山东省实验中学2015届高三下学期6月模拟考试数学(理)试题

山东省实验中学2015级第二次模拟考试高三数学试题（理科）2018.6第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可.详解：求解二次不等式可得：，则.据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误.本题选择C选项.2. 已知是实数，是纯虚数，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，为纯虚数，则：，据此可知.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 下列关于命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”B. 命题“若，则互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“”的否定是“”D. 命题“若，则”的逆否命题是真命题【答案】B【解析】分析：由题意逐一分析所给的命题的真假即可.详解：逐一分析所给命题的真假：A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”，题中说法错误；B. 命题“若，则互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；C. 命题“”的否定是“”，题中说法错误；D. 命题“若，则”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误；本题选择B选项.点睛：本题主要考查四种命题的关系，命题真假的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 据统计，连续熬夜小时诱发心脏病的概率为，连续熬夜小时诱发心脏病的概率为 . 现有一人已连续熬夜小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜小时不诱发心脏病的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果.详解：设事件A为48h发病，事件B为72h发病，由题意可知：，则，由条件概率公式可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知平面向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后求解向量的模即可.详解：由题意可得：，且：，即，，，由平面向量模的计算公式可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，平面向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体，它是由三棱柱截去三棱锥后所剩的几何体，所以其体积，故选D.考点：三视图.7. 下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”.已知正整数被除余，被除余，被除余，求的最小值.执行该程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正整数n被3除余2，被8除余5，被7除余4，求出n的最小值．详解：正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被8除余5，得n=8l+5，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．故选：C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 将的图像向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法错误的是（）A.函数的最小正周期是B. 函数的一条对称轴是C. 函数的一个零点是D. 函数在区间上单调递减【答案】D【解析】分析：首先求得函数的解析式，然后考查函数的性质即可.详解：由题意可知：，图像向左平移个单位，再向下平移个单位的函数解析式为：.则函数的最小正周期为，A选项说法正确；当时，，函数的一条对称轴是，B选项说法正确；当时，，函数的一个零点是，C选项说法正确；若，则，函数在区间上不单调，D选项说法错误；本题选择D选项.点睛：本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合函数的性质排除错误的函数图象即可求得最终结果.详解：当时，，则选项BC错误；函数的解析式为：可由函数向右平移两个单位得到，而，据此可知是函数的极值点，则是函数的极值点，据此可排除D选项.本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意确定函数的性质，然后将原问题转化为两个函数有4个交点的问题求解实数a的取值范围即可.详解：由题意可知函数是周期为的偶函数，结合当时，，绘制函数图象如图所示，函数有4个零点，则函数与函数的图象在区间内有4个交点，结合函数图象可得：当时：，求解对数不等式可得：，即实数的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的离心率，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把,转化为，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．解：由题意知：（-c，0）、（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，作图∵，及圆的切线长定理知，，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）-（x-c）|=2a，∴x=a，在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形中，有：OB==（-PC）=（-）=×2a=a．故选A．考点：双曲线的定义、切线长定理点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用三角形内心的性质．属于基础题。

