高中数学 2.3.1《平面向量的坐标运算》教案 苏教版必修4

《平面向量的坐标表示》的教学设计江苏省大丰高级中学唐丽一教材依据：普通高中课程标准试验教科书江苏凤凰教育出版社数学必修4二设计思想：1教材分析：本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及平面向量基本定理之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2学情分析：高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题3设计理念：设计本节课时，力求强调过程，注重学生自主探究新知识的经历和获得新知识的体验教学时不是简单的告诉学生平面向量的坐标表示及坐标运算,而是让学生自己去探究、去发现,充分体现学生的主体地位,激发学生的学习兴趣,提高学生解决问题的能力,培养学生的自主学习的能力4教学指导思想：结合学生的实际情况及本节课的内容特点，采用的是以学生自主探究为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发、引导下，让学生自己去分析、探究，在探究过程中得出结论，从而使学生在获得新知识的同时又提高了能力三教学目标：1知识与技能：会用坐标表示平面向量，掌握平面向量的加法、减法与数乘运算的坐标表示．2过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化3情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神．教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：形到数的转化四教学准备：根据本节课的特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学知识，利用多媒体辅助教学五．教学过程：（一）复习引入1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.(2)基底：把_________的向量e1，e2叫做表示这一平面内______向量的一组基底．⏹思考：如何体现向量分解的“唯一性”的？确定本节课研究方向：如何实现向量的代数表示？（二）问题引领，探究新知⏹问题1：如何选择基底，更方便计算、研究？⏹ 问题2：讨论结果：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．⏹ 问题3：向量的线性运算如何通过坐标运算实现？a =ｘ１，ｙ１，b =ｘ２，ｙ２即：两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差。

第7课时 平面向量的坐标运算（1）【学习目标】（1）理解平面向量的坐标的概念；能说出直角坐标系中平面向量的坐标概念,会写出直角坐标系内给定的向量的坐标,会作出已知坐标表示的向量（2）掌握平面向量的坐标运算；能正确表示向量的加法、减法和实数与向量的积的坐标运算法则，能正确地运用它们进行向量的坐标运算，明确向量的坐标表示(3)．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力.【学习重点】平面向量的加法、减法和实数与向量的积的坐标运算法则【自主学习】平面内的点与坐标的一一对应向量的表示平面向量的基本定理物理中的正交分解向量加法、减法和实数与向量的积的运算法则问题1：向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。

表示给定的向量的有向线段是否惟一？如果将起点固定在原点呢？问题2：平面内的每一个点都可以用一对有序实数来表示，那么向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？问题3：向量都是用有向线段表示能否用代数形式来表示呢？有没有什么理论依据在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量，作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y ，使得j y i x a +=，我们把序实数对(x,y)叫做向量a （直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标，),(y x a =叫做向量的坐标表示。

【合作探究】◆提出问题1、以原点O 为起点作向量OA=a ，点A 的位置是否唯一确定？2、点A 的坐标与向量OA 的坐标有什么关系？3、两个向量相等的充要条件利用坐标如何表示4、(x ,y)为坐标的向量有多少个?注：1、点的坐标与以原点O 为起点的向量的坐标建立一一对应的关系。

2、在直角坐标系中向量可自由移动，只要大小和方向不变，它们的坐标就是相同的3、两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等4 若分别取x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，作为基底 ，则y x +=【课堂展示】例1，已知O 是坐标原点，点A 34=，060=∠XOA 求向量的坐标2、平面向量的坐标运算已知向量a =（1x ，1y ），b =(2x ,2y )和实数λ，那么a+b=a-b=λa=例2：已知)4,3(),1,2(-==b 求b a b a b a 43,,+-+的坐标例3、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标。

