电荷间相互作用能

1 W = ∫∫ σϕdS 2S
静电场的能量
3. 静电场的能量
平板电容器的能量
1 1 2 1 2 2 W = CU AB = εE Sd = εE V 2 2 2
电能贮藏在电场中，静电场能量的体密度为 电能贮藏在电场中，
W 1 2 1 we = = εE = DE V 2 2
任一带电体系的总能量
1 W = ∫∫∫ we dV = ∫∫∫ DEdV V V 2
静电场的能量
（ 3） 铜板未抽出时 ， 电容器被充电到 ） 铜板未抽出时， 电容器被充电到U=300V， 此 ， 时所带电荷量Q=C’ U，电容器中所储静电能为 时所带电荷量 ，
1 Q W′= ′ 2 C1
2
当电容器与电源切断后再抽出铜板， 当电容器与电源切断后再抽出铜板，电容器所储的静 电能增为 1 Q2 W = 2 C 能量的增量W-W’ 应等于外力所需作的功，即 应等于外力所需作的功， 能量的增量
静电场的能量
Q2 1Βιβλιοθήκη Baidu1 Q 2 d ′ ε 0 S d ′U 2 A＝ ∆W＝ W － W ′ = ＝ － ＝ 2 C C ′ 2 ε 0 S 2 (d − d ′ )2
代入已知数据， 代入已知数据，可算得
A = 2 . 99 × 10 − 6 J
+σ σ
−σ
C1
C2
d1
d′ ′ d
d2
B
C =
ε0S
d
静电场的能量
设平行板电容器两板极上带有电荷± 设平行板电容器两板极上带有电荷±q, 铜板平行地 两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为± 两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为± σ ， 如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。 如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。 两极板A、 的电势差为 两极板 、B的电势差为
电荷连续分布时的静电能
2. 电荷连续分布时的静电能
以体电荷分布为例， 以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元ρdV从 从 无穷远处迁移到物体上， 无穷远处迁移到物体上，系统的静电能为
1 W = ∫∫∫ ρϕdV 2V
ϕ是体电荷元处的电势。 是体电荷元处的电势。
同理，面分布电荷系统的静电能为： 同理，面分布电荷系统的静电能为：
V1是q2和q3在q1 所在处产生的电势，余类推。 所在处产生的电势，余类推。
点电荷间的相互作用能
1.3 多个点电荷
推广至由n个点电荷组成的系统， 推广至由 个点电荷组成的系统，其相互作用能 个点电荷组成的系统 电势能） （电势能）为
1 n W = ∑ qiVi 2 i =1
Vi是除 i外的其它所有电荷在 i 所在处产生的电势。 是除q 外的其它所有电荷在q 所在处产生的电势。
2 Q 3Q ε0 ∞ 2 + ∫R 4πr dr = 2 2 4πε0r 20 0R πε 2
1 Qr E= ， 3 4πε 0 r
2
(r ≥ R)
静电场的能量
解二： 解二：计算带电体系的静电能 球体是一层层电荷逐渐聚集而成， 球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷
假设q 从相距无穷远移至相距为r。 假设 1、q2从相距无穷远移至相距为 。 先把q 从无限远移至A点 先把 1从无限远移至 点，因q2与A点相距仍然为无 点相距仍然为无 外力做功等于零。 限，外力做功等于零。
q1
A q1
q2
点电荷间的相互作用能
再把q 从无限远移至B点 外力要克服q 再把 2从无限远移至 点，外力要克服 1的电场力 做功，其大小等于系统电势能的增量。 做功，其大小等于系统电势能的增量。
e2 4πε 0 2 d
；立方体对角线长度为
3d ，
；
4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是 4 对对角顶点负电荷间的相互作用能量是
e2 4πε 0 3 d
立方体中心到每一个顶点的距离是 3d / 2，故中心正电荷
e2 与8个负电荷间的相互作用能量是 − 8 个负电荷间的相互作用能量是 4πε 0 3 d / 2
C q3 r23 r13 A B r12 q1 q2
点电荷间的相互作用能
可改写为
