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黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次高考模拟考试试题数学文【含解析】本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|28}xA x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则AB =（ ）A. [)1,3B. (]1,3C. ()1,+∞D. [)3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可. 【详解】解：{|3},{|1}A x x B x x =≥=>，∴()1,AB =+∞.故选：C.【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题. 2.复平面内，复数12ii-对应点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出点的坐标得答案. 【详解】解：∵()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+， ∴12i i -对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是（ ）A. ()2f x x =B. ()2xf x =C. ()21log 1f x x =+ D. ()2f x x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断是否为偶函数，根据在(),0-∞上函数解析式以及二次函数、指数函数、对数函数，反比例函数性质确定单调性.【详解】对于A ，()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，是偶函数，在(),0-∞上单调递减；对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，是偶函数，在(),0-∞上()1222xxxf x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,单调递减； 对于C ，()21log 1f x x =+定义域为{}|1x R x ∈≠-，不关于原点对称，∴不是偶函数； 对于D ，()2f x x =-的定义域为R ，()()22f x x x f x -=--=-=，是偶函数，在(),0-∞上()2f x x =，单调递增；【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性的判定，涉及指数函数，对数函数，复合函数，属基础题. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．4. 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ） A.35 B.35C. 5D. -5【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，由等差中项的性质1532222111a a a +=⨯+++得到关于5a 的方程，求解即得. 【详解】由于数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，所以1532222111a a a +=⨯+++， 又11a =，313a =-，∴52222111113a +=⨯++-+，解得535a ， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差中项，考查运算能力，属基础题. 5. 函数()xf x xe =在1x =处的切线方程是（ ） A. 20ex y e --= B. 230ex y e --=C. 20ex y e +-=D. 230ex y e +-=【答案】A 【解析】 【分析】先求得切点坐标与导函数()f x '，根据导数的几何意义可求得切线斜率，再由点斜式即可得解.【详解】函数()xf x xe =，当1x =时，(1)f e =，所以切点坐标为()1,e ， 则()xxf x e xe =+'，由导数几何意义可知切线斜率为(1)2k f e e e ='==+， 由点斜式可得切线方程为()21y e e x -=-， 化简可得20ex y e --=， 故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线切线方程的求法，属于基础题.6. 在区间23,23⎡-⎣上随机取一个数k ，则直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A.133 C.14D.12【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求出满足条件的k 的范围，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【详解】k 是区间23,23⎡-⎣ 上的随机数，即2323k -≤≤43由直线4y kx =+与圆224x y +=2421k<+，∴3k >3k <233k ≥>233k -≤<-3直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为231243P == 故选: D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解．属于中档题. 7. 有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r变小C. 相关指数2R变小 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】D后，y与x的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数2R及残差平方和与由散点图可知，去掉(3,10)相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.n 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一8. “克拉茨猜想”又称“31个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m经过5次运算后得到1，则m 的值为（）A. 32或5B. 16或2C. 16D. 32或5或4【答案】A【解析】【分析】设m 经过第k 次运算后变为()k a k N*∈，可知51a =，11a ≠，21a ≠，31a ≠，41a ≠，经过逆向运算，逐步推导可依次得出4a 、3a 、2a 、1a ，并对m 分奇数和偶数两种情况分类讨论，进而可求得m 的值. 【详解】设m 经过第k 次运算后变为()k a k N*∈，可知51a=，21a ≠，31a ≠，41a ≠，51a =，则4522a a ==，3424a a ==，若2a 为奇数，则32314a a =+=，得21a =，不合乎题意，所以，2a 为偶数，且2328a a ==. 若1a 为奇数，则21318a a =+=，得173a =，不合乎题意； 若1a 为偶数，则12216a a ==.若m 为奇数，则13116a m =+=，可得5m =； 若m 为偶数，则1232m a ==. 综上所述，5m =或32. 故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想的应用，利用逆向思维逐项推导是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9. 某程序框图如图所示，若输入的a 、b 分别为5、3，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由题意运行程序框图，注意变量的取值变化，即可得解. 【详解】由题意运行该框图：1n =，515522a =+=，236b =⨯=，此时a b >； 2n =，151545244a =+=，2612b =⨯=，此时a b ≤；输出2n =. 故选：A.【点睛】本题考查了程序框图的求解，属于基础题.10. 已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若22()0OP OF PF +=，且2PF Q △周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 32D. 22【答案】C 【解析】 【分析】取2PF 的中点R ，连接OR ，连接1QF 、1PF ，由题意转化条件得2OR PF ⊥，进而可得22PF c =，2PF Q △周长可转化为122PQ QF a c ++，求出1PQ QF +2226c a c a +=，化简即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c ，取2PF 的中点R ，连接OR ，连接1QF 、1PF ，如图所示：由平面向量线性运算法则可得2=2OP OF OR +， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以220OR PF ⋅=即2OR PF ⊥，所以2PO OF c ==，22PF c =，又2PF Q △的周长为2221222PQ QF PF PQ QF c PQ QF a c ++=+=++， 所以当1PQ QF +取最小值时，2PF Q △的周长最小， 当P 、Q 、1F 三点共线时，1PQ QF +取最小值， 且()112min 2PQ QF PF PF c +===，2226c a c a ++=，化简得224c a =， 所以2ce a==故选：C.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用与离心率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11. 已知数列{}n a ，2sin2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A. 5000 B. 5000-C. 5050D. 5050-【答案】B 【解析】 【分析】 由通项公式可知，{}n a 的偶数项为0，从而可得2222210013599...1357...9799S a a a a =++++=-+-++-，结合分组求和的思想以及等差数列的前n项和公式即可求出前100项和.【详解】解：由题意知， 当2,n k k N *=∈时，()222sin 0k a k k π==；当21,n k k N *=-∈时，()2212121sin2k k a k π--=-，所以数列{}n a 的前100项和 2222210012310013599......1357...9799S a a a a a a a a =++++=++++=-+-++-()()()()()()13135757...97999799=-⨯++-⨯+++-⨯+()504921357...9799250250002⨯⎛⎫=-⨯++++++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选:B【点睛】本题考查了正弦函数值，考查了等差数列求和，考查了分组求和.本题的关键是结合正弦函数的性质对数列并项求和.对于数列求和问题，常见的思路有公式法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等.12. 已知ABC 中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：sin sin AB B AC C AQ +=，且12AH AC =，则BH =（ ） 47B. 743D. 27【答案】D 【解析】 【分析】分别在AB 、AC 上取点E 、F ，使得AE AF AQ ==，连接QE 、QF 、BF ，转化条件得AE AF AQ +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得//AE QF ，//AF QE ，结合平面几何的知识可得E 、F 分别为AB 、AC 的中点，BAF 120∠=，再由余弦定理即可得解.【详解】分别在AB 、AC 上取点E 、F ，使得2AE AF AQ ===，连接QE 、QF 、BF ，如图所示：线段AQ 为BC 边上的高，∴sin AB B AQ =，sin AC C AQ =，∴sin AB B AE =，sin AC C AF =，∴AE AF AQ +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得//AE QF ，//AF QE ，∴四边形AEQF 为菱形，∴AQ 平分角BAC ∠，BAF 120∠=， ∴AB AC =，Q 为BC 的中点，∴E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴224AB AF AQ ===，又12AH AC =，∴点H 为AC 的中点，即与点F 重合， 在ABF 中，22222cos 164828BH BF AB AF AB AF BAF ==+-⋅⋅∠=++=,∴27BH =故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数乘及加法的平行四边形法则的应用，考查了余弦定理的应用与运算求解能力，属于中档题.二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若π2sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2θ=__. 【答案】1725- 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】若π2sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ417cos 2sin212sin 12242525θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴17sin225θ=-.故答案为：1725-. 【点睛】本题考查了诱导公式、二倍角余弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 【答案】()12,0- 【解析】 【分析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题 即230x ax a -->恒成立，则∆<0， 即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<， 故实数a 的取值范围为()12,0- 故答案为：()12,0-【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.15. 直线l 过抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点F ，交抛物线C 于点A （点A 在x 轴上方），过点A 作直线2px =-的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为_______ 3【解析】 【分析】 由垂直平分线性质和抛物线的定义可得MAF △为等边三角形，结合三角形内角和的特征可得直线l 的倾斜角为60，进而可得结果. 【详解】如图所示，∵M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，∴MA MF =， 由抛物线的定义可得MA AF =，∴MAF △为等边三角形，即60AMF ∠=，又∵MA ME ⊥，可得30FME ∠=，∴60MFE ∠=， 易得60AFx ∠=，即直线l 的倾斜角为60， 所以直线l 的斜率为3， 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了抛物线上点到焦点的距离和到准线距离相等这一性质的应用，属于中档题. 16. 在三棱锥S ABC -中，2AB =，2BC =，22AC =2SB =SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为_______，三棱锥S ABC -的内切球半径为______. 【答案】1042-【解析】 【分析】可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线，由此可得外接球的半径；利用等体积法，将三棱锥S ABC -的体积分成四个小三棱锥的体积和，建立方程即可求得内切球的半径．【详解】∵2AB =，2BC =，22AC =222AB BC AC +=,∴AB BC ⊥，又∵SB ⊥面ABC ，∴可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线.