2020高中数学 第三章3.3.2 第1课时 简单的线性规划问题学案 新人教A版必修5

必修 第三章
简单的线性规划问题
【课前预习】阅读教材
． 线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． ． 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（）在可行域内求目标函数的最优解
【课初分钟】课前完成下列练习，课前分钟回答下列问题
. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（ ）.
．该直线的横截距
．该直线的纵截距
．该直线的纵截距的一半的相反数
．该直线的纵截距的两倍的相反数
. 已知、满足约束条件，则
的最小值为（ ）.
． ． ． ．
.
在如图所示的可行域内，目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则的一个可能值是（ ）.
．求的最大值，其中、满足约束条件
强调（笔记）：
【课中分钟】边听边练边落实
．若实数，满足，求的取值范围．
．求的最大值和最小值，其中、满足约束条件.。

2019-2020年高中数学必修五教案： 3-3-2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题一、教学背景1.本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。

主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。

2.本节课的教学对象是河北省秦皇岛市抚宁区第一中学高一文班学生。

二、教学目标 （一）知识与技能1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。

2. 会用图解法解决简单线性规划问题，即求目标函数的最大值或最小值。

（二）过程与方法在线性规划问题的探究过程中，引导学生通过观察、分析、操作、归纳、概括的基本环节，达到知识的建构。

增强学生的观察、联想、细心作图的能力，把握化归思想和数形结合两大数学思想。

注重培养学生积极主动、勇于探索的学习方式，整节课着重创造师生互动、生生互动的良好学习环境，学生在老师的引导下亲身经历动手实践、动脑思考等方法探究线性规划的简单问题获取直接结题经验。

（三）情感态度与价值观学习中渗透函数、数形结合、化归等重要数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。

结合本节教学内容，让学生成为课堂活动的主导,体验探究学习、合作学习的乐趣，并从中获得成功的体验，增强学生学习数学知识的自信心。

培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

三、教学重点和难点教学重点：图解法解线性规划问题。

教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。

四、教学过程 （一）复习回顾在同一坐标系上作出下列直线:xy 2-=；12+-=x y ；32--=x y ；42+-=x y ；72+-=x y 。

投影展示学生的画图作业，引导学生观察5条直线的特征：平行。

得出结论：形如)0(2¹+-=t t x y 的直线与x y 2-=平行。

直线b kx y +=中的b 叫做纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标。

3.3.2 简单线性规划问题（第1课时）一、教学目标及目标分析1.教学目标；（1）了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；（2）掌握解决线性规划问题的基本步骤；（3）会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值．2．目标解析；（1）了解线性规划模型的特征：约束条件、目标函数、求目标函数的最大值或最小值等．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．（2）能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，掌握解题的基本步骤．（3）在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、确认的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力，体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法，引发学生对现实世界中的一些数学模式进行思考．二、教学重点与难点:重点：线性规划问题的基本概念及解决问题的步骤。

难点：把目标函数转化为斜截式方程时，对含“z”的项的几何意义与“z”最值之间关系的理解三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学。

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计：引导学生通过主动参与、合作探讨学习知。

四、教学过程设计教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知一、温故知新，1．前面我们学习了二元一次不等式（组）与平面区域，请大家做一下《复习引入》的5道题．通过这5道题检验学生对前面二元一次不等式（组）表示的平面区域及直线方程相关的知识掌握情况．由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。

课题：线性规划在实际生活中的应用教材：人教A版必修五第三章教学目标：1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．教学重、难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2．寻找整点最优解的方法．教学方法：讲练结合、分组讨论法教学过程：（一）讲解新课1．实例1讲解。

