最新苏科版 初二数学八年级上册3.2勾股定理的逆定理同步练习含答案

苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC是的内接等边三角形，AB=1.点D，E在圆上，四边形为矩形，则这个矩形的面积是（）A. B. C. D.12、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝.按以下步骤作图：①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E、D；②分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；③连接AP交BC于点F.那么BF的长为（）A. B.3 C.2 D.3、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）.A.4.5cmB.4cmC. cmD. cm4、下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.5cm，9cm，12cmB.7cm，12cm，13cmC.30cm，40cm，50cm D.3cm，4cm，6cm5、在△ABC中，∠A＝90°，对应三条边分别为a、b、c，则a、b、c满足的关系为（）A.a 2＋b 2＝c 2B.a 2＋c 2＝b 2C.b 2＋c 2＝a 2D.b＋c＝a6、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F，若AB=3，BC=8，则FC的长度为（）A.6B.5C.4D.37、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P 是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A.4B.5C.6D.78、直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A.13B.C.13或D.13或129、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5 cm，BC=12 cm，则其斜边上的高为（）A.6 cmB.8.5 cmC. cmD. cm10、如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分11、如图①，在边长为2cm的正方形ABCD中，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止，过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动3秒时，PQ的长是（）A. cmB. cmC. cmD. cm12、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，过点D 作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，OE=1cm，DF=2cm，则CB的长为( )A.4-B.5-C.2D.413、如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（）A. B. C. D.14、已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB=（）A. B. C. D.15、一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为________．17、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，)，B(-1，0)，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为________。

勾股定理的证明知识精讲-.勾股定理1-如果直角三角形的两直角边长分别为乩b斜边长为g那么a2^b2=c2.2.勾股定理的变形：c = \la2 +Z?2 , ci = \jc2 -b2 , b = \jc2 - a2 .二.勾股定理的证明1 •如下图，S正方形AG = °2= (°-b)2 +4x—所以/ +b2 =c2 .2.如下图，S梯形ABCD = — =2x—6fZ? + ^c2,所以a2 + Z?2 = c2 .三点剖析一.勾股定理逆定理1.如果三角形的三边长日，b, c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2.勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足a2+b2=c2 "为前提，得到这个三角形是直角三角形•两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别.二.勾股数1.满足a2-^b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.2.常用勾股数：3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 7、24、25； 8、15、17； 9、40、41.题模精讲题模一：证明例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理.△冏仞、'DHE、△力血是全等的四个直角三角形,・•・ AE = DE=BD=AB, ZEAG + ABAC = ZEAG + ZAEG = 180。

—90° = 90° , 四边形是正方形，•.* 乙AGE = ZEHD = ZBMD = ZACB =90° , ・•・乙HGC= 90° ,•・・ GH = HM =CM =CG = b — a ,・・・四边形6•〃忆是正方形，.:大正方形的面积是c X C = C2 ,大正方形的面积也可以是：4 x —4- （Z? - ci）2 = 2ab + «2 - lab 4- h2 = a2 + b2 ,2・•・ a2+b2=c\即在直角三角形中，两直角边（°、b）的平方和等于斜边（c）的平方.例1. 1.2如图所示，P是AABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF,顶点D, E在边BC上，顶点F 在边AB上；AABC的底边BC及BC上的高的长分别为a, h,且是关于x的一元二次方程 mx2+nx+k=0的两个实数根,设过D, E, F三点的00的面积为S®。

2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学3.2勾股定理的逆定理巩固训练卷一、选择题1、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ．如果0)12(15)9(22=-+-+-c b a ，那么△ABC （ ） A ．是以a 为斜边的直角三角形 B ．是以b 为斜边的直角三角形 C ．是以c 为斜边的直角三角形 D ．不是直角三角形2、在ΔABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,下列说法中正确的个数有 （ ）①如果∠B-∠C=∠A ，则ΔABC 是直角三角形 ②如果c 2=b 2-a 2，则ΔABC 是直角三角形，且∠C=900 ③如果(c+a)(c-a)=b 2,则ΔABC 是直角三角形 ④如果∠A:∠B:∠C =5:2:3，则ΔABC 是直角三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D.43、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90B ．60C ．45D ．30（3） （6） （8）4、下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是( )A. ∠A=∠C-∠BB. a:b:c ＝1:2:3C. a 2=c 2-b 2D. 三边长分别为：m 2+n 2,m 2-n 2,2mn(m>n>0) 5、把三边分别BC ＝3,AC ＝4,AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折成△ABC ´,则CC ´的长为 ( )A.512 B.125 C.524 D.245 6、如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝20，AC ＝12，DE ＝8． 则∠CDE+∠ACD 的度数为 （ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°7、D 是△ABC 中BC 边上的一点，若AC 2﹣CD 2＝AD 2，则AD 是（ ）A ．BC 边上的中线B ．∠BAC 的角平分线 C ．BC 边上的高线D ．AC 边上的高线8、如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为 （ ）A ．3B ．4C ．4.8D ．5 9、适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为①111345a b c ，，；=== ②6a =，∠A =45°; ③∠A =32°, ∠B =58°；④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，， ⑥::3:4:5a b c = ⑦::12:13:15A B C ∠∠∠= ⑧5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10、如果ABC ∆的三边分别为221,2,1m m m -+，其中1m >，那么( )A.ABC ∆是直角三角形，且斜边长为21m + B.ABC ∆是直角三角形，且斜边长为2m C.ABC ∆是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定 D.ABC ∆不是直角三角形 二、填空题11、如图，以ABC ∆的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别是123,,S S S ，如果123S S S +=，那么ABC ∆的形状是 三角形.（11） （14）12、小玲需要求ABC ∆最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm ，则最长边上的高为15、如图，在Rt △ABC 中，AB =8，AC =6，BC =10，D 是AB 的中点，P ，Q 分别是BC ，DC 上的动点，则AQ +QP 的最小值是________．16、若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为 ．17、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________ 18、已知等腰直角ABC ∆，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，平面内有一点D ，连接CD 、AD ，若2CD =，6AD =，则BCD ∠= ． 三、解答题19、在△ABC 中，D 为BC 的中点，AB=5，AD=6，AC=13．试判断AD 与AB 的位置关系．20、已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？21、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°．点E 是BC 的中点，点F 是CD 上一点，且CF=41CD ．求证：∠AEF ＝90°．22、如图是一块地的平面图，其中AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，AB ＝13 m ，BC ＝12 m ，∠ADC ＝90°，求这块地的面积．23、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，试判断△ABC 的形状．24、已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，垂足为D ，交AB 于点E ，且222BE AE AC -=．（1）求A ∠的度数； （2）若3DE =,4BD =，求AE 的长．25、已知：如图，△ABC 中∠ACB 的平分线与AB 的垂直平分线交于点D ，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 交CB的延长线于点F ． (1)求证：AE ＝BF ；(2)若AE ＝7，BC ＝10，AB ＝26，判断△ABC 的形状，并证明； (3)设AB =c ， BC =a ，AC =b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC 的周长与面积都等于30，求CE 的长．2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学3.2勾股定理的逆定理巩固训练卷（答案）一、选择题1、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ．如果0)12(15)9(22=-+-+-c b a ，那么△ABC （ B ） A ．是以a 为斜边的直角三角形 B ．是以b 为斜边的直角三角形 C ．是以c 为斜边的直角三角形 D ．不是直角三角形2、在ΔABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,下列说法中正确的个数有 （ C ）①如果∠B-∠C=∠A ，则ΔABC 是直角三角形 ②如果c 2=b 2-a 2，则ΔABC 是直角三角形，且∠C=900 ③如果(c+a)(c-a)=b 2,则ΔABC 是直角三角形 ④如果∠A:∠B:∠C =5:2:3，则ΔABC 是直角三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D.43、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90B ．60C ．45D ．