28.2解直角三角形(第2课时)课件_人教新课标九年级下
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九年级数学下册 解直角三角形知识点总结页数:2
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(最新修订)新课标初中数学教学课件 28.2解直角三角形第2课时(人教版九年级下)_6-10
【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水 平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，ɑ =30°,β=60°.
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3
Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角 形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
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4
【解析】如图，a = 30°,β= 60°，AD＝120．
tan a = BD , tan = CD
AD
AD
BD = AD tan a = 120 tan 30
B
= 120 3 = 40 3(m) 3
CD = AD tan = 120 tan 60
αD Aβ
= 120 3 = 120 3(m)
没过几天主人竟把公鸡给宰了得意十足
6
BC = BD + CD = 40 3 + 120 3
= 160 3 277.1(m)
C
答：这栋楼高约为277.1m.
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5
“喂，你坐在我的椅子上了!”健太说着，掀起胡萝卜的绿缨子，把它从椅子上扔了下去。然后再找四个男子汉，将这四只银箱抬到那个老奸巨猾的富人家去，我也陪你们一起去。忽 然，它看到一头驴子靠在磨盘边上悠闲地嚼着草料，便凑上前去搭讪：“驴老弟，闲着哪!”驴子高高地昂起头，几乎是用鼻孔看着骏马：“哦，是马兄呀!对呀，刚刚忙活完，歇息一下。 上海青浦注册公司 国王宣布：谁能够用三年时间教会公主干活，就把公主嫁给他。时间一长，罐子里装满了面粉。，
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1
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
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3
Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角 形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
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4
【解析】如图，a = 30°,β= 60°，AD＝120．
tan a = BD , tan = CD
AD
AD
BD = AD tan a = 120 tan 30
B
= 120 3 = 40 3(m) 3
CD = AD tan = 120 tan 60
αD Aβ
= 120 3 = 120 3(m)
没过几天主人竟把公鸡给宰了得意十足
6
BC = BD + CD = 40 3 + 120 3
= 160 3 277.1(m)
C
答：这栋楼高约为277.1m.
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5
“喂，你坐在我的椅子上了!”健太说着，掀起胡萝卜的绿缨子，把它从椅子上扔了下去。然后再找四个男子汉，将这四只银箱抬到那个老奸巨猾的富人家去，我也陪你们一起去。忽 然，它看到一头驴子靠在磨盘边上悠闲地嚼着草料，便凑上前去搭讪：“驴老弟，闲着哪!”驴子高高地昂起头，几乎是用鼻孔看着骏马：“哦，是马兄呀!对呀，刚刚忙活完，歇息一下。 上海青浦注册公司 国王宣布：谁能够用三年时间教会公主干活，就把公主嫁给他。时间一长，罐子里装满了面粉。，
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1
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
人教版数学九下课件解直角三角形(第2课时)
A
处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的
仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
B
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
∵ tan ADC AC DC
∴AC=DC×tan∠ADC
54°45°
D 40m
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
C
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D
5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指 坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据 求：坡角a和β .
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3
β
C
i=1:1. B5α
AD
6m
FE
i=1:3
β
C
【解析】在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1：1.5
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角 ，视线在水平线下方的是俯角，因此 ，在图中，a=30°,β=60°
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版数学九年级下册28.2.1《解直角三角形(2)》课件(共23张PPT)
铅
视线
垂 线 仰角
水平线
俯角
视线
例1:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
Bα=30°A 1 Nhomakorabea0 Dβ=60°
C
合作与探究
例2：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
a
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， （1）若∠A=30°，BC=3，则AC= （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
温故而知新
B
┌
A
C
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
P
45°
30°
O
B 400米 A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
答案: (100 3 300 ) 米
O
30° A
45°
200米
B
L
U
D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
25
5
答案：空中塔楼AB高
人教版九年级数学课件：28.2 解直角三角形(共28张PPT)
D
A
甲
乙
B
C
1、在实际问题数学化，运用仰角、俯角 概念解直角三角形时，要首先找出它 们所在的直角三角形，表示时注意 “水平线”；
2、认真分析题意，在原有的图形中寻找 或通过添加辅助线构造直角三角形来 解决问题；
3、再结合图形中的已知元素，解出要求 的未知元素。
A组：
A组：
3、为了测量铁塔的高度，在离铁塔底 部100米的C处，用测角仪测得塔顶 A的仰角为30°，已知测角仪的高 CD为1.2米，求铁塔的高度AB.
3、
28.2 解直角三角形第三课时
1、概念： （1）仰角：从下向上看，
视线与水平线的夹 角叫仰角。 （2）俯角：从上向下看， 视线与水平线的夹 角叫俯角。
2、由A看向B仰角为50°，则由B看向 A的俯角为 .
