高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析新人教A版选修2_209212100

又因 a＋ b＞ 0， 故只需证 a2－ ab＋ b2＞ab 成立， 即需证 a2－ 2ab＋ b2＞ 0 成立， 即需证 (a－ b)2＞ 0 成立． 而依题设 a≠ b，则 (a－ b)2＞ 0 显然成立．
由此命题得证．
法二： (综合法 )
马鸣风萧萧整理
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综合法的证明步骤
马鸣风萧萧整理
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(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．
(2)分析法适用的范围：
分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． 设 a， b∈ (0，＋∞ )，且 a≠ b，求证： a3＋ b3＞a2b＋ ab2.
证明：法一： (分析法 ) 要证 a3＋ b3＞ a2b＋ab2 成立， 即需证 (a＋ b)(a2－ ab＋b2)＞ ab(a＋b)成立．
显然成立，因此原不等式成立． 问题 1：本题证明从哪里开始？ 提示：从结论开始． 问题 2：证明思路是什么？ 提示：寻求每一步成立的充分条件． 1．分析法的定义 从要证明的结论出发， 逐步寻求使它成立的充分条件， 直至最后， 把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止，这种证明方法叫做分析 法．
② a> b 与 a<b 及 a＝ b 中，至少有一个成立；
③ a≠ c，b≠ c，a≠ b 不能同时成立．

§2.2.1 综合法与分析法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

(二)、探究新知，揭示概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例如：已知a,b>0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为，所以。

