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二项式定理

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全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

二项式定理

一、基础知识

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)❶；

(2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，Cnn❷.

2.二项式系数的性质

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是Ckn，而该项的系数是Cknan－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的. 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

考点一 二项展开式中特定项或系数问题

考法(一) 求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量

[例1] (1)(优质试题·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为( )

A.10 B.20

C.40 D.80

(2)(优质试题·合肥调研)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.

(3)(优质试题·甘肃检测)已知x－ax5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.

[解析] (1)x2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr＝Cr5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C25·22＝40.

(2)(2x－a)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r·Cr5·(2x)5－r·ar＝(－1)r·Cr5·25－r·ar·x5－r，令5－r＝3，解得r＝2，由(－1)2·C25·25－2·a2＝720，解得a＝±3.

(3)x－ax5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－r·－axr＝Cr5(－a)rx5－32r.由5－32r＝5，得r＝0，由5－32r＝2，得r＝2，所以A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.

[答案] (1)C (2)±3 (3)±1

[解题技法]

求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤

第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；

第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量.

考法(二) 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量

[例2] (1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是( )

A.－4 B.－3

C.3 D.4

(2)(优质试题·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.

[解析] (1)法一：(1－x)6的展开式的通项为Cm6·(－x)m＝Cm6(－1)mxm2，(1＋x)4的展开式的通项为Cn4·(x)n＝Cn4xn2，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.

令m2＋n2＝1，得m＋n＝2，

于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数等于C06·(－1)0·C24＋C16·(－1)1·C14＋C26·(－1)2·C04＝－3.

法二：(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x)4(1－2x＋x).于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数为C04·1＋C14·(－1)1·1＝－3.

(2)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为C46a2，含x项的系数为C56a，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－C46a2＋C56a＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝25.

[答案] (1)B (2)25

[解题技法]

求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；

第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；

第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.

考法(三) 求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量

[例3] (1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )

A.10 B.20

C.30 D.60

(2)将x＋4x－43展开后，常数项是________.

[解析] (1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C25(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝Ck3(x2)3－k·xk＝Ck3x6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为C25C13＝30.

(2)x＋4x－43＝x－2x6展开式的通项是Ck6(x)6－k·－2xk＝(－2)k·Ck6x3－k.

令3－k＝0，得k＝3.

所以常数项是C36(－2)3＝－160.

[解析] (1)C (2)－160

[解题技法]

求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤

第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；

第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；

第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；

第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.

[题组训练]

1.(优质试题·洛阳第一次统考)若a＝∫π0 sin xdx，则二项式ax－1x6的展开全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

式中的常数项为( )

A.－15 B.15

C.－240 D.240

解析：选D 由a＝∫π0 sin xdx＝(－cos x)|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得2x－1x6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr＝(－1)rCr6·26－r·x3－32r，令3－32r＝0，得r＝2，故常数项为C26·24＝240.

2.(优质试题·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)

解析：二项展开式中，含x5的项是C562x5－x3C2624x2＝－228x5，所以x5的系数是－228.

答案：－228

3.x2＋1x＋25(x＞0)的展开式中的常数项为________.

解析：x2＋1x＋25(x＞0)可化为x2＋1x10，因而Tr＋1＝Cr101210－r(x)10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为C510·125＝6322.

答案：6322

考点二 二项式系数的性质及各项系数和

[典例精析]

(1)若x＋13xn的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )

A.63x

B.4x

C.4x6x D.4x或4x6x 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

(2)若x2－1xn的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________.

(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

[解析] (1)令x＝1，可得x＋13xn的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C24(x)213x2＝63x.

(2)x2－1xn的展开式的通项公式为Tr＋1＝Crn(x2)n－r·－1xr＝Crn(－1)rx2n－3r，

因为含x的项为第6项，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，

在(1－3x)n中，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，

又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255.

(3)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.