2019-2020年高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算教案苏教版必修4●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．过程与方法(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．●重点难点重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算．难点：平面向量平行条件的理解．(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量的坐标的概念教学教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”．2．关于平面向量的坐标的线性运算的教学教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌握平面向量的坐标的线性运算．3．关于平面向量平行的坐标表示的教学教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题．●教学流程创设问题情境，引入平面向量的坐标概念.⇒引导学生结合向量加、减及数乘运算，推导出平面向量的坐标的线性运算.⇒引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握结合图形用坐标表示向量的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握平面向量坐标的线性运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平行向量的坐标表示，解决有关向量平行问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标．2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(难点)4.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(重点)平面向量的坐标表示及坐标运算【问题导思】1．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，任作一向量OA →.根据平面向量基本定理，OA →＝x i ＋y j ，那么(x ，y )与A 点的坐标相同吗？【提示】 相同．2．如果向量OA →也用(x ，y )表示，那么这种向量OA →与实数对(x ，y )之间是否一一对应？ 【提示】 是一一对应．(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)平面向量的坐标运算①已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．②已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.向量平行的坐标表示【问题导思】设a ＝(1,3)，b ＝(2,6)，向量b 与a 共线吗？ 【提示】 b ＝(2,6)＝2(1,3)＝2a ，∴b 与a 共线．设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .向量的坐标表示图2－3－10在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图2－3－10所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．【思路探究】 利用三角函数求出各向量在x 轴、y 轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．【自主解答】 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2，b 1＝|b |cos 120°＝3×(－12)＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332，c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23，c 2＝|c |sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝(－32，332)，c ＝(23，－2)．1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．图2－3－11如图2－3－11，已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，求向量OA →的坐标．【解】 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA 的坐标为(－3，1).平面向量的坐标运算(1)(2)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，试求向量3AB →＋12CA →，BC →－2AB →.【思路探究】 (1)中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．【自主解答】 (1)∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(0,5)， ∴3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．【答案】 (5，－8)(2)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)． ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)，∴3AB →＋12CA →＝3(1,5)＋12(4，－1)＝(5，292)，BC →－2AB →＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．若题(2)中条件不变，如何求2AB →－3BC →＋CA →呢？ 【解】 ∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)，∴2AB →→→(1)AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？【思路探究】 (1)判断AB →∥CD →→判断点A 是否在直线CD 上→结论．(2)求A ，B ，C 三点共线时k 的值，则一定有AB →＝λAC →成立．先求AB →，AC →，再列方程组求解k .【自主解答】 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →.所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →，AD →有共同的起点A ， 所以A ，B ，C ，D 四点共线． 因此直线AB 与CD 重合． (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝ (10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值． 【解】 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.忽略平行四边形顶点顺序的讨论致误已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，若A ，B ，C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标．【错解】 设点D 的坐标为(x ，y )，则由AD →＝BC →，得x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故所求点D 的坐标为(－2,3)．【错因分析】 错解中认为平行四边形的四个顶点的顺序是ABCD .事实上，本题没有给出是四边形ABCD ，因此，需要分类讨论．【防范措施】 在求平行四边形某一顶点的坐标时，常常需要对平行四边形顶点顺序进行讨论．【正解】 设点D 的坐标为(x ，y )．当四边形为平行四边形ABCD 时，则有AD →＝BC →，从而有x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故点D 的坐标为(－2,3)．当四边形为平行四边形ADBC 时，则有AD →＝CB →，从而有x －2＝3－(－1)，y －1＝2－4，即x ＝6，y ＝－1，故点D 的坐标为(6，－1)．当四边形为平行四边形ABDC 时，则有AC →＝BD →，从而有x －3＝－1－2，y －2＝4－1，即x ＝0，y ＝5，故点D 的坐标为(0,5)，故第四个顶点D 的坐标为(－2,3)或(6，－1)或(0,5)．1．向量的坐标运算(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 2．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝________. 【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)． 【答案】 (7,3)2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点坐标为________．