四校联考第三次高考模拟考试 理科数学答案含评分

2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。

2012年四校联考第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13. 1 14. π34 15. 10 16. 2π三、解答题：17. (Ⅰ)()()1212---=-n n S S n S n n n ……………………………………… 2分n S nn S n n n n -+=--111)2(1≥=--n n b b n n ………………………………………… 6分(Ⅱ) 11=b , n b b n n =--1, 121-=---n b b n n , , 212=-b b 累加得22n n b n +=……………………………………… 10分22nS n =∴ ,()22121≥-=-=-n n S S a n n n …………………… 11分经检验211=a 符合212-=n a n ,212-=∴n a n …………… 12分18. (Ⅰ) ξ可能的取值为8,7,6,5,4,3,2()499217171313===CC C C P ξ ()49122317171213=⨯==CC C C P ξ()4910241717111317171212=⨯+==CC C C CC C C P ξ ()49102251717111317171112=⨯+⨯==CC C C CC C C P ξ()495261717111117171112=+⨯==C C C C C C C C P ξ ()492271717===C C P ξ()491181717===C C P ξ …………………………… 6分(Ⅱ) η可能的取值为,7,6,5,4,3,2 ………………………… 7分()7122723===CC P ξ()723271213===C C C P ξ()2144272213=+==CC C P ξ()2155271213=+==C C C P ξ ()21262712===C C P ξ ()2117==ξP…………………………… 11分 ()4=ξE …………………………… 12分 19. (Ⅰ)设AC 交BD 于O ,连接OEABCD PD 平面⊥ ,AC PD ⊥∴,AC BD ⊥PBD AC 平面⊥∴,又AEC AC 平面⊆,PBD ACE 平面平面⊥∴………………………… 6分(Ⅱ)(方法一) PBD AO ⊥∴4π=∠∴AEO ,设22==AB PD ,则1=OE即1=EBPE ………………………… 12分(方法二)以DA 为x 轴, DC 为y 轴, DP 为z 轴建立空间直角坐标系,如图 平面BDE 法向量为()0,1,1-=n ,设22==AB PD ,()λλλ22,2,2-E)2,2,2(-=PB，令PB PE λ=，则()λλλ22,2,22--=AE ,22=⋅ ,得21=λ 或1=λ（舍），1=BEPE ，……………… 12分20. (Ⅰ) 化简得： ()()2222121λλ-=+-y x①1±=λ时方程为0=y 轨迹为一条直线②0=λ时方程为222=+y x 轨迹为圆③()()1,00,1⋃-∈λ时方程为()1122222=-+λyx轨迹为椭圆④()()+∞⋃-∞-∈,11,λ时方程为()1122222=--λyx轨迹为双曲线.……………………………… 6分(Ⅱ)P ∴=,22λ 点轨迹方程为1222=+yx.21::x x S S OBF OBE =∆∆由已知得1>-∆∆∆OBEOBF OBES S S ,则1121>-x x x ,12121<<∴x x .设直线EF 直线方程为2+=kx y ，联立方程可得：()0682122=+++kx xk23,02>∴>∆k , 21,x x 同号∴2121x x x x =∴221221216,218kx x kk x x +=+-=+ ………………………… 8分设m x x =21 ,则()()⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+=+29,46332122221221kkmm x x x x1027232<<k ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈26,1030310303,26k ．．…………………… 12分21. (Ⅰ)当1=a 时，x x x x g ln 3)(2+-=，0132)(2>+-='xx x x g1>x 或21<x 。

2021届高三年级第三次四校联考数学〔理〕试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分必考题和选考题两局部，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．一共150分,考试时间是是为120分钟．第一卷〔选择题 一共60分〕一．选择题：〔本大题一一共12小题．每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．i 为虚数单位，复数121iz i+=-，那么复数z 的虚部为 〔 〕 A ．32i B ．32 C ．12i -D ．12-2．集合{}{}=>=∈-==B A x x B R x x y y A 则,0log ,,122〔 〕A ．{}1>x xB ．{}0>x xC ．{}1-<x xD ．{}11>-<x x x 或3．以下命题①命题“假设1≠x ，那么0232≠+-x x 〞的 逆否命题是“假设0232=+-x x ，那么1x =〞.②命题 22000:,10,:,10.P x R x x P x R x x ⌝∀∈++≠∃∈++=则③假设q p ∨为真命题，那么p 、q 均为真命题. ④“2x >〞是“0232>+-x x 〞的充分不必要条件。