(第3题)数学试题（理科）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。

两卷合计150分，考试时间为120分钟。

选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上.第Ⅰ卷（选择题 60分） 一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}3,2,1,0,1,2--=U ，{},3,1,0,1-=M ，{}3,2,0,2-=N ，则(∁U M )N 为A ．{},1,1-B ．{}2- C ． {}2,2- D ． {}2,0,2-2．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （ ） A ．1- B ． 1 C D ．3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 （ ）A .43B . 44C . 45D . 464．设非空集合P Q ， 满足P Q P =，则 （ ） A ．,x Q x P ∀∈∈有 B ．x Q ∀∉，有x P ∉ C ．0x Q ∃∉，使得0x P∈D ．0x P ∃∈，使得0x Q ∉ 5．直线l ,m 与平面γβα,,，满足γβ =l ，l //α，α⊂m ，γ⊥m 则必有 （ ）A . γα⊥且β//mB . γα⊥且m l ⊥C .β//m 且m l ⊥D .βα//且γα⊥6．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则155a a = A ．3 B ．13 C ．3或13 D ．3-或13-7．设zx y=+，其中x ，y 满足20,0,0,x y x y x k +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩当Z 的最大值为6时，k 的值为 （ ） A .3 B .4 C .5 D .6 8．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为 （ ）A .20-B . 20C .160-D . 160x yO23π2π2πππ23π2-2O yxxyO23π2π2πππ23π2-2O yx9．函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ内的图像是 （ ）A. B . C . D . 10．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++=，||||OA AB =，则CA CB ⋅的值是 （ ）A . 2B . 3C . 1D . 011. 在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴3（ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 12．已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是 （ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11第II 卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于_________． 14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为____________.15．以双曲线116422=-y x 的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为____________.16.设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N ，若ABC ∆的内角A 满足31)()()(201321=+++A f A f A f ，则A 2sin 的值是__________.三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆ 的形状.18. （本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截面得，已知FA ⊥平面ABC ，AB ＝2，BD ＝1，AF ＝2，CE ＝3，O 为AB 的中点． （1）求证：OC ⊥DF ；（2）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小；19．（本题满分12分）我校要用三辆校车从本校区把教师接到东校区，已知从本校区到东校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；校车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．学20、（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n k na b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（3）设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项R Q c n ⋂∈，其中1c 是R Q ⋂中的最小数，11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.21. （本小题满分13分）已知椭圆C ：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）的离心率21=e ，且经过点A )23,1(--.（1）求椭圆E 的标准方程；BCEDAFO（2）如果斜率为21的直线EF 与椭圆交于两个不同的点E 、F ，试判断直线AE 、AF 的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由. (3) 试求三角形AEF 面积S 取得最大值时，直线EF 的方程.22. （本小题满分13分）已知函数)()(2R a ax e x f x∈-=（1）求函数)(x f 在点P （0,1）处的切线方程；（2）若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，试求a 的范围;（3）若函数)(x f 不出现在直线1+=x y 的下方，试求a 的最大值.山东省实验中学2010级第二次模拟考试 理科数学答案 2013.06一选择题CBCBB CACCB BB 二填空题 13.21 14. 310 15. 25)52(22=+-y x 16．924 三解答题17（本小题满分12分）解：﹙Ⅰ﹚22()cos cos sin f x x x x x =+-cos2x x =+ ……………………………………………………….3分 2sin(2)6x π=+……………………………………………………………4分所以π=T ,…………………………………………………………………5分]2,2[)(-∈x f ……………………………………………………………6分﹙Ⅱ﹚由()22A f =，有()2sin()226A f A π=+=，所以sin() 1.6A π+= ……………………………………………………………7分因为0A π<<，所以62A ππ+=,即3A π=. …………………………………8分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =，所以2()0b c -=.……………10分 所以,b c = 所以3B C π==.……………………………………………………11分所以ABC ∆为等边三角形. ………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）证法一：⊥FA 平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，,FA OC ∴⊥ …………2分又CB CA =且O 为AB 的中点，,AB OC ∴⊥ OC ∴⊥平面ABDF ， ………………4分 DF ⊂平面ABDF，.OC DF ∴⊥ ……………………………………………………………………6分证法二：如图，以O 为原点，Oz OC OB 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(0,3,0),(1,0,1),(0,3,3),(1,0,2).C D E F ==- …………………………2分 (0,3,0),(2,0,1),0.OC DF OC DF ==-∴⋅=即.OC DF ⊥ ………………6分（2）解法一：解：设平面ABC 的法向量为1(0,0,1),n = ………7分设平面DEF 的法向量为2(1,,),n y z =(1,3,2),DE =-由2200n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得132020y z z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩, 解得32y z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩, …………………………9分所以 12121222cos ,2||||122n n n n n n ⋅<>===⋅⨯, …………………11分故平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小为4π. …………………12分19．（本小题满分解（Ⅰ）由已知条件得 2121337(1)44416C p p ⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅= ⎪⎝⎭ ，……………………2分即31p =，则13p =． ……………………………………………………………………4分（Ⅱ）解：ξ可能的取值为5分yxz…………9分………10分．…………………………………………12分20解：（1）点),(nnSnP都在函数xxxf2)(2+=的图像上，∴2*2()nS n n n N=+∈, 当n2≥时，12 1.n n na S S n-=-=+…………………………………2分当1=n时，113a S==满足上式，所以数列}{na的通项公式为2 1.na n=+…3分（2）由xxxf2)(2+=求导可得()22f x x=+‘过点),(nnSnP的切线的斜率为nk，22nk n∴=+.…………………………………4分24(21)4nk nn nb a n∴=⋅+⋅＝.12343445447421)4nn∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯nT+4（①由①×4，得2341443445447421)4nn+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯nT+4（②………………5分①-②得：()231343424421)4n nn+⎡⎤-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+⨯⎣⎦nT +4-（21141434221)414nnn-+⎡⎤-=⨯+⨯+⨯⎢⎥-⎣⎦（4）-（26116499nn++∴=⋅-nT…………………………………………………………..7分（3）{22,},{42,}Q x x n n N R x x n n N**==+∈==+∈,Q R R∴⋂=.又nc Q R∈⋂，其中1c是RQ⋂中的最小数，16c∴=……………..8分{}nc是公差是4的倍数，*1046()c m m N∴=+∈………………….9分又10110115c <<，*11046115m m N <+<⎧∴⎨∈⎩,解得ｍ＝27. ………………….10分 所以10114c =，设等差数列的公差为d ，则1011146121019c cd ---＝＝＝，………11分6(1)12126n c n n ∴=++⨯=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-…12分21. （本小题满分13分） 解：（1）由题意，21==a c e ,………………….1分 椭圆C 经过点A )23,1(--，123)1(2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴ba ， 又222c b a +=，解得32=b ，42=a ，所以椭圆方程为22143x y +=. …………….3分 （2）设直线EF 的方程为：m x y +=21，代入22143x y +=得：0322=-++m mx x .0)3(422>--=∆m m 且⎩⎨⎧-=-=+322121m x x mx x ；………………….4分 设),(00y x A ，由题意，0101x x y y k AE --=，0202x x y y k AF --=；………………….5分))(())(())((02010102020102020101x x x x x x x y x x x y x x x y x x x y k k AF AE ----+--=--+--=+∴分子为：0021021012212)()(y x x x y y y x x y x y t ++-+-+=又m x y +=1121，m x y +=2221， 00210210221121212)()())((y x x x y y y x y x y x y y x x t ++-+---++=∴32))(2(2121+++++=m x x x x m0323))(2(2=++-+-+=m m m m0=+∴AF AE k k .即，直线AF AE 、的斜率之和是为定值0.………………….8分（3）221231225||1||m x x k EF -=-+= 25|1|m d +=，|1|31221||212+-==∴m m d EF S ………………….9分 11...................................................................................................2,43311,43314331143312)(22,4331,4331,10)()42)(1(23629293)(36492343)(3212232342单减单增，在，，，在所以又可得令设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---<<-+-=--=-=='-++-=++--='+++--==m f m m m m m f m m m m m m m f m m m m s m f 所以)()()(23m f m f m f 或的最大值为，经运算)3m f （最大………………….12分所以直线方程为433121+-+=x y ………………….13分 22. （本小题满分13分）解：(1)ax e x f x2)(-=' ，1)1(='∴f ………………….1分所以)(x f 在点)1,0(P 处的切线方程为x f f y )0()0('=-，即1+=x y .………….3分 (2) 由题意02)(≥-='ax e x f x恒成立………………….4分0>x 时x e a x ≤2，令x e x g x=)(，则2)1()(xx e x g x -='， 由0)(='x g 得1=x ，1>x 时0)(>'x g ，1<x 时0)(<'x g .e g x g ==∴)1()(min ,2ea ≤∴；………………….5分 0<x 时x e a x ≥2，0<xe x，02≥∴a 则0≥a ；………………….6分又0=a 0)(≥='xe xf 恒成立；………………….7分综上，若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，则20ea ≤≤.………………….8分 (3) 由题意，1)(+≥x x f ，记1)(2---=x ax e x F x,即0)(≥x F 恒成立. ……….9分若0>a ，则01<-<ax 时，01)1(1)(<-+-<ax x x F ，与0)(≥x F 恒成立矛盾. 10分 0≤∴a .此时1-2)(ax e x F x -='则0>x 时01-2)(0≥->'ax e x F ，0<x 时01-2)(0≤-<'ax e x F ，0=∴x 时0)0()(min ==F x F ，即0)(≥x F 恒成立. ………………….12分综上，若函数)(x f 不出现在直线1+=x y 的下方，则 a 的最大值为0. ………………….13分。

⼭东省实验中学2015级⾼三第三次诊断性考试数学试题（理科）⼭东省实验中学2015级⾼三第三次诊断性考试数学试题(理科)第I卷(共60分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题。

每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．)1. 设集合，则集合A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，根据集合的交集的概念得到集合。

故得到答案为：D。

2. 设向量，则实数x的值是A. 0B.C. 2D. ±2【答案】D【解析】向量因为，由向量平⾏的坐标运算得到故答案为：D。

3. ⼰知实数满⾜约束条件的最⼤值为A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】根据不等式组画出可⾏域，可得可⾏域是⼀个封闭的三⾓形区域，记和交于点A（1，1），⽬标函数化为，根据图像可知，当⽬标函数过点A时，有最⼤值，代⼊得到3.故答案为：C。

4. 设是两个不同的平⾯，直线．则“”是“”的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若，则存在过直线的平⾯与不平⾏，所以充分性不成⽴；必要性：若，则平⾯内的任意直线都与平⾏，则必要性成⽴，所以是必要不充分条件。

故选B。

5. 已知等差数列的前项和为，若，则公差d的值为：A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】由等差数列的概念及前n项和公式得到故答案为：C。

6. 已知不共线的两个向量满⾜A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】向量，两边平⽅得到化简得到联⽴两式得到。

故答案为：B。

7. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样⼀个问题：今有⽜、马、⽺⾷⼈苗，苗主责之粟五⽃，⽺主⽈：“我⽺⾷半马．”马主⽈：“我马⾷半⽜．”今欲衰偿之，问各出⼏何?此问题的译⽂是：今有⽜、马、⽺吃了别⼈的⽲苗，⽲苗主⼈要求赔偿5⽃粟．⽺主⼈说：“我⽺所吃的⽲苗只有马的⼀半.”马主⼈说：“我马所吃的⽲苗只有⽜的⼀半.”打算按此⽐例偿还，他们各应偿还多少?已知⽜、马、⽺的主⼈应偿还升，b升，c升，1⽃为10升；则下列判断正确的是A. 依次成公⽐为2的等⽐数列，且B. 依次成公⽐为2的等⽐数列，且C. 依次成公⽐为的等⽐数列，且D. 够次成公⽐为的等⽐数列，且【答案】D【解析】由条件知，，依次成公⽐为的等⽐数列，三者之和为52升，根据等⽐数列的前N项和，即故答案为D。

