0），则f（2）的值是（）A．128 B．16 C．8 D．2563．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b4．函数f（x）=log2的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=﹣x对称C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称5．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）7．已知函数，满足f（a）=3，则f（a﹣5）的值为（）A．log23 B．C．D．18．由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x2﹣x所围成的平面图形的面积为（）A．B．C．D．9．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．10．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞811．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．412．若f（x）=f1（x）=，f n（x）=f n﹣1[f（x）]（n≥2，n∈N*），则f（1）+f（2）+…+f （n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=（）A．n B． C． D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：．14．计算：（）+lg+lg70+=．15．已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．16．若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则实数k的取值范围是．三、解答题：（共5题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．19．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．20．已知f（x）=﹣（a+1）x2+4x+1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间；（2）当a∈R时，讨论函数的单调增区间；（3）是否存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3？21．已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2018-2018学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x）}，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x）}∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C2．设f（log2x）=2x（x＞0），则f（2）的值是（）A．128 B．16 C．8 D．256【考点】对数的运算性质．【分析】根据题意令log2x=2，求出对应的函数的自变量的值，再代入函数解析式求解．【解答】解：由题意，令log2x=2，解得x=4，则f（log2x）=2x=24=16，故选B．3．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．4．函数f（x）=log2的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=﹣x对称C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据函数的奇偶性的定义判断函数f（x）为奇函数，再根据奇函数的性质可得函数f（x）的图象关于原点对称．【解答】解：∵函数f（x）=log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．再根据f（﹣x）=log=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，故选：A．5．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假；平行向量与共线向量．【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用．【分析】当x＜0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相反；当x＞0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相同，由y=x•f′（x）的图象得f′（x）的符号；判断出函数的单调性得函数的极值．【解答】解：由y=x•f′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有极小值f（2）故选项为C7．已知函数，满足f （a ）=3，则f （a ﹣5）的值为 （ ）A ．log 23B ．C ．D ．1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】根据已知中分段函数的解析式，根据f （a ）=3，求出满足条件的a 值，进而判断a ﹣5与3的大小关系后，代入分段函数的解析式可得答案．【解答】解：若a ＞3，则f （a ）=log 2（x +1）=3，解得a=7，则a ﹣5=2≤3，f （a ﹣5）=f （2）=22﹣3+1=若a ≤3，f （a ）=2a ﹣3+1=3，解得a=4（舍去）综上f （a ﹣5）=故选C8．由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x 2﹣x 所围成的平面图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题意画出图形，如图所示，设所求的面积为S ，分为三部分：第一部分：在区间﹣2到0上，由曲线方程的定积分；第二部分：在区间0到1上，由0减曲线方程的定积分；在区间1到2上，由曲线方程的定积分，把求出的三个定积分的值相加即为所求的面积．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：设由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x 2﹣x 所围成的平面图形的面积为S ， 则S=∫20（x 2﹣x ）dx +∫01[0﹣（x 2﹣x ）]dx +∫12（x 2﹣x ）dx=（﹣）|﹣20+（﹣+）|01+（﹣）|12=+2﹣++﹣2﹣+=．故选B9．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．10．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的零点．【分析】根据条件，构造函数f（t）=t3+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．【解答】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．12．若f（x）=f1（x）=，f n（x）=f n[f（x）]（n≥2，n∈N*），则f（1）+f（2）+…+f﹣1（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=（）A．