30【答案】 5AC BC ==，10AB =，∵()()()2225510+=，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴45ABC ∠=︒，所以本题的答案是C ．4、下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是( B )A. ∠A=∠C-∠BB. a:b:c ＝1:2:3C. a 2=c 2-b 2D. 三边长分别为：m 2+n 2,m 2-n 2,2mn(m>n>0) 5、把三边分别BC ＝3,AC ＝4,AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折成△ABC ´,则CC ´的长为 ( C )A.512 B.125 C.524 D.245 6、如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝20，AC ＝12，DE ＝8． 则∠CDE+∠ACD 的度数为 （ C ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°7、D 是△ABC 中BC 边上的一点，若AC 2﹣CD 2＝AD 2，则AD 是（ ）A ．BC 边上的中线B ．∠BAC 的角平分线 C ．BC 边上的高线D ．AC 边上的高线 【解答】如图所示：∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴AD ⊥BC ，则AD 是BC 边上的高线， 故选：C ．8、如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为 （ D ）A ．3B ．4C ．4.8D ．59、适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为①111345a b c ，，；=== ②6a =，∠A =45°; ③∠A =32°, ∠B =58°；④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，， ⑥::3:4:5a b c = ⑦::12:13:15A B C ∠∠∠= ⑧5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形； 根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形； 由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形； 根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a 2=25，b 2=144，c 2=169，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.10、如果ABC ∆的三边分别为221,2,1m m m -+，其中1m >，那么( A )A.ABC ∆是直角三角形，且斜边长为21m + B.ABC ∆是直角三角形，且斜边长为2m C.ABC ∆是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定 D.ABC ∆不是直角三角形 二、填空题11、如图，以ABC ∆的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别是123,,S S S ，如果123S S S +=，那么ABC ∆的形状是 直角 三角形.12、小玲需要求ABC ∆最长边上的高，测得8AB =cm ，6AC =cm ，10BC =cm ，则最长边上的高为 4.8 13、已知|x －12|＋|x ＋y －25|与z 2－10z ＋25互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角形是____直角__三角形.14、如图，在ABC ∆中，5,12,13AC BC AB ===，CD 是AB 边上的中线，则CD = 6.5 .15、如图，在Rt △ABC 中，AB =8，AC =6，BC =10，D 是AB 的中点，P ，Q 分别是BC ，DC 上的动点，则AQ +QP 的最小值是________．【解答】解：如图，过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E ，∴68244.8105AB AC AE BC ⋅⨯====．故答案为：4.8．16、若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为54． 【解答】解：三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，2221.52 2.5∴+=，∴此三角形是直角三角形，斜边长为2.5，∴这个三角形最长边上的中线为152.524⨯=， 故答案为：54．17、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________【解答】由题意得，每组第一个数是奇数，且逐步递增2，第二、第三个数相差为一故第⑥组的第一个数是13设第二个数为x ，第三个数为x+1；根据勾股定理得()22213+1x x =+ 解得84x =，则第⑥组勾股数：13，84，85。

第3章　勾股定理3.2　勾股定理的逆定理基础过关全练知识点1　勾股定理的逆定理1.(2023江苏连云港期末)△ABC的三边长分别为a,b,c.下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数为( )①∠A=∠B-∠C;②a2=(b+c)(b-c);③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④a∶b∶c=5∶12∶13.A.1B.2C.3D.42.【分类讨论思想】如图,在△ABC中,AB=BC=CA=4 cm,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1 cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2 cm/s,设它们运动的时间为t s,当t= 时,△BPQ是直角三角形.( )3.【数形结合思想】△ABC中,已知AB=9 cm, BC=17 cm, AC=10 cm.( )(1)判断△ABC是不是直角三角形;(2)求△ABC 的面积.知识点2　勾股数4.观察下列几组有规律的勾股数,并填空:①6,8,10;②8,15,17;③10,24,26;④12,35,37,则第⑤组勾股数为 .能力提升全练5.【新定义型试题】(2021湖南常德中考,8,★★☆)阅读理解:如果一个正整数m 能表示为两个正整数a,b 的平方和,即m=a 2+b 2,那么称m 为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是( )A.②④B.①②④C.①②D.①④6.(2023江苏苏州相城月考,6,★★☆)如图,△ABC 中,AC=6,BC=8,AB=10.AD 为△ABC 的角平分线,CD 的长度为( )A.2B.52C.3D.1037.【主题教育·中华优秀传统文化】(2022湖北黄冈、孝感、咸宁中考,15,★★☆)勾股定理最早出现在我国古代著作《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (用含m的式子表示).8.(2023江苏苏州昆山期中,12,★★☆)如图,在△ABC中,直线EF、MN 分别为线段AB、AC的垂直平分线,交BC于点F、N,若BF=4,FN=3,CN=5,则S△ABC= .9.(2023江苏连云港期末,20,★☆☆)如图,在△ABC 中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.(1)求AB的长;(2)求△ACB的面积.素养探究全练10.【推理能力】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为一边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系,并证明你的结论;(2)若PB=8,PA=6,PC=10,求∠APB的度数.11.【推理能力】在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图①,则有a2+b2=c2;当△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2.理由:如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴b2-x2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2,所以小明的猜想是正确的.( )(1)请你猜想,当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系,不用证明;(2)在图③中,作BC边上的高;(3)证明你猜想的结论.图① 图② 图③答案全解全析基础过关全练1.C ①由∠A=∠B-∠C 可得∠B=90°,∴△ABC 是直角三角形;②由a 2=(b+c)(b-c)可得a 2+c 2=b 2,∴△ABC 是直角三角形;③由∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5可得∠C=75°,∠B=60°,∠A=45°,∴△ABC 不是直角三角形;④由a ∶b ∶c=5∶12∶13可得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.故选C.2.答案　2或165解析　若△BPQ 是直角三角形,则∠BPQ=90°或∠BQP=90°.①当∠BPQ=90°时,Q 与A 重合,CQ=CA=4 cm,此时t=4÷2=2;②当∠BQP=90°时,由题意可得△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠BPQ=90°-60°=30°,∴BQ=12BP,即8-2t=12t,解得t=165.故当t=2或165时,△BPQ 是直角三角形.3.解析　(1)∵ AB 2+CA 2= 92+102= 181, BC 2=172=289,∴AB 2+CA 2≠BC 2,∴△ABC 不是直角三角形.(2)如图,作CD ⊥AB,交BA 的延长线于点D,设AD=x cm,则BD=(x+9)cm,∵∠D=90°,∴CD 2=BC 2-BD 2,又∵CD 2=AC 2-AD 2,∴BC 2-BD 2=AC 2-AD 2,∴172-(x+9) 2=102-x 2,解得x=6,∴ AD=6, ∴CD 2=102-62=64,∴CD=8,∴S △ABC =12AB·CD=12×9×8=36(cm 2).答:△ABC 的面积是36 cm 2.4.答案　14,48,50解析　根据题目给出的前几组数的规律可知第○n 组勾股数中的第一个数是2(n+2),第二个数是(n+1)·(n+3),第三个数是(n+2)2+1,故第⑤组勾股数是14,48,50.能力提升全练5.C ①∵7不能表示为两个正整数的平方和,∴7不是广义勾股数,故①结论正确.②∵13=22+32,∴13是广义勾股数,故②结论正确.③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③结论错误.④设m 1=a 2+b 2,m 2=c 2+d 2,则m 1·m 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=(a 2c 2+b 2d 2+2abcd)+(a 2d 2+b 2c 2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.当ad=bc时,ad-bc=0,∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论错误.∴正确的是①②.故选C.6.C　如图,过点D作DE⊥AB于E,∵AC=6,BC=8,AB=10,∴AB2=100,AC2+BC2=62+82=100,∴AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.∵AD为△ABC的角平分线,∴CD=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD, CD=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AE=AC=6.在Rt△BED中,BD2=DE2+BE2,∴(8-CD)2=CD2+(10-6)2,解得CD=3.故选C.7.答案　m2+1解析　∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2.∴(2m)2+a 2=(a+2)2.解得a=m 2-1.∴弦是a+2=m 2-1+2=m 2+1.故答案为m 2+1.8.答案　24解析　∵直线EF 、MN 分别为线段AB 、AC 的垂直平分线,∴AF=BF=4,AN=CN=5.∵FN=3,∴BC=BF+FN+CN=12,AF 2+FN 2=42+32=52=AN 2,∴∠AFN=90°,∴AF ⊥BC,∴S △ABC =12BC·AF=12×12×4=24.故答案为24.9.解析　(1)∵△ABE 的面积为35,DE=7,DE ⊥AB,∴12AB×7=35,解得AB=10.(2)在△ABC 中,AB 2=102=100,BC 2+AC 2=62+82=100,∵AB 2=AC 2+BC 2,∴∠C=90°,∴S △ABC =12AC·BC=12×8×6=24.答:△ACB 的面积为24.素养探究全练10.解析　(1)AP=CQ.证明:∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=CB,∴∠ABP+∠PBC=60°.又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°,∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中,AB=CB,∠ABP=∠CBQ, BP=BQ,∴△ABP≌△CBQ(SAS),∴AP=CQ.(2)连接PQ,如图所示.∵△ABP≌△CBQ,∴∠BQC=∠BPA.∵BP=BQ,∠PBQ=60°,∴△PBQ为等边三角形,∴PQ=PB=8,∠BQP=60°,在△PQC中,PQ=8,CQ=AP=6,PC=10,∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2,∴∠PQC=90°,∴∠BQC=90°+60°=150°,∴∠APB=∠BQC=150°.11.解析　(1)当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系为a2+b2<c2.(2)如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,线段AD即为所求.(3)证明:设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a+x)2,∴b2-x2=c2-(a+x)2,∴a2+b2=c2-2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2<c2,∴当△ABC中∠ACB为钝角时,a2+b2<c2.。

