二项式定理单元训练试1

百度文库 - 让每个人平等地提升自我1 §1.3.3 二项式定理（练习）学习目标1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况.学习过程一、课前准备复习：⑴ b a )(+＝展开式中r n C 叫做第 项的 系数，通项公式是 ，展开式中共有 项.⑵ 二项式系数的三个性质：<1>对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是<2> 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是和 ，二项式系数都取得最大值.<3> 各二项式系数的和：基础练习：1.求()102332b a -的展开式的第8项2.求1233⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的中间一项3.求10211⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的含51x 的项 4.求45)31(21x x +-）（展开式中按x 的升幂排列的第3项 5.求 18319⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式的常数项 6.已知n x )1(+的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n7. 求()()10211x x x -++展开式中的4x 的系数.学后反思：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

《二项式定理》综合训练一、选择题（共17小题）1、（2011•天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A、B、C、D、2、（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A、﹣1B、0C、1D、23、（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A、20B、40C、80D、1604、（2009•浙江）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A、﹣10B、10C、﹣5D、55、（2007•浙江）展开式中的常数项是（）A、﹣36B、36C、﹣84D、846、（2004•浙江）若的展开式中存在常数项，则n的值可以是（）A、10B、11C、12D、147、（2005•陕西）在（x﹣1）（x+1）8的展开式中x5的系数是（）A、﹣14B、14C、﹣28D、288、（2005•重庆）若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为﹣5，则n等于（）A、4B、6C、8D、109、若的展开式中的常数项是65，则a的值为（）A、﹣2B、﹣1C、1D、210、若二项式的展开式中的常数项为﹣20π3（π为无理数），则∫0a sinxdx=（）A、﹣2B、0C、1D、211、若（3x+1）5=a5x5+a4x4+…+a1x+a0，则a2的值为（）A、270B、270x2C、90D、90x212、设f（x）=（2x+1）6，则f（x）的导函数f′（x）展开式中x3的系数为（）A、960B、480C、240D、16013、在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）2005的展开式中，x3的系数等于（）A、C20054B、C20064C、C20053D、C2006314、若在（x+1）4（ax﹣1）的展开式中，x4的系数为15，则a的值为（）A、﹣4B、C、4D、15、在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A、15B、20C、30D、12016、二项式（1﹣x）4n+1的展开式中，系数最大的项是（）A、第2n+1项B、第2n+2项C、第2n项D、第2n+1项和第2n+2项17、设（a﹣b）n的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是（）A、第5项B、第4、5两项C、第5、6两项D、第4、6两项二、填空题（共13小题）18、（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为_________．（结果用数值表示）19、（2010•四川）的展开式中的第四项是_________．20、（2010•辽宁）的展开式中的常数项为_________．21、（2009•湖北）已知（1+ax）3=1+10x+a2x2+bx3+…+a n x n，则a2=_________．22、（2010•湖北）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有_________项．23、（2008•辽宁）展开式中的常数项为_________．24、（2004•上海）若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_________．（结果用分数表示）25、（2004•安徽）若的展开式中常数项为﹣20，则自然数n=_________．26、若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为_________．27、在（1﹣x2）20展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，则r=_________，T4r=_________．28、的展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则展开式中含x3的项是第_________项．29、已知n为正偶数，且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是_________（用数字作答）30、在（n∈N*）的展开式中，所有项的系数之和为64，则的系数是_________．（用数字作答）答案与评分标准一、选择题（共17小题）1、（2011•天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A、B、C、D、考点：二项式定理。

⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。

（完整版）二项式定理单元测试题二项式定理单元测试题（人教B 选修2-3）一、选择题1．设二项式?33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2.?x 2＋1x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 解析：∵T r ＋1＝C n r (x 2)n －r －1x r ＝(－1)r C n r x 2n －3r ，又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C n r ＝15，∴n ＝6.故选D. 答案： D3．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4 解析： (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x 的系数是－10＋12＝2.答案： C4．在?x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154 C ．－38D.38解析：该二项展开式的通项为T r ＋1＝C 6r x 26－r ·－2x r＝(－1)r C 6r ·126－2r ·x 3－r .令3－r ＝2，得r ＝1. ∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2.答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7 B ．0 C ．－1D ．－2解析：原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)．答案： A6．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5解析：令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 00410．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－1011．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．解析：(1－x)20的二项展开式的通项公式T r＋1＝C20r(－x)r＝C20r·(－1)r·x r2，令r2＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令r2＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.答案：012．若x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析： T r ＋1＝C 6r x 6－r (－a )r x －2r ＝C 6r (－a )r x 6－3r ，∴令r ＝2得x －a x 26的常数项为C 62a ，∴令C 62a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知?x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．解析：由题意：2C n 1·12＝1＋C n 2·122，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴T r ＋1＝C 8r (x )8－r ·? ??－124x r ＝－12r ·C 8rx 8－r 2·x r 4＝(－1)r C 8r 2r ·x 16－3r 4(0≤r ≤8，r ∈Z )(1)若T r ＋1是常数项，则16－3r 4＝0，即16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项； (2)若T r ＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C m 1·2x ＋C n 1·4x ＝(2C m 1＋4C n 1)x ，∴2C m 1＋4C n 1＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为 t ＝C m 222＋C n 242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 ＝16?n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272，此时n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C 11r x 11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 115x 6y 5， T 7＝C 116x 5y 6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项： T 6＝－C 115x 6y 5，T 7＝C 116x 5y 6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 116x 5y 6； (5)项的系数最小的项为T 6＝－C 115x 6y 5；(6)二项式系数的和为C 110＋C 111＋C 112＋…＋C 1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.。

