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第七章 复数7.2 复数的四则运算7.2.2 复数的乘、除运算教学设计一、教学目标1. 掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算；2. 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题.二、教学重难点1. 教学重点复数代数形式的乘、除法运算.2. 教学难点对复数除法运算的掌握.三、教学过程（一）新课导入复习：复数的加、减法法则.设12i i()z a b z c d a b c d =+=+∈R ，，，，是任意两个复数，那么(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++；(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.复数的加法运算律：1221z z z z +=+；()()123123z z z z z z ++=++.下面探求复数的乘、除运算.（二）探索新知1. 复数的乘法运算复数的乘法法则：设12i i()z a b z c d a b c d =+=+∈R ，，，，是任意两个复数，那么它们的积2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd ad bc ++=+++=-++.复数乘法的运算律：对于123z z z ∈C ，，，有1221z z z z =，123123(())z z z z z z =，1231213()z z z z z z z +=+.例1 计算：（1）(23i)(23i)+-；（2）2(1i)+.解：（1）22(23i)(23i)2(3i)4(9)13+-=-=--=；（2）22(1i)12i i 12i 12i +=++=+-=.2. 复数的除法运算 复数的除法法则：2222(i)(i)i ac bd bc ad a b c d c d c d +-+÷+=+++ (a b c d ∈R ，，，，且i 0)c d +≠. 在进行复数除法运算时，通常先把(i)(i)a b c d +÷+写成i i a b c d ++的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数i c d -，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”.例2 计算(12i)(34i)+÷-. 解：12i (12i)(34i)34i++÷-=- 22(12i)(34i)386i 4i (34i)(34i)34++-++==-++ 510i 12i 2555-+==-+. 例3 在复数范围内解下列方程：（1）220x +=；（2）20ax bx c ++=，其中a b c ∈R ，，，且20Δ40a b ac ≠=-<，.解：（1）因为22(2==-，所以方程220x +=的根为x =.（2）将方程20ax bx c ++=的二次项系数化为1，得20b c x x a a++=. 配方，得2224()24b b ac x a a -+=， 即2224()2(2))(b b ac x a a --+=-.由Δ0<，知22240(2)((2))b ac a a ---∆=>. 类似（1），可得2b x a +=.所以原方程的根为2b x a =-±.在复数范围内，实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式为：（1）当0∆≥时，x =； （2）当0∆<时，x =. （三）课堂练习1.4(1i)-=( )A.4-B.4C.4i -D.4i答案：A解析：2422(1i)(1i)(2i)4⎡⎤-=-=-=-⎣⎦，故选A. 2.13i 12i+=-( ) A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i -- 答案：C 解析：13i (13i)(12i)55i 12i (12i)(12i)5+++-+===--+1i.-+故选C. 3.设复数1213i,32i z z =-=-，则12z z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：D 解析：1213i (13i)(32i)32i 9i 697i 32i 13131313z z --++-+====--， 其在复平面内对应的点为97,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选D. 4.已知复数2i 3-是方程220px q x ++=的一个根，则实数,p q 的值分别是( )A.12，0B.24，26C.12，26D.6，8答案：C 解析：因为2i 3-是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，由实系数一元二次方程的虚根成对出现，可得方程另一根为2i 3--，则(32i)(32i)132q =-+--=， 即26q =，32i 32i 62p -=-+--=-，即12p =.故选C . 5.设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =_______________.解析：由题意得，3i (3i)(1i)24i 12i 1i 22z ----====-+，所以||z （四）小结作业小结：1. 复数的乘法法则及运算律；2. 复数的除法法则.作业：四、板书设计7.2.2 复数的乘、除运算1. 复数的乘法法则：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd ad bc ++=+++=-++.2. 复数乘法的运算律：对于123z z z ∈C ，，，有1221z z z z =，123123(())z z z z z z =，1231213()z z z z z z z +=+. 3. 复数的除法法则：2222(i)(i)i ac bd bc ad a b c d c d c d +-+÷+=+++(a b c d ∈R ，，，，且i 0)c d +≠.。
7.2.2 复数的乘、除运算教学设计一、教学目标1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则；2.掌握复数代数形式的乘、除运算的运算规则. 二、教学重难点1.教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则2.教学难点：复数代数形式的乘、除运算的运算规则 三、教学过程1、复习引入复数的加法法则(a +bi)+(c +di)=(a +c)+(b +d)i 复数的加法满足交换律、结合律 z 1+z 2= z 2+z 1(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数的减法法则(a +b i )−(c +d i )=(a −c)+(b −d)i .复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)之间的距离|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)22、复数的乘法规则我们规定，复数的乘法法则如下： 设z 1=a +bi,z 2=c +di (a,b,c,d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi)(c +di)=ac +bci +adi +bdi 2=(ac −bd)+(ad +bc)i.