【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)． ∵MP →＝12MN →，∴(2x －6,2y ＋4)＝(－8,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝－8，2y ＋4＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32. 【答案】 (－1，－32)3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，是k ＝________. 【解析】 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.【答案】 54．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.【证明】 ∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)， ∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)∴E (－13，23)，F (73，0)．∴EF →＝(83，－23)．又AB →＝(4，－1)，所以AB →＝32EF →.即EF →∥AB →.一、填空题1．下列说法正确的有________． (1)向量的坐标即此向量终点的坐标； (2)位置不同的向量其坐标可能相同；(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； (4)相等的向量坐标一定相同．【解析】 我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．【答案】(2)(4)2．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则向量2b ＋a 的坐标是________． 【解析】 2b ＋a ＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)． 【答案】 (3,0)3．已知a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】 设a ＝λb ，则(－1，x )＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，λ＝－22.又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】24．(xx·连云港高一检测)已知点M (3，－2)，N (－6,1)，且MP →＝2PN →，点P 的坐标为________．【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， PN →＝(－6－x,1－y )，∴由MP →＝2PN →得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－12－2x ，y ＋2＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0，∴点P 的坐标为(－3,0)．【答案】 (－3,0)5．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.【解析】 设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)．【答案】 (－2,1)6．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.【解析】 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，∵AB →与BC →共线． ∴(4－k )×(k －5)－6×(－7)＝0， 解得k ＝－2或11. 【答案】 －2或117．下列说法正确的有______________． (1)存在向量a 与任何向量都是平行向量；(2)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2；(3)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0；(4)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b .【解析】 (1)当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；(3)(4)正确． 【答案】 (1)(3)(4)8．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则a b等于________． 【解析】 a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b )＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵a m ＋b n 与m －2n 共线，∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12.【答案】 －12二、解答题9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5) 及OP →＝OA →＋tAB →，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．【解】 (1)设P (x ，y )，AB →＝(3,3)，由OP →＝OA →＋tAB →得(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t . 若P 在x 轴上，则y P ＝0，即2＋3t ＝0，∴t ＝－23. 若P 在y 轴上，则x P ＝0，即1＋3t ＝0，∴t ＝－13. 若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0， ∴－23＜t ＜－13. (2)四边形OABP 不能为平行四边形．因为若四边形OABP 能构成平行四边形，则OP →＝AB →，即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3， t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形． 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1tb ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 不存在．理由：依题意，x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)．y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t(－2,1) ＝(－1k －2t ，－2k ＋1t )． 假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)·(－1k －2t)＝0， 化简得t 2＋1k ＋1t＝0， 即t 3＋t ＋k ＝0.∵k ，t 为正实数，∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .(教师用书独具)已知△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．【思路探究】 由已知条件易求得点C ，D 的坐标，再由点M 是AD 与BC 的交点，即A ，M ，D 三点共线与B ，M ，C 三点共线可得到以点M 的坐标为解的方程组，解方程组即可．【自主解答】 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，OC →＝14OA →＝(0，54)， ∴点C 的坐标为(0，54)．同理可得D (2，32)． 设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，∵A ，M ，D 共线，∴AM →与AD →共线．又AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)， ∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.①∵CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4－0,3－54)＝(4，74)， CM →与CB →共线，∴74x －4(y －54)＝0，即7x －16y ＝－20.②由①②得x ＝127，y ＝2， ∴M 的坐标为(127，2)．在求点或向量的坐标中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．【解】 法一 设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t ) －(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. 所以OP →＝(4t,4t )＝(3,3)，所以P 点的坐标为(3,3)．法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0.①又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，所以P 点的坐标为(3,3)．.。