二项式定理训练题一、题点全面练1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟) A.－32C.6解析：选D 通项T r ＋1＝C 3 r⎛24⎫32－x ⎪的展开式中的常数项为()⎝x ⎭B.32D.－6⎛2⎫3－r 4r r 3－r r －6＋6r ·(－x )＝C 3(2)·(－1)x ，当－6＋6r ＝0，2⎪⎝x ⎭a 2＋a 4的值为()a 1＋a 3即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 5x ，则61A.－603C.－4525122B.－12190D.－121142332解析：选C由二项式定理，得a 1＝－C 52＝－80，a 2＝C 52＝80，a 3＝－C 52＝－40，a 4＝C 52＝10，所以4a 2＋a 43＝－.a 1＋a 3423.若二项式 x ＋⎪的展开式的各项系数之和为－1，则含x 项的系数为()x ⎛⎝a ⎫72⎭A.560C.280B.－560D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式 x ＋⎪的展开式的各项系数之和为(1＋a )，即(1＋a )x ⎛⎝2a ⎫777⎭⎛22⎫7⎛2⎫r r 27－r ＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式 x －⎪的展开式的通项T r ＋1＝C 7·(x )· －⎪＝⎝x ⎭⎝x ⎭C 7·(－2)·x 44r r 14－3r ⎛22⎫72.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式 x －⎪的展开式中含x 项的系数⎝x ⎭为C 7·(－2)＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.2C.246119n B.2D.2n 1210解析：选A由题意得C n ＝C n，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2－1＝2.92⎫9⎛15.二项式 －2x ⎪的展开式中，除常数项外，各项系数的和为()⎝x ⎭A.－671C.672B.671D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式r ⎛1⎫9－r 2r r r 3r －9为T r ＋1＝C 9 ⎪·(－2x )＝C 9(－2)·x ，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中x ⎝⎭的常数项为C 9(－2)＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )(2x ＋1)的展开式中，含x 项的系数为()A.－5C.－2545433 B.－15D.2534解析：选B 由题意含x 项的系数为－2C 5＋C 5＝－15.⎛1⎫10267.(2018·枣庄二模)若(x －a ) x ＋⎪的展开式中x 的系数为30，则a 等于()⎝x ⎭1A.3C.11B.2D.2⎛1⎫10⎛1⎫r r r 10－r 10－2r 解析：选D x ＋⎪的展开式的通项公式为T r ＋1＝C 10·x · ⎪＝C 10·x ，令10x x ⎝⎭⎝⎭－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 项的系数为C 10.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 项的系数为436⎛1⎫1022632C 10.所以(x －a ) x ＋⎪的展开式中x 的系数为C 10－a C 10＝30，解得a ＝2.⎝x ⎭8.若(1＋mx )＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 6x ，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为()A.1或3C.16626 B.－3D.1或－36解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)＝1.令x ＝1，得(1＋m )＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 62(－1)＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟) x ＋⎪的展开式中x 的系数为－84，则展开式的各项系数之和为x 63336⎛⎝a ⎫93⎭________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C 9x r 9－r ⎛a ⎫r ＝a r C r x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 3＝ x ⎪99⎝⎭⎛1⎫99－84，解得a ＝－1，所以二项式为 x －⎪，令x ＝1，则(1－1)＝0，所以展开式的各项系⎝x ⎭数之和为0.答案：0⎛1⎫511. x ＋＋1⎪展开式中的常数项为________.⎝x ⎭⎛x ＋1＋1⎫5展开式的通项公式为T ＝C r ·⎛x ＋1⎫5－r .令r ＝5，5解析：得常数项为C 5＝1， ⎪r ＋15 ⎪⎝x ⎭⎝x ⎭令r ＝3，得常数项为C 5·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 5·C 4＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：51312⎛x ＋1⎫⎪n的展开式中，前三项的系数成等差数列.12.已知 4⎪ 2x ⎭⎝(1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.11120解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C n ，C n ，C n，2411012由已知得2×C n ＝C n ＋C n ，解得n ＝8(n ＝1舍去).24⎛x ＋1⎫⎛1⎫3r 8r 8－r ⎪的展开式的通项T r ＋1＝C 8(x )· ⎪r ＝2－r C r (2) (r ＝0,1，…，8x 4－4⎪4⎪ 42x ⎭⎝⎝2x ⎭8)，3r 354要求有理项，则4－必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x ，T 5＝x ，48T 9＝12.256x (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2C 8，－r r a r ＋12C 89－r 则＝－r －r －1＝≥1，a r 2C 82r －r ra r ＋12C 8＝＋1＝a r ＋22－r ＋C r 8－r r r ＋8－r≥1，解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2C 8＝7，当r ＝3时，a 4＝2C 8＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，－22－33二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分⎛1⎫n21.在二项式 x －⎪的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 项的⎝x ⎭系数是()A.35C.－56B.－35D.56⎛1⎫8解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式 x －⎪展开式的通⎝x ⎭项公式为T r ＋1＝C 8x 33r8－r (－x )＝(－1)C 8x －1r r r 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 项2的系数是(－1)C 8＝－56.2.已知C n －4C n ＋4C n －4C n ＋…＋(－1)4C n ＝729，则C n ＋C n ＋…＋C n 的值等于()A.64C.63012233012233n n n 12n B.32D.31n n n n 6解析：选C 因为C n －4C n ＋4C n －4C n ＋…＋(－1)4C n＝729，所以(1－4)＝3，所以n ＝6，因此C n ＋C n ＋…＋C n＝2－1＝2－1＝63.1⎫5⎛a ⎫⎛43.(2019·济南模拟) x －⎪2x －⎪的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 12n n 6⎝x ⎭⎝x ⎭项的系数为________.a ⎫⎛1⎫5⎛x －2x －解析：令x ＝1，可得 的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，⎪x ⎪⎝x ⎭⎝⎭1⎫51⎫5⎛1⎫⎛⎛435则 x ＋⎪2x －⎪展开式中含x 项的系数即是 2x －⎪展开式中的含x 项与含x 项系数的和.⎝⎝x ⎭⎝x ⎭⎝x ⎭1⎫5⎛r r 5－r 5－2r 又 2x －⎪展开式的通项为T r ＋1＝C 5(－1)·2·x ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝x ⎭5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 项与含x 项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 项的系数为－80＋32＝－48.答案：－48(二)交汇专练——融会巧迁移2i12233 2 01924.[与复数交汇]设复数x ＝(i 是虚数单位)，则C 2 019x ＋C 2 019x ＋C 2 019x ＋…＋C 2 019x 1－i019435＝()A.iC.－1＋i2i解析：选D 因为x ＝＝1－i－B.－i D.－i －1＋＋＝－1＋i ，所以C 2 019x ＋C 2 019x ＋C 2 019x 12233＋…＋C 2 019x 2 0192 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)9 2 019－1＝i 2 2 019－1＝－i －1.925.[与导数交汇]已知(x ＋2)＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 9x ，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)的值为()A.3C.3921192 B.3D.3981210解析：选D 对(x ＋2)＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 9x 两边同时求导，得9(x ＋2)＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x ＋…＋8a 8x ＋9a 9x ，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝3，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝3.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝3.1222227810⎛21⎫66.[与定积分交汇]设a ＝⎛12x d x ，则二项式 ax －⎪展开式中的常数项为________.⎠⎝x ⎭⎪⎛21⎫6⎛21⎫6解析：a ＝⎛1 2x d x ＝x ⎪＝1，则二项式 ax －⎪＝ x －⎪，其展开式的通项公式为T rx ⎭⎝x ⎭⎝⎪0⎠2＋11＝C 6(x )r 26－r ⎛1⎫r r r 12－3r 44· －⎪＝(－1)C 6x ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)C 6＝15.⎝x ⎭答案：15。

