数论知识点之整除与余数

六年级奥数总复习2(教师版)

26 第十讲：数论之余数问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：

一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0r时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当0r时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即六年级奥数总复习2(教师版)

26 2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

数的整除之四大判断法

2系列：被2整除只需看末位能否被2整除

被4整除只需看末两位能否被4整除

被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推

5系列: 被5整除只需看末位是否为0或5

被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75

被125整除只需看末三位能否被125整除，即只可能是000，125，250…

3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除

被9整除只需看各位数字之和能否被9整除

判断7、11、13整除特征的方法

⑴如果该数是1001的倍数，则必然能被7、11、13整除；

⑵末三位一段，用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数，如果差是7或11或13的倍数，这个数也能被7或11或13整除；

⑶从末三位开始，三位为一段，如果奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除，则该数也能被7或11或13整除。

特殊的11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。

【例1】要使26ABCD6能被36整除，A、B、C、D表示四个不同的自然数，而且所得的商最小，那么A、B、C、D分别是多少？

【巩固】要使26ABCD6能被36整除，A、B、C、D表示四个不同的自然数，而且所得的商最大，那么A、B、C、D分别是多少？

数的整除之四大判断法综合运用 【例2】小强叔叔给45名工人发完工资后，把总钱数写在一张纸上，可是由于他吸烟不小心，火星落在纸上，把这笔帐的总数烧去两个数字，67□8□，小强叔叔记得每名工人的工资都一样，而且都是整数元，那么这每名工人的工资可能是多少呢？

【巩固】五位数3□07□能同时被11和25整除，那么这个五位数是多少？

【例3】求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除。

【巩固】在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？

【例4】⑴一个多位数(两位及两位以上)，并且含有数字0，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

1 第一章 整除理论

整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。

第一节 数的整除性

定义1 设a，b是整数，b  0，如果存在整数c，使得

a = bc

成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号ba；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b整除，记为b|a。

显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。

被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。

定理1 下面的结论成立：

(ⅰ) ab  ab；

(ⅱ) ab，bc  ac；

(ⅲ) bai，i = 1, 2, , k  ba1x1  a2x2    akxk，此处xi（i =

1, 2, , k）是任意的整数；

(ⅳ) ba  bcac，此处c是任意的非零整数；

(ⅴ) ba，a  0  |b|  |a|；ba且|a| < |b|  a = 0。

证明 留作习题。

定义2 若整数a  0，1，并且只有约数 1和 a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。

以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。

定理2 任何大于1的整数a都至少有一个素约数。 2 证明 若a是素数，则定理是显然的。

若a不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d1, d2, , dk 。不妨设d1是其中最小的。若d1不是素数，则存在e1 > 1，e2 > 1，使得d1 = e1e2，因此，e1和e2也是a的正的非平凡约数。这与d1的最小性矛盾。所以d1是素数。证毕。

推论 任何大于1的合数a必有一个不超过a的素约数。

证明 使用定理2中的记号，有a = d1d2，其中d1 > 1是最小的素约数，所以d12  a。证毕。

初等数论知识点

数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础和入门的部分。它主要研究整数的性质和相互关系，虽然看似简单，却蕴含着深刻的数学思想和广泛的应用。

一、整除

整除是初等数论中最基本的概念之一。如果整数 a 除以整数 b（b≠0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者

b 能整除 a，记作 b ｜ a。

例如，6 能被 3 整除，因为 6÷3 ＝ 2，没有余数；而 7 不能被 3 整除，因为 7÷3 ＝ 21，有余数 1。

整除具有一些基本性质，比如：

1、 如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。

2、 如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜ （mb

＋ nc)。

二、因数和倍数

如果 a 能被 b 整除（b≠0），那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。

一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 例如，12 的因数有 1、2、3、4、6、12；12 的倍数有 12、24、36、48

三、质数和合数

质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。

例如，2、3、5、7 是质数；4、6、8、9 是合数。

1 既不是质数也不是合数。

质数在数论中有着重要的地位，寻找大质数是密码学等领域中的关键问题。

四、公因数和最大公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

求最大公因数可以用辗转相除法。

例如，求 24 和 36 的最大公因数，36÷24 ＝ 112，24÷12 ＝ 2，所以

24 和 36 的最大公因数是 12。

五、公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。