设外接球的半径为R ，则()222222210R =++=，10R =． 设内切球的球心为O ，半径为r ，则由S ABC O SAB O SAC O SBC O ABC V V V V V -----=+++得：()()222111111·22?2?·2222222222323222r ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+- ⎪⎝⎭，整理得()42222r +=，解得427r -=，故答案为10 ，42-． 【点睛】本题考查利用构造长方体法求三棱锥外接球半径和利用体积法求内切球半径，考查分析能力，空间想象能力，化归与转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若26()f x =324x ππ<<，求cos2x .【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）3326--【解析】 【分析】（1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式. （2）利用两角和与差公式求解.【详解】解：（1）由图像可知2,2A ω==,则()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 得52,62k k Z ππϕπ+=+∈，得2,3k k Z πϕπ=-∈，由ππ22ϕ-<<，得3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由题意知()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭263=,得sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭63=， 由324x ππ<<，则272336x πππ<-<，则cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭33=-，cos 2cos 233x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭13cos 2sin 2233x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 332--=. 【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换技巧. 18. 如图，三棱锥P ABC -中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得三棱锥B AEG -3？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，G 为PB 中点. 【解析】 【分析】（1）由PA ⊥底面ABC 推出PA BE ⊥，结合BE AC ⊥可推出BE ⊥平面PAC ，线面垂直推出面面垂直；（2）过G 作GH AB ⊥，由面面垂直的性质证明GH ⊥平面ABC ，再利用等体积法由3B AEG G ABE V V --==即可求得GH ，根据线面垂直的性质及中位线的性质即可求得点G 的位置. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC ，所以PA BE ⊥， 因为△ABC 是等边三角形且E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥， 又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ，因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC ； （2）过G 作GH AB ⊥,PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC又平面PAB 平面ABC =AB ，GH ∴⊥平面ABC ,36B AEG G ABE V V --==1336ABEGH S∴⋅=， 1332=222ABES=⨯⨯，1GH ∴=， PA ⊥平面ABC ，GH ⊥平面ABC ，//PA GH ∴,12GH PA =，G ∴为PB 中点. 【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档题. 19. 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间x (单位：小时)与高三下学期期中考试数学解答题得分y ，数据如下表：x2 4 6 8 10 12 y303844485054（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分y 与该学生课下钻研数学时间x 的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；（2）从这6人中任选2人，求2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率.参考公式：ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- ；参考数据：662112008,364,44i iii i x yxy =====∑∑【答案】（1）线性回归方程： 16ˆ287yx =+，预测值为：44分（2）45【解析】 【分析】（1）先求均值，再代入公式求ˆˆb a ，，即得线性回归方程；在线性回归方程令7x =，解得预测值；（2）利用枚举法确定总基本事件数以及所求事件包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）2468101276x +++++==()()()661166222116200867441636464976ˆiii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑ˆˆ28ay bx =-=16ˆ287yx ∴=+ 当7x =时，ˆ44y= 预测值为：44分（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A ” 所有基本事件如下：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，6)，(4，8)，(4，10)，(4，12)， (6，8)，(6，10)，(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12) 共15个基本事件事件A 包含(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，8)，(4，10)，(4，12)，(6，8)，(6，10)(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12)共12个基本事件 所以124()155P A == 【点睛】本题考查线性回归方程、利用线性回归方程估计、古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求导化简证明导函数大于等于0即可.(2)利用作差法,化简可得21ln ln 21ln m n 1m m n mn m m n m n n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-=--+- ⎪+ ⎪⎝⎭,再构造函数()21()ln 1t h t t t-=-+,根据(1)中所得的单调性证明()0h t >即可. 【详解】（1）22214(1)'()0(1)(1)x f x x x x x -=-=≥++，∴()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）不妨设m n >，ln ln 212()ln m n m n m m n m n m n n m n --⎛⎫-=- ⎪-+-+⎝⎭211ln 1m mn m m n n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭. 令1m t n=>，设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，()()h t f t =由（1）知在()0,∞+上单调递增，()10h =，1t >，∴()0h t >，又m n >，∴ln ln 2m n m n m n->-+.【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性,以及构造函数与作差法分析大小关系的方法.难点在于第（2）问中根据()()21ln 1x f x x x -=-+的形式,将ln ln 2m n m n m n ---+整理变形,以便使用(1)的结论证明.属于中档题.21. 已知椭圆2222+1(0:)x C y a b a b =>>2，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆1C 过点()1,0.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点M ()2,0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且与圆1C 没有公共点，设G 为椭圆C 上一点，满足()OA OB tOG +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.【答案】（1）22 1.2x y +=（2）4545(2,(2).t ∈-⋃【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b 的值，利用椭圆的离心率公式得到a ，c 的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a ，c 的值，将a ，b 的值代入椭圆的方程即可；（2）设AB 的方程代入椭圆方程，利用OA OB tOP +=确定A ，B ，P 三点之间的关系，利用点P 在椭圆上，建立方程，从而可求实数t 取值范围． 【详解】（1）以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切22b = 1b ∴=椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为222c a ∴=22112a a -∴=22a ∴=∴椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）由题意直线AB 斜率不为0， 设直线AB ：2x ny =+22212x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)420.n y ny +++= 由28160n ∆=->得∴22n >，设112200(,),(,),(,)A x y B x y G x y ， 由韦达定理12122242,.22n y y y y n n -+==++OA OB tOG +=121200(,)(,)x x y y t x y ∴++= 002284,(2)(2)n x y t n t n -∴==++ 点G 在椭圆上2222222642162(2)(2)n t n t n ⨯∴+=++得22162t n =+——① 2211n>+，∴223n <<.——②由①②可得：21645t << 4545(2,(2).t ∴∈-⋃ 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和直线与椭圆位置关系问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若()1,0P -，求11AP BP+的值. 【答案】（1）10x y ++=，C ：()2224x y ++=.；（2）143. 【解析】 【分析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 的参数方程与圆的方程联立化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可.【详解】（1）直线l 的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,.又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=.（2）直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得22221422t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得2230t t -=, 由韦达定理有()212121212122,3,414t t t t t t t t t t +==--=+-=所以12121114||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题.选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数()1f x x a x =+--和函数()21xg x =-+. （1）当2a =时，求关于x 的不等式()1f x ≥-的解集；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}1|x x ≥-；（2）20a -<<.【解析】【分析】（1）2a =时，函数()21f x x x =+--，分类讨论，即可求解； （2）由绝对值的三角不等式，求得()1f x a ≤+，由指数函数的性质，求得()(),1g x ∈-∞，根据题意，得到()f x 的值域是()g x 的值域的子集，列出不等式，即可求解.【详解】（1）2a =时，函数()21f x x x =+--，当2x <-时，()31f x =-≥-，x 无解；当21x -≤≤时，()211f x x =+≥-，11x -≤≤；当1x >时，()31f x =≥-恒成立，1x >；综上，()1f x ≥-的解集为{}1|x x ≥-.（2）由()()()111f x x a x x a x a =+--≤+--=+，()()21,1xg x =-+∈-∞， 由对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，可得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，即11a +<，∴实数a 的取值范围为20a -<<.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，绝对值三角不等式的应用，以及方程的有解问题的求解，着重考分类讨论思想，查推理与运算能力.。