注：1）两个复数的积是一个确定的复数．2）当z 1,z 2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积．3）两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.思考1:复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 交换律：对任意z 1=a +bi,z 2=c +di (a,b,c,d, ∈R)，因为z 1z 2=(a +bi )(c +di )=(ac +bci +adi +bdi 2)=(ac−bd)+(ad+bc)i=z2z1所以z1z2= z2z1结合律：对任意z1=a+bi,z2=c+di，z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R)，因为(z1z2)z3=[(a+bi)(c+di)](e+fi)=[(ac−bd)+(ad+bc)i] (e+fi)=[(ace−bde−adf−bcf)+(acf+ade+bce−bdf)i]=z1(z2z3)所以(z1z2)z3=z1(z2z3)加法分配律：对任意z1=a+bi,z2=c+di，z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R)，因为z1(z2+z3)=(a+bi)[(c+di)+(e+fi)]=(a+bi)[(c+e)+(d+f)i]=[(ac+ae−bd−bf)+(ad+af+bc+eb)i]=z1z2+z1z3所以z1(z2+z3)=z1z2+z1z3教师总结：容易得到，对于任意z1,z2,z3∈C有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3、典例分析例3 计算(1−2i)(3+4i)(−2+i).解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11−2i)(−2+i)=−20+15i.例4 计算(1)(2+3i)(2−3i);(2)(1+i)2.教师分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算．（指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式．）解：(1)(2+3i)(2−3i)=22−(3i)2=4−(−9)=13;(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i.练习1：计算(1)(7-6i)(-3i);(2)(3+4i)(-2-3i);(3)(1+2i)(3-4i)(-2-i).解：(1)(7−6i)(−3i)=−21i+18i2=−18−21i;(2)(3+4i)(−2−3i)=−6−9i−8i−12i2=6−17i;(3)(1+2i)(3−4i)(−2−i)=(11+2i)(−2−i)=−20−15i.:练习2：计算(1)(√3+√2i)(−√3+√2i);(2)(1−i)2;(3)i(2−i)(1−2i).解：(1)(√3+√2i)(−√3+√2i)=(√2i)2−√32=−5;(2)(1−i)2=1−2i+i2=−2i;(3)i(2−i)(1−2i)=(1+2i)(1−2i)=1−(2i)2=5.设计意图：通过具体的实例，增强学生的理解能力、实践能力、系统思维能力、问题解决能力以及学习热情。
复数的乘除法和一元二次实系数方程复数乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++例1 计算（1）)24)(32(i i +-（2）)2)(43)(21(i i i +-++（3）))((bi a bi a -+复数乘法运算律：交换律、结合律及分配律.22z z z z ==特别地，当1=z 时1=z z 例2 当y x ,为何实数时，复数i 43-与复数yi x +的积为i 21+？复数乘方①定义：把个n z z z ⋅⋅⋅⋅ ）（*N n ∈ 称为复数z 的几次幂，记为n z .即=nz个n z z z ⋅⋅⋅⋅ ②复数的正整数幂的运算法则：mnn m n m n m z z z z z ==⋅+)(,nnn z z z z 2121)(⋅=⋅ 例3 计算：4)21(i +③由乘方的法则及i 的意义，探究并得出i 的幂的结果：i i i ii i n n n n -=-===+++342414411()•∈N n例4 当*N n ∈时，计算n n i i )(-+所有可能的取值.复数的除法：bi a )yi x )(di c (+=++：dic bia yi x ++=+ 一、根据复数相等的定义得⎩⎨⎧=+=-b cy dx a dy cx ，解⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2222d c ad bc y d c bd ac x二、i dc adbc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 222222)()())(())((+-+++=+-++=-+-+=++ 例5：计算：21139(1);(2).1(2)iiii -+++例6：已知复数z 满足1=z ，求证：zz 1+是实数 证明：复数模的运算法则：（1）2121z z z z =⋅ （2）2121z z z z =（3）nn z z = 例7：已知423)i 1()i 43()i 3(z +++-=，求z 复数的平方根：如果di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根. 例8 求下列复数的平方根:i 247)2(3)1(--i 43)4(i 4)3(-解：复数的立方根: 若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根.1的立方根 ;-1的立方根例9 计算下列各式的值68)i 31()2()i 2321()1(---解：实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. （1）当0ac 4b 2≥-=∆时，原方程有两个实数根a2ac4b a 2b x 2-±-=；（2）当240b ac ∆=-<时，即i a2b ac 4a 2b x 2-±-=，（两根为一对共轭虚数根） 复数范围内式分解：212()()ax bx c a x x x x ++=--. 例10: 在复数集中分解因式：（1）22x x -+； （2）2245x x -+.实系数一元二次方程中根与系数的关系:12b x x a +=-，12cx x a ⋅=.例11、已知方程210()x px p R -+=∈的两根为1x 、2x ，若121x x -=，求实数p 的值.练习:1.已知1-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅= _______ .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为____________3.在复数集中分解因式：2321x x -+= ____________ . 4.若方程220()x ax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|=__________ .5、已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=， 求实数a 的值.6、已知关于x 的方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=()a R ∈有实数根，求实数a 的值.7、若方程22810()x x a a R -++=∈a 的值为_______. 8、已知关于x 的方程220()x x m m R ++=∈的两根为α、β，求αβ+.9、已知关于x 的方程2(2)20()x k i x ki k R ++++=∈有实根，求实数k 的值，并解方程.。
