福建 安徽版01期 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编 专题12 概率和统计 Word原卷版

2014年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、144、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、406、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、610、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求、解答：解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴、故选：C、点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题、2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可、解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A、点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题、3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、14分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C、点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题、4、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可、解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误、故选：B、点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、40分析：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15、∴输出S=20、故选：B、点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键、6、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立、若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立、故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键、7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可、解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确、故选：D、点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题、8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可、解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能、选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能、选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能、故选：B、点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题、9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、6分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离、解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6、故选：D、点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题、10、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决、解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5、故选：A、点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题、二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1、分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值、解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小、此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2、分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积、解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=、故答案为：、点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积、正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求、解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题、14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率、解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为、故答案为：、点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6、分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论、解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个、点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、分析：（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可、解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z、点评：本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系、设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出、解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD、（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系、∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M、∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=、设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1、∴=（1，﹣1，1）、设直线AD与平面MBC所成角为θ、则sinθ=|cos|===、点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决、解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X6020P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案、对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X16020100PX1的数学期望为E（X1）=、X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=、由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2、点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1、当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，程联立，利用由S△OAB从而可得答案、解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2、所以=2、故c=a，从而双曲线E的离心率e==、（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1、设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1、以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件、设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，=|OC|•|y1﹣y2|得：由S△OAB|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）、由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点、因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1、点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜e x，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a、又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2、由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4、f（x）无极大值、（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、证明如下：令h（x）=x3﹣e x，则h′（x）=x2﹣e x、由（2）知，当x＞0时，x2＜e x，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜e x，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜e x、因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、点评：该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、属难题、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量、解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为、点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出、解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4、由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=、∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2、点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得、解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3、点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、。

一．基础题组1．【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】若集合{|0}1xA x x =≤-,2{|2}B x x x =<,则A B =（ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤2．【安徽省屯溪一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知{{},sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=P Q （ ）．A ．∅B ． {}0C ． {}1,0-D ． {-3．【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查（理）】命题“21,1x x ∀>>”的否定是 （ ）A ． 21,1x x ∀>≤B ． 21,1x x ∀<≤C ． 2001,1x x ∃>≤D ． 2001,1x x ∃<≤【答案】C 【解析】试题分析：由全称命题的否定知，命题“21,1x x ∀>>”的否定为“2001,1x x ∃>≤”．考点：命题的否定4．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考（理）（理）】已知集合},2{},2{2<=<=x x Q x x P 则 ( )A ．Q P ⊆B ．Q P ⊇C ．Q C P R ⊆D ．P C Q R ⊆5．【福建省漳州市四地七校2013届高三6月模拟考数学（理）】已知集合1{2,1,0,1,2},{|39,},3x M P x x R =--=<<∈则M P =（ ）A ．{0,1}B ．{-1,0}C ．{-1,0,1}D ．{-2,-1,0,1,2}6．【安徽省屯溪一中2014届高三第一次月考数学（理）】下列说法错误的是（ ） A ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠； B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件； C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题． 【答案】B 【解析】7．【2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】已知函数()af x x x=+，则“4a =”是“函数()f x 在(2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．【安徽省2013年马鞍山三模（理）】设集合2{|40}A x x =->，{|21}x B x =<，则A B =（ ） （A ）{|2}x x >（B ）{|2}x x <- （C ）1{|}2x x <（D ）{|22}x x x <->或9．【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】集合3{|1}A x N x=∈≥，3{|log (1)1}B x N x =∈+≤，S A ⊆，SB φ≠，则集合S 的个数为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8 【答案】C10．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考（理）（理）】“22a b>”是“22log log a b >”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考（理）（理）】已知命题p ：x ∀∈[0,l],x a e ≥，命题"04,:"2=++∈∃a x x R x q 若命题“q p ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】4≤≤a e ． 【解析】试题分析：由已知命题“q p ∧”是真命题，,p q ∴都是真命题．由p 是真命题可得()[]()max0,1x a e e x ≥=∈．q 是真命题，则240x x a ++=有实数解，1640,4a a ∴∆=-≥∴≤．综上4e a ≤≤．考点：常用逻辑用语．二．能力题组12．【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】下列有关命题的说法正确的是 ( )(A)命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． (B)“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．(C)命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． (D)命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．13．【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点．则下列集合中以1为聚点的有：①{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ；④{|2}x y y =（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②D ．①②④【答案】A 【解析】14．【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】在下列命题中, ①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件;②341()2x x+的展开式中的常数项为2;③设随机变量ξ~(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=,则1(10)2P p ξ-<<=-．其中所有正确命题的序号是（ ） A ．② B ．②③ C ．③D ．①③15．【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x x M ，则=M C N R ．【答案】[1,2] 【解析】试题分析：(,0)(2,)M =-∞⋃+∞ ,[1,)N =+∞ ． 则=M C N R [1,2] ． 考点：1．解不等式；2．集合的运算．三．拔高题组16．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考（理）（理）】(本小题满分13分)已知：全集R U =，函数()lg(3)f x x =+-的定义域为集合A ，集合{}02<-=a x x B（1）求A C U ；（2）若A B A = ，求实数a 的范围．试题解析：17．【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】（本小题满分12分）已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．18．【安徽省屯溪一中2014届高三第一次月考数学（理）】（本小题12分） 已知全集U=R ，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0． （1）当12a =时，求()U C B A ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x ︱934x ≤< }；（2）1a ≤- 或12a ≤≤ 【解析】试题分析：（1）首先接触集合A ，B ，然后求出U C B ,最后计算()U C B A ⋂即可；（2）若p q ⇒，。