2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合A ={y|y =2x }，B ={x|x+1x−1>0}，则A ∩B =( )A ．(0,1)B ．(1,+∞)C ．(−1,1)D ．(−∞,−1)∪(1,+∞)2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=2π，则tana 7=（ ）A ．−√3B ．√3C ．±√3D ．−√333．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程为( )A ．x 2+(y −3)2=1B ．x 2+(y +3)2=1C ．(x −3)2+y 2=1D ．(x +3)2+y 2=14．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0，则目标函数z =−3x +2y 的最小值为( )A ．4B ．−2C ．−6D ．−85．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 6．已知ΔABC 中，AB =10,AC =6,BC =8 ,M 为AB 边上的中点，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．0 B ．25 C ．50 D ．100 7．记函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为D ，在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，则x ∈D 的概率是( ) A ．710 B ．35 C ．110 D ．15 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N≡n （modm ），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．13 B ．11 C ．15 D ．8 9．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．9+√36πB ．6+√36πC ．3+√36πD ．12+√36π11．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x | (ω>0,0<φ<π,a ∈R)，在[−3,3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12．已知f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤312x 2−5x +232,x >3 ，若f(x)=m 有四个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(m x 1+mx 2)⋅(x 3+x 4)的取值范围( )A ．(0,10)B ．[0,10]C ．(0,4)D ．[0,4]二、填空题13．已知tana =−2，则tan2a =______．14．已知f(x)是定义在R 上的周期为4的偶函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=−2x ，则f(5)=______．15．已知点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为F 2(√5,0)，线段PF 2的垂直平分线为y =2x ，则椭圆C 的方程为______．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =6a n −2n −3，设b n =log 3(a n +12)，则数列{1b n ⋅b n+1}的前10项和为______． 三、解答题 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asinB +√3bcos(B +C)=0，a =√19． (1)求A ； (2)若b =2，求△ABC 的面积． 18．为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店1∼5月的月营业额y （单位：万元）与月份x 的数据，如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程y ̂=a +bx ； （2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率. 附：回归直线方程y ̂=a +bx 中， b ̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1 =∑x i y i −nx̅y ̅n i=1∑x i 2−nx̅2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x̅.19．矩形ABCD 中，AB =2AD =2，P 为线段DC 中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP ． (Ⅰ)求证：AD ⊥BP ； (Ⅱ)求点P 到平面ADB 的距离． 20．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点． (Ⅰ)若点T(−1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1+k 2为定值；(Ⅱ)设A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR//FQ ．21．已知e 为自然对数的底．(Ⅰ)求函数J 1(x)=e x −(1+x)，J 2(x)=e x −(1+x +12x 2)的单调区间； (Ⅱ)若e x −(1+12x 2+16x 3)≥ax 恒成立，求实数a 的值． 22．已知圆锥曲线C ：{x =2√2cosαy =√6sinα(α为参数)和定点A(0,√6)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左、右焦点．(Ⅰ)以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程； (Ⅱ)经过点(−1,0)且与直线AF 2垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求|MF 1|−|NF 1|的值．23．设函数f (x )=|2x −a |+|2x +1|(a >0)，g (x )=x +2.（1）当a =1时，求不等式f (x )≤g (x )的解集；（2）若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】求出集合A，再求解不等式化简集合B，然后由交集运算性质得答案．【详解】：A={y|y=2x}=(0,+∞)，B={x|x+1x−1>0}=(−∞,−1)∪(1,+∞)，∴A∩B=(0,+∞)∩[(−∞,−1)∪(1,+∞)]=(1，+∞)．故选：B．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算和不等式的解法，是基础题．2．A【解析】分析：先化简a1+a7+a13=2π，再求tana7.详解：由题得(a1+a13)+a7=2a7+a7=3a7=2π,∴a7=23π.所以tana7=tan23π=−√3.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 等差数列{a n}中，如果m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q,特殊地，2m=p+q时，则2a m=a p+a q，a m是a p、a q的等差中项.3．A【解析】【分析】由题意设圆的标准方程为x2+（y﹣a）2=1，把点（1，3）代入求得a的值即可．【详解】设圆心坐标为(0,a)，∵圆的半径为1，且过点(1,3)，∴(0−1)2+(a−3)2=1，解得a=3，∴所求圆的方程为x2+(y−3)2=1，故选：A．【点睛】本题考查了圆的标准方程应用问题，属于基础题．4．C【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．【详解】画出约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0表示的平面区域，如图所示；由z=−3x+2y得y=32x+12z，平移直线y=32x+12z，由图象可知当直线y=32x+12z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小；由{y=03x−y−6=0，解得A(2,0)，此时z min=−3×2+0=−6，∴z=−3x+2y的最小值为−6．故选：C．【点睛】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．5．D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．6．C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，原式=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×25=50.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.7．A【解析】【分析】求出函数f （x ）的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可．【详解】函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为：D ={x|12−x −x 2≥0}={x|x 2+x −12≤0}={x|−4≤x ≤3}，则在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，x ∈D 的概率是P =3−(−4)5−(−5)=710．故选：A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题．8．A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。
2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设3i1iz +=-，则||z =（ ）A ．3B ．5C ．3D ．2答案：B 解：|3i |10||5|1i |2z +===-． 2．设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =≤，则()A B =R I ð（ ） A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{1,2} D ．{1,2,3}答案：A解：{|3}B x x =>R ð，(){4,5}A B =R I ð．3．已知22log 5log 5x =-，5log 3y =，125z -=，则下列关系正确的是（ ） A ．z y x << B ．z x y << C ．x y z << D ．y z x <<答案：A解：∵222log 5log 5log 51x =-=>，5log 31y =<，1211525z -==<， 因为551log 3log 52>=，即y z >，∴z y x <<．4．定义：10000100010010abcde a b c d e =++++，当五位数abcde 满足a b c <<，且c d e >>时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ） A ．16B ．110C ．112D ．120答案：D解：由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个基本事件，所以恰好为“凸数”的概率为6112020P ==． 5．函数||2()2x f x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D解：由||2()2x f x x =-为偶函数可排除A ，C ；当01x <<时，2xy =图象高于2y x =图象，即||220x x ->，排除B ，故选D ．6．将参加体检的36名学生，编号为1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为9的样本，已知样本中含有编号为33的学生，则下面十名学生编号中被抽到的是（ ） A ．13 B ．14 C ．23 D ．24答案：A解：从36名学生中抽取9名，抽样间隔为4，所以9名学生的编号分别为33，29，25，21，17，13，9，5，1． 7．若cos57m ︒=，则cos213︒=（ ）A ．21m--B ．2211m m--+ C ．21m --D ．m -答案：C解：2cos213cos(18033)cos33sin571m ︒=︒+︒=-︒=-︒=--．8．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号答案：B解：由题意得，23(7,63)λ-=-m n ，∵(23)⊥-m m n ，∴(23)0⋅-=m m n ，即141890λ+-=，解得329λ=． 9．执行下面的程序框图，如果输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．5n <B ．5n ≤C ．6n <D ．6n ≤答案：D解：运行程序，0,2S n ==，判断是，1,42S n ==，判断是，11,624S n =+=，判断是，11111,824612S n =++==，判断否，输出1112S =，故答案为D ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的焦点(2,0)F 3，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1 B 3 C ．2 D ．23答案：C解：由题意知双曲线的焦点(2,0)到渐近线的距离为3b =2224c a b =+=，所以1a =，该双曲线的离心率为2ca=．11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos a B b A c C +=，sin sin sin 0a A c C b A -+=，则ba=（ ） A ．53B ．73 C ．72D ．52答案：A解：在ABC △中，由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=，得sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=，∴sin()sin 3sin cos A B C C C +==， 又sin 0C ≠，∴1cos 3C =， 由正弦定理及sin sin sin 0a A c C b A -+=，得22a c ab -=-，∴由余弦定理得22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===，即213b a -=，∴53b a =． 12．抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l 交C 于A 、B ，则||AB =（ ）A 432 B ．432C ．163D ．16答案：D解：双曲线2211122y x -=，∴焦点(0,1)±，∴(0,1)F ，114a =，∴14a =，直线:31l y x =+，由2431x y y x ìï=ïíï=+ïî，得21410y y -+=，1214y y +=，1212||||||(1)(1)216AB AF BF y y y y =+=+++=++=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 ．答案：2解：1()ln +ax f x a x x-'=，(1)11f a '=-=，∴2a =． 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则5a = ． 答案：323解：因为410S =，22S =，所以414(1)101a q S q -==-，212(1)2(1)1a q S q q-==≠-，， 两式相除可得215q +=，24q =，2q =±，由题设知2q =-舍，故123a =，1212233n n n a -=⋅=⋅，5323a =． 15．函数2()cos sin f x x x =-的最大值为 ．答案：5 4解：221()1sin sin5(sin)24f x x x x=-+-+=-，∵sin[1,1]x∈-，∴()f x的最大值为54．16．已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为4，E为棱1CC的中点，点M在正方形11BCC B内运动，且直线AM∥平面1A DE，则动点M的轨迹长度为．答案：22解：设平面1DA E与直线11B C交于点F，连接EF，则F为11B C的中点．分别取1B B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，则∵1A F AO∥，AN DE∥，1A F，DE⊂平面1A DE，AO，AN⊂平面ANO，∴1A F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，∵1A F、DE是平面1A DE内相交直线，∴平面1A DE∥平面ANO，所以NO∥平面1A DE，∴M的轨迹被正方形11BCC B截得的线段是线段NO，∴M的轨迹被正方形11BCC B截得的线段长22NO=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名．下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健康A类学生中有10名女生．（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否有%95的把握认为达到体育健康A类学生与性别有关？非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生女生合计（2）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A+类学生，已知体育健康A+类学生中有2名女生，若从体育健康A+类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率．附：22()()()()()n ad bcKa cb dcd a b-=++++答案：（1）列联表见解析，没有95%的把握认为；（2）710．