其中真命题的个数有〔 〕 A. 1个 个个D.4个4．函数2()sin cos f x x x x =-图象的一个对称中心是〔 〕A ．2(,3πB ．(,6π5C ．2(3π-D ．(,0)3π5．a 是函数12()2log x f x x =-的零点，假设000,()x a f x <<则的值满足〔 〕A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不能确定6．读下面的程序： ks5u INPUT N I=1 S=1WHILE I<=NS =S*I I = I+1 WEND PRINT S END上面的程序在执行时假如输入6，那么输出的结果为〔 〕A ．6B ．720C ．120D ．17．O 、A 、B 、C 是平面上任意三点不一共线的四个定点，P 是平面上一动点，假设点P 满足：，()()0,OP OA AB ACλλ=++∈+∞，那么点P 一定过ABC ∆的A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心8．两个正数1、9的等差中项是a ，等比中项是b ，那么曲线122=+by a x 的离心率为〔 〕A ．105B ．2105C ．45D ．105与21059．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不一样的安排方法的种数为〔 〕A. 72B. 120C. 252D. 11210．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，那么该几何体的外接球的外．表积．．为 〔 〕 ks5u A ．π12 B ．π34 C ．π3D ．π31211．双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，那么 12PA PF ⋅最小值为 ( )A ．2-B.8116-C.1D.012．设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩假设关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，那么m =〔 〕A ．6B ．4或者6C ．6或者2D ．2第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．数列}{n a 的通项公式为,12+=n a n 其前n 项和为n S ，那么数列}{nS n的前10项的和为 .14．732x ⎛ ⎝的展开式中，常数项为.正视图 侧视图 俯视图15．随机地向区域2040y x y x ⎧≤≤⎪≥⎨⎪≥⎩内投点，点(,)x y 落在区域内的每个位置是等可能的，那么3y x <的概率为_________________. 16．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直, 且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内 一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是 三棱锥M-PAB 、 三棱锥M-PBC 、三棱锥M-PCA 的体积. 假设1()(,,)2f M x y =,且18ax y+≥恒成立,那么正实数a的最小值为___ _ __.ks5u三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分〕 17．〔本小题12分〕如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C,测得75CAB ∠=，45CBA ∠=,且100AB =米。

2024年重庆市高考数学三诊试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|10}A x x =-=，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，则=a （）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用子集的概念求解.【详解】集合{}2{|10}1,1A x x =-==-，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，又11a a +>-，所以1111a a +=⎧⎨-=-⎩，解得0.a =故选：B2.设复数z 满足2i 1z z -=，则z 的虚部为（）A.13B.13-C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】设复数i(,R)z a b a b =+∈，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得b 的值，即可求解.【详解】设复数i(,R)z a b a b =+∈，因为复数z 满足2i 1z z -=，可得()22i i i 1a b a b +--=，即()22i 1a b b a -+-=，则21a b -=，20b a -=，解得13b =，所以复数z 的虚部为13.故选：A.3.已知一种服装的销售量(y 单位：百件)与第x 周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x ，y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则=a （）x 12345y66a31A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据统计图表中的数据，求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解.【详解】解：由统计图表中的数据，可得()11234535x =⨯++++=，()116663155a y a +=⨯++++=，即样本中心为16(3,5a +，因为两变量,x y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则161.337.95a+-⨯+=，解得 4.a =故选：C.4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC. D.4π【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为π4，所以底面圆的半径为2sin π4r ==，所以该圆锥的侧面积为π2S ==侧.故选：C5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）A.402400C B.242400C C.122400C D.102400C 【答案】C 【解析】【分析】根据分层抽样的性质计算即可。