引入：《速度与激情7》刚刚上映．（播放视频：7的结尾）影院负责人在思考着另外一个问题：例1：《速7》有两个宣传片，其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．规定广告每周至少有3.5分钟广告，而每周只能为该电影宣传片提供不多于16分钟的节目时间．那么每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得观影人最多？应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答．分析：将已知数据列成下表解：设电视台每周应播映片甲x 次， 片乙y 次，总收视观众为z 万人．42160.5 3.5,x y x y x y N +≤⎧⎪+≥⎨⎪∈⎩6020z x y =+ 列约束条件时，要注意讲清x ∈N .y ∈N ，这是学生容易忽略的问题．列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解．先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化．由图解法可得：当x =3， y =2时，z max =220．答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．例题小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示） 1． 将已知数据列成表格的形式，设出变量x ，y 和z ; 2． 找出约束条件和目标函数;3． 作出可行域，并结合图象求出最优解; 4． 按题意作答．2．实例2讲解 (课本例题修改，数据基本不变，改了题目的实际背景)引入： “中国结”是中国特有的民间手工编结装饰品，“中国结”经过几千年的结艺演变，现已成为广大群众喜爱的具有中国特色的艺术品：（展示中国结的图片，及其它相关图片，配有背景音乐）例2：某校高二(9)班举行野外生存闭幕式，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A 、B 、C 三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A 规格B 规格C 规格 甲种彩绳 2 1 1 乙种彩绳123今需要A 、B 、且花费最少？分析：将已知数据列成下表甲种彩绳乙种彩绳所需条数 A 规格 2 1 15 B 规格 1 2 18 C 规格 1 3 27 彩绳单价86解：设需购买甲种彩绳x 根、乙种彩绳y 根，共花费z 元；215218327,x y x y x y x y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ z=8x+6y在用图解法求解的过程中，学生发现：直线l 最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择?进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗? 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是……，如何寻找最优解？满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l ,最先经过的整点坐标是整数最优解．由网格法可得：当x =3，y =9时，z min =78．答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少！例题小结：确定最优整数解的方法：1．若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2．若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．（结合例题1、例题2，可以归纳出以上两点）（二）课堂练习练习：某中学想组织学生去野外生存，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？学生练习分为三部分，引导学生动手，分解难点：（每个学生发一张习题纸和一把直尺，在习题纸上作答、画图）1．练习填表理解题意（习题纸上课堂练习题下印有下表）小巴大巴2．练习列约束条件和目标函数；①将学生分为三组，分组讨论，各组竞争，教师巡视，对学生列式中出现的错误及时纠正；②从三组中选出一位完成的好的同学的习题纸，用投影仪展示，教师讲解、点评，提醒学生注意解题的规范性；3．练习画图，寻找整数最优解；①习题纸上的课堂练习已画好网格和坐标系，学生在习题纸上练习画图，教师巡视，对学生画图中出现的错误及时纠正；②把最先找出整点最优解的同学的习题纸用投影仪展示，教师讲解、点评．解：设每天派出小巴x 辆、大巴y 辆，总运费为z 元；56300704,x y x y x y N+≥⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪∈⎩ z=240x+180y 由网格法可得：x=2，y=4时，z min =1200． 答：派4辆小巴、2辆大巴费用最少．（三）回顾与小结请同学们相互讨论交流： 1．本节课你学习到了哪些知识？ 2．本节课渗透了些什么数学思想方法？（引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结）知识：1．把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法．建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）2．求解整点最优解的解法：网格法．网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形．（链接到例题2，进行具体实例回顾）思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题．（四）布置作业课后习题。

3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝－1，x－y＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝4，x－y＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1.∴2×3－3×1<z＝2x－3y<2×1－3×(－2)，即3<z<8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。