山东省实验中学2015届高三第二次模拟考试（6月）【山东省实验中学二模最后押题理科数学】山东省实验中学2015届高三第二次模拟考试（6月）山东省实验中学二模 最后押题（理科数学）一、选择： DDBDC AABCA 二、填空 11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、 解答题16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分 CB C B B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴A A C A C AB A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分 （Ⅱ）因为2bc a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分 435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， ……………………10分 (0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)， 当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又P A ⊥底面ABCD , ∴平面P AD ⊥平面ABCD ， ……(2分)∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥PD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF //PD ，……（4分)∴ AB ⊥EF ． ……(5分)由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系， 则)21,0(),0,2,1(h BE BD =-=……(8分) 设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，zyxF E P D CB A 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BD n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hz y y x 可取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h n 2,1,22 ……(10分) 设二面角E -BD -C 的大小为θ，则|||||||,cos |cos 212121n n n n n n ⋅⋅=><=θ=224522<+h h ， 化简得542>h ，所以552>h …(12分) 18解:(I )设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II ) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分） 所以X 的分布列为： X 23 4 5 P 211 214 73 31 的数学期望218531573421432112=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分 19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得 )1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分 又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a n n -------------------------------------6分因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设d b d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 （Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k 11141)22(211)12(1)12(11222 所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+< ------- ----------------------------------------------------12分20.解（1）22222c a b a =∴= （1分） 又22b b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分） （2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kx x kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （6分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k - 2211212111122S MA MB k k k k ==++ （8分） 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222212221216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分）2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥ 所以λ的最小值为169 ,此时k =1或-1. （13分）21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(x x x x x f -=-='.令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞；所以1=x 时， )(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ) 222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x ----+-'=--==> ………4分令0)(='x f ,得1=x 或a x 1-=当01<<-a 时，a 11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或a x 1->，令0)(>'x f ，得a x 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='x x x f .当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得a x 10-<<或1>x ，令0)(>'x f ，得11<<-x a ；综上所述:当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a -；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a - (10)分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a 上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时, 01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解; 故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3. …………………14分。