选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n － 1D ．2(n ＋1)2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 ()A ．C rr ＋1nB ．C nr －1D ．(－ 1) r －1 r －1C ．C n C n．在 － 10 的展开式中， x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A ．－ 27C 10B ．27C 106 4C ．－ 9C 10D ．9C 104．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2x)3(1－ 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A ．－ 4B ．－ 2C ．2D ．45．在 2x 3＋ 12 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ( )x (n N )A ．3B ．5C ．8D ．10．在 － 3 ＋ x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A ．－ 297 B ．－ 252C ．297D ．2077．(2009 北·京 )在 x 2－1 n的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是x()A ．3B ．4C ．5D ．6a 53的系数为 10，则实数 a 等于8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x ()19．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是()11 1 1A.12＜ x ＜ 5B.6＜x ＜51 21 2C.12＜ x ＜ 3D.6＜x ＜5．在3120的展开式中，系数是有理数的项共有 ()102x － 2A ．4 项B ．5 项C ．6 项D ．7 项二、填空题． ＋ ＋ 2·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1． ＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________． 12 (1 x) (12 ＋ 1 63 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ，则 a ＝________(用数字作答 )．13 ax 2． ·宁理，辽 ＋ ＋ 2－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15．求二项式 (a ＋2b)4的展开式．16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．17．已知在 (3x －1)n 的展开式中，第 6 项为常数项．3(1)求 n ；(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．118．若x ＋4n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x大的项．1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10－ r(－ 3) r.令 10－r ＝ 6，∵ T r ＋1 ＝C 10x解得 r ＝ 4.∴系数为 (－4443) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－3x)5，故(1＋ 2 33 5 3 (－ 3 3 0＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n － r1 rn － rr 3n － 5r[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2) ＝ 2·C n x .令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n － r1 rr r 2n －3rr通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6时， r ＝4 合题意，故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5－ rr 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x4由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1＜ x ＜1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320－ r－ 1 r 2 r320－ r r20－r[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝ － 2·( 2) C 20·x ，∵系数为有理数，20－ r∴( 2)r与 2 3 均为有理数，∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.∴ r ＝ 2,8,14,20.11[答案 ] － 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一： 先 形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数 －1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；3331222 1－1)＝ 5.解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) ＝ a 3 x＝ 2x ， ∴a ＝2.14[ 答案 ] －51[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )61 1 1 ＝(x －x)6＋ x (x － x )6＋x 2(x －x )6，1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x － x )中的常数 ，x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x－ (－ 1) x －r＝ C 6( －1) x－，令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，令 6－ 2r ＝－ 1，无解．令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.∴常数 －34C6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理n0 n 1 n －1k n － k kn n(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *.m ＝1 m ＝2 m ＝ 18∴ ， ， ⋯，n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 1722 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m∴当 m ＝9 或 10 ， x2的系数取最小7 的系数 7781，此 xC 9＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r(1)T r ＋1 ＝C n ·( )2 3xr1 n － r1 ·x － 1 ) r＝C n ·(x )·(－332＝( －1)r ·C r ·xn － 2r. n23∵第 6 常数 ，n －2r∴r ＝ 5 时有 ＝ 0， ∴n ＝ 10.3n －2r1(2)令3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝4 .210－ 2r∈Z(3)根据通项公式，由题意得：30≤ r ≤ 10r ∈Z10－2r＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ， 令310－3k 3 即 r ＝2 ＝5－2k.∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．21 22 51 5它们分别为 C 10·(－2)·x ，C 10(－2) ，C 8 ·(－1)8·x － 2. 102rn － r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 22 11 1由已知条件知： C n ＋C n ·2n ·，解得： n ＝ 8.2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.又 t ＝C r － 1·2－r ＋1，于是有：r8k 1 ·2－k ＋1 k·2－k C 8－≥C 8k 1 ·2－k ＋1k 2 ·2－ k ＋ 2 C 8－≥C 8－8！ × 2≥ 8！( k －1)！ ·(9 －k) ！ ，k ！ (8－k)！ 即8！8！≥( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.(k － 2)！·(10－ k) ！2≥1，9－ kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.。