2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，且有4个子集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2．复数等于（）A. B. C. D.03. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.4．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A. 1B.－C. 1或－D. -1或－5. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（）A．1 B．C．2 D．6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（）A. 4B. 8C. 10D. 128．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )A．1 B． C．D．9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）A. B. C. 2 D. 311. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知等差数列中，,那么 .14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 .15. 已知球的直径，是球球面上的三点,， 是正三角形，则三棱锥的体积为 . 16. 给出下列四个结论：（1）如图中，是斜边上的点，. 以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是；（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；（3）若是定义在上的奇函数，且满足,则函数的图像关于对称;（4）已知随机变量服从正态分布则.其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向． （1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市xx 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，空气质量指数0.032 0.020 0.018O 5 15 25 35 45 A BCD E北 A P东B C D由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，.（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.(1)若,求△的面积;(2)设直线的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，是的平分线，交于点，交于点．（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，求．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数满足，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.哈尔滨市第六中学xx届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C二．填空题13. 14. 15.40 16.②③④三．解答题17. 解：（1）由题意知，则均为直角三角形………………1分在中，，解得…………………………2分在中，，解得…………………………3分又，万米. …………………………5分（2），，…………………………7分又，所以.…………………………9分在中，由正弦定理，…………………………10分万米…………………………12分18.(1) 解：由题意，得，……………1分解得. ……………2分（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X=⨯+⨯+⨯+⨯=……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. ………5分的取值为，………6分，，，. ……………10分∴的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分（或者）19.解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面面，所以平面平面………6分M（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．………12分20.（1）依题意，.设，则.由得, ,, 解得, . …………5分(2)设, 动点在圆上, .又, , 即====.又由题意可知,且,则问题可转化为求函数的值域.由导数可知函数在其定义域内为减函数,函数的值域为从而的取值范围为……12分21.（1）由已知得：，且函数在处有极值∴，即∴∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的最大值为（2）①由已知得：(i)若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；(ii)若，则时，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，则时，，xyz当时，，∴在上为增函数， 此时， ∴不能使在上恒成立； 综上所述，的取值范围是 …………8分 ②由以上得：取得： 令， 则，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分22．（1）因为为⊙的切线，所以…………1分因为是的平分线，所以…………2分 所以，即，…………3分又因为为⊙的直径，所以…………4分. 所以.…………5分（2）因为，所以，所以∽，所以，………7分在中，又因为，所以，………8分 中，………10分23.解:（1）直线的参数方程化为标准型（为参数） …… 2分代入曲线方程得设对应的参数分别为，则，，所以 …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， …… 6分 所以点在直线， 中点对应参数为， 由参数几何意义，所以点到线段中点的距离 ……10分 24.(1) ，相乘得证——————5分 （2），， 相加得证——————10分。

四省名校2021届高考数学第三次大联考试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x>2}，则A∩B=()A. {3}B. {2,3}C. {−1,3}D. {1,2，3}2.已知复数z满足(2+i)z=5(i为虚数单位)，则z=()A. −2−iB. 1−2iC. 2−iD. 1+2i3.样本4，2，1，0，−2的标准差是：()A. 1B. 2C. 4D.4.已知|a⃗|=5，|b⃗ |=5，a⃗⋅b⃗ =−3，则|a⃗+b⃗ |=()A. 23B. 35C. 2√11D. √355.若等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，则q=()A. −1或2B. 1或−2C. 0D. −1或−26.在直角坐标平面xoy中，F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34，则抛物线C的方程为()A. x2=12y B. x2=y C. x2=2y D. x2=4y7.已知tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形8.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示．此时连接顶点B、D形成三棱锥B−ACD，则其侧视图的面积为()A. 125B. 1225C. 7225D. 144259.给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是( )A. ①—M ②—N③—P ④—QB. ①—N②—P③—M④—QC. ①—P②—M③—N④—QD. ①—Q②—M③—N④—P10. 函数f(x)=ln(4+3x −x 2)的单调递减区间是A.B.C.D.11. 双曲线x 24−y 23=1，则此双曲线的离心率e 为( )A. 12B. 2C. 2√2D. √7212. 设曲线y =2014x n+1(n ∈N ∗)在点(1,2014)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =log 2014x n ，则a 1+a 2+⋯+a 2013的值为( )A. 2014B. 2013C. 1D. −1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x ≤32x −y ≥0x +y −4≥0，则y x +xy 的范围为______．14. (x +1)(x −1)5展开式中含x 2项的系数为______.(用数字表示) 15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1−a n =2，则a 20的值为______ ．16. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB =2，则此球的表面积等于______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 向量a =(cos ωx ，sin ω x )，b =(cos ωx ， cosω x )，其中0<ω<2.函数f(x )= a · b −，其图象的一条对称轴为x =．(1) 求函数f(x )的表达式及单调递增区间；(2) 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 为其面积，若f()=1，b =1，S △ABC =，求a 的值．18. 中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． (I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．19. 如图，四棱锥S −ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB =AD =1，DC =SD =2，E 为棱SB 上任一点． (Ⅰ)求证：无论E 点取在何处恒有BC ⊥DE ；(Ⅱ)设SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当平面EDC ⊥平面SBC 时，求λ的值； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下求二面角A −DE −C 的大小．20. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆E ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)，离心率为12，过椭圆E 内一点P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A 、C 和B 、D ，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ为正常数．(1)当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的λ=57，求椭圆的方程．(2)当λ变化时，k AB 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21. 已知函数f(x)=−2lnx +ax −a ．(1)若函数f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数，求a 的取值范围； (2)当−2<a <0时，证明：对任意x ∈(0,+∞),e x 2x−a <(1−a x)222. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x′=xy′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|2x −4|．(1)求不等式f(x)≤5的解集；(2)若函数y =f(x)图象的最低点为(m,n)，正数a ，b 满足ma +nb =6，求3a +8b 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x>2}，∴A∩B={3}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由(2+i)z=5，得z=52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i．故选：C．3.答案：D解析：试题分析：，样本4，2，1，0，−2的标准差是：=，选D。