2015年山东省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（6月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|0＜2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（∁U B）=（）A.{x|x＞1}B.{x|x＞0}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x＜0}【答案】D【解析】解：∵A={x|0＜2x＜1}{x|x＜0}，B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，所以C U B={x|x≤1}，∴A∩（C U B）={x|x＜0}．故选D解指数不等式可以求出集合A，解对数不等式可以求出集合B，进而求出∁U B，根据集合并集运算的定义，代入可得答案．本题考查的知识点是集合的交并补集的混合运算，其中解指数不等式和对数不等式分别求出集合A，B，是解答本题的关键．2.若α，β∈R，则α+β=90°是sinα+sinβ＞1的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分又不必要条件【答案】D【解析】解：例如α=91°，β=-1°，满足“α+β=90°”，但不满足“sinα+sinβ＞1”，反之，当α=45°，β=46°，满足sinα+sinβ＞1，但不满足α+β=90°．所以“α+β=90°”是“sinα+sinβ＞1”的既不充分也不必要条件故选D．通过举反例说明前者推不出后者，后者推不出前者，根据充要条件的有关定义判断出结论．判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先判断前者成立能否推出后者成立，后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的有关定义进行判断．3.复数z满足（1-2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）A.1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i【答案】B【解析】解：∵（1-2i）z=7+i，∴z====1+3i．共轭复数=1-3i．故选B．先将z利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．本题考查复数除法的运算法则，共轭复数的概念及求解．复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．4.执行如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＜，＞的函数值当x≤1时，y=x3=x，解得x=-1或x=0或x=1，这三个x值均满足条件；当1＜x≤3时，y=3x-3=x，解得x=，满足条件；当x＞3时，=x，解得x=-1或x=1，这两个x值均不满足条件；综上所述，满足条件的x值的个数是4个．故选D根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＜，＞的函数值，分段讨论满足y=x的x值，最后综合讨论结果可得答案．本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．5.下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历了10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停（上涨10%）就可以回到原来的净值；③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为；④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7．其中真命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】解：对于①，∵样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，∴①正确；对于②，∵设股票数值为a，股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1-）（1+）=a．∴②错误；对于③，∵高三一级部和二级部的总分分别为：ma和nb，总人数为m+n，这两个级部的数学平均分为，∴③错误；对于④，∵用系统抽样方法，从全体800名学生中抽50名学生的分段间隔为=16，又从497～513这16个数中取得的学生编号是503，503=16×31+7，∴在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是007号，∴④正确故选C．根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，判断①正确；根据数值为a的股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1-）（1+）=a，判断②错误；算出这两个级部的数学平均分可判断③错误；求出分段间隔为16，又503=61×31+7，可得第一个抽取的号码为007，判断④正确．本题考查了系统抽样方法，样本的方差的含义及在回归分析模型中残差平方和的含义，考查了学生分析问题的能力，熟练掌握概率统计基础知识是解答本题的关键．6.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位【答案】A【解析】解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象可得A=1，=•=-，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位，可得y=sin[2（x-）+]=g（x）的图象，故选：A．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.已知数列{a n}{b n}满足a1=b1=1，a n+1-a n==2，n∈N*，则数列{b}的前10项和为（）A.（410-1）B.（410-1）C.（49-1）D.（49-1）【答案】A【解析】解：由a n+1-a n==2，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n-1）d=2n-1．所以b=b2n-1=b1•22n-2=22n-2．设c n=b，所以c n=22n-2，所以=4，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为=（410-1）．故选A．根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．8.函数f（x）=（x2-2x）e x的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由f（x）=0，解得x2-2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2-2）e x，由f'（x）=（x2-2）e x＞0，解得x＞或x＜-．由f'（x）=（x2-2）e x＜0，解得，-＜x＜即x=-是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．9.已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•-的最大值是（）A.-1B.0C.D.【答案】C【解析】解：由题意知：△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB，当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1-x）∴•-=•（-）==（x-1，1-x）•（-x，x-1）=-x（x-1）+（1-x）（x-1）=（x-1）（1-2x）=-2x2+3x-1，x∈[0，1]当x==时，上式取最大值故选：C由题意知当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得•-为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．10.已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】解：∵a2+b2+c2=4，ab=1∴a2+b2=4-c2≥2ab=2当且仅当a=b=1时取等号∴c2≤2∵c＞0∴0＜，a2+b2+c2=4，可得（a+b）2+c2=6，则ab+bc+ac=1+（a+b）c=1+c=1+当c=时，取得最大值1+2，∴ab+ac+bc的最大值为1+2故选A．由基本不等式a2+b2=4-c2≥2ab=2可求c的范围，运用二次函数的值域求法，从而可求ab+ac+bc的最大值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，注意由已知分离出c是求解的关键二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值为n，则二项式（x-）n展开式中x2项的系数为______ ．【答案】15【解析】解：由于f（x）=|x+2|+|x-4|表示数轴上的x对应点到-2和4对应点的距离之和，它的最小值为6，故n=6．二项式（x-）n展开式的通项公式为T r+1=•x6-r•（-1）r•x-r=（-1）r••x6-2r．令6-2r=2，解得r=2，故二项式（x-）n展开式中x2项的系数为=15，故答案为15．由绝对值的意义求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得x2项的系数．本题主要考查绝对值的意义，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.若双曲线C：2x2-y2=m（m＞0）与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=4则m的值是______ ．【答案】20【解析】解：y2=16x的准线l：x=-4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=-4交于A，B两点，|AB|=4，∴A（-4，2），B（-4，-2），将A点坐标代入双曲线方程得2（-4）2-（2）2=m，∴m=20，故答案为：20．求出y2=16x的准线l：x=-4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=4，即可求出m的值．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．13.若实数x，y满足条件，则z=3x-4y的最大值是______ ．【答案】-1【解析】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x-4y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=，当经过点A时，直线的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（1，1），此时最大值z=3×1-4×1=-1，故答案为：-1作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最大值．本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为______ ．【答案】8：27【解析】解：设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h（2R-h）．V锥=πr2h=h2（2R-h）=h•h（4R-2h）≤=•πR3．∵V球=πR3∴球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为8：27．故答案为8：27．设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h（2R-h），求出球的内接圆锥的最大体积，即可求得结论．本题考查球的内接圆锥的最大体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．15.用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是______ ．【答案】3个【解析】解：令lgx=t，则得t2-2=[t]．作y=t2-2与y=[t]的图象，知t=-1，t=2，及1＜t＜2内有一解．当1＜t＜2时，[t]=1，t=．故得：x=，x=100，x=，即共有3个实根故答案为：3先进行换元，令lgx=t，则得t2-2=[t]，作y=t2-2与y=[t]的图象可得解的个数．本题主要考查了根的个数的判定，以及图象法的运用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间，上单调递增，在区间，上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由题意知：，解得…（2分）∵，∴sin B cos A+sin C cos A=2sin A-cos B sin A-cos C sin A，∴sin B cos A+cos B sin A+sin C cos A+cos C sin A=2sin A，∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sin A…（4分）∴sin C+sin B=2sin A，∴b+c=2a…（6分）（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，∴…（8分）=…（9分）==，…（10分）∵θ∈（0，π），∴，，当且仅当，即时取最大值，S OACB的最大值为…（12分）【解析】（Ⅰ）由题意知，解之可得ω，代入已知条件化简可得sin C+sin B=2sin A，再由正弦定理可得b+c=2a；（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得，可化简为，由θ的范围可得结论．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，属中档题．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于45°，求k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．又PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF．（6分）（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，则=（-1，2，0），=（0，1）设平面CDB的法向量为，，，平面EDB的法向量为，，，则∴，取y=1，可得，，设二面角E-BD-C的大小为θ，则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═化简得＞，则＞．（12分）【解析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF 内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．18.一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．【答案】解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）===，∴P（A）=1-P（B）=．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．【解析】（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望．本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．19.数列{a n}的前n项和记为S n，a1=2，a n+1=S n+n，等差数列{b n}的各项为正，其前n 项和为T n，且T3=9，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：当n≥2时，++…+＜．【答案】解：（Ⅰ）由a n+1=S n+n，得a n=S n-1+（n-1）（n≥2），两式相减得a n+1-a n=S n-S n-1+1=a n+1，所以a n+1=2a n+1，所以a n+1+1=2（a n+1）（n≥2），又a2=3所以a n+1=2n-2（a2+1），从而a n=2n-1（n≥2），而a1=2，不符合上式，所以a n=，，；因为{b n}为等差数列，且前三项的和T3=9，所以b2=3，可设b1=3-d，b3=3+d，由于a1=2，a2=3，a3=7，于是a1+b1=5-d，a2+b2=6，a3+b3=10+d，因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．所以（5-d）（10+d）=36，d=2或d=-7（舍），所以b n=b1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；（Ⅱ）证明：因为=＜==（-）所以，当n≥2时，++…+=++…+＜1+[（1-）+（）+…+（-）]=1+（1-）＜1+=．则有当n≥2时，++…+＜．【解析】（Ⅰ）由a n+1=S n+n，得a n=S n-1+（n-1）（n≥2），两式相减，结合等比数列的定义和通项，即可得到{a n}的通项；再由等比数列的性质，求得等差数列{b n}的首项和公差，即可得到所求通项；（Ⅱ）=＜==（-），再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式的放缩法和裂项相消求和的运用，考查运算能力，属于中档题．20.如图，椭圆：＞＞的离心率为，x轴被曲线：截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．【答案】解：（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2（1分）又∵x轴被曲线：截得的线段长等于C1的短轴长．∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为而抛物线C2的方程为y=x2-1；（3分）（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），则由消去y，得x2-kx-1=0（4分）∴x1+x2=k，x1x2=-1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=-k2∵M坐标为（0，-1），可得，，，∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=-1-k2+k2+1=0因此，，即MA⊥MB（7分）（3）设直线MA方程为y=k1x-1，直线MB方程为y=k2x-1，且满足k1k2=-1∴，解得或，，同理可得，因此，=（10分）再由，解得或，，同理可得，∴=（13分），即λ=的取值范围为[，+∞）（15分）【解析】（1）根据抛物线C2被x轴截得弦长，建立关于b的等式，解出b=1；再由椭圆离心率为，建立a、c的关系式，算出a2=2，由此即可得到椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），且直线AB方程为y=kx，与抛物线方程水运y，得x2-kx-1=0．利用根与系数的关系，结合向量的坐标运算，化简得=0，从而得到MA⊥MB；（3）设直线MA方程为y=k1x-1，直线MB方程为y=k2x-1，且满足k1k2=-1．由直线MA方程与抛物线C2方程联解，得到点A的坐标为，，同理可得，，从而得到=．然后用类似的方法得到=，从而得到关于k1、k2的表达式，化成关于k1的表达式再用基本不等式即可求出，由此即可得到λ的取值范围．本题给出椭圆与抛物线满足的条件，求它们的方程并依此讨论直线截曲线形成三角形的面积之比的取值范围，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．21.已知函数f（x）=ax+（1-a）lnx+（a∈R）（I）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）方程f（x）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）f（x）其定义域为（0，+∞）．…（1分）当a=0时，f（x）=，f'（x）=．令f'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；所以x=1时，f（x）有极小值为f（1）=1，无极大值…（3分）（Ⅱ）f'（x）=a-（x＞0）…（4分）令f'（x）=0，得x=1或x=-当-1＜a＜0时，1＜-，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞-，令f'（x）＞0，得1＜x＜-；当a=-1时，f'（x）=-．当a＜-1时，0＜-＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜-或x＞1，令f'（x）＞0，得-＜a＜1；综上所述：当-1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，1），（-，∞），单调递增区间是（1，-）；当a=-1时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；当a＜-1时，f（x）的单调递减区间是（0，-），（1，+∞），单调递增区间是，…（10分）（Ⅲ）a≥0∴＞f'（x）=0（x＞0）仅有1解，方程f（x）=0至多有两个不同的解．（注：也可用f min（x）=f（1）=a+1＞0说明．）由（Ⅱ）知-1＜a＜0时，极小值f（1）a+1＞0，方程f（x）=0至多在区间（-，∞）上有1个解．a=-1时f（x）单调，方程f（x）=0至多有1个解．；a＜-1时，＜＜，方程f（x）=0仅在区间内（0，-）有1个解；故方程f（x）=0的根的个数不能达到3．…（14分）【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出定义域，求导，利用导数求出单调区间，即可求出极值．（Ⅱ）直接对f（x）求导，根据a的不同取值，讨论f（x）的单调区间．（Ⅲ）由第二问的结论，即函数的单调区间来讨论f（x）的零点个数．本题主要考查利用导数求函数极值和单调区间的方法，考查考生化归思想的应用能力，属于中档题．。