最新排列组合二项式定理单元测试题(带答案)精品文档排列、组合、二项式定理与概率测试题（理）一、选择题1、2008年北京奥运会的会徽中，“中国印”的外边由四个色块构成，用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有（）。

A。

8种B。

12种C。

16种D。

20种2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（）。

A．96种B．180种C．240种D．280种3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a、b两种必须排在一起，而c、d两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（）。

A．12种B．20种C．24种D．48种4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）。

A。

10种B。

20种C。

30种D。

60种5、设a、b、m为整数（m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余。

记为a≡b(mod 2m)。

已知a=1+C12+C322+…+C，b≡a(mod 10)，则b的值可以是（）。

A。

2015B。

2011C。

2008D。

20066、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分。

积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)。

赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（）。

A。

22种B。

23种C。

24种D。

25种7、令an为(1+x)^(n+1)的展开式中含x^n项的系数，则数列{an}的前n项和为（）。

A。

n(n+3)/2B。

n(n+1)/2C。

n/2D。

(n+1)/28、若(x+1)^5=a+a1(x-1)+a2(x-1)^2+。

+a5(x-1)^5，则a=（）。

A。

32B。

1C。

-1D。

⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练（含答案）⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

满分100分。

考试时间90分钟。

２、考⽣请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）⼀．单选题（每题,3分，39分）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．72、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-424．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．1905．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-156．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-108．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-109、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．5610．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-212．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．713．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240第Ⅱ卷（⾮选择题）⼆．填空题（14-25题，每题3分，26-30题5分，共61分）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．16．（x2-）5展开式中的常数项为______．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．18、的展开式中x的系数是______．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．20、的展开式中的第四项是______．21．（x-）4的展开式中的常数项为______．22、的展开式中x2的系数为______．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．24．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．28．（1-）4展开式中的系数是______．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．30．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．参考答案⼀．单选题（共__⼩题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为??为常数项，则n=10，故选：A．2、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．答案：B解析：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-42答案：A解析：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A4．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴⼜∴a=cos2xdx=2∵==由⼆项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．5．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-15答案：A解析：解：设（x-1）6的⼆项展开式的通项为T r+1，则T r+1=?x6-r（-1）r，令6-r=3得r=3，∴x3的系数是（-1）3?=-20．故选A．6．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：⼆项式的⼆项展开式的通项公式为=T r+1=??=（-1）r??32r-6?．令x的系数=2，解得=r=1，故x2的系数为-1×6×=-，故选B．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-10答案：D解析：解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是=1×+（-2）?=-10，故选D．8．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-10答案：A解析：解：∵⼆项式（）n的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n，⼜各项⼆项式系数之和为N，故N=2n，⼜M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设⼆项式（）5的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?35-r?（-1）r?，令-（5-r）+r=2得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为?（-1）3?35-3=-90．故选A．9、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．56答案：B解析：解：展开式的通项为令解得r=2故展开式中含x项的系数是C82=28；故选B．10．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项答案：C解析：解：由于（x-1）10展开式的通项公式为?x10-r?（-1）r，故当r=4，或r=6时，展开式中系数最⼤为，即第五项和第七项得系数最⼤，故选C．11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-2答案：D解析：解：在（ax-1）6的⼆项展开式中，中间项是第四项，由通项公式求得中间项的系数是?a3?（-1）3=160，∴a=-2，故选D．12．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：解：∵（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，∴n=6．故选C．13．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240答案：D解析：解：∵a==（x3-x2）=4-0=4，则⼆项式=的通项公式为T r+1=?（-1）r?46-r?x12-3r，令12-3r=0，求得=r=4，可得展开式中的常数项为?42=210，故选：D．⼆．填空题（共__⼩题）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．答案：45解析：解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之⽐为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10-i（-）i=（-1）i C10i=，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45，故答案为：45．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．答案：841解析：解：设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?a9-r??x-（9-r）+r，令2r-9=3，解得r=6，∴x3的⼆项式系数为==84；⼜的展开式中x3的系数为，∴×a3×84=，∴a3=1，∴a=1．故答案为：84，1，116．（x2-）5展开式中的常数项为______．答案：40解析：解：（x2-）5展开式中的通项公式为=T r+1=?x10-2r?（-2）r?x-3r=（-2）r??x10-5r，令10-5r=0，r=2，故展开式的常数项为=4?=40，故答案为=40．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．答案：-6解析：解：∵（1+2x）3（1-x）4展开式中x2项为C3013（2x）0?C4212（-x）2+C3112（2x）1?C4113（-x）1+C3212（2x）2?C4014（-x）0∴所求系数为C30?C42+C31?2?C41（-1）+C32?22?C4014=6-24+12=-6．故答案为：-6．18、的展开式中x的系数是______．答案：-4解析：解：∵=（1-x）4，它的展开式的通项公式为=T r+1=?（-x）r，令r=1，可得展开式中x的系数是-4，故答案为-4．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．答案：240x464解析：解：（1-2x）6展开式的第五项为?（-2x）4=240x4，∴f（x）=240x4．所有⼆项式系数的和为=2n=26=64，故答案为=240x4、64．20、的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．（x-）4的展开式中的常数项为______．答案：6解析：解：的通项为=（-1）r C4r x4-2r令4-2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为622、的展开式中x2的系数为______．答案：7解析：解：因为的展开式的通项公式为：=，当8-2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．答案：5解析：解：展开式的通项T r+1=（-1）r2n-r C n r x2n-5r其中r=0，1，2，3…n令2n-5r=0得到当r=2时n最⼩为5故答案为524．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．答案：-160解析：解：因为=20×8×（-1）=-160．所以展开式中常数项是-160．故答案为：-160．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．答案：161解析：解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）=-1-1=-2，∴（x2+）6=（x2-）6的通项公式为=T r+1=?（-2）r?x12-2r，令12-2r=6，求得r=3，故含x6项的系数为-×23=-160．由于所有项的系数和为（1-2）6=1，故不含x6项的系数和1+160=161，故答案为：161．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）答案：84解析：解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9-2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．28．（1-）4展开式中的系数是______．答案：-8解析：解：（1-）4展开式的通项公式为T r+1=?（-2）r?x-r，令-r=-1，可得r=1，故展开式中的系数是?（-2）=-8，故答案为：-8．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．答案：-14解析：解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（-2）×C71=-14故答案为-1430．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．答案：20解析：解：⼆项式展开式的通项为T r+1=C6r?x6-r?（-）r=（-1）r?C6r?，令=3，解可得r=2，当r=2时，T3=（-1）2?C62?x3=20x3，即x3项的系数为20；故答案为20．。