2．2 复数的乘法与除法(2)1．复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N ＋，有(z )m ·(z )n ＝(z )m ＋n ，(z m )n ＝(z )mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2． 2．虚数单位i n (n ∈N ＋)的周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ． 3．复数的除法运算及法则把满足等式(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫作复数a ＋b i 除以c ＋d i 所得的商，且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”)(1)在复数范围内，完全平方公式、平方差公式、乘方运算依然成立．( ) (2)在复数范围内，|z |2＝z 2.( )(3)在复数范围内，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2解析：选A.a －i1＋i ＝()a －i ()1－i ()1＋i()1－i ＝a －1－()a ＋1i 2＝a －12－a ＋12i ，因为该复数为纯虚数，所以a ＝1.若复数z ＝1＋i1－i ，则w ＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B.因为z ＝1＋i1－i ＝i ，所以w ＝i 2＋i 4＋i 6＋i 8＋i 10＝－1.已知复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i ，则复数z －＝________． 解析：因为z ＝6＋4i2－3i ＝()6＋4i ()2＋3i ()2－3i ()2＋3i ＝26i 13＝2i ， 所以z －＝－2i. 答案：－2i辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的除法运算计算：(1)1＋2i 3－4i＋(1＋i)(1－i)； (2)2＋2i()1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6. 【解】 (1)1＋2i3－4i ＋(1＋i)(1－i)＝（1＋2i ）（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＋1－i 2＝－5＋10i 25＋2＝95＋25i. (2)2＋2i（1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6＝2＋2i －2i ＋（2）6（1＋i ）6 ＝1＋i －i ＋8[（1＋i ）2]3 ＝（1＋i ）i －i·i ＋8（2i ）3＝－1＋i ＋1－i＝－1＋i ＋i ＝－1＋2i.(1)复数的除法实质是通过分子分母同乘以分母的共轭复数，实现对分母的实数化． (2)熟悉以下结论对简化运算很有帮助．①1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ； ②b －a i ＝(a ＋b i)(－i)，－b ＋a i ＝(a ＋b i)i.1.(1)若复数a ＋i1－2i是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．－12C ．15D ．－25(2)计算：①（1＋i ）3－（1－i ）3（1＋i ）2－（1－i ）2； ②⎝⎛⎭⎫12＋32i 4＋()1－3i 2（2＋2i ）2. 解：(1)选A.因为a ＋i 1－2i ＝（a ＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋（2a ＋1）i5是纯虚数，所以a ＝2.(2)①法一：原式＝1＋3i （1＋i ）＋i 3－[1－3i （1－i ）－i 3]2i ＋2i ＝4i4i ＝1. 法二：原式＝[（1＋i ）－（1－i ）][（1＋i ）2＋（1＋i ）（1－i ）＋（1－i ）2][（1＋i ）＋（1－i ）][（1＋i ）－（1－i ）]＝1.②原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12＋32i 22＋－2－23i 4()1＋i2 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2－1＋3i 4i ＝－12－32i ＋14i －34＝⎝⎛⎭⎫－12－34＋⎝⎛⎭⎫14－32i. 虚数单位的幂的周期性(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101 ＝i （1－i 100）1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－100（－1＋i ）2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i. (1)虚数单位i 的周期性 ①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1， i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋4＝1(n ∈N )． n 也可以推广到整数集．②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； ②1i＝－i.2.(1)若z ＝21－i，那么z 100＋z 50＋1的值是______．(2)计算：①2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； ②i ＋i 2＋…＋i 2 017.解：(1)因为z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）2＝（1＋i ）2，所以z 2＝（1＋i ）22＝i.所以z 4＝－1.又i 4＝1，所以z 100＋z 50＋1＝(z 4)25＋(z 2)25＋1＝(－1)25＋i 25＋1＝i.故填i.(2)①原式＝2（1＋i ）－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008 ＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1 ＝i.