1 q2 q3 q1 q3 W = [q1 ( ) + q2 ( ) + + 2 4πε0r12 4πε0r13 4πε0r12 4πε0r23 q1 q2 )] + q3 ( + 4πε 0 r13 4πε 0r23 1 3 1 = (q1V1 + q2V2 + q3V3 ) = ∑ qiVi 2 i =1 2
C1 = ε 0
d
,
C2 = ε0
2d
板极上带电± 时所储的电能为 板极上带电± Q时所储的电能为
1 Q2 1 Q 2d W1 = = 2 ε 0C 1 2 ε0S 1 Q 2 ⋅ 2d ，W2 = 2 ε0S
静电场的能量
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的 故两极板的间距拉开到 后电容器中电场能量的 增量为 1 Q 2d ∆W＝ W 2 W1 = － 2 ε0S （2）设两极板之间的相互吸引力为 ，拉开两极板 ）设两极板之间的相互吸引力为F 时所加外力应等于F 外力所作的功A=Fd ，所以 时所加外力应等于 ，外力所作的功
静电场的能量
例题9-8 如图所示，在一边长为d的立方体的每个 例题 如图所示，在一边长为 的立方体的每个 顶点上放有一个点电荷-e， 顶点上放有一个点电荷 ，立方体中心放有一个点 电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。 电荷 。求此带电系统的相互作用能量。
−e −e +2e −e −e −e −e −e −e
A Q F = = d 2ε 0 S
2
静电场的能量
例 9-11 平行板空气电容器每极 板的面积S= × 板的面积 3×10-2m2 ，板极间 的距离d 的距离 = 3×10-3m 。今以厚度 × 为d’ = 1×10-3m的铜板平行地插 × 的铜板平行地插 入电容器内。 入电容器内 。 （ 1） 计算此时电 ） 容器的电容； 容器的电容 ； （ 2） 铜板离板极 ） 的距离对上述结果是否有影响？ 的距离对上述结果是否有影响 ？ （ 3） 使电容器充电到两极板的 ） 电势差为300V后与电源断开 ， A 后与电源断开， 电势差为 后与电源断开 再把铜板从电容器中抽出， 再把铜板从电容器中抽出 ， 外 界需作功多少功？ 界需作功多少功？ 解： （1）铜板未插入前的电容为 ）
q2
点电荷间的相互作用能
可改写为
1 1 1 q2 1 1 q1 1 = q1V1 + q2V2 W = q1 + q2 2 2 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2
1 2 = ∑ qiVi 2 i =1
两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能） 两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能） 等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势 能的代数和的一半。 能的代数和的一半。
A = q2 (V2 − V∞ )
V2是q1在B点产生的电势，V∞是q1在无限远处的电势。 点产生的电势， 在无限远处的电势。 点产生的电势
1 q1 V1 = 4πε 0 r
所以
V∞ = 0
q1
1 q1q2 A = q2V2 = 4πε 0 r B A r q1 q2
q2
点电荷间的相互作用能
同理，先把 从无限远移B点 再把q 移到点， 同理，先把q2从无限远移 点，再把 1移到点， 外力做功为
)
2e 4πε
0
4πε
0
3d
静电场的能量
−e 在体心处的电势为 V 0 = 8 3 d 4πε 0 2
按式可得这个点电荷系的总相互作用能为
1 1 W = 8 ⋅ (− e )V i + (+ 2 e )V 0 2 2 1 12 e 2 12 e 2 28 e 2 = d + 2d − 3d 4πε 0
1 q1q2 A = q1V1= 4πε 0 r
V1是q2在A点产生的电势。 点产生的电势。 点产生的电势 两种不同的迁移过程，外力做功相等。 两种不同的迁移过程，外力做功相等。 根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能 。 根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能W。
1 q1q2 W = A= 4πε 0 r B A r q1 q1 q2
4 3 q = ρ ⋅ πr 3