3、在飞行高度1000米高空的飞机上， 看到地面某标志物的俯角为30°， 那么飞机与标志物之间的距离是 米.（画图分析）
较长的对角线呢？
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成 功，当飞船完成变轨后，就在离地球 350km的圆形轨道上运行，当飞船运行 到地球表面上P点的正上方时，从飞船上 能直接看到的地球上最远的点在什么位 置？这样的最远点与P点的距离是多少？ (地球半径约为6400km)
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成功，当飞船完成变轨后， 就在离地球350km的圆形轨道上运行，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6400km)
28.2 解直角三角形第一课时
在Rt△ABC中,∠C=90°，三边为a，b，c， 1.三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理) 2.锐角之间关系：∠A+∠B=90° 3.边角之间的关系： （锐角三角函数）
28.2解直角三角形 课件-2020-2021学年人教版九年级数学下册
(2)根据AC=2.4m,斜边AB=6, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
A
C
三角形有六个元素,分 别是三条边和三个角.
(3)根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如 果知道两个元素, (其中至少有一个是边), 就可以求出其余三个元素.
试一试
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20, 解这个直角三角形.(精确到0.1)
参考值 tan35°≈0.70； sin35 °≈0.57； cos35°≈0.82
Ｂ
？c
35°
？a
？
Ａ
b 20
Ｃ
解: B 35
A
90
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
想一想
在Rt△ABC中,
一角
A
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 一边
你能求出这个三角形的其他元素吗?
2
C
6
∠B
AC
BC
两边
（2）根据AC=
B
2，BC=
6
你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A
∠B
AB
5
动动脑
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根 号）？
A
28.2 解直角三角形 课件 (新人教版九年级下)
A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130.23 sin B sin 34 0.559
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为 点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 OB 100 6km ． 台 风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海 面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示 的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C的 坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如 果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移 动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ 北
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确 到0.01海里）？
人教版九年级数学下册§28.2解直角三角形PPT
2019/3/10
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
2019/3/10
4.（2006，盐城）如图，花丛中有一路灯杆 AB．在灯光下，小明在D• 点处的影长DE=3米， 沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的 影长GH=5米．• 如果小明的身高为1.7米，求路灯 杆AB的高度（精确到0.1米）．
2019/3/10
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
2019/3/10
题型4 应用举例
2019/3/10
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
人教新课标九年级下解直角三角形(第2课时)2PPT课件
P
答案: (1003300) 米
O
30° A
45°
200米
B
L
U
D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
如果此山的高度为500米，在A处测得C处的仰 角为45°，如果要从顶点C处到大门A处建立一条 空中索道，那么这条索道需要多少米？请你帮助 算一算。如果半山腰B处的垂直距离是200米，A 处到垂足E处的距离是2003 米，那么B处的俯角 是多少？
M
练习： 如图4,河对岸有水塔AB.在C处测 得塔顶A的仰角为30º ,向塔前进12m到达D, 在D处测得A的仰角为45º ,求塔高.
30 °
E
D
B
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形 问题，如果示意图不是直角三角形，可 添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
温故而知新
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=
tan
B
┌
A
C
在进行观察或测量时，
人教版九年级下册数学 28. 2 解直角三角形及应用 (共15张PPT)
作业：
如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C处的距离. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
28.2.2 解直角三角形的应用
一、创设情景，导入新课
画出方位角（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南 方向、西北方向、北偏东60度、南偏东30度方向的射线.
西
北
北
东 西
东
南
南
合作探究 达成目标
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它
65°
A
沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， P
练习： 1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ___ _ 。
北
C A
北
D
B
2、如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向， 距离灯塔40 2 海里的 A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东3 0 ° 方 向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海 里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中， ∵AP=40 ，∠APC=45° ∴AC=PC=40 在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40 ∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40
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Ａ
a
b
Ｃ
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan
m （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
A
┌ C
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）
作业：P92复习巩固 第2、3、4题
•不经历风雨，怎么见彩虹
•没有人能随随便便便成功! 同学们努力吧！
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，
F P
Q
FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测
地球时的最远点．PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算PQ 的 长需先求出∠POQ（即a）
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
∴△BDE 是RT△
A
B 140°
C
E
DE ∵ cos BDE BD
∴ DE=COS∠BDE×BD
50° D
cos50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 45° 54° 40m A B
AC ∵ tan ADC DC
∴AC=DC×tan∠ADC
D
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m.
B α A β D
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan60
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
C
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
OQ
OF
∵
COS a =
=
6400
6400+350
≈
0.948
F P α O· Q
a 18
∴ PQ的长为
18 6400 3.14 640 2009 .6 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
BD AD tana 120 tan30
a
b
Ｃ
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan
m （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
A
┌ C
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）
作业：P92复习巩固 第2、3、4题
•不经历风雨，怎么见彩虹
•没有人能随随便便便成功! 同学们努力吧！
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，
F P
Q
FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测
地球时的最远点．PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算PQ 的 长需先求出∠POQ（即a）
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
∴△BDE 是RT△
A
B 140°
C
E
DE ∵ cos BDE BD
∴ DE=COS∠BDE×BD
50° D
cos50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 45° 54° 40m A B
AC ∵ tan ADC DC
∴AC=DC×tan∠ADC
D
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m.
B α A β D
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan60
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
C
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
OQ
OF
∵
COS a =
=
6400
6400+350
≈
0.948
F P α O· Q
a 18
∴ PQ的长为
18 6400 3.14 640 2009 .6 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
BD AD tana 120 tan30