解：（1）右频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A类学生有25人，从而22⨯列联表如下：非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生301545女生451055合计7525100由22⨯列联表中数据代入公式计算，得：时间/mint222()100(30104515)1003.030 3.841()()()()7525455533n ad bc K a c b d c d a b -⨯⨯-⨯====<++++⨯⨯⨯，所以没有%95的把握认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（2）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记123,,a a a 表示男生，12,b b 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为12132311{(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b Ω=12212231,(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b 3212(,),(,)}a b b b ．Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用B 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则11122122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}B a b a b a b a b a b a b b b =共计7种，∴7()10P B =．18．（12分）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()1,d a d ∈∈Z Z ，前n 项的和为n S ，且749S =，524S 26<<．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求n T ． 答案：（1）21n a n =-；（2）11(1)221n T n =-+． 解：（1）由题意可得11176749254245262,a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⨯⎪<+<⎨⎪∈∈⎪⎪⎩Z Z ，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)21n a a n d n =+-=-．（2）∴111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==-⋅-+-+，∴11111111[(1)()()](1)23352121221n T n n n =-+-++-=--++L ． 19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，如图2．（1）求证：BC ⊥平面DBE ； （2）求点D 到平面BEC 的距离． 答案：（1）证明见解析；（2）63． 解：（1）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥， 又因为平面ADEF⊥平面ABCD ，且平面ADEF I平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ，可得ED BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =，可得2BC =在BCD △中，2BD BC ==2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥，ED BD D =I ，所以BC ⊥平面DBE ． （2）因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ， 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则DG ⊥平面BEC ， 所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度． 在直角三角形BDE 中，1122BDE S BD DE BE DG =⋅=⋅△， 所以263BD DE DG BE ⋅===，所以点D 到平面BEC 的距离等于63． 20．（12分）已知函数()1xf x ae x =-+．（1）若()f x 在(0,3)上只有一个零点，求a 的取值范围； （2）设0x 为()f x 的极小值点，证明：02123()4f x a a >-++． 答案：（1）3221(1,]{}e e -U ；（2）证明见解析． 解：（1）因为()f x 在(0,3)上只有一个零点，所以方程1x x a e-=在(0,3)上只有一个解， 设函数1()x x h x e -=，则2()xxh x e-'=， 当02x <<时，()0h x '>；当23x <<时，()0h x '<，所以max 21()(2)h x h e ==， 又(0)1h =-，32(3)h e =，故a 的取值范围为3221(1,]{}e e-U ．（2）证明：()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 无极值，故0a >， 令()10xf x ae '=-=，得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<；当ln x a >-时，()0f x '>， 故()f x 的极小值为(ln )2ln f a a -=+，故要证02123()4f x a a >-++，只需证：2125ln 04a a a +-+>， 设函数1()ln 1g x x x =+-，21()(0)x g x x x-'=>，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，故min ()(1)0g x g ==，而2213913()042a a a -+=-≥， 于是221251139ln ln 1044a a a a a a a +-+=+-+-+>，从而02123()4f x a a >-++．21．（12分）已知动点P 到点1(,0)2的距离比到直线1x =-的距离小12，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上一点00(2,)(0)M y y >作两条直线1l ，2l 与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k =，证明：直线AB 过定点．答案：（1）22y x =；（2）证明见解析．解：（1）由题意可知，动点P 到点1(,0)2的距离与到直线12x =-的距离相等， 所以点F 的轨迹是以1(,0)2为焦点，直线12x =-为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为22y x =．（2）易知(2,2)M ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为x my b =+，联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b⎧+=+⎪⎨=⎪⎩， 因为12121222122y y k k x x --=⋅=--，即121212122()2()y y y y x x x x -+=-+， 所以222440b b m m --+=，所以22(1)(21)b m -=-，所以2b m =或22b m =-+，当22b m =-+时，直线AB 的方程为22x my m =-+过定点(2,2)与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 的方程为2x my m =+过定点(0,2)-， 所以直线AB 过定点(0,2)-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知斜率为1的直线l 经过点(1,1)P ． （1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，求22PA PB-的值．答案：（1）1:12x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数；（2） 解：（1）直线l 的参数方程为π1cos 4π1sin4x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数，即112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数． （2）将112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入224x y +=，化简整理得220t +-=， 因为||||||4PA PB AB +==，12||||||||PA PB t t -=+=所以22||||||PA PB -= 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()2121f x x x =++-．（1）解不等式()(1)f x f >；（2）若不等式11()f x m n ≥+（0m >，0n >）对任意的x ∈R 都成立，证明：43m n +≥． 答案：（1）3(,)(1,)2-∞-+∞U ；（2）证明见解析． 解：（1）()(1)f x f >，即21215x x ++->． ①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-， 综上，所求的x 的取值范围是3(,)(1,)2-∞-+∞U ．（2）因为21212221(22)(21)3x x x x x x ++-=++-≥+--=，所以113m n+≤． 因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥，所以43m n +≥≥，当且仅当32==n m 时等号成立．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1} B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2B ．5C ．2D ．53．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 56．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩…在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．211．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，()f x =13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= ．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B = ．16．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）设直线:AB y =与直线:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅【解答】解：Q 集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}， {0A B ∴=I ，1}．故选：B ． 2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2 B ．5 C ．2 D ．5【解答】解：22(2)12i i iz i i i++===-，则22||1(2)5z =+-=， 故选：B ．3．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【解答】解：Q ||1,||2,3a b a b ===r rr r g， ∴3cos ,a b <>=r r ，且0,a b π<>rr 剟，∴向量,a b r r 的夹角为6π．故选：A ．4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当12a =时，12(),()f x x g x log x ==，选项B 符合． 故选：B ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 5【解答】解：双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0)F ，F 到渐近线520x y +=的距离35554FA ==+则222352AO OF FA =--=． 则1152522OAF S FA OA ∆==g 故选：D ．6．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【解答】解：模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i = 满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i = 满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i = 此时，不满足条件100i <，退出循环，可得(12)(34)(56)(99100)50S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数， 所以2πϕ=，()cos f x x ω=；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 则()f x 在[0，2)π内的零点个数为3个． 故选：C ．9．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]【解答】解：要使得函数2,01(),1aa x x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-⎩„，故12a <„；则a 的取值范围为(1，2]． 故选：C ．10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．11．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，则(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，则函数的周期是4，[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+()f x 在[1-，1]上为增函数，1333333(log 54)(log 54)(3log 2)(3log 24)(log 21)(1log 2)f f f f f f =-=-+=-+-=--=-，20191111()(10081)(1)(1)()22222f f f f f =++=+=-= f （3）(34)(1)f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， 31(1)()(1log 2)2f f f ∴-<<-，即c b a <<， 故选：C ．12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED∆的面积为2，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设2(4b B ，)b ，(D D x ，0)，由题意可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，所以可得(1,)C b -，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得2(4E b x -，1)(12E E y b x -=-，)E y -，可得226E b x +=，23E b y =，即22(6b E +，2)3b ，因为C ，E ，D 三点共线，可得CDCE k k =，即2232116Db bb b x -=+----， 可得232D b x =+，因为BED ∆的面积为22，所以3213(1)22BFD BED D S S x b ∆∆===-g ，即34620b b +-=，可得2b =， 所以2(2)34D x =+=，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= 45- ．【解答】解：tan 3α=-Q ，2222221194cos21195cos sin tan cos sin tan ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 9 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =45． 