2011-2012学年度山西省四校高三第三次联考数学试题（理）参考答案一、选择题：1-5 D A D C D 6-10 A D B A A 11-12 B C二、填空题：13．240 ； 14．192； 15．624+； 16．)2,23()23,1(⋃ 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得（2sinA+sinC ）cosB+sinBcosC=0， ……………… 2分 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，得 2sinAcosB+sin （B+C ）=0， ……………… 3分因为 A+B+C=π，所以 sin （B+C ）=sinA ，得 2sinAcosB+sinA=0，因为 sinA≠0，所以 cosB=12-， ……………… 5分 又B 为三角形的内角，所以B=23π……………… 6分（2）∵ B=23π， ∴ f （x ）=2cos （2x-23π）， ………………7分∴ g （x ）=2cos ［2（x+12π）-23π］=2cos （2x-2π）=2sin2x ， ………9分由2k π-2π≤2x≤2k π+2π （k ∈Z ），得k π-4π≤x≤k π+4π（k ∈Z ）， 故f （x ）的单调增区间为［k π-4π，k π+4π］（k ∈Z ） ………………12分18．（本小题满分12分）证明：（1）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D E a λ，()(),,0,,,AC a a BE a a a λ=-=--，∴0AC BE •=对任意(]0,1λ∈都成立，即AC ⊥BE 恒成立； ……………………6分 （2）显然()10,1,0n =是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的一个法向量为()2,,n x y z =， ∵()(),,0,,0,AC a a AE a a λ=-=-，∴22000000n AC ax ay x y ax az x z n AE λλ⎧•=-+=-=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=-=•=⎩⎩⎪⎩， 取1z =，则x y λ==，()()2,,,,1n x y z λλ==， ………………10分 ∵二面角C-AE-D 的大小为60， ∴(]121221212cos ,,0,12212n n n n n n λλλ•===∈⇒=+， ∴22λ=为所求。

高中届毕业班第三次诊断性考试数 学（理工类）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

2．答第Ⅰ卷时，选出每个题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合U (C )N M =A ．{}2B ．{}2,5C ．{}4,5D ．{}1,3 2．已知是虚数单位，复数21+(1)i i -的虚部为A.12 B. 12- C. 12i D. 12i - 3． 已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ,m α,n β⊥,则A ．m n ⊥B ．n l ⊥ C.mn D ．ml4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠 穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大 鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图 描述，如图所示，则输出的结果是A. 5B. 4C. 3D. 25．函数33()xx f x e-=的大致图象是6．等比数列的前项和为，若，，则等于A ．33B ． -31C ．5D ．-37．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是A ．B ．C ．D ．8．已知圆22:(3)(1)1C x y +-=和两点(,0),B(,0),(0)A t t t ->，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则当OP 取得最大值时，点P 的坐标是 A ．333(,2 B ．333)2C ．332(,22 D ．323()229．已知函数()3)(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，1(,0)3A 为图象()f x 的对称中心，,B C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是A ．24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ B ．24(2,2),33k k k Z -+∈C ．24(4,4),33k k k Z ππππ-+∈D ．24(4,4),33k k k Z -+∈10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．883π+B ．1683π+ C ．8163π+ D ．16163π+ 11．已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E右支上的一点，1PF 与轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若3AQ =，则E 的离心率是 235 D.312．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =. 若对任意x R ∈，都有()()1f x f x '>+，则使得()1x f x e +<成立的的取值范围为A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若不等式组满足21022040x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则2z x y =+的最大值为 .14．在42⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．(用数字作答) 15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA在CB 方向上的投影为 .16．n S 为数列{}n a 的前项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =______.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。