3.3.2《简单的线性规划问题》（第1课时）一、选择题：1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数 【答案】B【解析】把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距． 2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x －y ，则使z 取得最小值的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(3,2)C ．(5,2)D ．(4,1) 【答案】A【解析】对直线y ＝x ＋b 进行平移，注意b 越大，z 越小．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32【答案】A【解析】利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，又直线y ＝3x －z 的斜率为3. 由图象知当直线y ＝3x －z 经过点A (2,0)时z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过点B (12，3)时，z 取最小值－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围为[－32，6]．故选A.4．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 【答案】D【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】C【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0所表示的可行域如下图．而y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过点O 与直线AB 平行的直线l 的斜率为1，l 绕点O 逆时针转动必与AB 相交，直线OB 的倾斜角为90°，因此y x的范围为(1，＋∞)．6.已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y (k >0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．4【答案】A【解析】目标函数可变形为y ＝－kx ＋ω，又∵k >0，结合图象可知，当ω最大时，－k ＝k DC ＝4－22－4＝－1.即k ＝1.二、填空题：7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则目标函数z ＝x ＋3y 的取值范围是________．【答案】[8,14]【解析】画出可行域，如图所示．作直线x ＋3y ＝0，并平移，由图象可知当直线经过A (2,2)时，z 取最小值，则z min ＝2＋3×2＝8.当直线经过C (2,4)时，z 取最大值z max ＝2＋3×4＝14. 所以z ＝x ＋3y 的取值范围是[8,14]．8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 取最大值时点的坐标为________．【答案】(2，－1)【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1所表示的可行域如图所示．当平行直线系z ＝2x ＋y 经过点A (2，－1)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值．9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝________.【答案】0【解析】由条件作出可行域如下图．根据图象知，目标函数过x ＋y ＋k ＝0与x ＝3的交点(3，－3－k )时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k )，∴k ＝0. 三、解答题10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，试求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 区域D 如下图所示，其中A (2,9)．当y ＝a x恰过点A 时，a ＝3.因此当1<a ≤3时，y ＝a x的图象上存在区域D 上的点．故a 的取值范围为(1,3]． 11．设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－3，3x ＋5y≤25，x≥1，求z 的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．【答案】见解析【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，如图得交点为A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)，令z ＝0，得l 0：3x ＋2y ＝0，当l 0向上平移时z 值逐渐增大．(1)当3≤s <4时可行域为四边形OABC ，此时l 0平移到B 点时z 取最大值，z max ＝3×(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4. ∵3≤s <4，∴7≤z max <8.(2)当4≤s <5时，可行域是△OAC ′，此时l 0过C ′点时z 取最大值，z max ＝3×0＋2×4＝8.综上所述，z max ∈[7,8]．。

第1课时简单的线性规划问题1．了解线性规划中的基本概念．[&&&&&]2．会用图解法解决线性规划问题．1．线性规划中的基本概念的解析式A．最优解B．可行解．线性目标函数D．可能不满足线性约束条件【做一做1－2】目标函数z＝2－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )A．该直线在坐标轴上的距离B．该直线在y轴上的截距．该直线在y轴上的截距的相反数D．该直线在轴上的截距答案：1．二元一次一次函数解集合可行解[。