【解答】解：因为4sin 5sin c B b A =， 由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =， 因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =，由余弦定理可得，22222225941616cos 5254a a a a c bB aca α+-+-===g g ．故答案为：4516．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 21(e -，0) ． 【解答】解：()2x f x xe ax =-+在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则()(1)0x f x x e a '=+-=在(,0)-∞的区间内有两个解，即(1)x a x e =+在(,0)-∞的区间内有两个解，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，易得，当(,2)x ∈-∞-，()0g x '<，函数单调递减，当(2,0)x ∈-，()0g x '>，函数单调递增， 又x →-∞时，()0g x <，且21(2)g e-=-， 故210a e -<<， 故答案为：21(e -，0) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ． 【解答】解：（1）证明：11323n n n a a ++=+⨯， 可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则12(1)21n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得(21)3n n a n =-g，*n N ∈； （2）2113521(121)2n S n n n n =+++⋯+-=+-=，2(1)(1)n n n n c S n =-=-g g ，22222222801234567980(21)(21)(43)(43)(65)(65)(8079)(8079)T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+1123456798080(180)32402=++++++⋯++=⨯⨯+=．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．)【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(20.10.20.1)21a a a +++++⨯=，解得0.025a =，计算200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计这批树苗的平均高度为25.5cm ；（2）优质树苗有1200.2530⨯=，根据题意填写列联表，A 试验区B 试验区合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计7050120计算观测值2120(10306020)7210.2910.828309070507K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M =Q I ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂Q 平面DMB ，PA BD ∴⊥；（2）解：由（1）知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形PAB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =，又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．∴1223232DBM S ∆=⨯⨯=． 则118323433P ABD BDM V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．∴1632P ABCD P ABD V V --==．20．（12分）设直线6:AB y =与直线6:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD 6 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．【解答】解：（1）由22612y x y m m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223214x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6||||m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由椭圆的对称性可知，四边形ACBD 64||||6x y m ==g，1m ∴=， 故椭圆1C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，点P 为椭圆1C 的左或右顶点，其坐标为())2,02,0-或，不妨取左顶点，即(2,0)P -，此时||2OP =，且直线l 与x 轴垂直，将2x =-代入22142x y +=得，21y =，||2MN ∴=， 所以||22MN OP ==②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，点P 的坐标为0(x ，0)y ，M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=， Q 直线l 与椭圆1C 相切，∴△2222164(12)(22)0k m k m =-+-=，化简整理得，2221m k =+，由韦达定理知，2220222241212m k x k k -==++， ∴222222200022214||2212x x k OP x y x k-++=+=+==+， 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理知，12221224122412km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12|||MN x x =-===，∴2222222218||1112()888314||144112k MN k k k OP k k k +++===++-++g g g „，当且仅当20k =时，等号成立，∴||||MN OP ∈ 综上所述，||MNOP的取值范围为(0,． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >． 【解答】解：（1）当0x =时，(0)2f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2x e a x=，设2()xe g x x=，22(1)()x e x g x x -∴'=， 当1x <且0x ≠时，()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(1,)+∞上单调递递增， 当1x =时，()g x g =极小值（1）2e =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点，即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点． （2）证明：当0x =时，(0)2(0)4f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224xe ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a Q …，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >，只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设2()22x h x e x x =-+-，0x >， ()22x h x e x ∴'=--，令()22x x e x ϕ=--，0x >， ()2x x e ϕ∴'=-，∴当2x ln >时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在(2,)ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在(0,2)ln 上单调递减， ()(2)220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()(0)10x g ϕ<=-<Q ，ϕ（1）40e =-<，ϕ（2）260e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0000()()220x h x x e x ϕ'==--=， ∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，0220000()()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a „时，当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得普通方程：x y m -=．曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．可得曲线C 的直角坐标方程：22222()()12x y x y +--=，∴曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(22,0)-，故m =-C 的方程221124x y +=．（2）直线l的参数方程为x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12||||||2FA FB t t ''==g ，12||||||FA FB t t ''+=-= 故2||||(||||)24||||||||FA FB FA FB FB FA FB FA ++=-=g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2+ai(a∈R)，则|(1−i)z|=4，则a的值为()A. 2B. ±2C. 0D. ±12.已知命题p:∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为()A. ∀x∈R，x≤2B. ∃x0∈R，x0<2C. ∀x∈R，x≤−2D. ∃x0∈R，x0<−23.已知集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}，则A∩B=()A. {−1,3}B. {0,3}C. {−1,0，3}D.{−1,0，3，5}4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为()A. f(x)=2sin(x−π3)B. f(x)=2sin(π6x−1)C. f(x)=2sin(π3x−π3)D. f(x)=2sin(π6x−π6)5.已知抛物线y2=4x，过其焦点F作倾斜角为π4的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，则弦BC 的长为()A. 103B. 2C. 4D. 86.已知函数f(x)=22x−52⋅2x+1−6(x∈[0,3])的值域为()．A. (0,18]B. (2,9]C. [−494,18] D. [−17,−494]7.直线y=kx+1与圆(x−2)2+(y−1)2=4相交于P、Q两点.若|PQ|≥2√2，则k的取值范围是()A. [−34,0] B. [−√33,√33] C. [−1,1] D. [−√3,√3]8.已知某几何体的三视图如图所示(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是()A. 36π+288B. 36π+216C. 33π+288D. 33π+2169.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 32010.阅读下图的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果是()A. 50B. 1012C. 51D.11.设函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论正确的是()A. f(x)的图象关于直线x=π3对称B. f(x)的图象关于点(π6,0)对称C. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π12]上为增函数D. 把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象12.已知f(x)=x2−3，g(x)=me x，若方程f(x)=g(x)有三个不同的实根，则m的取值范围是()A. (0,6e3) B. (−3,6e3) C. (−2e,6e3) D. (0,2e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，向量b⃗ =(1,y)，若a⃗//b⃗ ，则实数y的值是______．14.在等比数列{a n}中，a1=3，2a1+a2=12，则a4=______．15.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．16.在平面直角坐标系xoy中，动点P到两个顶点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则下列命题中真命题的序号是______(1)曲线E经过坐标原点(2)曲线E关于x轴对称(3)曲线E关于y轴对称(4)若点(x,y)在曲线E上，则−3≤x≤3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，a2+a3=7，a4+a5+a6=18．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求1S3+1S6+⋯+1S3n．18.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图．(1)采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取1辆，求恰好为电动汽车的概率；(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助100元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助300元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算．19.如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2BC=2，AB⊥AD，AB⊥BC．(Ⅰ)证明：PC⊥BC；(Ⅱ)若棱锥P−ABCD的体积为√3，求该四棱锥的侧面积．220.已知函数f(x)=(x+a)lnx．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围．21.在平面直角坐标系中，已知两点A(−3,0)及B(3,0)，动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．(Ⅰ)求|PA|+|PB|的值；(Ⅱ)求点P的轨迹方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方)=2√2，两条曲线交于A，B两点．程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−3|(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥x+8的解集；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为5，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=2+ai，∴(1−i)z=(1−i)(2+ai)=(2+a)+(a−2)i，由|(1−i)z|=4，得√(2+a)2+(a−2)2=4，解得a=±2．故选：B．把z=2+ai代入(1−i)z，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模列式求得a的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于简单题．根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题是全称命题，∴命题的否定是∃x0∈R，x0<2．