平面向量的坐标表示教案【教学设计设想】1表达知识的发生、开展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示〞，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化〞，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计，力图呈现平面向量坐标表示的发生、开展过程。

2将知识的数学形态转化为教学形态；教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。

3教学重心前移；对于本节课的知识，如果学生记住向量坐标表示的结论，学生也能解决一系列的问题，以往的教学，是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。

4还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近开展区内〞设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。

【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示〞，向量根本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑根底，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

节平面向量的根本定理及坐标表示主要四局部内容1平面向量的根本定理，2平面向量的坐标表示，3平行向量的坐标运算，4平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】知识与技能：1掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：〔1〕能写出给定向量的坐标；〔2〕给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：〔1〕知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；〔2〕向量的坐标等于终点减去起点坐标。

2019-2020学年高中数学 2.3.2 平面向量坐标运算（1）教学案 苏教
版必修4
[知识摘记]
[例题解析]
例1 如图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d ， 并求出它们的坐标。

例2 已知(2,1)a =，(3,4)b =-，求a b +，a b -，
34a b +的坐标．
例3 已知 ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-、(1,3)-、(3,4)，求顶点D 的坐标。

例4 （1）已知a 的方向与x 轴的正向所成的角为120，且||6a =，则a 的坐标为
（2）已知(1,2)a =-，(3,1)b =-，(11,7)c =-，且c xa yb =+，求x ，y ．
[练习与反思]
1．已知向量2(3,34)a x x x =+--与AB 相等，其中(1,2)A ，(3,2)B ，求x ； 反思：
O x y a A
1 A
b
c d
[课外作业]
1.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则CO 的坐标是
2.若向量a =(x-2,3)与向量b =(1,y+2)相等，则x= ，y=
3.已知向量AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,3),则DA =
4．若点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为 .
5．若A 、B 、C 三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，则AB +2BC ，BC -21
AC 的坐标分别为 、 .
6．已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.。

2.3.1平面向量的坐标运算教学目标1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示；3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。

教学重、难点1．平面向量的坐标运算；2．对平面向量的坐标表示的理解。

教学过程（一）复习： 1．平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+r r r ；2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用 一对实数来表示？（二）新课讲解：1．向量的坐标表示的定义： 分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i r ，j r 作为基底，对于任一向量a r ，a xi y j =+r r r ，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫向量a r 的坐标，记作(,)a x y =r ． 其中x 叫向量a r 在x 轴上的坐标，y 叫向量a r 在y 轴上的坐标。

说明：（1）对于a r ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； （2）相等的向量的坐标也相同； （3）(1,0)i =r ，(0,1)j =r ，0(0,0)=r ； （4）从原点引出的向量OA u u u r 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。

例1 如图，用基底i r ，j r 分别表示向量a r 、b r 、c r 、d u r ， 并求出它们的坐标。

2．平面向量的坐标运算： 问题：已知11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，求a b +r r ，a b -r r ． 解：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++r r r r r r r r 即()1212,a b x x y y +=++r r ． 同理：1212(,)a b x x y y -=--r r ． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