②法一：原式＝i （1－i 2 017）1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －（i 4）504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i.法二：因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.实数、复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程：(1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i.法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b （a －1）＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0， 所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1) ＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34 ＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122－⎝⎛⎭⎫32i 2 ＝(x －1)⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.在本例中，试在实数范围内解方程． 解：(1)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故方程x 2－2x ＋3＝0在实数范围内无解．(2)由x 3－1＝0，得(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0， 因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， 所以x ＝1.故方程x 3－1＝0在实数范围内的解为x ＝1.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.(1)一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0(m ∈R )有一个根为x ＝a ＋3i(a ∈R )，则a ＝______，m ＝________．(2)已知复数w 满足w －4＝(3－2w )i(i 为虚数单位)，z ＝5w ＋|w －2|.求一个以z 和z －为根的实系数一元二次方程．解：(1)该方程为实系数一元二次方程，且它有一个虚根为x 1＝a ＋3i ，那么它必有共轭虚根为x 2＝a －3i.由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝a ＋3i ＋a －3i ＝3. 所以a ＝32，又x 1·x 2＝m .所以m ＝214.故填32，214.(2)因为w －4＝(3－2w )i ， 所以w ＝4＋3i1＋2i ＝2－i ，所以z ＝52－i ＋|－i|＝3＋i ，所以z －＝3－i ，又因为z ＋z －＝6，z ·z －＝10，所以所求的一元二次方程可以是x 2－6x ＋10＝0.规范解答复数与其他知识的交汇(本题满分12分)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x ＋a )i ，x ，a ∈R .当x 在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z |的最小值g (a )．【解】 |z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2 ＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2. (4分)令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2， 且22x ＋2－2x ＝t 2－2.从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2，(8分) 当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝ a 2－2；(10分) 当－a <2，即a >－2时， g (a )＝ （a ＋2）2＋a 2－2＝2|a ＋1|.(12分)根据求模公式，正确求出|z |2的表达式是解题的关键．换元后一定要明确引入的新变元的取值范围，否则最多只能得到不超过一半的分数造成失分．因a ∈R ，t ≥2，这是给定区间上的二次函数的最值问题，一定要根据对称轴的位置进行分类讨论，否则失分．1．如果i m ＝1，则cos m π2的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．22解析：选A.因为i m ＝1，所以m 能被4整除， 令m ＝4k (k ∈Z )，则m π2＝2k π(k ∈Z )， 所以cos m π2＝1.2．复数1＋i 1－i ＋i 3的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．i解析：选A.1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）22－i ＝i －i ＝0，故选A.3．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 015i 2 014＝______ . 解析：设S ＝1＋2i ＋3i 2＋…＋2 015i 2 014， ① 得i S ＝i ＋2i 2＋…＋2 014i 2 014＋2 015i 2 015， ②①－②得(1－i)S ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014－2 015i 2 015 ＝1－i 2 0151－i－2 015i 2 015.所以S ＝1 008i －1 008. 答案：1 008i －1 0084．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，求x ＋y 的值．解：因为x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，所以x （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＋y （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ），即12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)， 所以⎩⎨⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.所以x ＋y ＝4.[A 基础达标]1.1－3i（3＋i ）2等于( )A ．14－34iB ．12－34iC ．－14－34iD ．－14＋34i解析：选C.原式＝1－3i3＋23i －1＝（1－3i ）22（1－3i 2）＝1－3－23i 8＝－2－23i 8＝－14－34i ，故选C.2．在复平面内，复数1－3i 3＋i ＋11－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.1－3i 3＋i ＋11－i ＝（1－3i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12－12i ，故该复数对应的点在第四象限．