]【做一做1－1】 B【做一做1－2】1．理解线性规划的有关概念剖析：(1)线性约束条件就是指变量，y 满足的二元一次不等式组． (2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量，y 的次数上作了严格的限定，一次解析式z ＝A ＋By ＋，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．当B ≠0时，由z ＝A ＋By ＋，得y ＝－A B ＋z －B这样，二元一次函数就可视为斜率为－A B ，在y 轴上截距为z －B，且随之变化的一组平行线．于是把求z 的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上截距的最大值或最小值问题．当B ＞0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大． 当B ＜0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解构成的一个区域．即可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面区域(或其内部的一些点)．可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．2．确定线性规划中的最优解剖析：根据解题经验，确定最优解的思维过程是：线性目标函数z ＝A ＋By ＋(A ，B 不全为0)中，当B ≠0时，y ＝－A B ＋z －B，这样线性目标函数可看成斜率为－A B ，在y 轴上的截距为z －B，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值和最小值的问题．因此只需先作出直线y ＝－AB ，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解．应特别注意，当B ＞0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B ＜0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．通常情况下，可以利用可行域边界直线的斜率判断．对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解．最优解一般在可行域的顶点处取得．若要求最优整解，则必须满足，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出的最优整解．上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点→验证→选最优整解．题型一求线性目标函数的最值[]【例题1】(2011·北京海淀二模)点P(，y)在不等式组错误!表示的平面区域内，则z＝＋y的最大值为__________．反思：解决线性规划问题的方法是图解法，即借助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一组平行线)与平面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解．其步骤是：(1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出；(2)运用数形结合的思想，把线性目标函数看成是直线系，将目标函数表示的直线平行移动，最先通过的顶点或最后通过的顶点便是所需要的点，由此可以确定目标函数的最优解．特别地，当线性目标函数表示的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个；(3)若要求的最优解是整数解，而得到的解为非整数解时，应作适当调整，其方法是应以到线性目标函数表示的直线的距离为依据，在直线附近的可行域里寻求与此直线距离最近的整点，如果可行域中整点很少，也可逐个验证．题型二易错辨析【例题2】已知1≤＋y≤5，－1≤－y≤3，求2－3y的取值范围．错解：依题意错误!错误!①＋②，得0≤2≤8，即0≤≤4③①＋②×(－1)，得－2≤2y≤6，即－1≤y≤3④∴－9≤2－3y≤11错因分析：错解中由①②得到不等式③④是利用了不等式中的加法法则，而此法则不具有可逆性，从而使，y的范围扩大，这样2－3y的范围也就随之扩大了．反思：1本题中的两个变量，y之间并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定的相互制约的关系．取得最大(或最小)值时，y并不能同时取得最大(或最小)值；y取得最大(或最小)值时，也并不能同时取得最大(或最小)值．如果忽视了，y之间的相互制约关系，将导致所求的取值范围出错．2．已知几个二元一次式的范围，求另外一个二元一次式的范围问题，通常有两种解法，即用线性规划或把所求用已知线性表示后再利用不等式的性质求解．答案：【例题1】 6 画出可行域，如图中的阴影部分所示．由z＝＋y，得y＝－＋z，则z是直线y＝－＋z在y轴上的截距．由可行域知，当直线y＝－＋z经过点A(2,4)时，z取最大值，此时＝2，y ＝4，则z的最大值为z＝＋y＝2＋4＝6【例题2】正解：解法一：作出二元一次方程组15,13x yx y+⎧⎨--⎩≤≤≤≤所表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)即可行域．考虑z=2－3y，把它变形为y=2133x z-，得到斜率为23，且随z变化的一组平行直线．13z-是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z =2－3y 取得最小值；当直线截距最小时，z 的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z =2－3y 取得最大值．由图可见，当直线z=2－3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组15.x y x y -=-⎧⎨+=⎩得A 的坐标为(2,3)，[]∴zin=2－3y=2×2－3×3=－5当直线z ＝2－3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组错误!得B 的坐标为(2，－1)，∴z a ＝2－3y ＝2×2－3×(－1)＝7 ∴－5≤2－3y ≤7∴2－3y 的取值范围是[－5,7]． 解法二：设2－3y ＝a (＋y )＋b (－y )， 则2－3y ＝(a ＋b )＋(a －b )y ， ∴错误!∴错误!即2－3y ＝－12(＋y )＋52(－y )．又1≤＋y ≤5，－1≤－y ≤3， ∴－52≤－12(＋y )≤－12，－52≤52(－y )≤152∴－5≤－12(＋y )＋52(－y )≤7，即－5≤2－3y ≤7∴2－3y 的取值范围是[－5,7]．1设实数和y 满足约束条件10,2,4,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则z ＝2＋3y 的最小值为( )A ．26B ．24 ．16 D ．142若0,0,1x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤则z ＝＋2y 的最大值是__________．3 (2011·北京昌平二模)若不等式组250,1,1x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域是一个三角形，则此三角形的面积是__________；若，y 满足上述约束条件，则z ＝－y 的最大值是__________．[,,]4若实数，y 满足10,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤求z ＝3＋2y 的最小值．5已知－4≤a －b ≤－1，－1≤4a －b ≤5，求9a －b 的取值范围．答案：1．D 23 31 24 解：不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令t=+2y ，则当直线y=1122x t -+经过原点O(0,0)时，12t 取最小值，即t有最小值为0，则z=3+2y 有最小值为30=15．解：令a ＝，b ＝y ，z ＝9a －b ，即已知－4≤－y ≤－1，－1≤4－y ≤5，求z ＝9－y 的取值范围，画出不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．由z ＝9－y ，得y ＝9－z ，当直线过A 点时z 取最大值，当直线过点B 时z 取最小值．由45,4,x y x y -=⎧⎨-=-⎩得A (3,7)．由41,4,x y x y -=-⎧⎨-=-⎩得B (0,1)． 即z a ＝9×3－7＝20，z in ＝－1 所以9a －b 的取值范围是[－1,20]．。

§3.3.2简单的线性规划问题（一）导学案【学习目标】一、知识与技能1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。

二、过程与方法1.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；2.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识；3.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神。