n B． C． D．1【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，依次求出f2（x）、f3（x）的解析式，分析可得f n（x）的解析式，又由f（n）=，计算可得f（n）+f n（1）=1，将f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n （1）变形为f（1）+f1（1）+f（2）+f2（1）+…f（n）+f n（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f2（x）=f1[f（x）]=，f3（x）=f2[f（x）]=，…分析可得，f n（x）=f n[f（x）]=，则f n（1）=，﹣1又由f（n）=，则f（n）+f n（1）=1，故f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=f（1）+f1（1）+f（2）+f2（1）+…f （n）+f n（1）=n，故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x∈R，x2=x．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x∈R，x2=x．故答案为：∃x∈R，x2=x．14．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．15．已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数，确定切线的斜率，利用切线斜率为1，即可求得tanx0的值．【解答】解：求导函数，可得∵函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1∴∴∴∴∴tanx0=故答案为：16．若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则实数k的取值范围是（﹣1，﹣）．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则f（a）=b，f（b）=a，建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+k+1=0在区间（﹣1，﹣）内有实数解进行求解．【解答】解：因为函数f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，所以a＜b＜0，所以当x∈[a，b]时，函数单调递减，则f（a）=b，f（b）=a，即a2+k=b，b2+k=a，两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即b=﹣（a+1），代入a2+k=b得a2+a+k+1=0，由a＜b＜0，且b=﹣（a+1），∴a＜﹣（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜﹣．故关于a的方程a2+a+k+1=0在区间（﹣1，﹣）内有实数解，记h（a）=a2+a+k+1，则h（﹣1）＞0，h（﹣）＜0，即1﹣1+k+1＞0且﹣+k+1＜0，解得k＞﹣1且k＜﹣．即﹣1＜k＜﹣．故答案为：（﹣1，﹣）．三、解答题：（共5题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．18．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f（x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值范围是（﹣∞，0]19．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．【解答】解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3， +ln2）时，方程有两个不同解．20．已知f（x）=﹣（a+1）x2+4x+1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间；（2）当a∈R时，讨论函数的单调增区间；（3）是否存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3？【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）写出a=﹣1的函数解析式，再求导，分别令大于0，小于0，得到单调区间；（2）求出导数，分解因式，对a讨论，分a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1五种情况，求出单调增区间；（3）假设存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3．再由a≥﹣2，a≤﹣2，讨论单调区间，得到最小值，再解出a，检验，即可得到答案．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣x3+4x+1，f′（x）=﹣x2+4，由f′（x）＜0，解得x＞2或x＜﹣2；由f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜2，故函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调增区间为：（﹣2，2）；（2）f ′（x ）=ax 2﹣2（a +1）x +4=（ax ﹣2）（x ﹣2），①当a=0，由f ′（x ）＞0得到x ＜﹣2，即增区间为（﹣∞，﹣2）；②当a ＜0，f ′（x ）＞0，得到＜x ＜2，即增区间为（，2）；③当0＜a ＜1，f ′（x ）＞0，得到x ＞或x ＜2，即增区间为（﹣∞，2），（，+∞）， ④当a=1，f （x ）=（x ﹣2）2≥0，即增区间为（﹣∞，+∞）；⑤当a ＞1，f ′（x ）＞0，得到x ＜或x ＞2，即增区间为（2，+∞），（﹣∞，）． （3）假设存在负实数a ，使x ∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3．因a ＜0，由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[﹣1，0]上是分类“契机”）：①当≤﹣1⇔a ≥﹣2，当x ∈[﹣1，0）⊆（，2），f （x ）递增，f （x ）min =f （﹣1）=﹣3，即﹣（a +1）﹣3=﹣3，解得a=﹣＞﹣2；②当≥﹣1⇔a ≤﹣2，由单调性知：f （x ）min=f （）=﹣3，化简得：3a2+3a ﹣1=0，解得 a=＞﹣2，不合要求．综上，存在这样的负数a ，且a=﹣为所求．21．已知a ≥3，函数F （x ）=min {2|x ﹣1|，x 2﹣2ax +4a ﹣2}，其中min （p ，q ）=（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围 （Ⅱ）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）（ii ）求F （x ）在[0，6]上的最大值M （a ）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）由a ≥3，讨论x ≤1时，x ＞1，去掉绝对值，化简x 2﹣2ax +4a ﹣2﹣2|x ﹣1|，判断符号，即可得到F （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（i ）设f （x ）=2|x ﹣1|，g （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2，求得f （x ）和g （x ）的最小值，再由新定义，可得F （x ）的最小值；（ii ）分别对当0≤x ≤2时，当2＜x ≤6时，讨论F （x ）的最大值，即可得到F （x ）在[0，6]上的最大值M （a ）． 