这层电荷dq，需做功： r → r + dr 这层电荷 ，需做功： q 2 dW外 = U 外 dq = ∫ ⋅ ( ρ 4πr dr ) 4πε 0 r 2 1 3Q Q R 而 ρ= 所以 W外 = ∫0 dW外 = 4 3 4πε 0 5 R πR 再聚集
点电荷间的相互作用能
1.2 三个点电荷
依次把q 依次把 1 、q2、 q3从无限远移至所在的位置。 、 从无限远移至所在的位置。 移至A点 把q1 移至 点，外力做功 再把q 移至B点 再把 2 移至 点，外力做功 最后把q 移至C点 最后把 3 移至 点，外力做功
A1 = 0
A2 = q2
C q3 r23 r13 A B r12 q1 q2
静电场的能量
相邻两顶点间的距离为d， 解一 相邻两顶点间的距离为 ，八个顶点上负电荷分别与 相邻负电荷的相互作用能量共有12对 相邻负电荷的相互作用能量共有 对，即 12
4πε 0d
e2
；面
个面上12对对角顶点负电荷间的相互 对角线长度为 2 d 。6个面上 对对角顶点负电荷间的相互 个面上 作用能量是 12
0 . 34 e 2 = ε 0d
结果与解一相同. 结果与解一相同
静电场的能量
求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能。 例9-9 求半径为 带电量为 的均匀带电球的静电能。 解一： 解一：计算定域在电场中的能量
Q r E= ， (r<R ) 3 4εR π0
球内 r 处电场
1 2 ε0 R Qr 2 W = ∫ ε0E dV = ∫0 4πr dr + 3 2 2 4πε0R
3
静电场的能量
例题9-10 一平行板空气电容器的板极面积为 ，间 一平行板空气电容器的板极面积为S， 例题 距为d，用电源充电后两极板上带电分别为± 。 距为 ，用电源充电后两极板上带电分别为± Q。断 开电源后再把两极板的距离拉开到2d。 开电源后再把两极板的距离拉开到 。求（1）外力 ） 克服两极板相互吸引力所作的功；（ ；（2） 克服两极板相互吸引力所作的功；（ ）两极板之间 的相互吸引力。（空气的电容率取为ε 。（空气的电容率取为 的相互吸引力。（空气的电容率取为 0）。 解 （1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器 两极板的间距为 和 时 的电容分别为 S S
U = V A－ V B = E 0 d 1 E 0 d 2＝ E 0 (d − d ′ )V B ＋ q (d − d ′ ) = ε0S
所以铜板插入后的电容C 所以铜板插入后的电容 ’ 为
q ε0S C′ = = V A－ V B d − d′
2）由上式可见，C’ 的值与 1和d2无关（ d1增大时， ）由上式可见， 的值与d 无关（ 增大时， d2减小。 d1+ d2=d-d' 不变），所以铜板离极板的距 减小。 不变） 离不影响C 离不影响 ’ 的值
静电场的能量
所以， 所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为
W =
1 4πε
0
12 e 2 12 e 2 4e 2 32 e 2 d + 2d + 3d − 3d
解二 任一顶点处的电势为
V i = 3( +(
−e 4πε 0 d −e
) + 3( )+
−e 4πε
0
2d 3 d 2
§9-8 电荷间相互作用能 静电场的能量 电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间 电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间 ）， 相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时， 相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能 转化为其它形式的能量。 转化为其它形式的能量。
1. 点电荷间的相互作用能
1.1 两个点电荷
4πε 0 r12 q1 q2 A3 = q3 ( ) + 4πε0r13 4πε0r23
q1
点电荷间的相互作用能
三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能） 三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）
W = A1 + A2 + A3 q1 q1 q2 ) = q2 + q3 ( + 4πε 0 r12 4πε 0 r13 4πε 0 r23