平面向量的坐标运算（1）一、知识目标：1掌握平面向量的坐标表示,平面向量与一对有序实数是一一对应的关系；2能正确地用坐标来表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示；掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系；3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标运算二、能力目标：1、通过平面向量坐标表示的推导培养学生归纳、猜想的能力；2、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力三、情感目标：设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学知识应用的广泛性教学重点：1．平面向量的坐标表示；2．平面向量的坐标运算教学难点：理解向量坐标的意义一、 课前复习：1． 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e 2λ2e ．2． 基底的概念：把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底3． 正交分解：一个平面向量用一组基底1e ,2e 表示成a 1λ=1e 2λ2e 的形式，我们称它为向量a 的分解，当1e ,2e 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解二、课中研学：【知识点整理】：1．平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上任一向量a ，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a xi y j =+有序实数对(,)x y 称为向量a 的（直角）坐标，记作 ． 如图，作OA =a ，则向量 的坐标(,)x y 与终点A 的坐标一一对应结论1：已知向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，若b a =，则 ，反之也成立2．平面向量的坐标运算：已知向量11(,)a x y =，22(,)b x y =和实数λ，那么a b += ；a b -= ；a λ= ．结论2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，则AB 的坐标为 ，AB = ．简记为： ________________AB 的中点坐标公式：____________________________练习1：已知点A 在第一象限，O 是坐标原点，34=OA ， 60=∠xOA ，则OA 的坐标_________． 练习2：如图，用基底i ，j 表示向量,,a b c ，并求出它们的坐标练习3： 已知(2,1)a =，(3,4)b =-，求a b +，a b -，34a b +的坐标．例1．已知)43(),14(),31(),31(，，，，D C B A --1求向量OA ，OB ，AO ，CD 的坐标；2证明四边形OCDA 是平行四边形．例2．（定比分点公式）已知111222(,),(,)P x y P x y ，P 是直线12PP 上一点，且12(1)PPPP λλ=≠-，求点P 的坐标．思考：在学习了向量的坐标表示后，你能自己推导向量平行的坐标表示吗？三、课后整学：1 已知向量()4,1a =-与()5,2b =，则23a b +=_________B2．已知)1,3(2-=-b a ,)2,1(2-=+b a ，则a b -=__________． 3 已知 AB a =，)54(，=a ，)3,2(A ，则B 点坐标为 ．4 已知点A 在第二象限，24=， 135=∠xOA ，则OA 的坐标_________．5 已知向量)sin ,(cos αα=a ,)0,3(=b ，则a -2的最大值为___________6已知(1,2)a=-，(3,1)b =-，(11,7)c =-，且c xa yb =+，求x ，y7 1已知点)10,7(),4,5(),3,2(C B A ，若)(R AC AB AP ∈+=λλ ，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上？点P 在第三象限内？2 四边形ABCP 能否为平行四边形？若能，求出相应的λ值；若不能，说明理由。

