一特征值与特征向量

第４Ｏ卷第４期　２０１６年８月　南昌大学学报（理科版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｃｈａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．４０　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．２０１６　

文章编号：１００６—０４６４（２０１６）０４—０３９９－０４　

计算实对称矩阵特征值特征向量的幂法　

曾　莉，肖　明　

（西南民族大学计算机科学与技术学院，四）１１成都６１００４１）　

摘要：幂法是一种计算实矩阵主特征值的一种迭代方法，在幂法的基础上进行了扩展，提出了一种能计算实对称　矩阵所有特征向量和特征值的迭代方法，并对该方法的收敛性进行了证明，最后通过数值实验验证了该方法的有　效性。　关键词：对称矩阵；特征向量；特征值；幂法　中图分类号：Ｏ２４１．６　文献标志码：Ａ　

Ａｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ　ａｎｄ　ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ　

ｏｆ　ｒｅａｌ　ａｎｄ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　

ＺＥＮＧ　Ｌｉ，ＸＩＡＯ　Ｍｉｎｇ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００１４，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗａｓ　ａｎ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ａ　ｒｅａｌ　

ｍａｔｒｉｘ．Ｂｙ　ｅｘｔｅｎｄｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ　ａｎｄ　

ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ａ　ｒｅａｌ　ａｎｄ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｐｒｏｖｅｄ　ｉｔｓ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　

摘 要

根据现代控制理论课程的特点, 提出并利用MATLAB 设计了现代控制理论课程的实验, 给出了设计的每个实验的主要内容及使用到的MATLAB 函数, 并对其中的一个实验作了详细说明。通过这些实验, 将有助于学生理解理论知识, 学习利用MATLAB 解决现代控制理论问题。

关键词：现代控制理论、MATLAB、仿真。

1设计目的、内容及要求

1.1设计目的

本课程设计以自动控制理论、现代控制理论、MATLAB及应用等知识为基础，求连续系统对应的离散化的系统，并用计算系数阵按模最大的特征根法判别离散系统的稳定性，目的是使学生在现有的控制理论的基础上，学会用MATLAB语言编写控制系统设计与分析的程序，通过上机实习加深对课堂所学知识的理解，掌握一种能方便地对系统进行离散化的实现和分析系统的稳定性的设计的工具。

1.2设计内容及要求

1 在理论上对连续系统离散化推导出算法和计算公式

2 画出计算机实现算法的框图

3 编写程序并调试和运行

4 以下面的系统为例，进行计算

041020122A，100B，111c

5 分析运算结果 6 幂法迭代精度为ep=0.001，离散系统展开项数为20

7 程序应具有一定的通用性，对不同参数能有兼容性。

2算法选择及推导

2.1连续系统离散化算法

书P67离散化意义

已知被控对象的状态方程为：

()()()()()()ttutyttutxAxBCxD

对方程求解，得：

0()()0()()()otttttteteudAAxxB

设0tkT，(1)tkT，代入上式，得：

H公式

若省略T则为{ TkkTdkTBuTkktxTTkx)1()(])1[()()(])1([(不改变与离散后时刻，即得连续离散化方程则：相当于）＋＝（上限相当于下限设令DCkTDukTCxkTykTtkTuTHkTxTGTkxBdttBdteTHtTkTtkTddtTktBdeTHeTTGTTATTkkTTkAAT)()()()()()()(])1([(:)()(0,1,,)1()()()(00)1(])1[(2.2判别离散系统的稳定性

特征值和特征向量

特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。

一、特征值与特征向量的定义

在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：

A·x=λ·x

其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。

对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。

二、特征值和特征向量的性质

1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。

2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。

3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。

三、求解特征值和特征向量的方法 针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：

1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。

2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。

3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。

四、特征值和特征向量的应用

特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：

1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。

2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。

特征值与特征向量_

一、特征值与特征向量的定义

在线性代数中，对于一个nxn的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。

特征向量是指矩阵在一些方向上的不发生变化的向量，而特征值则表示该方向上的缩放比例。矩阵乘以特征向量v等于用特征值λ来放缩这个向量。

二、特征值与特征向量的性质

1.特征值和特征向量总是成对出现，即一个特征向量对应一个特征值，可能有多个特征向量对应同一个特征值。

2.特征值可以为复数，但如果A是实对称矩阵，则特征值一定是实数。

3.矩阵的特征值可以通过求解方程，A-λI，=0得到，其中I是单位矩阵。

4.特征向量可以通过求解方程(A-λI)v=0得到，其中0是全零向量。

5.特征值的和等于矩阵的迹(所有主对角线上的元素之和)，特征值的乘积等于矩阵的行列式。

三、特征值与特征向量的应用

1.特征值分解 特征值分解是矩阵分析中非常重要的一种分解方法，对于一个nxn的矩阵A，其特征值分解为A=VΛV^(-1)，其中V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。

特征值分解可以用于求解线性方程组、矩阵的幂次计算、矩阵的逆等问题，也可以用于降维和数据压缩等领域。

2.特征值与特征向量的几何意义

特征向量可以表示矩阵的一些方向上的不变性，通过求解矩阵的特征向量，可以了解矩阵对于不同方向上的变化情况。例如，在计算机图形学中，可以通过矩阵的特征向量来描述形状的变化、旋转、缩放等操作。

3.矩阵的谱分析

通过分析矩阵的特征值和特征向量，可以了解矩阵的性质和结构。例如，对于对角矩阵，其特征值就是主对角线上的元素，特征向量为标准基向量。

四、总结

特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。特征值与特征向量可以用于矩阵分解、线性方程组求解、数据压缩和图形变换等问题，对于理解和分析矩阵的性质和结构有着重要的意义。深入理解特征值与特征向量的概念和性质，对于掌握线性代数和应用数学具有重要的作用。