勾股定理的逆定理一．勾股定理逆定理1．如果三角形的三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222a b c+=”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．二．勾股数1．满足222a b c+=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41．一．考点：1．勾股定理逆定理；2．勾股数．二．重难点：掌握常用的勾股数，结合勾股定理逆定理利用线段长度可证明直角三角形．三．易错点：勾股数除了要满足勾股定理外，还需要满足是整数．题模一：勾股定理逆定理例1.1.1下列说法正确的有（）①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．符合勾股定理，故本小题正确；②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC是直角三角形．故本小题错误；③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．符合勾股定理的逆定理，故本小题正确；④当C是斜边时（a+b）（a﹣b）=c2不成立，故本小题错误．例1.1.2 在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ． a=9，b=41，c=40B ． a=b=5，c=5C ． a ：b ：c=3：4：5D ． a=11，b=12，c=15【答案】D【解析】 A 、92+402=412，故是直角三角形，故正确；B 、52+52=（）2，故是直角三角形，故正确；C 、32+42=52，故是直角三角形，故正确；D 、112+122≠152，故不能组成直角三角形．例1.1.3 如图，已知4AB =，12BC =，13CD =，3DA =，AB ⊥AD ．判断BC ⊥BD 吗？简述你的理由．【答案】 见解析 【解析】 在直角△ABD 中，已知4AB =，3DA =，22255BD AB AD =+==∵12BC =，13CD =，∴满足222BD BC CD +=，∴△BCD 为直角三角形，即BC ⊥BD ．例1.1.4 在△ABC 中，D 为BC 的中点，5AB =，6AD =，13AC =．试判断AD 与AB 的位置关系．【答案】 AD ⊥AB【解析】 延长AD 至E ，使得AD DE =，连接BE ，∵D 为BC 的中点，∴BD CD =， 在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB DB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴13EB AC ==，∵6AD =，∴12AE =，∵222+=，51213∴222+=，AB AE EB∴90∠=︒，BAE∴AD⊥AB．题模二：勾股数例1.2.1分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能构成勾股数的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C【解析】①222+==，能构成勾股数；6810010②222+=，能构成勾股数；51213③222+=，能构成勾股数；81517④222+≠，不能构成勾股数．456例1.2.2已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】7200（元）【解析】该题考查的是勾股定理的应用．如图，连接BD，在Rt△ABD中，222222345=+=+=，BD AB AD在△CBD中，2212BC=，CD=，2213而222+=，12513即222BC BD CD +=，∴90DBC ∠=︒， 1122ABCD BAD DBC SS S AD AB DB BC =+=⋅+⋅ 114312522=⨯⨯+⨯⨯ 36=所以需费用362007200⨯=（元）．随练1.1 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ． 4，5，6B ． 1.5，2，2.5C ． 2，3，4D ． 1，2，3【答案】B【解析】 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A 、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A 选项错误；B 、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B 选项正确；C 、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C 选项错误；D 、12+（2）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D 选项错误．故选：B ．随练1.2 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）ABA ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°【答案】C【解析】 AC BC ==，AB =，∵222+=，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴45ABC ∠=︒，所以本题的答案是C ．随练1.3 △ABC 的三边长a ，b ，c 满足8a b +=，4ab =，256c =，判断△ABC 的形状，并说明理由．【答案】 △ABC 的形状是直角三角形．【解析】 264a b +=（），22264a b ab ++=，∴4ab =，∴22264264856a b ab c +=-=-==．随练1.4 已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断△ABC 的形状．【答案】 等腰三角形或直角三角形．【解析】 由题意知，()()()2222222c a b a b a b -=+-，因此当a b =时，△ABC 为等腰三角形；当a b ≠时，由222a b c +=，△ABC 为直角三角形．随练1.5 下面四组数中是勾股数的有（ ）（1）1.5，2.5，2；（2，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．A ． 1组B ． 2组C ． 3组D ． 4组【答案】A【解析】 （1）2221.52 2.5+=，能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误；（2）2222+=，能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误；（3）222121620+=，三边是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，正确；（4），能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误．。

3.2 勾股定理的逆定理一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，6，8 B．6，8，9 C．7，24，25 D．5，11，12 2．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c D．（b+c）（b﹣c）＝a23．下列各组数不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．32，42，52D．5，12，13 4．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A．三角形的三边长满足关系a+b＝cB．三角形的三边长之比2：3：4C．三角形的三边长分别为5、12、13D．三角形的一边长等于另一边长的一半5．D是△ABC中BC边上的一点，若AC2﹣CD2＝AD2，则AD是（）A．BC边上的中线B．∠BAC的角平分线C．BC边上的高线D．AC边上的高线6．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 7．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25C．a2＝b2﹣c2D．∠A＝∠C﹣∠B8．a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a2＝c2﹣b2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在横线上）9．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为cm．10．如图，在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．11．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于．12．已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝．13．若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为．14．三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是．15．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是三角形．16．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q 两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD．18．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC．（1）△ABC的面积为；（2）△ABC的形状为；（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与△ABC全等的格点三角形是．19．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．20．在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．21．【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4，弦5；当勾为5时，股12，弦13；当勾为7时，股24，弦25．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a 为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•海安市期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，6，8 B．6，8，9 C．7，24，25 D．5，11，12【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【解析】A、62+42≠82，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+82≠92，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、72+242＝252，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；D、52+112≠122，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．2．（2019秋•江苏省常熟市期中）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c D．（b+c）（b﹣c）＝a2【分析】根据直角三角形的定义，以及勾股定理的逆定理判断即可．【解析】A、由题意：∠C180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合题意．B、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．C、∵a＝1，b＝2，c，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．故选：A．3．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）下列各组数不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．32，42，52D．5，12，13【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解析】A、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+82＝102，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、因为32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、52+122＝202，能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．