因为，所以。

因此。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

要证，只需证，只需证，只需证由于显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

这种方法叫做分析法。

（三）、分析归纳，抽象概括用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

2.2.1 综合法和分析法1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题. 综合法和分析法综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q（P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论）Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→eq \x(得到一个明显（Q表示要证明的结论）特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法1.综合法的特点综合法的特点是从“已知”看“未知”，逐步推理，实际上是寻找使结论成立的必要条件.2.综合法的书写格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“因为，所以”或“⇒”.3.分析法的特点（1）分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件.（2）分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.4.用分析法书写证明过程时的格式 “要证……， 只需证……， 只需证……， ……由于……显然成立（已知，已证…）， 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）综合法是执果索因的逆推证法.（ ） （2）分析法就是从结论推向已知.（ ）（3）分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.（ ） 答案：（1）× （2）× （3）√下面对命题“函数f （x ）＝x ＋1x是奇函数”的证明不是用综合法的是（ ）A.∀x ∈R 且x ≠0有f （－x ）＝（－x ）＋1－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f （x ），所以f （x ）是奇函数B.∀x ∈R 且x ≠0有f （x ）＋f （－x ）＝x ＋1x ＋（－x ）＋1－x ＝0，所以f （x ）＝－f（－x ），所以f （x ）是奇函数C.∀x ∈R 且x ≠0，因为f （x ）≠0，所以f （－x ）f （x ）＝－x －1x x ＋1x＝－1，所以f （－x ）＝－f （x ），所以f （x ）是奇函数D.取x ＝－1，则f （－1）＝－1＋1－1＝－2，又f （1）＝1＋11＝2，则f （－1）＝－f （1），所以f （x ）是奇函数解析：选D.A，B，C选项中的证明过程都是“由因导果”，因此是综合法，而选项D 是特值法验证，并不能证明命题.用分析法证明：要证①A>B，只需证②C<D，这里①是②的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②是①的充分条件，所以①是②的必要条件.欲证2－3<6－7，只需证（）A.（2＋7）2<（3＋6）2B.（2－6）2<（3－7）2C.（2－3）2<（6－7）2D.（2－3－6）2<（－7）2解析：选A.欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证（2＋7）2<（3＋6）2.探究点1 综合法的应用已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）>6abc.【证明】因为a，b，c是正数，所以b2＋c2≥2bc，所以a（b2＋c2）≥2abc.①同理，b（c2＋a2）≥2abc，②c（a2＋b2）≥2abc.③因为a，b，c不全相等，所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”.所以①②③式相加得a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）>6abc.综合法证明问题的步骤1.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC.证明：（1）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.（2）因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.2.求证：sin（2α＋β）＝sin β＋2sin αcos（α＋β）.证明：因为sin（2α＋β）－2sin αcos（α＋β）＝sin[（α＋β）＋α]－2sin αcos（α＋β）＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α－2sin αcos（α＋β）＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝sin[（α＋β）－α]＝sin β.所以原命题成立.探究点2 分析法的应用已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角.【证明】要证B为锐角，根据余弦定理，只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＞0，即证a 2＋c 2－b 2＞0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2， 要证a 2＋c 2－b 2＞0， 只需证2ac －b 2＞0.因为a ，b ，c 的倒数成等差数列， 所以1a ＋1c ＝2b，即2ac ＝b （a ＋c ）. 要证2ac －b 2＞0， 只需证b （a ＋c ）－b 2＞0， 即b （a ＋c －b ）＞0，上述不等式显然成立，所以B 为锐角.分析法证明数学问题的方法1.当a ＋b >0时，求证：a 2＋b 2≥22（a ＋b ）. 证明：要证 a 2＋b 2≥22（a ＋b ）， 只需证（a 2＋b 2）2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（a ＋b ）2，即证a 2＋b 2≥12（a 2＋b 2＋2ab ），即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22（a ＋b ）成立. 2.已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2，只需证|a |＋|b |≤ 2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2（a 2＋2a ·b ＋b 2）， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即证（|a |－|b |）2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证. 探究点3 分析—综合法的应用△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：（a ＋b ）－1＋（b ＋c ）－1＝3（a ＋b ＋c ）－1.【证明】 法一：要证（a ＋b ）－1＋（b ＋c ）－1＝3（a ＋b ＋c ）－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1. 只需证c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）＝（a ＋b ）（b ＋c ）， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac ，c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 此式即分析中欲证之等式， 所以原式得证.法二：因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 得c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边同时加ab ＋bc ，得c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）＝（a ＋b ）（b ＋c ），两边同时除以（a ＋b ）（b ＋c ）， 得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，所以1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以（a ＋b ）－1＋（b ＋c ）－1＝3（a ＋b ＋c ）－1.分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用.1.设a ，b ∈（0，＋∞），且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.证明：法一：（分析法） 要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，即需证（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）＞ab （a ＋b ）成立. 又因a ＋b ＞0，故只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立， 即需证（a －b ）2＞0成立.而依题设a ≠b ，则（a －b ）2＞0显然成立. 由此不等式得证. 法二：（综合法）a ≠b ⇔a －b ≠0⇔（a －b ）2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋b ＞0，所以（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）＞ab （a ＋b ）. 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.2.在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：（a ＋1）2≥（b ＋1）（c ＋1）.证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，所以x ＝b 2c ，y ＝c 2b，即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b.要证（a ＋1）2≥（b ＋1）（c ＋1）， 只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1）成立. 只需证a ＋1≥（b ＋1）＋（c ＋1）2即可.也就是证2a ≥b ＋c .而2a ＝b 2c ＋c 2b ，则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可，即证b 3＋c 3＝（b ＋c ）（b 2－bc ＋c 2）≥（b ＋c ）bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ， 即证（b －c ）2≥0成立， 上式显然成立，所以（a ＋1）2≥（b ＋1）（c ＋1）.——————————————————————————————————————1.如图所示是解决数学问题的思维过程的流程图，则在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方式匹配正确的是（ ）A.①综合法，②分析法B.①分析法，②综合法C.①综合法，②反证法D.①分析法，②反证法解析：选A.由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线对应的思维方式分别为综合法、分析法.2.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝（cos 2θ－sin 2θ）（cos 2θ＋sin 2θ）＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了（ ）A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.类比法解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路.3.设a ，b ，c 成等比数列，而x ，y 分别是a ，b 和b ，c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2.证明：由题知c ＝b 2a ，x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c2，则a x ＋c y ＝a a ＋b 2＋c b ＋c 2＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2aa ＋b ＋2×b 2a b ＋b 2a＝2a a ＋b ＋2b a ＋b ＝2，即a x ＋c y＝2.