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}={−1,0，3，8，15，…，}，∴A∩B={−1,0，3}．故选：C．4.答案：C。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＞0}，B={x|y=1og2（2-x）}，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，+∞）C. （1，2]D. （2，+∞）2.已知向量=（2m-1，m），=（3，1），若∥，则m=（）A. 1B. ±1C. -1D. -23.已知α是第二象限角，若sin（-α）=-，则sinα=（）A. B. C. D.4.等差数列{a n}中，a3与a8的等差中项为10，则a1+a10=（）A. 40B. 30C. 20D. 105.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 117.已知命题p：函数f（x）=是定义在实数集上的奇函数；命题q：直线x=0是g（x）=x的切线，则下列命题是真命题的是（）A. p∧qB. ￢qC. （￢p）∧qD. ￢p8.已知圆C：x2+y2=4和直线l：y=x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为（）9.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c的频率正好是中音c1的2倍．已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz的音名是（）A. dB. fC. eD.10.函数f（x）=（x2-4x+1）•e x的大致图象是（）A. B.C. D.11.已知椭圆=1（a＞b＞0）与双曲线=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点，且b=n，若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±D. y=±x12.已知函数f（x）=，方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. （-1，1）B. （0，1）C. （-1，0）D. （1，e）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足=-3i，其中i是虚数单位，则复数z的模是______．14.已知实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），则下列关系式正确的为______．①x2+1＞y2② |1-x|＞|y-1|③sin x＞sin y④x3＞y315.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值是______．16.已知点P为直线l：x=-2上任意一点，过点P作抛物线y2=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1•x2为定值，此定值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x．（1）求函数y=f（x）的单调增区间；（2）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A）=0，a=1，求b+c的取值范围．18.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AC=CC1=2，其中P为棱CC1上的任意一点，设平面PAB与平面A1B1C的交线为QR．（1）求证：AB∥QR；（2）若P为棱CC1上的中点，求几何体QR-ABC的体积．19.某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理非优秀总计数学优秀12数学非优秀总计附：K2=，其中n=a+b+c+d．k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.00120.椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-，0）、F2（，0），点A（，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆交于E、F两点，以EF为直径的圆过坐标原点O，求证：坐标原点O到直线l距离为定值．21.某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y（单位：万元）是每日产量x（单位：吨）的函数：y=ln x（x＞1）．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）；（2）记每日生产平均成本为m，求证：m＜16；（3）若财团每日注入资金可按数列a n=（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于41n11亿元．22.曲线C1：（其中t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2直角坐标方程；（2）将C2向左平移2个单位长度，按照变换得到C3，点P为C3上任意一点，求点P到曲线C1距离的最大值．23.已知f（x）=2|x|+|x-1|．（1）解关于x的不等式f（x）＞4；（2）对于任意正数m、n，求使得不等式f（x）≤+2nm恒成立的x的取值集合M．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x-1＞0}={x|x＞1}，B={x|y=1og2（2-x）}={x|2-x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}故选：A．求出集合A，B的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：∵向量=（2m-1，m），=（3，1），∥，∴=，解得m=-1．故选：C．利用向量与向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题.直接利用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】解：由sin（-α）=-，可得cosα=-，∵α是第二象限角，∴sinα==．故选：D．4.答案：C解析：解：a1+a10=a3+a8=20，故选：C．由下标定理可得结果本题考查了等差数列的性质，属基础题．5.答案：B解析：解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B．要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．定理公理综合运用能力的考查，属中档题6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0不满足条件S≥，执行循环体，S=，n=3不满足条件S≥，执行循环体，S=+，n=5不满足条件S≥，执行循环体，S=++=，n=7此时，满足条件S≥，退出循环，输出n的值为7．故选：B．先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．本题考查程序框图．要掌握常见的当型、直到型循环结构；以及会判断条件结构，并得到条件结构的结果；在已知框图的条件下，可以得到框图的结果．7.答案：A解析：解：f（-x）===-=-f（x），即f（x）是奇函数，故命题p是真命题，函数的导数g′（x）==，当x=0时，g′（x）不存在，此时切线为y轴，即x=0，故命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题，故选：A．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q的真假是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：如图，设与直线y=x平行的直线方程为x-y+c=0，由O到直线x-y+c=0的距离为，即OD=，且OB=2，得∠BOD=30°，则∠AOB=60°，∴则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为P=．由题意画出图形，求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小，由测度比是角度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．9.答案：D解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与指数幂的计算能力，属于中档题．220Hz的音比a1的频率低，故可将a1的频率记为第一项，220Hz的音设为第n项，则这个数列是以440Hz为第一项，以q=为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从#g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q=由220=440×，解得n=7，频率为220Hz的音名是（#d），故选：D．10.答案：A解析：解：当x＜0时，x2-4x+1＞0，e x＞0，所以f（x）＞0，故可排除B，C；当x=2时，f（2）=-3e2＜0，故可排除D．故选：A．用x＜0排除B，C；用x=2排除D．故选A．本题考查了函数图象与图象的变换，属基础题．11.答案：C解析：解：椭圆的半焦距为c，则以题意可得：又n=b，所以，所以，双曲线的方程为：，双曲线的渐近线方程为：y=．故选：C．利用椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质，列出方程，转化求解双曲线方程，即可得到渐近线方程．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：C解析：解：当x＞0时，f（x）=，所以f′（x）=，易得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）所以f（x）max=f（1）=1，设t=f（x），则方程f2（x）+mf（x）=0可变为t2+mt=0，解得：t=0或t=-m则方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由图可知：0＜-m＜1，即-1＜m＜0，故选：C．由导数的应用得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以f（x）=f（1）=1，max由方程的解的个数与函数图象的交点个数的关系得：方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的位置关系可得：-1＜m＜0，得解本题考查了利用导数研究函数的单调性，图象，方程的解的个数与函数图象的交点个数，属中档题13.答案：解析：解：由=-3i，得z=-3i（1+i）=3-3i．则复数z的模是．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．14.答案：①②解析：解：∵实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），∴x＜y＜0，∴x2+1＞y2，故①正确；∴-x＞-y＞0，1-x＞1-y＞1，∴|1-x|＞|y-1|，故②正确；不一定有sin x＞sin y，故③不一定正确；∴x3＜y3 ，∴④不正确，故答案为：①②．由题意利用指数函数的单调性，判断x＜y＜0，从而得出结论．本题主要考查指数函数的单调性，判断x＜y＜0，是解题的关键，属于基础题．15.答案：3解析：【分析】本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分，由，解得A（1，0）目标函数z=3x+y可看作斜率为-3的动直线，其纵截距越大，z越大，由数形结合可得当动直线过点A时，z最大=3×1+0=3．故答案为：3．16.答案：4解析：解：不妨设P（-2，0），过P的切线方程设为y=k（x+2），代入抛物线方程y2=2px（p＞0）得k2x2+（4k2-2p）x+4k2=0，又k≠0，故x1x2=4．故答案为4．取P的特殊位置，设出切线方程并与抛物线方程联立，再根据一元二次方程根与系数的关系求解．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意利用特殊化思想处理客观题，可以大大提高解题的效率．17.答案：解：（1）函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x=cos2x+sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的单调递增区间是（kπ-，kπ+），k∈Z．（2）△ABC中，已知f（A）=sin（2A-）-1=0，∴2A-=，∴A=．∵a=1，由正弦定理可得===，∴b+c=（sin B+sin C）=[sin B+sin（-B）]=（sin B+cos B+sin B）=sin B+cos B=2sin（B+）．∵B∈（0，），∴B+∈（，），∴2sin（B+）∈（1，2]．所以b+c的范围是（1，2]．解析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）先由题意求得A，再利用正弦定理求得b+c的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得b+c的取值范围．属于中档题．18.答案：证明：（1）在直线三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C，∵平面PAB与平面A1B1C的交线为QR，且AB⊂平面PAB，∴AB∥QR．解：（2）在侧面BCC1B1中，∵BC=2，CC1=2，P为棱CC1上的中点，∴tan∠BB1C===，tan=，∴∠BB1C=∠PBC，∴PB⊥B1C，∴CR⊥PB，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB=BC=2，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴QR⊥平面BCC1B1，∵BC=2，PC=，∴CR===，∵△PRC∽△PCB，∴PR===，∵AB∥QR，∴，∴QR===，∴几何体QR-ABC的体积：V A-PBC-V Q-PBC=-=．解析：（1）由AB∥A1B1，得AB∥平面A1B1C，由此能证明AB∥QR．（2）推导出tan∠BB1C===，tan=，从而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，CR⊥PB，由BB1⊥平面ABC，得BB1⊥AB，推导出AB⊥BC，从而AB⊥平面BCC1B1，QR⊥平面BCC1B1，几何体QR-ABC的体积V A-PBC-V Q-PBC．本题考查线线平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）有频率分布直方图可知众数为85，∵0.02×10+0.026×10=0.46＜0.5，所以中位数位于区间（80，90），设为x，则0.46+（x-80）×0.03=0.5，解得x=，所以中位数为81.33．（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，物理优秀物理非优秀合计数学优秀12 1224数学非优秀8 6876合计 20 80100K2=≈17.76＞10.828，故有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关．解析：（1）众数在最高的矩形中，取其中点值即可，中位数是使概率为0.5的数学成绩，根据0.46+（x-80）×0.03=0.5解得即可；（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，由此可得列联表，计算出K2，结合临界值可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：（1）由椭圆定义可知，2a=|AF1|+|AF2|=+=4，所以a=2，因为c=，所以b=1，椭圆C的方程为：+y2=1；（2）证明：由可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，△=64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）＞0，即4k2+1＞m2，设E（x1，y1），F（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴•=x1x2+y1y2=（1+m2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+m2）+km（-）+m2=0，∴4k2+4=5m2，∵d===，所以坐标原点O到直线l距离为定值．