三、情感、态度与价值观1.培养学生观察、联想以及作图的能力，2.渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学过程】一、实例引入问题一：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，且甲乙两种产品不能同时生产，该厂所有可能的日生产安排是什么？12二、问题升华问题二：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，你作为厂家的老总，将采用哪种生产安排使利润最大？三、合作探究思考讨论：【问题一】把z看作参数，则z=2x+3y表示什么图形？【问题二】在约束条件下，如何找满足函数z=2x+3y最大值的点？【问题三】找到满足条件的点后，如何求函数z=2x+3y的最大值？解简单的线性规划问题的步骤为：四、学以致用1.求z=3x+5y 的最小值, 使x , y 满足约束条件2.变式：求z =x -2y 的最小值呢？注意：求线性目标函数的最优解，要注意分析 的关系5315,1,5 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≤五、课后练习（一）选择题1．目标函数4z x y =+将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数2．z x y =-在2102101x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(1,1)--C ．(1,0) D.11(,)223．若实数x ，y 满足不等式组x 3y 302x y 30x y 10+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.7154．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元（二）填空题5．已知点(,)p x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩ (k 为常数)，若3x y +的最大值为8，则k ＝________.6．铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c2(万吨)，则2购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．。

3．3．2 简单的线性规划学习目标1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的最值问题要点精讲1. 研究一个问题:设2t x y =+，式中变量,x y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 。

求t 的最大值和最小值分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线0l :2x +y =0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R （或平行移动直线0l ），从而观察t 值的变化：]12,3[2∈+=y x t从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，t =2x +y =0. 点（0，0）在直线0l ：2x +y =0上.作一组与直线0l 平行的直线（或平行移动直线0l )l :2x +y =t ,t ∈R.可知，当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点（x ,y )满足2x +y ＞0, 即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，可以发现t 随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线2l 所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线1l 所对应的t 最小.所以： m ax t =2×5+2=12，min t =2×1+3=3。

2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域, 最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件。

t =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 范例分析例1．给出下列命题：①线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值；②线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值；③线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；④线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.其中正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.④例2．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 。

