应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答

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2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXXL的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXXL的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

2.2设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。

解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为

1/212221121122221221211()exp()()22fxxμxμ。

2.3已知随机向量12()XX的联合密度函数为

其中1axb，2cxd。求

（1）随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；

（2）随机变量1X和2X的协方差和相关系数；

（3）判断1X和2X是否相互独立。

（1）解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；

所以 由于1X服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。

同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxcdfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。

（2）解：随机变量1X和2X的协方差和相关系数；

（3）解：判断1X和2X是否相互独立。

1X和2X由于121212(,)()()xxfxxfxfx，所以不独立。

2.4设12(,,)pXXXXL服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随页眉内容

机变量。

解： 因为12(,,)pXXXXL的密度函数为

又由于21222pΣO

212122111pΣO 则1(,...,)pfxx

思考与练习

2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。

2.2 设随机向量12(,)XX′=X服从二元正态分布，写出其联合分布密度

函数和1X、2X各自的边缘密度函数。

2.3 已知随机向量12(,)XX′=X的联合分布密度函数为：

()()()()()()()

()()121122222,dcxabaxcxaxcfxxbadc−−+−−−−−2⎡⎤⎣⎦=−−

其中，。求： 12,axbcxd≤≤≤≤

⑴ 随机变量1X和2X各自的边缘密度函数、均值与方差。

⑵ 随机变量1X和2X的协方差和相关系数。

⑶ 判断1X和2X是否相互独立。

2.4 设随机向量12(,,,)pXXX′=XL服从正态分布，已知其协差阵

为对角阵，证明Σ

X的分量是相互独立的随机变量。

2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示：

职工编号 目前工资

（美元） 受教育年限

（年） 初始工资

（美元） 工作经验

（月）

1 1

2

3

4

5

6 57,000

40,200

21,450

21,900

45,000

28,350 15

16

12

8

15 8 27,000

18,750

12,000

13,200

21,000

12,000 144

36

381

190

138

26

设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协

差阵的最大似然估计。

2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？

2.7 试证多元正态总体的样本均值向量(,)pNμΣ1~(,pNnXμΣ)。

2.8 试证多元正态总体的样本协差阵S为(,)pNμΣΣ的无偏估计。

2.9 设()1x、()2x、…、()nx是从多元正态总体中独立抽取的一

个随机样本，试求样本协差阵的分布。 (,)pNμΣ

S

2.10 设()iiXnp×是来自(),piiNμΣ的数据阵，1,,ik=L，

第二章

2.1.试表达多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

2.2设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。

解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为

1/212221121122221221211()exp()()22fxxμxμ。

2.3已知随机向量12()XX的联合密度函数为

121212222[()()()()2()()](,)()()dcxabaxcxaxcfxxbadc

其中1axb，2cxd。求

〔1〕随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；

〔2〕随机变量1X和2X的协方差和相关系数；

〔3〕判断1X和2X是否相互独立。

〔1〕解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差； 112121222[()()()()2()()]()()()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc

12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddccdcxaxbaxcxaxcdxbadcbadc

121222202()()2[()2()]()()()()ddccdcxaxbatxatdtbadcbadc

22121222202()()[()2()]1()()()()dcdcdcxaxbatxatbadcbadcba

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

2.2设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。

解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为

1/212221121122221221211()exp()()22fxxμxμ。

2.3已知随机向量12()XX的联合密度函数为

121212222[()()()()2()()](,)()()dcxabaxcxaxcfxxbadc

其中1axb，2cxd。求

（1）随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；

（2）随机变量1X和2X的协方差和相关系数；

（3）判断1X和2X是否相互独立。

（1）解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；

112121222[()()()()2()()]()()()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc

12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddccdcxaxbaxcxaxcdxbadcbadc

121222202()()2[()2()]()()()()ddccdcxaxbatxatdtbadcbadc

22121222202()()[()2()]1()()()()dcdcdcxaxbatxatbadcbadcba

所以 由于1X服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。 同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxcdfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。