知识结构深化拓展对于一些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难.为了保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法结合起来使用，形成了分析—综合法. （1）思维模式（2）框图表示用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示所要证明的结论，则分析—综合法可用框图表示.[A 基础达标]1.分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件D.等价条件解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件. 2.要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明（ ） A.2ab －1－a 2b 2≤0 B.a 2＋b 2－1－a 2＋b 22≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.（a 2－1）（b 2－1）≥0解析：选D.要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证：a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0，只需证：（a 2－1）（b 2－1）≥0，故选D.3.若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是（ ） A.a 2＋b 2＋c 2≥4 B.（a ＋b ＋c ）2≥3 C.a 2＋b 2＋c 2≥3D.（a ＋b ＋c ）2≥4解析：选B.因为a ，b ，c ∈R ，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号同时成立，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.4.若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4（a ≥0），则P ，Q 的大小关系是（ ） A.P >Q B.P ＝QC.P <QD.由a 的取值确定解析：选C.取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4，所以P <Q .证明如下：要证P <Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a （a ＋7）<2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4），只需证a 2＋7a <a2＋7a ＋12，只需证0<12，因为0<12成立，所以P <Q 成立，故选C.5.下列函数f （x ）中，满足“对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2）成立”的是（ ）A.f （x ）＝1xB.f （x ）＝（x －1）2C.f （x ）＝e xD.f （x ）＝ln （x ＋1） 解析：选A.本题就是找哪一个函数在（0，＋∞）上是减函数，A 项中，f ′（x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2＜0， 所以f （x ）＝1x在（0，＋∞）上为减函数. 6.设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为 Ｗ.解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6< 7.所以a <b .答案：a <b7.在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于 Ｗ.解析：如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B，解得 sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－（23）2×23＝2 3.答案：2 38.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1­ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）.解析：要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1C C 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥C C 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1，易知只需证BD ⊥AC .答案：BD ⊥AC （答案不唯一）9.在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C .判断△ABC 的形状.解：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin （A ＋B ）.又2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin （A －B ）＝0.又A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B .又由（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）＝3ab ，得（a ＋b ）2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＝ab .又由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .所以2ab cos C ＝ab ，cos C ＝12，所以C ＝60°. 又因为A ＝B ，所以△ABC 为等边三角形.10.已知a ，b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43. 证明：因为a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，所以a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得（a ＋b ）2>a ＋b ，又因为a ＋b >0，所以a ＋b >1，要证a ＋b <43，即证3（a ＋b ）<4， 因为a ＋b >0，所以只需证明3（a ＋b ）2<4（a ＋b ），又因为a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证3（a ＋b ）2<4（a 2＋ab ＋b 2），也就是证明（a －b ）2>0.因为a ，b 是不等正数，故（a －b ）2>0成立.故a ＋b <43成立. 综上，得1<a ＋b <43. [B 能力提升]11.凸函数的性质定理：如果函数f （x ）在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数f （x ）＝sin x 在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为 Ｗ.解析：因为f （x ）＝sin x 在区间（0，π）上是凸函数，且A ，B ，C ∈（0，π），所以f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 答案：33212.已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是 （用序号及“⇒”表示）.解析：因为αβ>0，|α|>22，|β|>22，所以|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25，所以|α＋β|>5.答案：①③⇒②13.如图，几何体E ­ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .（1）求证：BE ＝DE ；（2）若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：（1）取BD 的中点O ，连接CO ，EO ，则由CB ＝CD 知，CO ⊥BD . 又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，所以BD ⊥平面OCE ，所以BD ⊥EO ，又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .（2）取AB 的中点N ，连接MN ，DN ，DM .因为M ，N 分别是AE ，AB 的中点，所以MN ∥BE .又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC .因为△ABD 为正三角形，所以DN ⊥AB .由∠BCD ＝120°，CB ＝CD 知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°＋30°＝90°，即BC ⊥AB ，所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以DN ∥平面BEC .又MN ∩DN ＝N ，所以平面MND ∥平面BEC ，又DM ⊂平面MND ，故DM ∥平面BEC .14.（选做题）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且（5n －8） S n ＋1－（5n ＋2）S n ＝An ＋B ，n ∈N *，其中A 、B 为常数.（1）求A 与B 的值；（2）证明：数列{a n }为等差数列.解：（1）由已知得S 1＝a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝7，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝18. 由（5n －8）S n ＋1－（5n ＋2）S n ＝An ＋B ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3S 2－7S 1＝A ＋B ，2S 3－12S 2＝2A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝－28，2A ＋B ＝－48， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－20，B ＝－8.（2）证明：由第一问得（5n －8）S n ＋1－（5n ＋2）S n ＝－20n －8.①所以（5n －3）S n ＋2－（5n ＋7）S n ＋1＝－20n －28.②②－①，得（5n－3）S n＋2－（10n－1）S n＋1＋（5n＋2）S n＝－20.③所以（5n＋2）S n＋3－（10n＋9）S n＋2＋（5n＋7）S n＋1＝－20.④④－③，得（5n＋2）S n＋3－（15n＋6）S n＋2＋（15n＋6）S n＋1－（5n＋2）S n＝0.因为a n＋1＝S n＋1－S n，所以（5n＋2）a n＋3－（10n＋4）a n＋2＋（5n＋2）a n＋1＝0.因为5n＋2≠0，所以a n＋3－2a n＋2＋a n＋1＝0.所以a n＋3－a n＋2＝a n＋2－a n＋1，n∈N*.又a3－a2＝a2－a1＝5，所以数列{a n}为等差数列.。

2.2.1 综合法与分析法一、教学目标知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点。

三、教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

课时安排：一课时四、教学过程： 学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即需证a 2-ab+b 2＞a b 成立。

(∵a+b ＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a ≠b ，有a-b ≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)∵a ≠b ，∴a-b ≠0，∴(a-b)2＞0，即a 2-2ab+b 2＞0亦即a 2-ab+b 2＞ab由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a 2-ab+b 2)＞(a+b)ab即a 3+b 3＞a 2b+ab 2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++2424233331222x x x x x x x =++------432(1)x x x =--+222(1)(1)x x x =-++22132(1)[()].24x x =-++ ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴.)1()1(32242x x x x ++>++ 例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。