山东省实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知M={x||x﹣3|＜4}，N={x|＜0，x∈Z}，则M∩N=（）A．ϕB．{0} C．{2} D．{x|2≤x≤7}2．（5分）幂函数f（x）=k•xα的图象过点，则k+α=（）A．B．1C．D．23．（5分）已知向量，若垂直，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．4．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：55．（5分）等比数列{a n}中，a3=6，前三项和S3=4xdx，则公比q的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣6．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）8．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则f（）的值为（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）11．（5分）由y=，x=1，x=2，y=1所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=3x+y的最大值为．13．（5分）已知离心率为的双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4mx 的焦点重合，则实数m=．14．（5分）公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1=1，a n=25，则n+d的最小值等于．15．（5分）定义函数d（x）=，f（x）=1gx，那么下列命题中正确的序号是．（把所有可能的图的序号都填上）．①函数d（x）为偶函数；②函数d（x）为周期函数，且任何非零实数均为其周期；③方程d（x）=f（x）有两个不同的根．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．17．（12分）如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若=x，=y（1）利用∥，把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；（2）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足：S n=f（S n﹣1）（n≥2），求数列{a n}通项公式．18．（12分）已知直线l：y=x+m，m∈R．（1）若以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线C 的方程．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．20．（13分）已知函数f（x）=．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（t，t+）（t＞0）上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．21．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．山东省实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知M={x||x﹣3|＜4}，N={x|＜0，x∈Z}，则M∩N=（）A．ϕB．{0} C．{2} D．{x|2≤x≤7}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合M，N，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．解答：解：∵M={x||x﹣3|＜4}=（﹣1，7），N={x|＜0，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，∴M∩N={0}故选B点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合M，N，是解答本题的关键．2．（5分）幂函数f（x）=k•xα的图象过点，则k+α=（）A．B．1C．D．2考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=k•xα是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点的坐标代入可得α值，从而得到幂函数的解析式．解答：解：∵函数f（x）=k•xα是幂函数，∴k=1，∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴（）α=，得α=，则k+α=1+=．故选C．点评：本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．3．（5分）已知向量，若垂直，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据向量坐标运算的公式，求出向量的坐标．再利用向量与互相垂直，得到它们的数量积等于0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，可求解m的值．解答：解∵∴向量=（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m）又∵向量与互相垂直，∴•（）=1×（﹣3）+3（3+2m）=0∴﹣3+9+6m=0⇒m=﹣1故选B．点评：本题根据两个向量垂直，求参数m的值，考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标公式和两个向量垂直的充要条件等知识点，属于基础题．4．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解答：解：圆的圆心为（1，0）到直线x﹣y=0的距离为=∴弦长为2×=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=∴较短弧长与较长弧长之比为1：3故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=6，前三项和S3=4xdx，则公比q的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣考点：定积分；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据题意，直接找出被积函数4x的原函数，直接计算在区间上的定积分即可得S3，再结合等比数列的性质求得公比q的值即可．解答：解：∵S3=∫034xdx=18，∴⇒2q2﹣q﹣1=0⇒q=1或，故选C．点评：本题考查等比数列的前n项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．6．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．解答：解：由已知z==在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A点评：本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应．7．（5分）直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，可得1＞b＞0或b＞1．利用e==即可得出．解答：解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．点评：本题考查了双曲线与直线相交问题、离心率计算公式，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．9．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则f（）的值为（）A．﹣B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以．故选：C．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110考点：数列的求和；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．解答：解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2（n﹣1），前10项的和为S10=．故选：C．点评：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）11．（5分）由y=，x=1，x=2，y=1所围成的封闭图形的面积为1﹣ln2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分与图形的关系可分割求出面积．解答：解：因为函数在上的积分为，所以围成的封闭图形的面积等于四边形的面积减去曲线与x轴围成的面积1﹣ln2．故答案为：1﹣ln2点评：本题主要考查定积分的应用，在利用定积分求面积时必须要求被积函数f（x）≥0，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=3x+y的最大值为12．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，先求出a，再将z=3x+y化为y=﹣3x+z，z相当于直线y=﹣3x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，故由题意知，×a×2a=9；故a=3；则z=3x+y化为y=﹣3x+z，z相当于直线y=﹣3x+z的纵截距，由图可得，当过点（3，3）时有最大值，即z=3×3+3=12．故答案为：12．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．13．（5分）已知离心率为的双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4mx 的焦点重合，则实数m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由双曲线的离心率求出a2的值，由此得到双曲线的右焦点，再求出抛物线y2=4mx 的焦点坐标，从而求出实数m．解答：解：∵双曲线C：﹣=1的离心率为∵，e=，b2=4∴a2=5，∴=3，∴双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点（3，0），∵抛物线y2=4mx的焦点（m，0），又双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，∴m=3故答案为：3点评：本题考查抛物线的简单性质、双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于基础题．14．（5分）公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1=1，a n=25，则n+d的最小值等于11．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的首项和公差d，写出等差数列的通项公式，得到n与d的关系式，解出d，根据等差数列的各项均为正整数，得到d也为正整数，即为24的约数，进而得到相应的n的值，得到n与d的六对值，即可得到n+d的最小值．解答：解：由a1=1，得到a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）d=25，即（n﹣1）d=24，解得：d=，因为等差数列的各项均为正整数，所以公差d也为正整数，因此d只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时n相应取25，13，9，7，5，4，3，2则n+d的最小值等于11．故答案为11点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．本题的突破点是得到公差d只能取24的约数．15．（5分）定义函数d（x）=，f（x）=1gx，那么下列命题中正确的序号是①．（把所有可能的图的序号都填上）．①函数d（x）为偶函数；②函数d（x）为周期函数，且任何非零实数均为其周期；③方程d（x）=f（x）有两个不同的根．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数d（x）=，f（x）=1gx，分析d（x）的奇偶性与周期性，可判断①②；分析方程d（x）=f（x）根的个数，可判断③．解答：解：∵函数d（x）=，f（x）=1gx，对于①，当x∈Q时，d（﹣x）=d（x）=1，当x∉Q时，d（﹣x）=d（x）=0，即d（﹣x）=d（x）恒成立，函数d（x）为偶函数，故正确；对于②，函数d（x）为周期函数，且任何非零有理数均为其周期，故错误；对于③，当且仅当x=10时，d（x）=f（x），故方程d（x）=f（x）仅有一个根，故错误．故答案为：①点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，周期性，函数零点与方程根的关系，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数f（x）的单调递增区间；（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，进而可求三角函数的值域．解答：解：（1）∵向量=（sin，cos）=（cos，cos），∴函数f（x）=•=sin（）+，令2kπ﹣≤≤2kπ+，解得．故函数f（x）的单调递增区间为．（2）由已知b2=ac，cosx==≥=，∴≤cosx＜1，∴0＜x≤∴∴＜sin（）≤1，∴＜sin（）+≤1+∴f（x）的值域为（，1+]点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的值域的求法，考查计算能力．17．（12分）如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若=x，=y（1）利用∥，把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；（2）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足：S n=f（S n﹣1）（n≥2），求数列{a n}通项公式．考点：数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：综合题．分析：（1）用分别表示，，再利用向量共线的条件，即可得到结论；（2）当n≥2时，由S n=f（S n﹣1）=，则，可得数列{}是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项．解答：解：（1）∵，∴∵，∥，∴x﹣y（1+x）=0，∴即函数的解析式为：f（x）=（0＜x＜1）；（2）当n≥2时，由S n=f（S n﹣1）=，则又S1=a1=1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，则，即S n=n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=；n=1时，a1=1故a n=．点评：本题考查向量知识的运用，考查向量共线的条件，考查等差数列的证明，考查求数列的通项，属于中档题．18．（12分）已知直线l：y=x+m，m∈R．（1）若以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线C 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（1）解法1：确定点P的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；解法2：利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（2）解法1：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；解法2：利用导数求切线，从而可直线l的方程和抛物线C的方程．解答：解：（1）解法1：依题意得点P的坐标为（﹣m，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，∴MP⊥l．，解得m=﹣1．﹣﹣﹣﹣（3分）∴点P的坐标为（1，0）．设所求圆的半径r，则r2=|PM|2=1+1=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解法2：设所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=r2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）依题意知点P的坐标为（﹣m，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切于点P（﹣m，0），∴解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）】（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成﹣y，可得直线l'的方程为y=﹣x﹣m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由得mx2+x+m=0，（m≠0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）△=1﹣4m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵直线l'与抛物线相切∴△=0，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=﹣2y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）解法2：将直线方程y=x+m中的y换成﹣y，可得直线l'的方程为y=﹣x﹣m．﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设直线l'与抛物线相切的切点为（x0，y0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由y=mx2得y'=2mx，则2mx0=﹣1﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）y0=﹣x0﹣m﹣﹣﹣﹣﹣﹣②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③①②③联立得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=﹣2y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）】点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于中档题．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，由此能求出a n=4n+2．（2）由a1=6，d=4，得S n=2n2+4n，==，从而T n==﹣＜，由此能证明≤T n＜．解答：解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n=6n+=2n2+4n，==，∴T n===﹣＜，（T n）min=T1=﹣=．故≤T n＜．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20．（13分）已知函数f（x）=．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（t，t+）（t＞0）上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）求导f′（x）=﹣，从而由导数的正负确定函数的单调区间；（II）由f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）得t＜1＜t+，从而解得；（III）不等式f（x）≥可化为a≤，令g（x）=，从而化恒成立为a≤g min（x），（x≥1）；从而转化为函数的最值问题．解答：解：（I）∵f（x）=，x＞0，故f′（x）=﹣，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（II）∵f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；∴t＜1＜t+，故＜t＜1；故实数t的取值范围为（，1）；（III）不等式f（x）≥可化为a≤，令g（x）=，则当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立可化为a≤g min（x），（x≥1）；而g′（x）=；令h（x）=x﹣lnx；则h′（x）=1﹣≥0；故h（x）在．点评：本题了函数的综合应用及导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．21．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN 的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．。