2021届四省名校高三第三次大联考理数参考答案及评分细则8. D 【解析】如图所示,1.B 【解析 J VA= (0,l,2),B= (0,2,3,4), AAQB(0,2).故选 B. z = 2+i.故选 A.3. B 【解析】已知 E (y )= 4 + 6=2E(X)+们.LE(X) = 2；・..D (y )= 32 = 4D(X),.LD(X)=8.故选 B.4. B 【解析】因为。

=(—1,2)站=(3,2),所以a + b = (2,4),。

一 6= ( — 4,0),所以 cos <a^b,a — b> = (a + b) • (a_b) _ —8 _ 业 士》、出 R \a^b\ \a~b\ 2^X4 5 ' '5. D 【解析】因为知为等比数列，所以由・。

2+。

4 = 30, “2 = 3, ・。

2 = — 3,〈 得〈 或〈(舍去)，所以• % = 9〔。

4 = 27 〔。

4=33公比g=3或一3.故选D.6. A 【解析】易知直线Z 斜率不为0,设直线l-.x = my + 1,与 2px 联立，得 y 2— 2pmy~2p = 0 ,^>0 恒成立，设A (而，关)，_6(孔，”),则y 1y 2 = ~2p,由 .2 .2OA^OB ，得而孔+弘必=。

，即易己+ M 必=。

，即若一2? = °,得2 = 土•所以其准线方程为H7. C 【解析】产&)= 23击(2/ +甲+；)，若f(Q 为奇P,A,B 是棱长为2的正方体的顶点,C,D 是所在棱 的中点.四棱锥P-ABCD,^ P 作PE±AD ，在正方 体中有CD±平面PAD,所以CD±PE,又AD^CD =D,所以PE±平面ABCD ，所以四棱锥的高为PE.由三视图可知AB = CD = Z,AD = PDf ,PE 顼 =2*2『£=哮，故四棱锥的高为峪.故选D.9. D 【解析】由已知得10 = 10 -IgCaXlO 13),解得a = 10 %故 L=1Q - lg(10 12XD = 10(-12 + lg D.设 施工噪音原来的声强为L ,声强级为I ,整改后的声 强为I?,声强级为L2 ,则Li —L2=10( — 12 + lg I 」)一 10( — 12 + lg I 2) = 10(lgh — lg L) = 10 • lg ： = 20.灼 故选D.10. B 【解析】由题，因为(y )" = 1。

2021年高三第三次模拟考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为 A. B. 2 C. D.2.设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则 A.B.C.D.3.已知是偶函数，且 A.4B.2C.D.4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是 A ．成正相关，其回归直线经过点（30，76） B ．成正相关，其回归直线经过点（30，75） C ．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D ．成负相关，其回归直线经过点（30，75）5．已知数列满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，，则的前项和6..已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是（ ）A .若，，则B .若，，则C .若，，则D .若，，则7.若点满足线性约束条件020,0y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩点，为坐标原点，则的最大值为A. B. C. D.8.已知集合，定义函数，且点，，，（其中）.若△ABC 的内切圆圆心为，满足，则满足条件的有（ ）A ．10个B ．12个C ．18个D ． 24个 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。

） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.不等式的解集为 . 10. 已知向量，，则________.11已知双曲线两条渐近线的夹角是，则 ．12．设是公比不为1的等比数列，其前n 项和为，若成等差数列，则 .13.设6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．15.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，直线与曲线C:相交于A 、B 两点，O 为极点.则∠AOB 的大小是 ．14．（几何证明选讲选做题）如图，、是圆上的两点，，是弧的中点．延长至使得，连接，设圆的半径，则的长是 ．三、解答题。