解析：（1）由椭圆定义可知，2a=|4，求出a，再求出b，即可得到椭圆方程；（2）联立方程组消y，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点O到直线l的距离为定值．本题考查椭圆方程，考查原点到直线的距离为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式的合理运用．21.答案：解：（1）y=ln x的导数为y′=-ln x，当x=3时，y′|=-ln3=12-3ln3，当日产量为3吨时的边际成本为12-3ln3万元；（2）证明：=ln x，x＞1，要证m＜16，即证2x lnx＜x2-1，即为2ln x＜x-，即为2ln x-x+＜0，设h（x）=2ln x-x+，x＞1，h′（x）=-1-==-＜0，可得h（x）在x＞1递减，可得h（x）＜h（1）=0，则m＜16成立；（3）证明：由（2）可得x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，则a1+a2+…+a60＞2ln3+2ln+…+2ln=2ln（3•…）=2ln121=4ln11．即为这60天的总投入资金大于41n11亿元．解析：（1）求得函数y的导数，令x=3代入角色可得所求值；（2）运用分析法证明，结合构造函数法，运用导数，判断单调性可得证明；（3）由x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，运用累加法和对数的运算性质，即可得证．本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查不等式的证明，运算能力和推理能力，属于中档题．22.答案：解：（1）由消去t得x-y-2=0，由ρ=2a cosθ得ρ2=2aρcosθ，得x2+y2-2ax=0，依题意C2的圆心C2（a，0）在C1：x-y-2=0上，所以a-0-2=0，解得a=2，故曲线C1的普通方程为x-y-2=0，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x=0．即（x-2）2+y2=4．（2）C2向左平移2各单位长度后得x2+y2=4，再按照变换得到C3：x2+=1，设P点坐标为（cosθ，），P点到C1的距离为d==，当θ=时，点P到C1的距离最大，最大值为2．解析：（1）消去参数t可得C1的普通方程，两边同乘以ρ后可得C2的直角坐标方程，利用直线过圆心可得a=2；（2）利用图象变换先得C3，再C2上设P点，由点到直线的距离求出距离d再根据三角函数求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=2|x|+|x-1|，当x≤0时，不等式f（x）＞4化为-2x-（x-1）＞4，解得x＜-1；当0＜x＜1时，不等式f（x）＞4化为2x-（x-1）＞4，解得x＞3，所以x∈∅；当x≥1时，不等式f（x）＞4化为2x+（x-1）＞4，解得x＞；综上，不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞}；…（5分）（2）对于任意正数m、n，+2nm≥2•+2nm≥4，当且仅当m=n=1时“=”成立，所以不等式f（x）≤+2nm恒成立，等价于2|x|+|x-1|≤4，由（1）知，该不等式的解集为{x|-1≤x≤}，所以x的取值集合是M=[-1，]．…（10分）解析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞4的解集；（2）利用基本不等式求出+2nm的最小值为4，把不等式f（x）≤+2nm恒成立化为2|x|+|x-1|≤4，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）项是符合题目要求的SOAF6．（5 分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对 前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮， 7班肯定得第一名” ． 老师乙：“我觉得 14班比 15班强，14班名次会比 15 班靠前”．、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有1． 5 分）己知集合 A { x | x 1} ，3， 2， 1，0， 1} ，则A IB (2． 3． 4． A ． { 1，0， 5 分）设 z1} B ．{0， i，则 |z | (B ．5 分）己知向量 | a | 1 ， A ．6B ．|b| 5 分)函数 f (x) x a (x ⋯0) ，垂足为 A ， 1} 2，agb g (x) logy 1 的右焦点为5 O 为坐标原点，则C ．C ． { 1 ，1]D ．D ．53 ，则向量 a r 与向量 b 的夹角为 （C ．3D ．23x ，则 f （x ） 与 g （x ） 的图象可能为 （F ，过点 F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，A ．B ． 3 5C ． 2 55．（ 5 分）已知双曲线 x4老师“我觉得7 班能赢15最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你C．51 D．510，0 ) 为偶函数，且该函数离原点最近的11．(5 分)已知f (x) 为定义在R 上的奇函数，且满足f (1 x)A．1B．2C．3D．49．( 5分)己知函数 a x 2,0 f ( x)x, 1,在(0,) 为单调递增函数，则 a 的取值范围为( )A．(1, )log a x, x 1B．(1,2)C．(1，2]D．(0，2]一个对称中心为(3，0)，则f(x)在［0，2 )内的零点个数为( )10．( 5 分)已知三棱锥S ABC 的外接球为球O ，SA为球O的直径，且SA 2 ，若面SAC们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为A ．7班、14班、15班C．14班、15班、7 班7．(5 分)如图是一个算法流程图，输出的B．14 班、7 班、15班D．15 班、14 班、7 班S为( )A ．50B ．508．( 5 分)已知函数f ( x) sin( x )(面SAB ，则三棱锥S ABC 的体积最大值为(1 A．3 B．C．1 D．2f(1 x) ，已知x ［0 ，1］时，22019f(x) ln x 2 1，若 a f (log 1 54) ， b f (2019) ， c f (3)，则 a ， b ， c 的大小关系为 13 2()A ． a b cB ． b a cC ． c b aD ． c a b连接 CE 并延长交 x 轴于点 D ，已知 BED 的面积为 2 ，则 D 点的横坐标为 （（ ）2A ．3B ．4C ． 5D ． 6二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分.13．（5 分）已知 tan3 ，则 cos22x 3 y 6⋯0,14．（5分）若变量 x ， y 满足约束条件 x y 3, 0, 则z 3x y 的最大值是 y 2, 0,4csinB 5bsin A ，则 cosB1）求证：数列 {b n } 是等差数列，并求数列 （b n ）的通项公式：2）数列{b n }的前n 项和为 S n ，设c n （ 1）n gS n ，求数列 （c n ）的前 80项和T 80 ． 18．（ 12分）为了解某品种一批树苗生长情况， 在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本， 测量树苗高度 （单位： cm ） ，经统计， 其高度均在区间 ［19，31］内，将其按 ［19， 21），［21， 23） ， ［23 ， 25） ， ［25 ， 27），［27， 29），［29， 31］分成 6组，制成如图所示的频率分布直 方图．其中高度为 27cm 及以上的树苗为优质树苗． （1）求图中 a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）；212．（5 分）己知抛物线 C :4x 的焦点为 F ，过点 F 作直线与抛物线交于 A 、 B 两点， B点在第一象限， 过点 B 作抛物线准线的垂线， uuur 1 uuur 垂足为 C ，点E 为BF 上一点，且BE EF ，215．（ 5 分）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b c 2a ，16．（5 分）若函数 f （ x ） xe x ax 2（e 为自然对数的底数）在,0） 的区间内有两个极值点，则实数 a 的取值范围为三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～ 21 题为必考题每个试题考生都必须作答 .第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分 .17．（12分）已知数列 {a n }满足a 1 3，a n1 3a n 2 3n1（n N *），数列 {b n }满足b nan3n2A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整， 并判断是否有 99.9%的把握认为优质树苗与 A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．2P(K 2⋯k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828参考公式：2K 2 (a b)(c n(a d d )(a bc)c 2)(b d)，其中n a b c d ．)1）证明： AP BD :2）若 BD 4 ，求四棱锥 P ABCD 的体积．ABP 是等边三角形且ABCD 是平行四边形，边长是 4， DA DP 2 2 ．6 6 x2y220．(12分)设直线 AB:y66x与直线CD:y66x 分别与椭圆 C 1:2x m y m1(m 0)交于点 A ，B ，C ， D ，且四边形 ACBD 的面积为 6． (1)求椭圆 C 1 的方程；22(2)过椭圆 C 1上一点 P 作椭圆 C 1的切线 1，设直线 l 与椭圆 C 2: xy1相交于 M ，N 两42点， O 为坐标原点，求 | MN |的取值范围．OPx221．(12分)已知函数 f(x) 2e x ax(a 0)， g(x) 2x 2 4． 1)讨论函数 f (x) 的零点个数；2)设 a, 4 ，证明：当 x ⋯0时， f (x) g(x) ．22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题 计分 .[选修 4-4：极坐标与参数方程 ]轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2cos2 12 ．若曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上，且直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点．(1)求 m 的值并写出曲线 C 的直角坐标方程；| FA | | FB |(2)求的值．|FB | |FA|[ 选修 4-5：不等式选讲 ]1123．已知函数 f(x) |x | ，且对任意的 x ， f (x) f( x )⋯m ．(1)求 m 的取值范围；( 2)若 m N ，证明： f (sin 2 ) f (cos 2 a 1), m ．、选考题：共 10 分 .请考生在第 22．( 10分)已知直线 l 的参数方程为x y m t t (t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半2020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 .3，且 0剟 a r ,b r2向量 a r ,b r 的夹角为 ．6 故选： A ．1．（5 分）己知集合 A {x|x1}， B { A ．{ 1，0， 1} B ．｛0， 1} 【解答】 解：Q 集合A{x|x1} ， B {A IB {0 ，1} ．故选： B ．2i2．（5 分）设 z则 |z| ()A ． 2B ． 5【解答】 解： z 2 ii(2 i )ii 21 2i ，则故选： B ．r r r r 3．（5 分）己知向量 |a | 1， |b | 2， a r gb A ． B ．64【解答】 解：Q|a r | 1,|b r | 2,a r gb r 3，3， 2， 1，0， 1} ，则 A I B ()C ．{ 1，1]D ．3， 2， 1，0， 1}，C ． 2D ． 5|z| 12 （ 2）2 5 ，3 ，则向量 a r 与向量 b 的夹角为 （ ）334．( 5 分)函数 f (x) x a (x ⋯0) ，g (x) log x ，则 f （x ） 与 g （x ） 的图象可能为 （A．解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，f (x) x,g(x) log1x ，选项 B 符合．2故选： B ．225．（ 5 分）已知双曲线 x y1的右焦点为 F ，过点 F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ， 45O 为坐标原点，则SOAF ()A ． 3B ． 35C ． 2 5D ． 52 2解答】 解：双曲线 x 4 y 5 1的右焦点为 F （3,0） ， F 到渐近线 5x 2y 0的距离则 AO OF 2 FA 232 5 2 ．则S OAF 1 FAgOA 1 5 2 5，OAF2 2故选： D ．6．（5 分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7 班男生比较壮， 7 班肯定得第一名” ．老师乙： “我觉得 14班比 15班强， 14班名次会比 15 班靠前”． 老师丙：“我觉得 7 班能赢 15班”． 最后老师丁去观看完了比赛，回来后说： “确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你 们三人中只有一人预测准确” ．那么，获得一、二、三名的班级依次为 （ ）14班名次比 15 班靠后， 7班没能赢 15 班，故甲预测错误；FA35545．A ．7班、 14班、 15班C ．14班、15班、7 班B ．14 班、7 班、15班 D ．15 班、14 班、7 班2解答】 解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7 班不是第一名， 14 班名次比 15 班靠前， 7 班没能赢 15 班， 则获得一、二、三名的班级依次为 14 班， 15班， 7 班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误， 7 班不是第一名， 14 班名次比 15 班靠后， 7 班能赢 15 班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为 14班， 15班，7班． 故选： C ． 7．（5 分）如图是一个算法流程图，输出的 S 为 ( ) 解答】 解：模拟程序的运行，可得 C ． 51 D ． 51N 0， T 0 ， i 1 满足条件 i 100， 执行循环体， N 满足条件 i 100， 执行循环体， N 满足条件 i 100， 执行循环体， N 观察规律可知，当i 99 时，满足条件 i 100， 执行循环体， N 此时， 不 满足 条 SNT (1 2) (3 4) (56) 故选： B ．1， T 2，i 31 3， T2 4， i51 3 5，T2 4 6 ， i71 3 5 99，T2 46 100， 件i 100退 出循环，(99 100) 50．101 可得8．( 5分)已知函数 f(x) sin( x )( 0， 0 ) 为偶函数，且该函数离原点最近的解答】 解：如图，一个对称中心为 ( ， 0)，则 f(x)在[0， 2 )内的零点个数为 ( ) 3a1 则满足 ，故 1 a, 2 ； a 2, 0则 a 的取值范围为 (1， 2] ． 故选： C ．10．(5分)已知三棱锥 S ABC 的外接球为球 O ，SA 为球O 的直径，且SA 2，若面 SAC 面SAB ，则三棱锥 S ABC 的体积最大值为 ( )12 A ．B ．C ． 1D ． 233A ．1B ．2C ．3D ．解答】 解：由函数 f (x) sin( x )( 0，0 ) 为偶函数，所以 2， f(x)cos x ；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为 (3 ，0)， 所以 T ， T434 2，3，3； 2；9．