山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试数学 试 题一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-，则下列结论正确的是A.{}0,1A B ⋂=B.{}0,A B ⋃=+∞C.()(),0R C A B ⋃=-∞D.(){}1,0R C A B ⋂=-2.“22ab>”是“ln ln a b >”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知()10,sin cos 2απαα∈+=，且，则cos 2α的值为A. C.D.34-4.已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是 A.23B.2C.4D.65.设函数()sin cos 2f x x x =图象的一条对称轴方程是 A. 4x π=-B.0x =C.4x π=D. 2x π=6.若方程24x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能是A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、7.要得到一个奇函数，只需将函数()sin 22f x x x =-的图象 A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向右平移4π个单位D.向左平移3π个单位8.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为A.2B.1C.0D.2-9.在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是A.等边三角形B.不含60o 的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形10.函数()f x =的性质：①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x的值域为)+∞； ④方程()()1ff x =+有两个解.上述关于函数()f x 的描述正确的是A.①③B.③④C.②③D.②④第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11.定积分()12xx e dx +⎰____________.12.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x =-⋅，那么()2f =_________.13.函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.14.已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为____________.15.设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有；④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos sin f x x x x x =-. （I ）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值.17.（本小题满分12分）设命题p ：函数()31f x x ax =--在区间[]1,1-上单调递减；命题q ：函数()2ln 1y x ax =++的值域是R.如果命题p q 或为真命题，p q 且为假命题，求a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是,,a b c ，已知23c C π==，.（I ）若ABC ∆，求,a b ； （II ）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求,a b .19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，()*143n n a a n n N ++=-∈. （I ）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； （II ）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；20.（本小题满分13分）已知函数()432f x ax bx cx dx e =++++的图像关于y 轴对称，其图像过点()0,1A -，且在x =18. （I ）求()f x 的解析式；（II ）对任意的x R ∈，不等式()20f x tx t --≤恒成立，求t 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数()()3221103f x x x ax =+++-在，上有两个极值点12x x ，且12x x <.（I ）求实数a 的取值范围；（II ）证明：()21112f x >.。