一、单选题
1. 二项式的展开式的第3，4，5项之和是（）．
A．460 B．140
C．D．
2. 的二项展开式中第三项是（）
A．B．240 C．D．
3. 设，则下列结论中错误的是（）.
A．
B．
C．，，，…，中最大的是
D．当x=999时，除以2000的余数是1
4. 若，则（）
A．15 B．6 C．-15 D．-6
5. 展开式中的系数为（）
A．B．3. C．D．15
6. 的展开式中，的系数是（）
A．120 B．-120 C．60 D．30
二、多选题
7. 若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m的值为（）
A．1 B．－1
C．－3 D．3
8. 已知，则（）
A．B．
C．D．
三、填空题
9. 已知，则______．
10. 已知，则______.
11. 在的展开式中项的系数为______．（结果用数值表示）
12. 的展开式的第8项的系数为_________（结果用数值表示）.
四、解答题
13. 写出的展开式．
14. 已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求的值；
(2)求的展开式的中间两项.
15. 已知展开式中的第四项为常数项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有项的系数和以及所有项的二项式系数和．
16. 写出的展开式的第项.。

二项式定理（习题含答案）二项式定理一、求展开式中特定项1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为，4、二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填．6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrrr x C x x C T 65153********--+?==30......2,1,0=r =r 2531 ()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r r r T C x -+=2r =2 510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420 sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2rr r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=n x x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a 8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为．13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x-21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++017a a a +++1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70127(12)1a a a a -=++++=-0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70(10)1a -==12711a a a ++++=-1272a a a +++=-*3)()n n N ∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- 1238a a a a ++++=0 (sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r=（﹣1）r54﹣r．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++01281a a a a ++++=0x =80128(120)000a a a a -?=+?+?++?01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=- 178a a a +++=255178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，．23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A或1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ．24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n6=n 4r+14T =C r r r a x -43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r r r T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2312(21)22222225418721 n nn n n +-++++= =-=?+=?=-。