[答案] (1)A (2)255 (3)3

[解题技法]

1.赋值法的应用

二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：

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二项式定理的规律

二项式定理的规律

二项式定理的规律

1、二项式的定理

有两项组成的式子，叫做二项式，例如：(a+b)、(a-b)，第一项是a，第二项是b。

主要指：（a+b）^n的完全展开式，有一个规律可循：通过该规律，可以快速知道展开后的第x项是什么，第x项的二项式系数是多少。熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律。

2、项式定理：叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别。

3、掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式。

对称性；

增减性和最大值：先增后减。

n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1

n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2＋1

4、二项式定理展开的特点：

项数：共有n+1项；

系数：依次为组合数Cn，Cn，Cn，Cn，…，Cn；每一项的次数都是一样的，即为n次，展开式以a的降次幂排列，b的升次幂排列展开。

4、二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想。

证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角

一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。

5、二项式定理的运用：

（a+b+c）^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。

先将a+b看成一个整体，然后根据二项式定理展开，在将（a+b）的几次幂用二项式展开，也就是运用了两次二项式展开的过程。

二项式定理

二项式定理

第3讲 二项式定理

[必备知识]

考点1 二项式定理

1．二项式定理

(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)

叫做二项式定理．

2．二项展开式的通项

Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第 k＋1项．

3．二项式系数

二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．

考点2 二项式系数的性质 [必会结论]

二项展开式形式上的特点：

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从C0n，C1n，…一直到Cn－1n，Cnn.

二、小题快练

1．[2014·湖南高考]12x－2y5的展开式中x2y3的系数是( )

A．－20 B．－5 C．5 D．20

2．[课本改编]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )

A．9 B．8 C．7 D．6

3．[课本改编]若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )

A．10 B．20 C．30 D．120

4．[2015·广东高考]在(x－1)4的展开式中，x的系数为______．

5．[2015·天津高考]在x－14x6的展开式中，x2的系数为______

考向 二项展开式中特定项或系数问题

例1(1)[2015·陕西高考]二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )

A．7 B．6 C．5 D．4

二项式定理阶乘公式

二项式定理阶乘公式

二项式定理阶乘公式

阶乘是指将一个正整数n及其之前所有的正整数连乘起来的结果，用于表示排列组合中的元素个数。阶乘的数学表示为n!，例如5!=5x4x3x2x1=120。

C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)

例如，C(5,2)=5!/(2!*(5-2)!)=5!/(2!x3!)=(5x4x3!)/(2!x3!)=5x4/2=10。

在二项式定理中，展开式的形式为：

(x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^1+...+C(n,n)*x^0*y^n

其中，x和y是实数，n是非负整数。

以展开式(x+y)^3为例，展开式为：

(x+y)^3=C(3,0)*x^3*y^0+C(3,1)*x^2*y^1+C(3,2)*x^1*y^2+C(3,3)*x^0*y^3

展开后的结果为：

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

可以看到，这个展开式共有四个项，其中每一项的系数由二项式系数来确定。

(x+y)^(1/2)=C(1/2,0)*x^(1/2)*y^0+C(1/2,1)*x^(1/2-1)*y^1

展开后的结果为：

(x+y)^(1/2)=x^(1/2)+(1/2)*x^(-1/2)*y 可以看到，这个展开式共有两个项，其中每一项的系数也由二项式系数来确定。

需要注意的是，二项式定理只适用于互不相等的两个数相加的情况，当两个数相等时，展开式会有特殊的形式。

总结起来，二项式定理是一个重要的数学公式，用于展开二项式的幂的展开式。阶乘公式是在计算二项式系数时使用的一种方法。二项式定理在代数和组合数学中有着广泛的应用，是计算概率、统计学等领域的重要工具。

二项式定理公式

二项式定理公式

二项式定理公式

在高中数学中，我们学习了许多数学公式和定理，其中一个非常重要且广泛应用的定理就是二项式定理。二项式定理是代数中的一个基本定理，描述了二项式的展开式，并提供了一个快速计算幂的方法。通过使用二项式定理，我们可以轻松计算任意非负整数指数的二项式系数。本文将详细介绍二项式定理及其应用。

一、二项式定理的定义

二项式指的是形如(a + b)^n的表达式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。二项式定理提供了(a + b)^n的展开式。根据二项式定理，展开式可以表示为：

(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ...

+ C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n

其中C(n,k)表示n个元素中取出k个元素的组合数，也被称为二项式系数。组合数的计算公式为：

C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

二、二项式定理的证明

二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。这里我们以简化的二项式(a + b)^2为例进行证明。

首先，展开(a + b)^2，我们有：

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b 去掉括号并简化：

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

从这个简化的二项式可以看出，二项式定理在幂为2时成立。接下来，我们需要使用数学归纳法证明对于任意非负整数n，二项式定理都成立。

假设对于一个非负整数n，二项式定理在幂为n时成立，即：

(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ...

+ C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n

我们需要证明在幂为n+1时，二项式定理仍然成立：