山东师大附中2015届高三第一次模拟考试试题数学（理工农医类）2014.9【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D. φ【知识点】集合.A1【答案解析】B 解析：解：因为{}(){}3,43,4U U C A C A B =--∴⋂=--所以B 为正确选项.【思路点拨】根据交集的概念可以直接求出交集.【题文】2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【知识点】复数的基本概念与运算.L4 【答案解析】A 解析：解：由题可知()()()222211231222613333331055f i i i i i i ii i i i i i i ++-+++======+++++-，所以复数表示的点为13,55⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限，所以A 正确. 【思路点拨】根据复数的概念进行运算，分母实数化，然后找到对应点.【题文】3.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= A.12p + B.1p - C.12p - D.12p - 【知识点】正态分布.I3【答案解析】D 解析：解：由正太分布的概念可知，当()1P p ξ>=时，()1012P p ξ<<=-，而正太分布的图像关于y 轴对称，所以()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，所以D 为正确选项.【思路点拨】根据正态分布的对称关系可直接求解. 【题文】4.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件；必要条件.A2【题文】5.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2D.3【知识点】直线与平面的位置关系.G4,G5【答案解析】D 解析：解：由直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系可知，①②③ 正确，④不正确.【思路点拨】由空间中的位置关系及判定定理，性质定理可直接得到. 【题文】6.要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度【知识点】三角函数的图像与性质.C3【答案解析】C 解析：解：因为()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移4π个单位可得，sin 2sin 2cos 2443323g x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以C 选项正确.【思路点拨】由三角函数的图像与性质可对三角函数进行移动.【题文】7.已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A.⎡⎢⎣B.⎢⎣ C .⎛ ⎝D.(【知识点】直线与双曲线.H8【答案解析】A 解析：解： 由题可知满足条件的直线即过右焦点且斜率在两条渐近线之间的直线，由条件可知渐近线为b y x x a =±=，再分析可得，与右支只有一个交点的直线斜率应该在⎡⎢⎣范围内，所以A 正确.【思路点拨】由双曲线的渐近线及图像可知只有一个交点的情况.【题文】8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720 【知识点】排列组合.J2【答案解析】C 解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C 21•C 53•A 44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C 22•C 52•A 44=240种情况，其中甲乙相邻的有C 22•C 52•A 33•A 22=120种情况； 则不同的发言顺序种数480+240-120=600种， 故选C ．【思路点拨】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【题文】9.设函数()2,0,2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为A.4B.3C.2D.1【知识点】分段函数；方程根的个数.B1,B9【答案解析】B 解析：解：因为 ()()()40,22f f f -=-=-所以2y x bx c =++的对称轴为242bx b a=-=-∴=，()22f -=-2c ∴=，()()242,01,2,22,0x x x f x f x x x x x x ⎧++≤∴=∴=⇒=-=-=⎨>⎩所以方程有3个根，所以B 正确.【思路点拨】根据条件求出函数，然后求方程的根.【题文】10.已知向量OA OB uu r uu u r与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r ， 0t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为 A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【知识点】向量.F2,F3【答案解析】C 解析：解：由题意得()21cos 2cos ,1OA OB PQ OQ OP t OB tOAθθ⋅=⨯⨯==-=--()()222222121PQ PQ t OB t OA t t OA OB ∴==----⋅ =（1-t ）2+4t 2-4t（1-t ）cos θ=（5+4cos θ）t 2+（-2-4cos θ）t+1 由二次函数知当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+解得1cos 02θ-<<223ππθ∴<<，所以C 正确.【思路点拨】根据向量的概念及运算可转化为二次函数问题，再根据三角函数值求角.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分..【题文】11.若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________. 【知识点】绝对值不等式.E2【答案解析】(),4-∞ 解析：解： 由绝对值不等式可知131344x x x x k ++-=++-≥∴<时，不等式对于任意实数恒成立.【思路点拨】绝对值不等式的解法. 【题文】12.如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.【知识点】程序框图.L112014++；111462014++++比较即【题文】13.已知圆C过点()1,0-，且圆心在x轴的负半轴上，直线:1l y x=+被该圆所截得的弦长为C的标准方程为________________.］【知识点】圆的标准方程.H3【答案解析】()2234x y++=解析：解：设圆心(),0C x，则圆的半径1r BC x==+，所以圆心到直线的距离CD=AB=，则1r x==+整理得：x=2（不合题意，舍去）或x=-3，∴圆心C（-3，0），半径为2，则圆C方程为()2234x y++=．故答案为：()2234x y++=【思路点拨】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（-1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可．【题文】14.定义：{},min,,a a ba bb a b≤⎧=⎨>⎩，在区域026xy≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(){}22,min2,42p x y x y x x y x y x x y++++=++，则、满足的概率为__________. 【知识点】概率.E1的事件A={（x ，y ）|0≤x ≤2，0≤y ≤6，x 2+x+2y ≤x+y+4}，即A={（x ，y ）|0≤x ≤2，0≤y ≤6，y ≤4-x 2}，()232211644|0033A S x dx x x ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭⎰,所以由几何概型公式得到1643269P ==⨯【思路点拨】由题意可作图计算出概率的值. 【题文】15.已知2280,02y x x y m m x y>>+>+，若恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【知识点】基本不等式.E1【答案解析】-4＜m ＜280,0xy>>，288y x x y +≥=即2y x +282xm m y+>+恒成立，必有m 2+2m ＜8恒成立，m 2+2m ＜8⇔m 2+2m-8＜0， 解可得，-4＜m ＜2，故答案为-4＜m ＜2． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=..（I ）求2sin cos 22A CB ++的值； （II ）若2b =∆，求ABC 面积的最大值. 【知识点】解三角形.C8 【答案解析】(I) 21sincos 224A C B +∴+=-(II) 315解析：解：(I)在ABC 中，由余弦定理可知，2222cos a c b ac B +-=，由题意知22212a c b ac +-=1cos 4B ∴=，又在 ABC 中A B C π++=2222cos 1sin cos 2sin cos 2cos cos 22cos 22222A CB B B B B B B π+-+=+=+=+-又1cos 4B =21sin cos 224A CB +∴+=- （Ⅱ）∵b =2 ，∴由ac b c a 21222=-+可知，ac c a 21422=-+， 即4221-≥ac ac ，∴38≤ac ，……………………8分 ∵41cos =B ，∴415sin =B ………………10分∴3154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC . ∴△ABC 面积的最大值为315．…………………………12 【思路点拨】由余弦定理可求出角B 的值，再计算所求的值，再由公式求出面积. 【题文】17.（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且21.MD NB MB ND P ==，，与交于点 （I ）在棱AB 上找一点Q ，使QP//平面AMD ，并给出证明； （II ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值. 【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G10 【答案解析】(I)略(II) 121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅解析：解：证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，∴MD//NB ，…………2分 ∴12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，∴QB NB QA MD=，…………4分 ∴在MAB 中，OP//AM ，又OP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴OP // 面AMD.…………６分（Ⅱ）解：以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0,0,0），B （2,2,0），C （0,2,0），M （0,0,2）N （2,2,1），∴CM =（0,-2,2），CN =（2,0,1），DC =（0,2,0），………………7分设平面CMN 的法向量为1n =（x,y,z ）则1100n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22020y x x z -+=⎧⎨+=⎩，∴1n =（1,-2,-2）.………………9分又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为2n =DC =（0,2,0），………………11分 设所求锐二面角为θ，则121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅.………………12分 【思路点拨】由已知条件可证明直线与平面的位置关系；再利用向量法求出二面角的余弦值. 【题文】18.（本小题满分12分） 某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等；【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.集合{}{}2,1,0,1x A y R y B =∈==-，则下列结论正确的是A.{}0,1A B ⋂=B.{}0,A B ⋃=+∞C.()(),0R C A B ⋃=-∞ D.(){}1,0R C A B ⋂=-【知识点】集合及其运算A1 【答案】D【解析】∵A={y ∈R|y=2x}={y ∈R|y ＞0}，∴CRA={y ∈R|y ≤0}， 又B={-1，0，1}，∴（CRA ）∩B={-1，0}．【思路点拨】本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合A ，再求CRA ，最后求出A 、B 的交、并及补集等即可．【题文】2.“22ab>”是“ln ln a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件、必要条件A2 【答案】B【解析】2a ＞2b ⇒a ＞b ，当a ＜0或b ＜0时，不能得到Ina ＞Inb ，反之由Ina ＞Inb 即：a ＞b ＞0可得2a ＞2b 成立,所以2a ＞2b”是“Ina＞Inb”的必要不充分条件【思路点拨】分别解出2a ＞2b ，Ina ＞Inb 中a ，b 的关系，然后根据a ，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件．【题文】3.已知()10,sin cos 2απαα∈+=，且，则cos2α的值为A.