4．（2019秋•江苏省沭阳县期中）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A．三角形的三边长满足关系a+b＝cB．三角形的三边长之比2：3：4C．三角形的三边长分别为5、12、13D．三角形的一边长等于另一边长的一半【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【解析】A、三角形的三边满足关系a+b＝c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误；B、∵22+32＝13≠42＝16，∴此三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；D、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项错误．故选：C．5．（2019秋•江苏省苏州期中）D是△ABC中BC边上的一点，若AC2﹣CD2＝AD2，则AD 是（）A．BC边上的中线B．∠BAC的角平分线C．BC边上的高线D．AC边上的高线【分析】根据题意画出图形，再根据已知条件判断出△ACD的形状，再根据高线的定义解答即可．【解析】如图所示：∵AC2﹣CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴AD⊥BC，则AD是BC边上的高线，故选：C．6．（2019秋•江苏省阜宁县期中）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．【解析】A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误．故选：A．7．（2019秋•江苏省镇江期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25C．a2＝b2﹣c2D．∠A＝∠C﹣∠B【分析】根据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形．【解析】A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；B、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；D、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形．故选：A．8．（2019秋•江苏省泰兴市期中）a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a2＝c2﹣b2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．【解析】A．若a2＝c2﹣b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；C．若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数），则a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在横线上）9．（2019秋•江苏省连云港期中）△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为2400cm．【分析】首先根据三边之比设出未知数，然后可确定各边长，再计算出周长即可．【解析】设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm，∵最长边为10m，∴5x＝10，解得：x＝2，∴3x＝6，4x＝8，∴6+8+10＝24（m）＝2400cm，故答案为：2400．10．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为45°．【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形即可得到∠ABC的度数．【解析】由勾股定理得：AC＝BC，AB，∵AC2+BC2＝AB2＝10，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：45°．11．（2019秋•江苏省金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC ＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于36．【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC5，在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD AB•BC AC•CD3×45×12＝36．故答案为：36．12．（2019秋•江苏省仪征市期中）已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝135°或45°．【分析】根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，求出∠ACD＝90°，再求出∠ACB＝45°问题即可解决．【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC2＝42+42＝32，而CD2＝4，AD2＝62＝36，∴AD2＝AC2+CD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°；∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴①∠BCD＝90°+45°＝135°；②∠BCD＝90°﹣45°＝45°．故∠BCD＝135°或45°．故答案为：135°或45°．13．（2019秋•江苏省南京期中）若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为．【分析】根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出即可．【解析】∵三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，∴1.52+22＝2.52，∴此三角形是直角三角形，斜边长为2.5，∴这个三角形最长边上的中线为，故答案为：．14．（2019秋•江苏省金坛区期中）三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是直角三角形．【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2＝c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解析】∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab，∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．故答案为直角三角形．15．（2019秋•江苏省淮安区期中）若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是直角三角形．【分析】由两小边的平方和等于最长边的平方可得△ABC是直角三角形．【解析】设△ABC三边分别为5x，12x，13x，∵（5x）2+（12x）2＝（13x）2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角16．（2019秋•江苏省连云港期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q 同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝或s 时，△PBQ为直角三角形．【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，∴6﹣2x＝2x，解得x；当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（6﹣2x），解得x．答：或秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为或．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•邳州市校级月考）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD．【分析】在△ABC中，根据勾股定理求出AC2的值，再在△ACD中根据勾股定理的逆定理，判断出AC⊥CD．【解答】证明：在△ABC中AB⊥BC，根据勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，∵在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，∴AC⊥CD．18．（2019秋•江苏省新吴区期中）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC．（1）△ABC的面积为2；（2）△ABC的形状为直角三角形；（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC．【分析】（1）根据长方形和三角形的面积公式求出即可；（2）根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）根据全等三角形的判定定理得出即可．【解析】（1）△ABC的面积为：2×22，故答案为：2；（2）由勾股定理得：AC2，BC，AB，所以AC2+BC2＝AB2，即∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形，故答案为：直角三角形；（3）与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC，故答案为：△DBC，△DAB，△DAC．19．（2020春•海安市期中）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a ＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．【分析】根据m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，然后即可得到a2+b2的值，c2的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形，本题得以解决．【解析】以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，理由：∵m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，∴c＞a，∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2，c2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．20．（2019秋•江苏省阜宁县期中）在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．【分析】利用勾股定理求出AC的长度，在△ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可求解．【解析】在Rt△ACD中，AC5cm，在△ABC中，∵AB2+BC2＝9+16＝25，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴四边形ABCD的面积AB•BC AC•CD3×45×12＝36cm2．21．（2019秋•江苏省兴化市期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4，弦5；当勾为5时，股12，弦13；当勾为7时，股24，弦25．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a 为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）；（2）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；（3）根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．【解析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）；故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；（2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数）∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2，∴a2+b2＝c2∴a、b、c为勾股数；（3）∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a；2a+1．。