2.3.2 平面向量的坐标运算 第1课时 平面向量的坐标运算1．掌握向量的坐标表示．(重点)2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的坐标表示 阅读教材P 76～P 77例1，完成下列问题．平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．如图2-3-13，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2-3-13【解析】 如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)， 所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1)．【答案】 (1，－1) (1,1) (－1,1) 教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 77～P 79的有关内容，完成下列问题．1．已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．1．若a ＝(－1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________；a －b ＝________；3a ＝________；－5b ＝________.【解析】 a ＋b ＝(2,6)，a －b ＝(－4，－2)，3a ＝(－3,6)，－5b ＝(－15，－20)．【答案】 (2,6) (－4，－2) (－3,6) (－15，－20) 2．若A (0,1)，B (1,0)，则AB →＝________，BA →＝________. 【解析】 AB →＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)．BA →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)． 【答案】 (1，－1) (－1,1)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]平面向量的坐标表示|a |＝4，|b |＝3，且∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，分别求向量a ，b 的坐标．图2-3-14【精彩点拨】 借助三角函数的定义求a ，b 的坐标．【自主解答】 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，由于向量a 相对于x 轴正方向的转角为45°，所以a 1＝|a |cos 45°＝4×22＝22，a 2＝|a |sin 45°＝4×22＝2 2.可以求得向量b 相对于x 轴正方向的转角为120°， 所以b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332. 故a ＝(22，22)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.[再练一题]1．在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图2-3-15所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．图2-3-15【解】 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则 a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332；c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．平面向量的坐标运算已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，2AB→＋12AC →.【精彩点拨】 直接利用平面向量的坐标运算求解． 【自主解答】 ∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)， ∴AB →＝(3，－1)，AC →＝(－3,2)， AB →＋AC →＝(0,1)，2AB →＋12AC →＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 的坐标和MN →的坐标．【解】 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． 由CM →＝3CA →得(x ＋3，y ＋4)＝3(1,8)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，即M (0,20)． 同理可得N (9,2)，所以MN →＝(9，－18)．[探究共研型]向量的坐标与点的坐标探究1 【提示】 (1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．探究2 向量与其终点坐标是一一对应关系吗？【提示】 不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值．若不能，说明理由. 【导学号：06460054】【精彩点拨】 (1)由已知点的坐标表示出向量OA →，AB →的坐标，从而知道OP →的坐标，即点P 的坐标，然后分类讨论即可．(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →. 【自主解答】 (1)AB →＝(3,3)， OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )， 则P (1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13； 若P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0，所以t ＜－23.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)，求解即可.[再练一题]3．已知A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，点P 在第三象限，则λ的取值范围为________．【解析】 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)．又因为AP →＝AB →＋λAC →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ<0，y ＝4＋7λ<0，解得λ<－1.【答案】 (－∞，－1)[构建·体系]1．下列说法正确的有________．(填序号) ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同；③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； ④相等的向量坐标一定相同．【解析】 我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是②④.【答案】 ②④2．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0,1)，则向量2b －a 的坐标为________． 【解析】 2b －a ＝(0,2)－(3,2)＝(－3,0)． 【答案】 (－3,0)3．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是________． 【解析】 ∵AB →＝OB →－OA → ＝(－5，－1)－(3，－2) ＝(－8,1)， ∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 4．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.【解析】 ∵AB →＝(3,1) ∴BC →＝AC →－AB → ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 【答案】 (－7，－4)5．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 及CD →的坐标. 【导学号：06460055】【解】 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)， (－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此CD →＝(－2，－4)．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P 的坐标为(2 016,2)，向量PQ →＝(1，－3)，则点Q 的坐标为________． 【解析】 ∵PQ →＝OQ →－OP →， ∴OQ →＝OP →＋PQ → ＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)． 【答案】 (2 017，－1)2．(2016·如东高一检测)若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝________. 【解析】 BC →＝BA →＋AC → ＝BA →－CA → ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)． 【答案】 (－2，－4)3．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 【解析】 设B 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)， ∵AB →＝3a ，∴(x ＋1，y －5)＝3(2,3)＝(6,9)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14. 【答案】 (5,14)4．若向量a ＝(x ＋3，y －4)与AB →相等，已知A (1,2)和B (3,2)，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x ＋3，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4. 【答案】 －1,45．已知a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)， ∴2a ＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a ＝(3,5)，2b ＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b ＝(－2，－2)． 【答案】 (3,5) (－2，－2)6.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA →的坐标为________．图2-3-16【解析】 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →的坐标为(－3，1)． 【答案】 (－3，1)7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________.【导学号：06460056】【解析】 设P (x ，y )，则 MP →＝(x －3，y ＋2)， 12MN →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12， ∴⎩⎨⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－32，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－328．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．【解析】 ∵AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)， AC →＝AB →＋BC →＝(1,1)，∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)． 【答案】 (3,4) 二、解答题9．(1)已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，求x 的值；(2)已知点P 1(2，－1)，P 2(0,5)，点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|，求P 点的坐标．【解】 (1)∵AB →＝(2,0)，又∵a ＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1.(2)设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －2，y ＋1)， PP 2→＝(－x,5－y )，∵点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|， ∴P 1P →＝2PP 2→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2x ，y ＋1＝2(5－y )，∴⎩⎨⎧x ＝23，y ＝3，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3. 10．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.【解】 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.[能力提升]1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.【解析】 由向量的平行四边形法则可知 AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB → ＝(1,3)－(2,4) ＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB → ＝(－1，－1)－(2,4) ＝(－3，－5)． 【答案】 (－3，－5)2．(2016·苏州高一检测)已知P 1(5，－1)，P 2(－3,1)，点P (x,2)分P 1P 2→所成的比为λ，则x 的值为________．【解析】 ∵y ＝y 1＋λy 21＋λ，∴2＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝－3. 所以x ＝x 1＋λx 21＋λ＝5＋(－3)×(－3)1＋(－3)＝－142＝－7. 【答案】 －73．已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于________．【解析】 令(1,2)＋λ1(3,4) ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)， 即(1＋3λ1,2＋4λ1) ＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝0，故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2)． 【答案】 {(－2，－2)}4．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-7所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．图2-3-7【解】 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.。