《简单的线性规划问题》（第一课时）说课一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.二、目标和目标解析（一）教学目标1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.（二）教学目标解析x y表示一个方案；约束条件是一次不1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量(,)等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答.3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础, 使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法.4. 在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力.三、教学问题诊断分析本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：（1）将实际问题抽象成线性规划问题；（2）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？（3）数形结合思想的深入理解.为此教学中教师要千方百计地为学生创设探究情境，并作合理适度的引导，通过学生的积极主动思考，运用由特殊到一般的研究方法，借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系四、教法分析新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.（3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.五、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．六、教学过程（一） 创设情境，激发探究欲望组织学生做选盒子的游戏活动.在下图的方格中,每列(x )与每行(y )的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关,且每次的关系式在变化,你会选哪个盒子?例如: 第一次:分值=x y + (即: 列数+行数)第二次:分值=2y x - (即: 行数-列数×2)师生活动：教师组织学生做选盒子得分的游戏，学生用“运算—比较”的方法容易解决老师提出的问题.之后，给出图3，让学生在图中找目标函数2b x y =+的最大值，学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”.引出课题,提出何为线性（即为一次的）？怎么规划（即求函数的最值）？是本节课的研究重点.x y 0 1 2 3 4 5 1 2 4 3 y 01 2 3 4 5 x 1 2 4 3 图1 图2【设计意图】数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.（二）独思共议，引导探究方法引导学生由特殊到一般分析目标函数的函数值.问题1：当6b =时，求x ，y 的值.师生活动：学生通过计算找到三个点的坐标，并观察出三点共线，求出直线方程26y x =-+，教师引导学生观察6b =所对应的直线的纵截距.【设计意图】通过特殊问题，帮助学生理解问题的实质：求x ，y 的值即求不定方程的解.数形结合，将求变量x ，y 转化成求点的坐标(,)x y .观察6b =时三个盒子所在点的位置关系及直线的方程，使学生体会b 值就是直线的纵截距.问题2．在图3中，求2b x y =+的最大值.师生活动：学生在教师的引导下分组讨论，求b 的最大值.通过之前教师的引导及学生对上一节“二元一次不等式表示的平面区域”的学习,对学生的讨论结果有两种预案：预案1:学生通过由特殊到一般的分析，将目标函数2b x y =+转化成2y x b =-+，x ，y 在取得每个可行解时，b 的取值就是直线2y x b =-+过(,)x y 这个点时的纵截距，而所有x1 45 2 3 7 9 10 11 81234O y图3这些直线都是平行的，因此只需平移直线看纵截距的最大值即可.预案2：根据上一节“二元一次不等式（组）所表示的平面区域”的知识，学生认为b 取最大值时x 、y 的取值一定在直线26y x =-+的右上方的位置，为此就依次在这些位置上画平行于26y x =-+的直线，只要上面有点就不停的画，直至最后一点.师生活动：学生展示讨论结果，教师借助几何画板作演示、分析，渗透转化和数形结合的数学思想.并对学生的结论作出总结，先作直线2y x =-，再作平移，观察直线的纵截距.【设计意图】由特殊到一般，利用数形结合，寻求解题思路. （三）变式思考，深化探究思路1．将目标函数变成34b x y =+， 求b 的最大值.师生活动：通过学生将34b x y =+化成344b y x =-+的形式，做直线34y x =-并进行平移，观察纵截距的最大值的回答过程，教师强调解题步骤:画、作、移、求.【设计意图】规范方法并检验学生对方法的理解程度，使学生感受由直线斜率的变化引起使b 取最大值的过程中点的变化.2．将目标函数变成34b x y =-，求b 的最大值.师生活动：教师引导学生比较此题和上题的区别，学生发现平移直线时若按上题的方法找纵截距的最大值便会出现问题，通过思考、讨论，找到本题需取截距最小的原因.【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，提高课堂效率，建立精准的数形联系．（四）规范格式，应用探究成果1．例1：(习题3.3A 组第3题)电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80min ，其中广告时间为1min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min ，广告时间为1min ，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6mi n 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min 的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？播放时间(min) 广告时间(min) 观众人数（万） 甲 80 1 60乙 40 1 20 320≥ 6≤解:设甲播放x 次，乙播放y 次，收视观众z 万人次则6020z x y =+.8040320,6,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 用如下步骤求z 的最大值：（1）画出可行域；（2）作出直线0l ：3y x =-（3）平移0l 至点A 处纵截距最大，即z 最大；（4）解方程组：80403206x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩，因此max 200z =.答：甲播放2次，乙播放4次，收视观众最多为200万人次.师生活动：教师引领学生理解题意，让学生继续领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题.通过学生板演，教师规范写法，然后借助解题的过程介绍线性目标函数、线性约束条件、可行解、可行域、最优解及线性规划的数学概念.【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.2．反思例1解题过程，深入体会数形结合思想师生活动：教师引导学生纵观解题过程，体会在解题中“数”与“形”是怎样结合的，并加以总结.代数几何 线性目标函数6020z x y =+直线320z y x =-+ 线性目标函数的函数值 直线的纵截距线性约束条件(二元一次不等式（组）的解集)可行域 线性目标函数的最值 直线的纵截距的最值 转化 图４x y O【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构.3．例2：(课本例2)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪.1kg 食物A 含有0.105kg 的碳水化合物，0.07kg 的蛋白质，0.14kg 的脂肪,花费28元； 1kg 食物B 含有0.105kg 的碳水化合物，0.14kg 的蛋白质，0.07kg 的脂肪,花费21元.为了满足饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg?师生活动：学生独自完成此题，由一位同学生展示自己的解题过程和结果.规范解题步骤和格式.解：设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩① 目标函数为2821z x y =+二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 二元一次不等式组所表示的平面区域（图5）考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+. 这里4321z y x =-+是斜率为43-，随z 变化的一组平行直线，21z 是直线在y 轴上的截距，当21z 取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图5可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z 最小，即z 最小． 解方程组775,147 6.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标为17x =,47y =.所以282116z x y =+=．答：每天食用食物A 为17kg ，食物B 为47kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.4．反思例2的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.（五） 归纳梳理，体会探究价值由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与数形结合思想得到方法，以及如何通过数学建模解决实际问题.再有教师介绍数学是有用的，通过本节课看到了时间如何合理分配收获最大的问题,如何使消费最少保证饮食健康的问题,还有很多实际应用由学生自己查资料作为拓展作业.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.（六） 目标检测题 1．在线性约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩下，求①目标函数35z x y =+的最大值和最小值；②目标函数310z x y =-的最大值和最小值；2．某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.。