章节测试题1.【答题】如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）A. 8B. 9C.D. 10【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．本题根据所给的条件得知，△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC边上的高．【解答】∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，则由面积公式可知，S△ABC＝AB⋅AC＝BC⋅AD，∴AD＝.选C.2.【答题】在△ABC中AB=1、AC=、BC=2则这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】在中，AB=1，，BC=2，，是直角三角形．∴B选项是正确的．3.【答题】三角形的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+=0，则这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，即可得出选项．【解答】∵（a+2b−60）2+|b−18|+=0，∴a+2b−60=0，b−18=0，c−30=0，∴a=24，b=18，c=30，∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形，选：D.4.【答题】下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A. 30，40，50B. 7，12，13C. 5，9，12D. 3，4，6【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；选A.5.【答题】在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b=5，c=7【答案】D【分析】本题考查了勾股数．【解答】A.152+82=172=289，是勾股数；B.92+122=152=225，是勾股数；C.72+242=252=625，是勾股数；D.32+52≠72，不是勾股数．选D．6.【答题】下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（）A. 9，12，15B. 7，24，25C. 6，8，10D. 3，5，7【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．由已知得其符合勾股定理的逆定理才能构成直角三角形，对选项一一分析，选出正确答案．【解答】A、92+122=152，能构成直角三角形，故正确；B、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；C、62+82=102，能构成直角三角形，故正确；D、32+52≠72，不能构成直角三角形，故错误．选D.7.【答题】下列是勾股数的有（）①3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；④13、14、15；⑤；⑥11、60、61A. 6组B. 5组C. 4组D. 3组【答案】B【分析】本题考查了勾股数．根据勾股定理的逆定理分别进行计算，然后判断即可．【解答】①，故3、4、5是勾股数；②，故5、12、13是勾股数；③，故9、40、41是勾股数；④，故13、14、15不是勾股数；⑤，故是勾股数；⑥，故11、60、61是勾股数是勾股数的共5组选：B8.【答题】已知△ABC的三边分别长为a，b，c，且满足，则△ABC是（）．A. 以a为斜边的直角三角形B. 以b为斜边的直角三角形C. 以c为斜边的直角三角形D. 不是直角三角形【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．【解答】等式＋+＝0可化为＋+＝0，根据非负数的性质可得a-17=0，b-15=0，c-8=0，∴a=17，b=15，c=8；又因，∴△ABC是以a为斜边的直角三角形，选A．9.【答题】在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A. 5，6，7B. 1，4，8C. 5，12，13D. 5，11，12 【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可得．【解答】A.52+62≠72，构不成直角三角形，故不符合题意；B.1+4＜8，构不成三角形，也就不可能是直角三角形了，故不符合题意；C.52+122=132，是直角三角形，故符合题意；D.52+112≠122，组不成直角三角形，故不符合题意，选C.10.【答题】直角三角形三边长为a、b、c，则以下列线段为边长的三角形是直角三角形的是（）A. a+2，b+2，c+2B. 3a，4b，5cC. a+3，b+4，c+5D. 2a，2b，2c 【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可【解答】假设直角三角形的斜边长为c，则有A、（a+2）2+（b+2）2=a2+b2+4a+4b+8=c2+4（a+b）+8，（c+2）2=c2+4c+4，∵a+b＞c∴（a+2）2+（b+2）2＞（c+2）2，不是直角三角形，选项A错误；B、则不是直角三角形，选项B错误；C、举反例设a=5，b=12，c=13，则a+3=8，b+4=16，c+5=18，82+162≠182，则选项C错误；D、（2a）2+（2b）2=4（a2+b2）=4c2=（2c）2，则是直角三角形，选项D正确；故应选：D.11.【答题】ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能判定【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状．【解答】当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时，由勾股定理可知42+52=41＞36=62可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形．故应选A12.【答题】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A. B. 、、C. 、、D. 、、【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答．【解答】选项A，，不能构成直角三角形；选项B，，不能构成直角三角形；选项C，，能构成直角三角形；选项D，，不能构成直角三角形．选C．13.【答题】若一个三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形最长边上的中线为（）A. 1.8B. 2C. 2.4D. 2.5【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】，该三角形是直角三角形，．选：．14.【答题】如图：在中，，于点D，点P在线段DB 上，点M是边AC的中点，连结MP，作，点Q在边BC上．若，则（）A. 当时，点P与点D重合B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．连接MQ，DM，DQ，当CQ=4时，在Rt△AMQ中利用勾股定理可求出MQ=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DQ=4，DM=3，利用勾股定理的逆定理可判定△MDQ为直角三角形，∠ADQ=90°，∴可以推断P、D重合．【解答】如图，连接MQ，DM，DQ，∵M为AC边中点，∴CM=AC=3当CQ=4时，在Rt△AMQ中，，∵M为Rt△ACD斜边上的中点，Q为Rt△BCD斜边上的中点，∴DM=AC=3，DQ=BC=4，∴DM2+DQ2=MQ2∴△MDQ为直角三角形，∠ADQ=90°，又∵∠MPQ=90°∴P、D重合，故A正确；显然此时∠MPA=∠A≠30°，故B错误；PD=0，故C错误；PM≠PQ，故D错误；选A．15.【答题】下列语句中正确的个数是（）（1）每个定理都有逆定理（2）在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于30°（3）如果CA=CB，则过点C的直线垂直平分线段AB（4）到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用定理及逆定理的定义，含30°的直角三角形性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】每个定理不一定都有逆定理，（1）说法错误，在三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么这条边所对的角等于30°，（2）说法错误；如果CA=CB，则过点C在线段AB的垂直平分线上，但过点C的直线不一定垂直平分线段AB，（3）说法错误；根据垂直平分线的性质可知，到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，（4）说法正确正确的共1个选：B16.【答题】若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（）=0，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据题意得到a-b=0或a2+b2-c2=0，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断即可．【解答】∵（a-b）（a2+b2-c2）=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0，则a=b或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，选：D．17.【答题】如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案．【解答】由勾股定理得：，，，，即∴△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则，∴．选A．18.【答题】由下列条件不能判定为直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【解答】A、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，故是直角三角形，正确；B、∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴∠B=×180°=90°，故是直角三角形，正确；C、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定是直角三角形；D、∵（b+c）（b-c）=a2，∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确．选C.19.【答题】由线段组成的三角形不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】A.∵，∴b2+c2=a2，∴能够成直角三角形，故本选项错误；B.∵，∴b2+c2=12+=a2，∴能够成直角三角形，故本选项错误；C.∵，∴22+=，∴能够成直角三角形，故本选项错误；D.∵，∠A+∠B+∠C=90°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∴不是直角三角形，故本选项符合题意，选D．20.【答题】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A. 2，3，4B. 3，4，6C. 5，12，13D. 6，7，11【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】A、22+32≠42，不能构成直角三角形，选项错误；B、32+42≠62，不能构成直角三角形，选项错误；C、52+122＝132，能构成直角三角形，选项正确；D、62+72≠112，不能构成直角三角形，选项错误．选：C.。

苏科新版八年级上学期《3.2 勾股定理的逆定理》同步练习卷一．选择题（共40小题）1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a2＝b2﹣c2C．a：b：c＝2：3：4D．a＝，b＝，c＝12．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝6：8：10C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c23．以下列线段的长为边，不能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．0.3，0.4，0.5D．5，12，134．已知△ABC的∠A、∠B和∠C的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a：b：c＝3：4：5；③2∠A＝∠B+∠C；④a2﹣c2＝b2；⑤a＝1，b＝2，c＝．其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件有（）个．A．2B．3C．4D．55．下列各组数分别是直角三角形三边长的是（）A．5，13，13B．1，，C．1，，3D．15，25，35 6．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，2B．2，3，4C．3，4，6D．5，12，15 7．下列各组数中，是勾股数的（）A．，，1B．1，2，3C．1.5，2，2.5D．9，40，41 8．下列各组数据，是勾股数的是（）A．，，B．32，42，52C．0.5，1.2，1.3D．12，16，209．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：510．下列能构成直角三角形三边长的是（）A．1，2，3B．C．D．4，5，611．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a：b：c＝1：2：3D．a2﹣b2＝c212．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝，b＝，c＝B．∠A+∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：3：2D．（b+c）（b﹣c）＝a213．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．3；4；5B．3；4；6C．9；12；15D．4；；14．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A+∠B＝∠CC．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝n，b＝，c＝n+1（n＞0）15．在△ABC中，三边之比分别为5：12：13，∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形17．