一．基础题组1．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考（理）】若⎰=+123)3(dx kx x，则=k ________．2．【2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】已知函数()f x cos ,0,1,0,x x x ≥⎧=⎨<⎩，则22()d f x x π-⎰的值等于 ．3．【安徽省屯溪一中2014届高三第一次月考数学（理）】 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是 ．二．能力题组4．【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试数学（理）】,e π分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是 （ ） A ． ()2log log 2e e ππ+> B ． log log 1e e ππ>C ． ee e e ππ->- D ． ()()3334e e ππ+<+5．【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()0xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ）A ． (-2,0) ∪(2,+∞)B ． (-2,0) ∪(0,2)C ． (-∞,-2)∪(2,+∞)D ． (-∞,-2)∪(0,2) 6．【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学2013届高三下学期第二次联考数学试题（理）】函数()f x 具有下列特征：2()(0)1,(0)0,0,()0f x f f x f x x''''==>⋅>，则()f x 的图形可以是下图中的（ ）7．【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】已知函数)0(2)(23≠-+=a bx ax x f 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，则（ ）A ．当0<a 时，021<+x x ，021>x xB ．当0<a 时，021>+x x ，021<x xC ．当0>a 时，021<+x x ，021>x xD ．当0>a 时，021>+x x ，021<x x 8．【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为函数f (x )的导函数．已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是（ ）(A)(13，12)(B)(－∞，12)∪(3，＋∞) (C)(12，3)(D)(－∞，－3)9．【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查（理）】由直线12x =，2x =，曲线1y x=及x 轴所围成的图形的面积是 ． 10．【福建省漳州市四地七校2013届高三6月模拟考数学（理）】已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为 ．11．【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知3sin a xdx π=⎰，则71x x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 （用数字作答）．12．【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试数学（理）】设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点,,A B C ,且5AB BC =,则直线l 的方程为_________________。

一．基础题组1。

【安徽省屯溪一中2014届高三第一次月考数学(理）】下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ). A.x x f -=)(B.xx f 1)(=C 。

x x x f 22)(-=- D.x x f tan )(-=2．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考（理）】 已知：⎩⎨⎧-=-)1(log 2)(22x x f x(2)(2)x x ≤>则))5((f f 等于（ )A ． －1B ． 1C ． －2D ． 23．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考（理）】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是 ( ）A ． 32x y =B ． 1+=x yC ． 42+-=x yD ．xy -=2【答案】B ． 【解析】4.【安徽省2013年马鞍山三模（理）】下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ） （A)22cos sin y x x=- （B ）lg ||y x =（C ）2x xe e y --=（D ）3y x =5.【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题(理）】已知函数()y f x =的定义域为[1,2]-,则函数y f x =(log )2的定义域是（ ）（A ）［1，2］ (B)[0，4] (C ）(0，4] (D)［21，4］6.【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 ( )(A)0个 (B)1个 （C)2个 (D)3个【答案】C 【解析】试题分析：根据函数平移，将1y x= 的图像向右平移1个单位得到11y x =- 的图像，再画出ln y x = 的图像，观察即可.考点：1。

函数零点;2.函数的零点关系转化.7。

【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】给定函数①12y x =，②12log(1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=，其中在区间（0,1）上单调递减的函数序号是( ) （A)①② (B ）②③ （C ）③④D ．①④8．【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知函数21,1()2,1xx x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a 等于（ ）A ．12B ．43C ．2D ．49。

一．基础题组1。

【2013合肥二模（理)】从1到1O 这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．2。

【江南十校2014届新高三摸底联考（理)】已知集合(){},2,,,A x y x y x y Z =+≤∈集合(){}22,2,,,B x y xy x y Z =+≤∈在集合A 中任取一个元素a ，则a B ∈的概率是 ．3。