【解答】解：（Ⅰ）由a ≥3，故x ≤1时， x 2﹣2ax +4a ﹣2﹣2|x ﹣1|=x 2+2（a ﹣1）（2﹣x ）＞0；当x ＞1时，x 2﹣2ax +4a ﹣2﹣2|x ﹣1|=x 2﹣（2+2a ）x +4a=（x ﹣2）（x ﹣2a ）， 则等式F （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围是[2，2a ]； （Ⅱ）（i ）设f （x ）=2|x ﹣1|，g （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2， 则f （x ）min =f （1）=0，g （x ）min =g （a ）=﹣a 2+4a ﹣2．由﹣a 2+4a ﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．2018年11月14日。

安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由全称命题的否定为特称命题可知：，的否定为，，故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2.抛物线的准线方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的准线方程是：．故选：B．直接利用抛物线方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．3.已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为A. 2，B. 4，3C. 4，D. 2，1【答案】B【解析】解：，，，的平均数是2，则．数据，，，，的平均数是：，，．故选：B．本题可将平均数和方差公式中的x换成，再化简进行计算．本题考查的是方差和平均数的性质设平均数为，方差为则；．4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据单位：，可知此几何体的体积是A. B.C. D.【答案】B【解析】集体：由题意可得，几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为4，所以几何体的体积为：故选：B．判断几何体的形状，画出直观图，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，是基本知识的考查．5.曲线与曲线的A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等【答案】D【解析】解：由曲线得，，得，．椭圆的焦点坐标为；由曲线的可知该曲线为焦点在y轴上的椭圆，且，，得，．椭圆的焦点坐标为．曲线与曲线的有相同的焦点焦距相等．故选：D．由两曲线方程分别求出焦点坐标得答案．本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．6.已知变量x和y之间的几组数据如表若根据上表数据所得线性回归方程为，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：根据上表数据，计算，，代入线性回归方程中，计算．故选：C．根据上表数据计算、，代入线性回归方程中求得m的值．本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出k的值为3．故选：B．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算n的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题．8.若变量x，y满足，则的最大值是A. 4B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，，，，联立，解得．，的最大值是10．故选：C．由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．9.下列说法中正确的是A. 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B. 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C. 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台【答案】D【解析】解：由斜三棱柱的各个侧面为平行四边形，侧面展开图只能为平行四边形构成，且上下边不平行，故A错误；由直观图的画法，以及平行性不变，可得B错误；一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，该直四棱柱不一定是长方体，还要看俯视图是不是矩形，故C错误；由定义可得，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，故D正确．故选：D．由侧面展开图可判断A；由直观图的画法和性质可判断B；由三视图可判断C；由圆台的定义可判断D．本题考查多面体的定义和运用，以及直观图和侧面展开图的画法，考查判断能力和空间想象能力，属于基础题．10.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题《张丘建算经》成书约公元5世纪卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布已知第一天织5尺，经过一个月按30天计后，共织布九匹三丈问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？注：1匹丈，1丈尺那么此问题的答案为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】D【解析】解：设每天多织布d尺，由题意每天织布的量是等差数列，且，得：，解得，故选：D．设每天多织布d尺，利用等差数列前n项和公式列出方程，能求出结果．本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11.函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向右平移长度单位B. 向左平移长度单位C. 向左平移长度单位D. 向右平移长度单位【答案】D【解析】解：由图象知，，即，即，即，即，由五点对应法知，即，则，，只需将函数的图象向右平移长度单位，即可得到的图象，故选：D．根据函数图象确定A，和的值，利用三角函数的图象变换关系进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象变换关系，求出函数的解析式是解决本题的关键．12.设双曲线C：的左、右焦点分别为，，，过作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令代入双曲线的方程可得，由，可得，即为，即有又恒成立，由双曲线的定义，可得恒成立，由，P，Q共线时，取得最小值，可得，即有由，结合可得，e的范围是故选：B．