下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠C＝90°，③AC：BC：AB＝3：4：5，④∠A：∠B：∠C＝3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③a：b：c＝3：4：5．其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个19．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．3，4，5B．5，7，8C．8，15，17D．1，20．下列选项中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．A：∠B：∠C＝l：2：3C．∠A＝∠B＝2∠C D．AB2+BC2＝AC221．满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A．三个内角之比为3：4：5B．三边之比为3：4：5C．三个内角之比为1：2：3D．三边之比为1：2：22．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3B．三边长之比为3：4：5C．三边长分别为1，，D．三边长分别为5，12，1423．下列各组数分别为三角形的三边长：①2，3，4：②5，12，13：③，，；④m2﹣n2，m2+n2，2mm（m＞n），其中是直角三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个24．下列线段不能构成直角三角形的是（）A．0.6，0.8，1B．25，20，15C．1，2，D．2k，3k，k（k＞0）25．△ABC的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝∠B+∠CC．a2＝（b+c）（b﹣c）D．a：b：c＝1：2：26．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 27．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B28．有以下三角形：①三角形三边之比为2：3：2；②三角形的三边为3，4，5；③三角形三个角分别为20°，70°，90°；④三角形三个角的比为1：2：3．其中不是直角三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．429．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a＝，b＝，c＝；②a＝b，∠A＝45°；③a＝2，b＝2，c＝2；④∠A＝27°，∠B＝63°⑤a＝9，b＝12，c＝15A．1个B．2个C．3个D．4个30．a、b、c为△ABC三边，不是直角三角形的是（）A．a2＝c2﹣b2B．a＝6，b＝10，c＝8C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B﹣∠C31．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c232．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：33．已知△ABC的三边分别为a、b、c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：：2C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c234．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 35．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B36．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：3：2C．a＝，b＝，c＝D．（b+c）（b﹣c）＝a237．下列三角形中，不是直角三角形的是（）A．△ABC中，∠A＝∠B﹣∠CB．△ABC中，a：b：c＝1：2：3C．△ABC中，a2＝c2﹣b2D．△ABC中，三边的长分别为m2+n2，m2﹣n2，2mn（m＞n＞0）38．给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④39．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：3：2C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝，b＝，c＝40．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC是直角三角形苏科新版八年级上学期《3.2 勾股定理的逆定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a2＝b2﹣c2C．a：b：c＝2：3：4D．a＝，b＝，c＝1【分析】根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，以及三角形内角和为180°进行分析即可．【解答】解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵a2＝b2﹣c2，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵（2x）2+（3x）2≠（4x）2，∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；D、∵（）2+12＝（）2，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方．2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝6：8：10C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，所以不是直角三角形，正确；B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，错误；C、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∴∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，错误；故选：A．【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．3．以下列线段的长为边，不能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．0.3，0.4，0.5D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、由于（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、由于12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、由于0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、由于52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．已知△ABC的∠A、∠B和∠C的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a：b：c＝3：4：5；③2∠A＝∠B+∠C；④a2﹣c2＝b2；⑤a＝1，b＝2，c＝．其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，是直角三角形；②a：b：c＝3：4：5，∴（3x）2+（4x）2＝（5x）2，是直角三角形；③∠A＝∠B+∠C是直角三角形，而2∠A＝∠B+∠C不是直角三角形，错误；④a2﹣c2＝b2；是直角三角形；⑤a＝1，b＝2，c＝．，是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．5．下列各组数分别是直角三角形三边长的是（）A．5，13，13B．1，，C．1，，3D．15，25，35【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【解答】解：A，52+132≠132，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项错误；B，12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项正确；C，12+（）2≠32，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项错误；D，152+252≠352，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，2B．2，3，4C．3，4，6D．5，12，15【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵1+22＝5，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+122≠152，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．7．下列各组数中，是勾股数的（）A．，，1B．1，2，3C．1.5，2，2.5D．9，40，41【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．【解答】解：A、和不是整数，此选项错误；B、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；C、1.5和2.5不是整数，此选项错误；D、∵92+402＝412，∴是勾股数，此选项正确．故选：D．【点评】此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…8．下列各组数据，是勾股数的是（）A．，，B．32，42，52C．0.5，1.2，1.3D．12，16，20【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、92+162≠252，不能构成直角三角形，是整数，故错误；C、0.52+1.22＝1.32，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；D、122+162＝202，能构成直角三角形，故正确．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．9．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵12+22＝（）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠A＝45°，∠5＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．10．下列能构成直角三角形三边长的是（）A．1，2，3B．C．D．4，5，6【分析】先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形三边长，故本选项不符合题意；B、∵12+（）2≠32，∴不能构成直角三角形三边长，故本选项不符合题意；C、∵（）2+22＝（）2，∴能构成直角三角形三边长，故本选项符合题意；D、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形三边长，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．11．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a：b：c＝1：2：3D．a2﹣b2＝c2【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；C、（x）2+（2x）2≠（3x）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；D、由a2﹣b2＝c2，得c2+b2＝a2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．12．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝，b＝，c＝B．∠A+∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：3：2D．（b+c）（b﹣c）＝a2【分析】根据勾股定理的逆定理可分析出A、D的正误；根据三角形内角和定理可分析出B、C的正误．【解答】解：A、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定△ABC是直角三角形；B、∵∠A+∠B＝∠C，A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故能判定△ABC为直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝1：3：2，∴∠B＝180°×＝90°，故能判定△ABC为直角三角形；D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故能判定△ABC为直角三角形．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．也考查了三角形内角和定理．13．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．3；4；5B．3；4；6C．9；12；15D．4；；【分析】依次计算每个选项中两个较小数的平方的和是否等于最大数的平方，等于则能组成直角三角形，不等于则不能组成直角三角形．【解答】解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项错误；B、32+42≠62，不能组成直角三角形，故此选项正确；C、92+122＝152，能组成直角三角形，故此选项错误；D、42+（）2＝（）2，能组成直角三角形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．