±B.C.D.34-【知识点】二倍角公式G6 【答案】B【解析】把sina+cosa=12，两边平方得：1+2sin αcos α=14，即1+sin2α= 14，解得sin2α=-34，又sin （α+ 4π）=12，解得：sin （α+4π）=＜12，得到：0＜α+4π＜6π（舍去）或56π＜α+4π＜π， 解得712π＜α＜34π，所以2α∈（76π，32π）， 则cos2α=-4． 【思路点拨】把已知的等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值，然，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦的值，判断得到α的范围，进而得到2α的范围，利用同角三角函数间的基本关系由sin2α的值和2α的范围即可求出cos2a 的值． 【题文】4.已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是A. 23B.2C.4D.6【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】B【解析】因为函数f （x+1）为偶函数，则其图象关于y 轴对称，而函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f （x ）的图象关于直线x=1对称．又函数f （x ）的定义域为（3-2a ，a+1），所以（3-2a ）+（a+1）=2，解得：a=2．【思路点拨】函数f （x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f （x ）的定义域（3-2a ，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a 的值． 【题文】5.设函数()sin cos2f x x x=图象的一条对称轴方程是A.4x π=-B.0x =C.4x π=D.2x π=【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】D【解析】∵f （x ）=sinxcos2x ，∴f （-2π）=sin （-2π）cos2×（-2π）=1≠f（0）=0，∴函数f （x ）=sinxcos2x 图象不关于x=-4π对称，排除A ；∵f （-x ）=sin （-x ）cos2（-x ）=-sinxcos2x=-f （x ），∴f （x ）=sinxcos2x 为奇函数，不是偶函数，故不关于直线x=0对称，排除B ；又f （2π）=sin 2πcos （2×2π）=-1≠f（0）=0，故函数f （x ）=sinxcos2x 图象不关于x=4π对称，排除C ；又f （π-x ）=sin （π-x ）cos2（π-x ）=sinxcos2x=f （x ）∴f （x ）关于直线x=2π对称，故D 正确．【思路点拨】利用函数的对称性对A 、B 、C 、D 四个选项逐一判断即可． 【题文】6.若方程24x x m+=有实数根，则所有实数根的和可能是A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、 【知识点】函数与方程B9 【答案】D【解析】函数y=|x2+4x|由函数y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得： 如下图所示：由图可得：函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=-2对称，则方程|x2+4x|=m 的实根也关于直线x=-2对称，当m ＜0时，方程|x2+4x|=m 无实根，当m=0或m ＞4时，方程|x2+4x|=m 有两个实根，它们的和为-4， 当0＜m ＜4时，方程|x2+4x|=m 有四个实根，它们的和为-8， 当m=4时，方程|x2+4x|=m 有三个实根，它们的和为-6，【思路点拨】函数y=|x2+4x|由函数y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得，画出函数图象可得函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=-2对称，则方程|x2+4x|=m 的实根也关于直线x=-2对称，对m 的取值分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【题文】7.要得到一个奇函数，只需将函数()sin 2f x x x=的图象A.向左平移6π个单位B.向右平移6π个单位 C.向右平移4π个单位D.向左平移3π个单位【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】A【解析】f （x ）cos2x=2sin （2x-3π）．根据左加右减的原则，只要将f （x ）的图象向左平移6π个单位即可得到函数y=2sin2x 的图象，显然函数y=2sin2x 为奇函数，故要得到一个奇函数，只需将函数f （x ）cos2x 的图象向左平移6π个单位．【思路点拨】先根据两角和与差的公式将f （x ）化简，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．【题文】8.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为A.2B.1C.0D.2-【知识点】函数的周期性B4【答案】B【解析】由f （x ）满足33()()22f x f x +=-），即有f （x+3）=f （-x ），由f （x ）是定义在R 上的偶函数，则f （-x ）=f （x ），即有f （x+3）=f （x ），则f （x ）是以3为周期的函数，由f （-1）=1，f （0）=-2，即f （2）=1，f （3）=-2， 由f （4）=f （-1）=1，即有f （1）=1．则f （1）+f （2）+f （3）+…+f（2014）=（1+1-2）+…+f （1）=0×671+1=1．【思路点拨】由f （x ）满足33()()22f x f x +=-，即有f （x+3）=f （-x ），由f （x ）是定义在R 上的偶函数，则f （-x ）=f （x ），即有f （x+3）=f （x ），则f （x ）是以3为周期的函数，求出一个周期内的和，即可得到所求的值． 【题文】9.在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC的形状一定是A.等边三角形B.不含60的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形【知识点】解三角形C8 【答案】D【解析】∵sin （A-B ）=1+2cos （B+C ）sin （A+C ），∴sin （A-B ）=1-2cosAsinB ， ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB ，∴sinAcosB+cosAsinB=1， ∴sin （A+B ）=1，∴A+B=90°，∴△ABC 是直角三角形．【思路点拨】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论． 【题文】10.函数()f x =的性质：①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x的值域为)+∞； ④方程()()1f f x =有两个解.上述关于函数()f x 的描述正确的是A.①③B.③④C.②③D.②④【知识点】单元综合B14 【答案】C【解析】∵函数f （x ）的最小值为=，∴函数的值域显然③正确；由函数的值域知，函数图象不可能为中心对称图形，故①错误；又∵直线AB 与x 轴交点的横坐标为32，显然有f(32-x)=f(32+x)，∴函数的图象关于直线x=32对称，故②正确；；令t=f （x ），由t=0或t=3，由函数的值域可知不成立，∴方程无解，故④错误，【思路点拨】由函数的几何意义可得函数的值域及单调性，结合函数的值域和单调性逐个选项验证即可作出判断．第II 卷（非选择题 共100分）【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.【题文】11.定积分()12xx e dx +⎰____________.【知识点】定积分与微积分基本定理B13 【答案】e 【解析】10⎰(2x+ex)dx=（x2+ex ）10=（12+e1）-（02+e0）=e【思路点拨】根据积分计算公式，求出被积函数2x+ex 的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案． 【题文】12.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x=-⋅，那么()2f =_________.【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】-65【解析】∵f （tanx ）=sin2x-5sinx•cosx= 222sin 5sin cos sin cos x x x x x -+=22tan 5tan tan 1x xx -+， ∴f （x ）= 2251x x x -+，则f （2）=-65．【思路点拨】把已知函数解析式的分母1化为sin2x+cos2x ，然后分子分母同时除以cos2x ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，可确定出f （x ）的解析式，把x=2代入即可求出f （2）的值． 【题文】13.函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】(1e ，e)【解析】∵函数f （x ）=xsinx+cosx+x2，满足f （-x ）=-xsin （-x ）+cos （-x ）+（-x ）2=xsinx+cosx+x2=f （x ）， 故函数f （x ）为偶函数．由于f ′（x ）=sinx+xcosx-sinx+2x=x （2+cosx ），当x ＞0时，f ′（x ）＞0，故函数在（0，+∞）上是增函数， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，故函数在（-∞，0）上是减函数．不等式f （lnx ）＜f （1）等价于-1＜lnx ＜1，∴1e ＜x ＜e ，【思路点拨】首先判断函数为偶函数，利用导数求得函数在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数，所给的不等式等价于-1＜lnx ＜1，解对数不等式求得x 的范围，即为所求． 【题文】14.已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为____________. 【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】设三角形的三边分别为x-4，x ，x+4，则cos120°=222(4)(4)12(4)2x x x x x +--+=-， 化简得：x-16=4-x ，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC 的面积S=12．【思路点拨】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x ，则最大的边为x+4，最小的边为x-4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x 的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 【题文】15.设函数()ln f x x=，有以下4个命题：①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有；②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有；③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有；④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）. 【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案】② 【解析】：∵f （x ）=lnx 是（0，+∞）上的增函数，∴对于①由f(122x x +)=ln 122x x +，12()()2f x f x +，∵122x x +故f(122x x +)＞12()()2f x f x + 故①错误．对于②③，不妨设x1＜x2则有f （x1）＜f （x2），故由增函数的定义得f （x1）-f （x2）＜x2-x1 故②正确，由不等式的性质得x1f （x1）＜x2f（x2），故③错误；对于④令e=x1＜x2=e2，得1212()()f x f x x x --=21e e -＜1，∵x0∈（x1，x2），∴f （x0）＞f （x1）=1，不满足f(x0)≤1212()()f x f x x x --．故④错误．【思路点拨】利用对数函数的单调性性质求解即可． 【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.【题文】16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos sin f x x x x x =-.（I ）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】（I ）32 ，[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈（II ）最大值为1，最小值为-12 【解析】（I ）f(x)= 12sin2x+32cos2x=sin(2x+3π),则f(6π)=32,22k ππ-+≤2x+3π22k ππ≤+，k Z ∈单调递增区间[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈.（II ）由x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则2x+3π∈5[,]66ππ-，sin(2x+3π)∈[-12,1], 所以最大值为1，最小值为-12。