3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D.依题意得z ＝3＋i ，z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．4．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C. 3D ．2解析：选A.由1＋z 1－z＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i 2＝i ， 所以|z |＝|i|＝1，故选A.5．对于非零实数a 、b ，以下四个命题都成立：①a ＋1a ≠0； ②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b .那么，对于非零复数a 、b ，仍然成立的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.取a ＝i ，则a ＋1a ＝i ＋1i＝0，可知命题①对非零复数不成立；命题②：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2为所有数均成立的恒等式，故命题②对非零复数成立；取a ＝i ，b ＝1，可得|a |＝|b |，但a ≠±b ，故命题③对非零复数不成立；若a 2＝ab ，则a (a －b )＝0.由于a 、b 为非零复数，所以a －b ＝0.所以命题④对非零复数成立．综上可知，对非零复数a 、b 仍然成立的命题有2个．6．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________． 解析：由m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i 2.由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12. 答案：127．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝1＋i ，i 为虚数单位，若z 22＝z ·z 1，则复数z 等于______． 解析：因为z 22＝z ·z 1，所以z ＝z 22z 1＝（1＋i ）23＋4i ＝2i 3＋4i ＝2i （3－4i ）25＝825＋625i.答案：825＋625i 8．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b 2＝1c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于________．解析：根据集合中元素的互异性，知b ＝－1，由c 2＝－1得c ＝±i.因为对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ，所以当c ＝i 时，d ＝－i ；当c ＝－i 时，d ＝i ，都有b ＋c ＋d ＝－1.答案：－19．设z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －＋i z ＝103＋i，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.由z ·z －＋i z ＝103＋i，得 a 2＋b 2＋i(a ＋b i)＝10（3－i ）（3＋i ）（3－i ）， 即(a 2＋b 2－b )＋a i ＝3－i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1或2.所以z ＝－1＋2i 或z ＝－1－i.10．在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－34i 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－⎝⎛⎭⎫32i 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i . (2)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝⎛⎭⎫x －12－32i ⎝⎛⎭⎫x －12＋32i · ⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i . [B 能力提升]11．若a 为实数，2＋a i 1＋2i＝－2i ，则a 等于( ) A.2B ．－ 2C ．2 2D ．－2 2解析：选 B.等式左边＝（2＋a i ）（1－2i ）3＝2＋2a 3＋a －223i.由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a 3＝0，a －223＝－2，解得a ＝－2，故选B.12．若n ∈N ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝________． 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24＝i 2＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24＝(－i)2＝－1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝(－1)n ＋(－1)n . ①当n 是奇数时，原式＝－2.②当n 是偶数时，原式＝2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－2（n 是奇数）2（n 是偶数） 13．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0.因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 14．(选做题)已知z 为复数，z ＋2i 和z 2－i均为实数，其中i 是虚数单位． (1)求复数z 和|z |；(2)若复数z 1＝z －＋1m －1－7m ＋2i 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2i ＝a ＋(b ＋2)i 为实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2.又z 2－i ＝a ＋b i 2－i＝（a ＋b i ）（2＋i ）5＝2a －b 5＋a ＋2b 5i 为实数， 所以a ＋2b 5＝0，所以a ＝－2b . 又b ＝－2，所以a ＝4，所以z ＝4－2i.所以|z |＝42＋（－2）2＝2 5.(2)z －1＝z ＋1m －1－7m ＋2i ＝4＋1m －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－7m ＋2i ＝4m －3m －1＋2m －3m ＋2i. 因为z 1在复平面内对应的点位于第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m －3m －1>02m －3m ＋2<0，解得－2<m <34或1<m <32，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，34∪⎝⎛⎭⎫1，32.。