14．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A+∠B＝∠CC．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝n，b＝，c＝n+1（n＞0）【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC为直角三角形；B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC为直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故能判定△ABC为直角三角形；D、a＝n，b＝，c＝n+1（n＞0），∵（n）2+（）2＝（n+1）2，故能判定△ABC为直角三角形．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．在△ABC中，三边之比分别为5：12：13，∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理均可判断△ABC为直角三角形．【解答】解：∵在△ABC中，三边之比分别为5：12：13，∠C﹣∠B＝∠A，而52+122＝132，∠A+∠B+∠C＝180°，∴△ABC为直角三角形，∠C＝∠A+∠B＝90°．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．本题两个条件中只选择一个，仍然可以判定△ABC为直角三角形．16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断．【解答】解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理，由三边满足的关系确定斜边、直角是解决问题的关键．17．下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠C＝90°，③AC：BC：AB＝3：4：5，④∠A：∠B：∠C＝3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别求出最大的角的度数，然后根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．【解答】解：①∠A+∠B＝∠C时，∠C＝90°，是直角三角形，②∠C＝90°，是直角三角形，③AC：BC：AB＝3：4：5，∴32+42＝52，是直角三角形；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，∠C＝180°×＜90°，是锐角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质，关键是掌握勾股定理，以及三角形内角和定理．．18．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③a：b：c＝3：4：5．其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；根据已知得出a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可判断②；设a＝3k，b ＝4k，c＝5k求出a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可判断③．【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，②a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，∴△BAC是直角三角形，∴②正确；③∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴③正确；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中．19．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．3，4，5B．5，7，8C．8，15，17D．1，【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．【解答】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度；B、52+72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度；C、82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度；D、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．20．下列选项中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．A：∠B：∠C＝l：2：3C．∠A＝∠B＝2∠C D．AB2+BC2＝AC2【分析】A、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠A的值；D、根据勾股定理的逆定理进行判定即可．【解答】解：A、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；B、因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，故x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，3x＝30×3＝90°，故为直角三角形；C、因为∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A＝72°，故此三角形是锐角三角形，错误；D、因为AB2+BC2＝AC2，故为直角三角形；故选：C．【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．21．满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A．三个内角之比为3：4：5B．三边之比为3：4：5C．三个内角之比为1：2：3D．三边之比为1：2：【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、根据三角形内角和定理，求得第三个角为90°，所以此三角形是直角三角形；D、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．22．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3B．三边长之比为3：4：5C．三边长分别为1，，D．三边长分别为5，12，14【分析】根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．23．下列各组数分别为三角形的三边长：①2，3，4：②5，12，13：③，，；④m2﹣n2，m2+n2，2mm（m＞n），其中是直角三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】先分别求出两个小数的平方和，再求出大数的平方，看看是否相等即可．【解答】解：∵22+32≠42，∴此时三角形不是直角三角形，故①错误；∵52+122＝132，∴此时三角形是直角三角形，故②正确；∵（）2+（）2＝（）2，∴此时三角形是直角三角形，故③正确；∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，∴此时三角形是直角三角形，故④正确；即正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．24．下列线段不能构成直角三角形的是（）A．0.6，0.8，1B．25，20，15C．1，2，D．2k，3k，k（k＞0）【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、由0.62+0.82＝12知能构成直角三角形；B、由152+202＝625＝252知能构成直角三角形；C、由12+22＝5＝（）2知能构成直角三角形；D、由（2k）2+（k）2＝10k2≠（3k）2知不能构成直角三角形；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．25．△ABC的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝∠B+∠CC．a2＝（b+c）（b﹣c）D．a：b：c＝1：2：【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；B、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴b2﹣c2＝a2，故△ABC为直角三角形；D、∵12+（）2＝22，∴△ABC为直角三角形；故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．26．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．【点评】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．27．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B【分析】根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形；根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵b2﹣c2＝a2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；B、∵32+42＝52，∴△ABC为直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝9：12：15，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；D、∵∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．28．有以下三角形：①三角形三边之比为2：3：2；②三角形的三边为3，4，5；③三角形三个角分别为20°，70°，90°；④三角形三个角的比为1：2：3．其中不是直角三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4【分析】根据题目中各个小题的说法可以判断三角形的形状，从而可以解答本题，注意问题是“不是”直角三角形的个数．【解答】解：∵（2a）2+（2a）2＝8a2≠（3a）2，故①不是直角三角形，∵32+42＝52，∴三角形的三边为3，4，5的三角形是直角三角形，故②是直角三角形，∵三角形三个角分别为20°，70°，90°，∴该三角形是直角三角形，故③是直角三角形，∵三角形三个角的比为1：2：3，∴该三角形的三个角是30°、60°、90°，故④是直角三角形，故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的三角形的形状．29．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a＝，b＝，c＝；②a＝b，∠A＝45°；③a＝2，b＝2，c＝2；④∠A＝27°，∠B＝63°⑤a＝9，b＝12，c＝15A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵，可得三角形不是直角三角形，故①错误；∵a＝b，∠A＝45°，可得∠B＝45°，所以三角形是直角三角形，故②正确；∵，所以三角形是直角三角形，故③正确；∵∠A+∠B＝27°+63°＝90°，所以三角形是直角三角形，故④正确；∵92+122＝152，所以三角形是直角三角形，故⑤正确；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．30．a、b、c为△ABC三边，不是直角三角形的是（）A．a2＝c2﹣b2B．a＝6，b＝10，c＝8C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B﹣∠C【分析】利用勾股定理的逆定理判断A、B、D选项，用直角三角形各角之间的关系判断C选项．【解答】解：A、∵a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，故本选项正确；B、∵62+82＝102，∴a2+b2＝c2，故本选项正确；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°，∴5x＝5×15°＝75°＜90°，故本选项错误；D、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2（∠A+∠C）＝180°，即∠A+∠C＝90°，故本选项正确．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．31．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c2【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形．D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．32．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．【解答】解：A、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；B、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．C、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；D、正确，12+（）2＝22符合勾股定理的逆定理，故成立；故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．33．已知△ABC的三边分别为a、b、c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：：2C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．。