将代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论，P，Q共线时，取得最小值，结合离心率公式可得e的范围，再由，取交集即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在长方体中，，，，则直线与平面ABCD所成角的大小为______．【答案】【解析】解：连接AC，则为直线与平面ABCD所成角，，，，故答案为：连接AC，则为直线与平面ABCD所成角，从而可得结论．本题考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．【答案】【解析】解：非零向量，满足，且，设与的夹角为，则，，，故答案为：．利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．15.已知动点，，动点P在抛物线上运动，则取得最小值时的点P的坐标是______．【答案】【解析】解：由点P在抛物线上移动，设点P的坐标为，、，，，根据向量数量积的公式，可得，，且，当且仅当时即P坐标为时，等号成立．即当点P与原点重合时的最小值为8．故答案为：．根据题意，点P的坐标为，从而得到向量、关于t的坐标形式，算出再根据平方非负的性质加以计算，可得当点P与原点重合时的最小值为8，求得此时P的坐标．本题给出定点A、B的坐标与抛物线上的动点P，求的最小值，着重考查了向量数量积的坐标公式、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．16.下列命题中已知点，，动点P满足，则点P的轨迹是一个圆；已知，，，则动点P的轨迹是双曲线右边一支；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是椭圆．正确的命题是______．【答案】【解析】解：中，，根据，化简得：，所以点P的轨迹是个圆；因为，所以根据双曲线的定义，P点的轨迹是双曲线右支，正确；根据相关性定义，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；因为点在直线上，不符合抛物线定义，错误；因为，且当时取等号，不符合椭圆的定义，错误综上正确的是．故答案为：．求出轨迹方程判断的正误；利用双曲线的定义判断的正误；线性相关的定义判断的正误；利用哦王孝的定义判断的正误；椭圆的定义判断的正误．本题考查命题的直接的判断与应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，的面积为，M为BC的中点，求AM．【答案】解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．．由正弦定理，得，即．又由余弦定理，得．，．由，，可得：，，可得：，又，可得：，解得：，，为BC的中点，，．【解析】推导出，由正弦定理，得由余弦定理得，结合C的范围即可求出．由已知可得，利用三角函数的定义可求，利用三角形面积公式可求b，c的值，根据勾股定理即可解得AM的值．本题考查考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．18.设p：实数x满足，其中；q：实数x满足．若，且为真，求实数x的取值范围；若￢是￢的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：由得，又，所以，当时，，即p为真时，实数x的范围是由q为真时，实数x的范围是，若为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是．￢：或，￢：或，由￢是￢的充分不必要条件，有得，显然此时￢￢，即a的取值范围为．【解析】运用真值表判断命题真假即可；运用充分必要条件的判断可解出．本题考查充分必要条件和命题真假的判断．19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，．求图中a的值；根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如表所示，求数学成绩在之外的人数．【答案】解：依题意得，，解得；这100名学生语文成绩的平均分为：分；数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，所以数学成绩在之外的人数为：．【解析】由频率分布直方图的性质可，解方程即可得到a的值；由平均数加权公式可得平均数为，计算出结果即得；按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在之外的人数．本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．20.如图，在四棱锥中，，，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，，，，．求证：平面底面ABCD；设，若二面角的平面角的大小为，试确定t的值．【答案】证明：是AD的中点，则四边形BCDQ为平行四边形，从而分，，Q是AD的中点，又，，，即，又，平面PAD平面底面分解：，Q为AD的中点，．平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则面BQC的法向量为0，；0，，0，，，．设y，，则y，，，，，则，即，，，在平面MBQ中，，，设平面MBQ的一个法向量q，，由，即，取，得．平面MBQ法向量为0，．二面角的平面角的大小为，解得分．【解析】根据面面垂直的判定定理证明即可；由，Q为AD的中点，得结合可得平面以Q为原点建立空间直角坐标系然后求出平面BQC的一个法向量，再由把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角的平面角的大小为求得t的值本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．21.已知数列满足：，．设，求数列的通项公式；求数列的前n项和．【答案】解：由可得，又由得，累加法可得：，化简并代入得：；由可知，设数列的前n项和，则可得，则，前n项和．【解析】由条件可得，即有，由累加法，结合等比数列的求和公式，可得所求通项公式；由可知，设数列的前n项和，运用错位相减法，结合等差数列、等比数列的求和公式，以及分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列恒等式和等比数列的求和公式的运用，考查错位相减法求和，以及分组求和，化简整理的运算能力，属于中档题．22.已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆过点，且焦距为2，过点分别作斜率为，的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．求椭圆的标准方程；当，直线MN是否恒过定点？如果是，求出定点坐标如果不是，说明理由．【答案】解：由题意知设右焦点．，分，．椭圆方程为分由题意，设，直线AB：，即代入椭圆方程并化简得，分，分同理，分当时，直线MN的斜率，分直线MN的方程为分又化简得，此时直线过定点当时，直线MN即为y轴，也过点分综上，直线过定点【解析】由题意知设右焦点可得，，即可得出由题意，设，直线AB：，即代入椭圆方程并化简可得：M，N的坐标当时，直线MN的斜率与直线MN的方程，又化简得，此时直线过定点即可得出．本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、直线经过定点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。