【2013合肥二模（理）】随机变量ξ﹣N （10，100)，若P （ξ＞11）=a ，则P(9＜ξ≤ll)= ．4。

【2013合肥二模（理)】某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实 验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行 评分，每项操作评分均按等级采用5分制（只打整数分），评分结果统计如下表：物理得分值y 学生数化学的分值x 1分 2分3分4分5分1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分 1 2 6 0 1 5分113（I)若随机抽取一名参加活动的学生，求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分"学生被抽取的概率；（II)从这50名参赛学生中任取1人,其物理实验与化学实验得分之和为ξ,求ξ的数学期望．5。

【安徽省寿县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理）试卷（实验A 班月考）】如右图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()sin ((0,))f x x x π=∈及直线((0,))x a a π=∈与x轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为163，则a 的值为（ ）A ．π127B ．π32C ．π43D ．π656.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学理试题】在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件；②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ~(0,1)N ，若(1)P pξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-。

一．基础题组1.【2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是（）A.300B.305C.315D.3202.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x甲、x乙，则下列判断正确的是（）A. x x<甲乙，甲比乙成绩稳定 B. x x<甲乙，乙比甲成绩稳定C. x x>甲乙，甲比乙成绩稳定 D. x x>甲乙，乙比甲成绩稳定6 7 7 58 8 8 6 84 0 9 3甲乙3．【福建省漳州市四地七校2013届高三6月模拟考数学（理）】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中,{0,1,2,3},||1,a b a b∈-≤若则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．516B ．58C ．916D ．384.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试数学（理）】已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足PH （ ） A ．8π B ．184π+C ．4π D ．144π+5.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】我们把形如“1234”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为（ ） A ．12 B ．512C ．13D ．146.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学2013届高三下学期第二次联考数学试题（理）】某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程 y bxa =+ 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ） A ．84分钟 B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟二．能力题组1.【安徽省2013年马鞍山三模（理）】从0,8中任取一数，从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）18（C ）12（D ）62.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学2013届高三下学期第二次联考数学试题（理）】已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=- ．3C π∠=，从圆O 内随机取一个点M ，若点M ABC ∆的形状．（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形3.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】给出下列五个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③一组数据为a ，0,1,2,3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3,b x y ===则1a =；⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90.其中真命题为（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．②③④D ．③④⑤4.【2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】在区间]2,0[上任取两个数a ，b ，能使函数()f x 1ax b =++在区间]1,1[-内有零点的概率等于________.5.【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查（理）】今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A 市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题： （Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；（Ⅱ）从该市市民中随机抽取X 位，若连续抽取到两位．．．．．．．愿意购买本地家禽的市民，或抽取的人数达到4位，则停止抽取，求X 的分布列及数学期望．6.【2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：（Ⅰ）从甲．抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）请你根据乙．抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？乙抽取的样本数据甲抽取的样本数据（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由. 下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）7.【安徽省2013年马鞍山三模（理）】（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6 ）． （Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．8.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学2013届高三下学期第二次联考数学试题（理）】(本小题满分13分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.9.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试数学（理）】（本小题满分12分）小明参加完高考后，某日路过一家电子游戏室，注意到一台电子游戏机的规则是：你可在1，2，3，4，5，6点中选一个，押上赌注a元。

一．基础题组1.【2014屯溪】下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）. A. x x f -=)( B. xx f 1)(=C.xx x f 22)(-=- D. x x f tan )(-= 2．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考】已知：⎩⎨⎧-=-)1(log 2)(22x x f x (2)(2)x x ≤>则))5((f f 等于( ) A ． －1B ． 1C ． －2D ． 23．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是 （ ）A ． 32x y = B ． 1+=x y C ． 42+-=x yD ． xy -=24.【2014马鞍山】下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（ ） （A ）22cos sin y x x =- （B ）lg ||y x = （C ）2x xe e y --=（D ）3y x =5.【2014阜阳】已知函数()y f x =的定义域为[1,2]-，则函数y f x =(log )2的定义域是（ ）(A)[1，2] (B)[0，4] (C)（0，4] (D)[21，4] 6.【2014阜阳】函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ） (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个7.【2014阜阳】给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）(A)①② (B)②③ (C)③④ D ．①④8．【2014安徽省示范一联】已知函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a 等于（ ） A ．12 B ．43C ．2D ．4 9.【2014屯溪】已知函数2211()1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若4)]0([2+=a f f ，则实数a 等于 ．10.【2014屯溪】某出租车公司规定乘车收费标准如下：3 k m 以内为起步价8元(即行程不超过3 k m ，一律收费8元)；若超过3 k m ，除起步价外，超过的部分再按1.5元/k m 计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱．已知该乘客下车时乘车里程数为7.4 k m ，则该乘客应付的车费为________．11．【2014福建华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考】命题：“2000,14x R x x ∃∈≤>或”的否定是________．12.【2014安徽六校教育研究会】设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)0(,log )0(,2)(2x x x x f x，则方程1()2f x =的解集为 。