初中数学试卷3.2 勾股定理的逆定理一．选择题（共7小题）1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，72．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：63．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（）A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：b：c=1：2：C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=106．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：∠B：∠C=5：3：2二．填空题（共7小题）8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为______．9．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是______．10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=______度．11．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是______（只填数，不填等式）12．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为______cm2．13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为______．14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和______组成一组勾股数．三．解答题（共8小题）15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，5 32+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c219．在△ABC中，c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形；当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC 的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为______三角形．（2）猜想，当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．21．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？22．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=______，b=______，c=______；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．参考答案一．选择题（共7小题）1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形【分析】先把等式化为a2﹣b2=c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=c2，∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C．【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（）A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：b：c=1：2：C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=10【分析】根据选项中的数据，由勾股定理的逆定理可以判断a、b、c三边组成的三角形是否为直角三角形．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a﹣c），∴b2=a2﹣c2，∴b2+c2=a2，∴能构成直角三角形，故选项A错误；B、∵a：b：c=1：2：，∴设a=x，则b=2x，c=x，∵x2+（x）2=（2x）2，∴能构成直角三角形，故选项B错误；C、∵a=32，b=42，c=52，∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，∴不能构成直角三角形，故选项C正确；D、∵a=6，b=8，c=10，62+82=36+64=100=102，∴能构成直角三角形，故选项D错误；故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理时，可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：∠B：∠C=5：3：2【分析】由三角形内角和定理得出条件A和B是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件C是直角三角形，B不是；即可得出结果．【解答】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；B、设a=20k，则b=15k，c=12k，∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a）（b﹣a）=c2，∴b2﹣a2=c2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∴∠A=×180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．二．填空题（共7小题）8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为 4.8．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8．【点评】本题考查的是直角三角形的判定定理及三角形的面积公式，比较简单．9．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是480．【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长即可求得x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【解答】解：设三边的长是5x，12x，13x，则5x+12x+13x=120，解得：x=4，则三边长是20，48，52．∵202+482=522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48=480．故答案是：480．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，正确判断三角形是直角三角形是关键．10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=90度．【分析】根据面积得出AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵S1=3，S2=2，S3=1，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，故答案为：90．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理的应用，能根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．11．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．12．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为等腰直角三角形．【分析】由于（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，利用非负数的性质可得a=b，且a2+b2=c2，根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理可得以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．【解答】解：∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0，∴a=b，且a2+b2=c2，∴以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质．14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．【分析】根据勾股数的定义可得要求的数是852﹣842，再进行计算即可．【解答】解：∵852﹣842=132，∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．三．解答题（共8小题）15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】解：∵42+32=52，52+122=132，即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC 的面积可得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×=2，∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD=×4×+×4×8=4+16．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．【解答】（1）证明：连接CE，如图，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE=BE…（2分）∵BE2﹣EA2=AC2，∴CE2﹣EA2=AC2，∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；（2）解：∵DE=3，BD=4，∴BE==5=CE，∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，∵BC=2BD=8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c2【分析】（1）根据表格找出规律再证明其成立；（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．【解答】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．【点评】本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理；解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．19．在△ABC中，c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形；当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC 的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．【分析】分三种情况：①△ABC是直角三角形；②△ABC是钝角三角形；③△ABC是锐角三角形．【解答】解：∵a=2，b=4，∴a2+b2=22+42=20．分三种情况：①△ABC是直角三角形时，a2+b2=c2，c2=20，c=2；②△ABC是钝角三角形时，a2+b2＜c2，且a+b＞c，即20＜c2，且6＞c，解得2＜c＜6；③△ABC是锐角三角形时，a2+b2＞c2，且b﹣a＜c，即20＞c2，解得﹣2＜c＜2，∵c为最长边，∴c≥4．故4≤c＜2．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形形状的判断及学生的阅读理解能力．20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形．（2）猜想，当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据（1）中的计算作出判断即可；（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．21．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【解答】解：由题意得，OB=12×1.5=18海里，OA=16×1.5=24海里，又∵AB=30海里，∵182+242=302，即OB2+OA2=AB2∴∠AOB=90°，∵∠DOA=40°，∴∠BOD=50°，则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．22．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．【分析】（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．【解答】解：（1）由题意有：n2﹣1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2﹣1，b=2n；c=n2+1∴a2+b2=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．【点评】本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．。