2.3.2 平面向量的坐标运算一、课题：2.3.2 平面向量的坐标运算二、教课目的 ： 1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量平行的坐标表示解决相关综合问题。

三、教课重、难点 ： 1．向量平行的充要条件的坐标表示；2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

四、教课过程：（一）复习：rrr r rr (0, 1) ，求1．已知 a (3, 2) ， b2a 4b ， 4a 3b 的坐标；2．已知点 A(1,1)， B( uuur 1uuur uuur uuur uuur 1 uuur1,5) 及 AC AB ， AD 2AB ， AE 2 AB ，求点 C 、D 、 E 的2坐标。

uuur概括：（ 1）设点 A( x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB ( x 2 x 1 , y 2 y 1 ) ；rrr r( x 1 x 2 , y 1 y 2 ) ，（ 2） a (x 1, y 1 ) ， b(x 2 , y 2 ) ，则 a brrx 2 , y 1 y 2 ) ，rr a b ( x 1a ( x 1 , y 1) ；rrrrr3．向量 a 与非零向量 b 平行的充要条件是：ab(R,b0) .（二）新课解说：1．向量r 平行的坐标表示r ：r r r r设 a(x 1, y 1 ) ， b( x 2 , y 2 ) ，（ b 0 ），且 a // b ，rrrr则 a b(R,b0) ，∴ ( x 1 , y 1 )( x 2 , y 2 ) ( x 2 , y 2 ) .∴x1x 2，∴ x 1 y 2 x 2 y 10 .y 1 y 2概括：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：r r r rrrrr① a // b (b0)arb(R, b 0) ；r r rrr② a // b (b 0) 且设 a( x 1, y 1) ， b (x 2 , y 2 ) x 1 y 2 x 2 y 10 （ x 1 , x 2 , y 1, y 2 R ）r rr r例 1 已知 a (4, 2) ， b(6, y) ，且 a // b ，求 y ．r r2 60 ．∴ y 3 ．解：∵ a // b ，∴ 4y例 2 已知 A( 1, 1) ， B(1,3) ， C(2,5) ，求证 A 、 B 、 C 三点共线．uuur(1 ( 1),3 (uuur(2 ( 1),5 ( 1)) (3,6) ， 证明： AB1)) (2, 4) ， AC又 2 6 34 uuur uuur0 ，∴ AB // AC . ∵直线 AB 、直线 AC 有公共点 A ，∴ A ， B ， C 三点共线。

平面向量的坐标运算（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解并掌握平面向量的坐标运算.过程与方法：（1）通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法。

（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观: （1）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（2）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面坐标运算的应用.教学方法：“探究学习”及“合作学习”的模式.教学手段：利用多媒体演示教学过程设计：一、复习回顾（1）平面坐标的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量.（2）平面向量的坐标表示a xi yj （x,y）（i , j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量）（3）起点在原点的向量的坐标表示已知A=（ x, y）,则OA （x,y）二、创设问题情境，引入课题.我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几种运算的结果仍是向量，而向量是可以用坐标来表示的，因此，这些运算的结果也能用坐标来表示，那么如果是坐标的话，我们该如何来表示呢？这就是这节课我们要学习的平面向量的坐标运算。

三、探究，推导法则.探究一：( 1)已知a (x1, y1),b (x2,y2),求a b,a b，a的坐标.分析：a b= (x1i y1 j) (x2i y2 j) 由向量线性运算的结合律和分配律，可得(x1i y1 j) (x2i y2 j) = (x1 x2)i (y1 y2 )j 即a b =( x1 x2,y1 y2) 因此，两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。

两个向量差的坐标让学生自己讨论推导，再将推导所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出a b (x1 x2,y1 y2 ) 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差。