2014届安徽省示范高中高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 【解析】(1)2f =，f (f (1))＝f (2)＝4＋2a,，由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2．故选C ．2．B 【解析】由题意可知向量OB 的模是不变的，所以当OB 与OA 同向时OA OB +最大，结合图形可知，max 1OA OB OA +=+=13+=．故选B ．3. C 【解析】法一：从0开始逐一验证自然数可知{}1,2,3A =，{}0,1B =，要使,S A S B φ⊆≠，S 中必含有元素1，可以有元素2,3，所以S 只有{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3.法二：31A x N x ⎧⎫=∈≥=⎨⎬⎩⎭310x N x ⎧⎫∈-≤⎨⎬⎩⎭30x x N x ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭{|03}x N x =∈<… {}1,2,3=，()2{|log 11}B x N x =∈+≤{}|012x N x =∈<+…＝{|11}x N x ∈-<…{}0,1=，所以集合S 中必含元素1，可以是{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3，共4个．故选C ．4．B 【解析】通过画树形图可知由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为1052412=．故选B ． 5.C 【解析】函数4()log 1y f x x =+-与x 轴的交点个数，为方程4()log 10f x x +-=的解的个数，即方程4()log 1f x x =-+解的个数，也即函数4()log 1y f x y x ==-+，交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C ．6.B 【解析】sin()sin παα-==，又α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos α＝＝23=-．由2cos 2cos 12αα=-，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos2α===，所以sin cos222παα⎛⎫+==⎪⎝⎭．故选B．7.D【解析】法一：因为3324a S S=-=，所以234b a==，222log log42b==，验证可知A,B,C均不符合，故答案为D.法二：因为3324a S S=-=，所以234b a==，又2314n n nb b b+-=，即2214n nb b+=，∴22124nnbqb+==，2q=．所以数列{b n}的通项公式是222422n n nnb b q--==⨯=，所以22log log2nnb n==．故选D．8.A【解析】圆C的标准方程为()2214x y++=，圆心为（0,－1），半径为2；直线方程l 的斜率为1-，方程为10x y+-=．圆心到直线的距离d==．弦长AB===O到AB，所以△OAB的面积为112⨯=．故选A．9．B【解析】①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为1(123345)35+++++=，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③由题可知样本的平均值为1，所以01235a++++=，解得a＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，，③是假命题；回归直线方程为2y a x=+过点(),x y，把（1,3）代入回归直线方程为2y a x=+可得1a=．④是真命题；⑤产品净重小于100克的频率为(0．050＋0．100)×2＝0．300，设样本容量为n，则36n＝0．300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0．100＋0．150＋0．125)×2＝0．75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0．75＝90．⑤是真命题．10．C【解析】作出函数()f x的图像，然后作出2()log(0)f x x x=>关于直线y x=对称的图像，与函数2()32(0)f x x x x=++…的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

一．基础题组1. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知2~(3,)N ξσ，若(2)0.2P ξ≤=，则ξ≤P(4)等于( )A ．2.0B ．3.0C ．7.0D ．8.02. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<=( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是 ( )4.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为________.5.【江苏省阜宁中学2014届高三年级第一次调研考试】下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.二．能力题组1.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】在圆22＋＝--(2)(2)4x y内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为（ ）A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π考点：二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识, 考查学生的基本运算能力．2. .【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，若S a a a n N n n =+++∈12 ()*，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（ ）A ．1256 B.13128 C.12 D.732三．拔高题组1. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23．（Ⅰ）若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5．考点：排列组合，分布列，期望.2.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分考点：概率，分布列，期望.3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】一个口袋中有红球3个，白球4个．（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；（Ⅱ）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X 的数学期望E(X)．(Ⅱ) 设“每次同时摸2个,恰好中奖”为事件B ，则75C C )(27141323=+=C C B P随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分4314716075175)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ， 42224760075175)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 43347100075175)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 4444762575)4(=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，……10分所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望240168607625471000376002716014444=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ……14分 考点：组合公式、概率，分布列，期望4. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】(本题满分12分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23. (Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】(Ⅰ)X 的分布列数学期望4EX =；(Ⅱ)81. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率.5.【2014届广东高三六校第一次联考理】甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

福建，安徽版（第03期）-2014届高三名校数学（理）试题分省分
项汇编：专题12.概率和统计
一．基础题组
二．能力题组
1.【2014安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】（本小题满分12分）
生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为 次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [)70,76
[)76,82
[)82,88
[)88,94
[]94,100
元件A 8 12 40 32 8 元件B
7
18
40
29
6
（Ⅰ）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下； （i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；
（ii ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）用频率估计概率值;
（Ⅱ）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.
试题解析：
（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为4
5
，元件B为正品的概率为
3
4。

……………
2分
三．拔高题组。