( 5分)己知函数 f ( x)a x 2,0 log a x, x 1x, 1x, 1在 (0, )为单调递增函数，则a 的取值范围为 (A ． (1, )B ． (1,2)C ．(1， 2]D ．(0， 2] 解答】 解：要使得函数 f (x)ax log a x,2,x, 1 11在 (0, )上为增函数，) 内的零点个数为 3 个． 则 f ( x) 在 [0 ， 2连接 OC ， OB ，则 V S ABCOBC OBC两三棱锥高的和的最大值为SA 2 ． 要使 三 棱 锥 S ABC 的 体 积 最 大 ， 则 OBC 面 积 最 大 为1OBOC 1sin BOC 1 1 11222三棱锥 S1ABC 的体积最大值为 11 2 1．3 23．()A ． a b c解答】 解：Q f (x)为定义在 R 上的奇函数，且满足 f (1 x) f (1 x) f ( x 1) ，则 f (x 2)f (x) ，即 f ( x 4) f ( x) ，则函数的周期是 4，x [0 ， 1]时， f (x) ln x 2 1 ，为增函数，则 f (x) 在 [ 1， 1]上为增函数，f (log 1 54) f ( log 3 354) f (3 log 3 2) f (3 log 3 2 4)f (log 3 2 1) f(1 log 3 2) ，2019f (1008 11111f ( 20219) 12) f (1 12) f(1 21)f(12)f ( 3)f (3 4)f ( 1)，Q1121 log 3 2，f ( 1) 1f ( 2) f (1log 3 2)，即 c b a ，故选： C ．11．(5 分)已知 f (x) 为定义在 R 上的奇函数， 且满足 f(1 x) f (1 x) ，已知 x [0 ，1]时，f ( x) ln x 21 ，若 a f (log 1 54) ，bf ( 20219) ，cf 3)，则 a ，b ，c 的大小关系为C ． c b af (1 x) f (1 x) ， 故选： A ．212．（5分）己知抛物线C:y2 4x的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A、B两点，点在第一象限，过点B作抛物线准线的垂线，垂足为 C ，点E为BF上一点，且u B u E urBED 的面积为2，则D 点的横坐标为（（2连接CE 并延长交x 轴于点D，已知A．3 B．4 C．5 D．6解答】解：设B( b4，4 b)， D (x D ，0），由题意可得焦点F（1,0），准线方程为1，以可得C( 1,b) ，uuur 由BEb2 4可得x Euuur1 EF ，可得(x E222 b2 2b ，y E ，即631y E b) (1 x E ，y E )2222，b) ，3E(26b因为 C ，E，D三点共线，可得kCD kCE ，即b1 x Db2b3，2 b2，6 可得x D3 b22，2因为BED 的面积为2，所以2 S BFD 3S BED3 2 1 (x D2 2D1)gb，即b34b 6 2 0 ，可得 b 2 ，4，20分.13．（ 5 分）已知tan3 ，则cos2所以x D 3 (22)解答】解：Q tan 3，5cos22 cos 2 sin 1 tan 2 19 194．52cos2sin1 tan 2故答案为：4．5．2x 3 y 6⋯0,14．（5 分）若变量x ， y 满足约束条件 x y 3, 0, 则 z 3x y 的最大值是 9y2, 0,2x 3 y 6⋯0,解答】 解：由约束条件 x y 3, 0, 作出可行域如图： y 2, 0,y 3x z 过 A(3,0) 时，故答案为： 9．15．（5 分）在 ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b c 2a ，4csinB 5bsin A ，则 cosB解答】 解：因为 4csinB 5bsin A ， 由正弦定理可得， 4bc 5ba 即 4c 5a ， 因为 b c 2a ， 所以 b 3 a ，c 5 a，44由余弦定理可得， cosBa2 c 2b 2225 2 9 2 a a a 16 162ac5 gag 54直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 9 ．当直线x16．(5 分)若函数 f (x) xe x ax 2( e 为自然对数的底数)在 ( ,0)的区间内有两个极值点，则实数 a 的取值范围为 ( 12 ， 0)e 2【解答】解： f ( x) xe xax2在 ( ,0) 的区间内有两个极值点，则f (x) (x 1)e x a 0在 ( ,0) 的区间内有两个解，即 a ( x1)e x 在(,0) 的区间内有两个解，令 g( x) (x 1)e x ，则 g ( x) (x 2)e x ，易得，当 x ( , 2) ， g (x) 0 ，函数单调递减， 当 x ( 2,0) ， g ( x) 0 ，函数单调递增，又x时， g(x) 0 ，且1 g( 2)2 ，e1故2 a 0 ，e 2故答案为： ( 12 ， 0)e 2三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～21题为必考题每 个试题考生都必须作答 .第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 .(一)必考题：共 60 分.17．(12分)已知数列 {a n }满足a 13，a n13a n2 3n1(nN *)，数列 {b n }满足b na n n ．n 1 n n3n(1)求证：数列 {b n } 是等差数列，并求数列 (b n )的通项公式：2)数列 {b n }的前 n 项和为 S n ，设 c n ( 1)n gS n ，求数列 (c n )的前 80项和 T 80．解答】 解：( 1)证明： a n 1 3a n 2 3n 1，则 b n 1 b n 2 ，即 b n 1 b n 2 ， 可得数列 {b n } 是首项为 1，公差为 2的等差数列；a则 b n 1 2( n 1) 2n 1 ，即 n n 2n 1 ，3n可得 a n (2n 1)g3n ， n N* ；12 (2) S n 1 3 5 2n 1 n(1 2n 1) n 2 ， n 2n n 2c n ( 1)n gS n ( 1)n gn 2 ，可得an 13nan3n2，79)第15页（共 20页）222222 2 2T 80122232425262792 802 (2 1)(2 1) (4 3)(4 3) (6 5)(6 5) (80 79)(8011 2 3 4 5 6 79 80 2 80 （1 80） 3240．18．（ 12分）为了解某品种一批树苗生长情况， 在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本，测量树苗高度 （单位： cm ） ，经统计， 其高度均在区间 ［19，31］内，将其按 ［19， 21），［21， 23） ， ［23 ， 25） ， ［25 ， 27），［27， 29），［29， 31］分成 6组，制成如图所示的频率分布直 方图．其中高度为 27cm 及以上的树苗为优质树苗．1）求图中 a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；2）已知所抽取的这 120 棵树苗来自于 A ， B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整， 并判断是否有 99.9%的把握认为优质树苗与 A ，B 两个试验区有关系， 并说明理由．2P(K 2⋯k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.8282a 0.1 0.2 0.1 a) 2 1，解得 a 0.025，面的临界值表仅供参考：参考公式：2n(ad bc)2，其中 n a b c d ．)(a b)(c d)(a c)(b d )K 2又 BD 4 ， DM 2 BM 2 DB 2，得 DM BM ．2， 计算 x 20 0.05 22 0.1 24 0.2 26 0.4 28 0.2 30 0.05 25.5 ， 估计这批树苗的平均高度为 25.5cm ；2计算观测值 K 2 120 (10 30 60 20) 72 10.29 10.828 ，30 90 70 50 7没有 99.9%的把握认为优质树苗与 A ， B 两个试验区有关系．19．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， ABP 是等边三角形且边长是 4， DA DP 2 2 ． （1）证明： AP BD :（2）若 BD 4 ，求四棱锥 P ABCD 的体积．解答】（1）证明：取 AP 中点 M ，连接 DM ，BM ，Q DA DP ， BA BP ，PA DM ， PA BM ，Q DM I BM M ， PA 平面 DMB又Q BD平面 DMB ，PA BD ；（2）解：由（ 1） 知， PA 平面 BDM在等边三角形 PAB 中，由边长为 4，得 BM16 4 2 3，在等腰三角形 ADP 中，由 AD DP 2 2，AM 2，得 DM 2，22x y 2S DBM 2 2 3 2 3．则 VP ABD SBDM1 8 3 PA234 33 16 3VP ABCD 2VP ABD6620．（12分）设直线 AB:y 6x 与直线 CD: y 6x 分别与椭圆 66 2C 1 : x2m2y1(m 0) 交 m于点 A ，B ，C ， D ，且四边形 ACBD 的面积为 6． 1）求椭圆 C 1 的方程；2）过椭圆 C 1 上一点 P 作椭圆 C 1的切线 1，设直线l 与椭圆2 C 2:x 4 2y1 相交于 M ，N 两 2点， O 为坐标原点，求 | MN | 的取值范围． OP解答】 解：（ 1）由6y6 x 6 2 ，解得 y 2 * * 1 m 2x 2m由椭圆的对称性可知，四边形3 m 2 1 m 4|x| |y|6m 2 m 2ACBD 为矩形， 且其面积4|x|g| y| 6m ， m 1，1．2）① 当直线 l 的斜率不存在时， 点 P 为椭圆C 1 的左或右顶点， 其坐标为 2,0 或 2,0 ， 不妨取左顶点，即 P （ 2,0） ， 此时 |OP|2 ，且直线 l 与 x 轴垂直，将 x 2 代入又 BD 4 ， DM 2 BM 2 DB 2，得 DM BM ．2，1得， y 2 1， |MN | 所以 |MN | 2 2 ； OP 2y kx m ，点 P 的坐标为 （x 0， y 0）， M 、N 的坐标2②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为分别为（x1，y1），（x2，y2），y 联立x22 kx m，得(11222k2 ) x2 4kmx 2m2 2 0 ，Q 直线l 与椭圆C1 相切，2216k2m2224(1 2k 2)(2 m22） 0 ，化简整理得，m222k21 ，由韦达定理知，2 x2|OP |2 2 x0 2 y0 2 x022m 22k22 x0224k21 2k2x02 2221 4k 2，2，1 2k 2y 联立x24 kx2y2(1 22k2)x 24kmx 2m 4 0，x1 x2由韦达定理知，x1x24km 1 2k 2 2m2 4 1 2k 2| MN | 1 k2 |x1 x2 | 2 8m2 16 32k 212k21 k2 g228(2 k2 1) 16 32k 21 2k22 2g 112k k21 2k2(| MN |)2 (|OP|)1 k2 g1 2k1 4k 21 2k 2k228g114k8g4131 k2, 8 ，当且仅当k20 时，等号成立，| MN ||OP |(0,2 2]综上所述，| MN |的取值范围为(0, 2 2] OP21．（12 分）已知函数 f （x） 2e x ax （a2 0)，g(x) 2x2 4．1）讨论函数f （x）的零点个数；2）设a, 4 ，证明：当x⋯0时，f( x) g(x)．解答】解：（1）当x 0时，f (0) 2，x 0 时， f ( x) 2e x ax 0 ，即 ax 2e x，x设g( x)x 2e x，x 0，时， g(x) 0 ，当 x 时， g( x)分别画出 y f (x) 与a 的图象，如图所示，2e 时， y f (x) 与 y a 的图象只有一个交点，即函数 f(x)只有一个 零点，2e 时， f (x) 与 y a 的图象有两个交点，即函数 f (x)有两个零点．g ( x)2e x (x 1)，1且x 2x0时， g(x) 0，即 g(x)在( ,0) ， (0,1)上单调递减， 1时，g (x) 0 ， 即 g(x)在 (1, )上单调递递增，1时，g( x) 极小值g ( 1) 2e ， 当0 a 2e 时， y f(x) 与 y a 的图象没有只有交点，即函数 f(x) 没有零点， 只要2x 4 ，x 0xx只要证 2 e x2x24 4x0，即证 x2ex22x 0设 h( x) x e x 22 2x ， x 0，h(x)xe 2x 2，令 ( x)xe 2x 2，x0，(x)xe2，当x ln2 时， (x) 0 ，函数(x) 在 (ln2, ) 上单调递增，当 0 x ln2 时， (x) 0， 函数 (x) 在 (0,ln2) 上单调递减，(x)min(ln2) 2ln2 0Q ( x) g(0 )10， (1 ) e 4 0 ，( 2) e 2 6Q a, 4， x使得 h (x 0)(x 0) e x 02x 0 2 0 ，结合图象可得，当 a 当a 2) 证明：当 x 0 时， f (0) 2 g(0) 4 ，此时 a 取任何数都成立，当x 0时，要证当 x 0 时， f (x)g(x) ，只要证 2e x ax 2x 2 4 ，即证 2e x 2xx4，x存在 x 0 (1,2) ，当x (0, x 0)时， h(x) 0 ，函数 h(x) 单调递减，当 x (x 0 ，）时， h （x ） 0，函数 h （x ） 单调递增，h( x)min h( x 0) e x 0x 02 2 2x 0 4 x 02 0， e x x 2 2 2x 0 成立， 即当 x 0时， f(x) g(x) ，二、选考题：共 10分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题 计分 .[选修 4-4：极坐标与参数方程 ]轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2cos2 12 ．若曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上，且直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点． （1）求 m 的值并写出曲线 C 的直角坐标方程； （2）求 |FA| |FB |的值．|FB | |FA|【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 x m t （t 为参数），消去参数 t 可得普通方程： x y m ． yt 曲线C 的极坐标方程为 2 2 2cos2 12．可得曲线 C 的直角坐标方程：2 2 2 22（x 2 y 2） （x 2 y 2 ） 12，22曲线 C 的标准方程为 x y 1，则其左焦点为 （ 2 2,0） ，12 422．（ 10分）已知直线 l 的参数方程为x y m t t （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半222故m 2 2 ，曲线 C 的方程x y12 41．x2）直线l 的参数方程为2222t2 t x22，与曲线C 的方程x122y 1 联立，4得t 22t 2 0 ，则| FA |g| FB | |t1t2 | 2，|FA| |FB| |t1 t2 | (t1 t2)24t1t2故||F F B A||||F F B A| |2(|FA| |FB |)22 4．|FB |g| FA | 2 4．[ 选修4-5：不等式选讲]23．已知函数 f （x） | x 112|，且对任意的x ，f ( x) f (1)⋯m．21）求m 的取值范围；2）若m N ，证明： f (sin 2 f (cos2 a 1), m ．解答】解：（1） f（x）12)|x12| x | ⋯| x( x) | 1，2，当且仅当（ x 12）x, 0时等号成立，Q f （ x）对任意的x ，f (x) 12)⋯m，m, 1，2，m 的取值范围为（2）由（1）知，m,1,12]12N，．要证 f (sin2) f (cos 1), m，即证 f (sin 2 2f (cos 1),0 ，2Q f (sin 2 ) f (cos21) | sin2112|| cos2112|21|sin22 | cos22sin21,0, sin22,1剟sin2 2121当1剟sin 21时，f (sin 2) f (cos221) 2sin 2 2, 0；当0, sin 212，f (sin 2 2f (cos 1)1，综上， f (sin 2 ) f (cos21),0 ，原命题成立．故椭圆C1 的方程为x y22 2。
